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Números Racionales
Al dividir dos números enteros, no siempre resulta otro número entero. Esto llevó a la
necesidad de ampliar el conjunto Z y dar paso a un nuevo conjunto, llamado de los
Números Racionales y simbolizado por Q. Este conjunto incluye a Z y IN. Su definición
es:
Q es el conjunto de los números de la forma a/b, siendo a y b números
enteros, con b distinto de 0.
Obvio que b debe ser distinto de cero, ya habíamos visto que la división por 0 no está
definida.
Analicemos el elemento 3/8 perteneciente al conjunto Q.
Esta fracción indica que un entero ha sido dividido en 8 partes equivalentes y que se
han considerado 3 partes de ella. (Ver figura)
En la fracción 3/8 el 3 recibe el nombre de numerador y el 8 de denominador.
Si efectuamos la división 3 : 8, obtenemos como resultado exactamente 0,375
3 : 8 = 0,375
0//
y los nombres al efectuar esta operación son: el 3 se llama dividendo, el 8 divisor, el
0,375 cuociente y el 0 resto.
¿Y cómo representar 5/3? Para ello necesitamos conocer a los números mixtos.
Número Mixto La fracción 5/3 se puede escribir como un número mixto, o sea un
número con una parte entera y otra fraccionaria.
5/3 = 12/3 , esto resulta de efectuar la división 5 : 3 = 1 con resto 2.
Si queremos transformar, por ejemplo, debemos multiplicar 5 • 3 y sumarle 4,
resultando 19/5.
Fracción propia Son aquellas cuyo numerador en menor que el denominador. En la
recta numérica se ubican entre el 0 y el 1.
Por ejemplo, 2/3; 5/7; 12/37.
Fracción impropia
Son aquellas cuyo numerador en mayor que el denominador,
por lo tanto son mayores que 1. Para ubicarlas en la recta numérica se necesita
transformarlas a número mixto.
Amplificación Amplificar una fracción es multiplicar su numerador y denominador
por un mismo número natural. La fracción obtenida es equivalente a la original.
Ejemplo: Amplifiquemos 2/5 por 7. Entonces debemos multiplicar el numerador y el
denominador por 7 quedando la fracción como 14/35. Luego, 2/5 y 14/35 son
fracciones equivalentes.
Simplificación Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador de
una fracción por un mismo número natural, para lo cual el numerador y el
denominador deben ser múltiplos de ese número. De lo contrario, no se puede
simplificar la fracción.
Si una fracción no se puede simplificar, decimos que se trata de una fracción
irreductible. Como ser 3/7.
Ejemplo: 30/42 la podemos simplificar por 2, por 3, por 6. Lo más conveniente es por
6 así queda de inmediato irreductible. Al simplificarla se obtiene 5/7.
Orden en Q
Esto se refiere a establecer cuándo un elemento de Q es mayor, menor o igual que
otro elemento. Aquí se nos presentan dos casos:
a) Si los denominadores son iguales, resulta fácil, será mayor la fracción que
tenga el numerador mayor.
Por ejemplo: 8/25, 3/25, 16/25
Ordenadas de menor a mayor quedan así: 3/25 < 8/25 < 16/25
b) Si los denominadores son distintos, habrá que igualarlos. Primero
determinamos el m.c.m. y luego se amplifica para que todos tengan el mismo
denominador.
Por ejemplo, ordenar de menor a mayor 2/3, 1/6 y 5/8
El m.c.m. es 24. Amplificamos cada fracción de modo que queden con denominador
24, resultando 4/24 < 15/24 < 16/24. O sea 1/6 < 5/8 < 2/3.
Otro método es el de los productos cruzados ¿Cuál fracción es menor 7/9 ó 11/7?
Se efectúa el producto 7 • 7 = 49 y 9 • 11 = 99, como 49 es menor que 99, se
concluye que 7/9 < 11/7.
OPERATORIA EN Q
Siempre antes de operar, debemos revisar si todas las fracciones son irreductibles, si
no lo son es conveniente simplificar.
Suma y Resta:
a) Fracciones con el mismo denominador: se suman (o restan) los numeradores y se
conserva el denominador.
Ejemplo: 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3
b) Fracciones con distinto denominador: lo primero es obtener fracciones
equivalentes, basados en el mcm de los denominadores y luego resolver como en la
situación anterior.
Ejemplo: 2/3 + 1/4 - 5/8 =
El m.c.m. entre 3, 4 y 8 es 24, por la tanto las fracciones equivalentes son:
16/24 + 6/24 - 15/24 = 37/24.
Multiplicación: Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los
denominadores entre sí.
Ejemplo: 3/4 • 5/7 = 15/28.
División: Para dividir fracciones multiplicamos la primera fracción por el inverso
multiplicativo de la segunda fracción.
Ejemplo: 2/3 : 3/4 = 2/3 • 4/3 = 8/9.
Otro método para dividir fracciones es multiplicando en forma cruzada.