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Trabajo, energía y potencia.
Resolver:
1) Transformar 250 kgf.m a Joul y kW.h.
2) ¿Cuántos kgf.m y Joul representan 25 kW.h?.
3) Indicar cuántos Joul y kW.h son 125478 kgm.
4) Indicar el trabajo necesario para deslizar un cuerpo a 2 m de su posición
inicial mediante una fuerza de 10 N.
5) ¿Qué trabajo realiza un hombre para elevar una bolsa de 70 kgf a una
altura de 2,5 m?. Expresarlo en:
a) kgf.m
b) Joule
c) kW.h
6) Un cuerpo cae libremente y tarda 3 s en tocar tierra. Si su peso es de 4 N,
¿qué trabajo deberá efectuarse para elevarlo hasta el lugar desde donde
cayo? Expresarlo en:
a) Joule.
b) kgm.
Responder:
1) ¿Qué es el trabajo mecánico?.
2) ¿En que unidades se mide el trabajo?.
3) ¿Cuáles son sus equivalencias?.
4) Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay trabajo?.
5) ¿Las máquinas simples, realizan trabajo?.
Resultados:
1)
1 kgf.m  9,807 J
250 kgf.m  x = 250 kgf.m × 9,807 J/1 kgf.m
x = 2451,75 J
1 W = 1 J/s
1kW = 1.000 J/s
1kW.h = 1.000 J.3.600 s/s
1
1kW.h = 3.600.000 J s/s
1 J = 1kW.h/3.600.000
1 kgf.m  9,807 J/3.600.000
250 kgf.m  x = 250 kgf.m × 9,807 J/3.600.000 kgf.m
x = 6,81.10-4 kW.h
2)
1 kW.h  3.600.000 J
25 kW.h  x = 25 kW × 3.600.000 J/1 kW.h
x = 9.107 J
1 kW.h  3.600.000 kgf.m/9.807
25 kW.h  x = 25 kW.h × 9,807 × 3.600.000 J/1 kW.h
x = 9.177.118 kgf.m
3)
1 kgf.m  9,807 J
125.478 kgf.m  x = 125.478 kgf.m × 9,807 J/1 kgf.m
x = 1.230.563 J
1 kgf.m  9,807 J/3.600.000
125.478 kgf.m  x = 125.478 kgf.m × 9,807 J/3.600.000 kgf.m
x = 0,3418 kW.h
4)
L = F × d  L = 10 N × 2 m  L = 20 J
5)
a) L = F × d  L = 70 kgf × 2,5 m  L = 175 kgf.m
b) L = 175 kgf.m × 9,807 J/kgf.m  L = 1716,225 J
a) L = 175 kgf.m × 9,807 J/3.600.000 kgf.m  L = 0,000477 kW.h
6)
L = F.d
En éste caso se trata de la fuerza peso, por lo tanto:
L = P.d
y al ser un movimiento vertical la distancia es la altura:
L = P.h
Mediante cinemática calculamos la altura para caída libre.
h = ½.g.t ²
2
h = ½ × 9,807 (m/s ²) × (3 s) ²  h = ½ × 9,807 (m/s ²) × 9 s ²  h = 44,1315
m
Luego:
a) L = P × h  L = 4 N × 44,1315 m  L = 176,526 J
b) L = 176,526 J/ (9,807 kgf.m × J)  L = 18 kgf.m
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Resolver:
1) Un proyectil que pesa 80 kgf es lanzado verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial de 95 m/s. Se desea saber:
a) ¿Qué energía cinética tendrá al cabo de 7 s?.
b) ¿Qué energía potencial tendrá al alcanzar su altura máxima?.
2) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo que pesa 38 N a los 30 s de
caída libre?
3) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo de masa 350 kg si posee una
velocidad de 40 m/s?
4) ¿Con qué energía tocará tierra un cuerpo que pesa 2500 g si cae
libremente desde 12 m de altura?.
5) Un cuerpo de 200 N se desliza por un plano inclinado de 15 m de largo y
3,5 de alto, calcular:
a) ¿Qué aceleración adquiere?.
b) ¿Qué energía cinética tendrá a los 3 s?.
c) ¿Qué espacio recorrió en ese tiempo?.
6) ¿Qué energía potencial posee un cuerpo de masa 5 kg colocado a 2 m del
suelo?
7) Si el cuerpo del ejercicio anterior cae, ¿con qué energía cinética llega al
suelo?
8) Sabiendo que cada piso de un edificio tiene 2,3 m y la planta baja 3 m,
calcular la energía potencial de una maceta que, colocada en el balcón de un
quinto piso, posee una masa de 8,5 kg.
9) Un cuerpo de 1250 kg cae desde 50 m, ¿con qué energía cinética llega a
tierra?
3
10) Un proyectil de 5 kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba con
velocidad inicial de 60 m/s, ¿qué energía cinética posee a los 3 s? y ¿qué
energía potencial al alcanzar la altura máxima?
Responder:
1) ¿Qué es energía?
2) ¿Qué clases de energía conoce?
3) Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay transformación de energía?
4) ¿Qué aparato o máquina transforma energía mecánica en luminosa?
Resultados:
1)
Datos: P = 80 kgf
v0 = 95 m/s
t=7s
a) Mediante cinemática calculamos la velocidad luego de 7 s:
vf = v0 - g.t
vf = 95 m/s + (- 9,807 m/s ²).7 s  vf = 95 m/s - 68,649 m/s  vf = 26,351 m/s
Luego:
Ec = ½.m.v ²
La masa es:
m = 80 kg
Ec = ½.80 kg.(26,351 m/s) ²
Ec = 27775, 01 J
b) Mediante cinemática calculamos la altura máxima:
vf ² - v0 ² = 2.g.h
- v0 ²/2.g = h
h = (95 m/s) ²/(2.9,807 m/s ²)  h = 460,13 m
Con éste dato hallamos la energía potencial:
Ep = m.g.h
Ep = 80 kg.9, 807 (m/s ²).460, 13 m
Ep = 361.000 J
Pero mucho más simple es sabiendo que la energía potencial cuando se
anula la velocidad es igual a la energía cinética inicial (si no hay pérdidas):
Ec1 = Ep2
Ec1 = ½.m.v1 ²  Ec = ½.80 kg.(95 m/s) ²
Ec1 = 361.000 J = Ep2
2)
Datos: P = 38 N
t = 30 s
Calculamos la velocidad:
vf = g.t  vf = 9,807 (m/s ²).30 s  vf = 294,21 m/s
4
Con éste dato calculamos la energía cinética:
Ec = ½.m.v ²  Ec = ½.(38 N/9,807 m/s ²).(294,21 m/s) ²
Ec = 167.700 J
3)
Ec = ½.m.v ²  Ec = ½.350 kg.(40 m/s) ²
Ec = 280.000 J
4)
Si cae libremente su velocidad inicial es nula, por lo tanto toda su energía
potencial (dada por la altura) se convertirá en energía cinética:
Ec2 = Ep1
Ep1 = m.g.h
Ep1 = 2,5 kg.9,807 (m/s ²).12 m
Ep1 = 294,21 J = Ec2
5)
Datos: P = 200 N
l = 15 m
h = 3,5 m
t=3s
a) En el eje "x":
Σ Fx = m.a
Px = m.a
Pero:
Px = P.sen α
m.a = P.sen α
m.a = m.g.sen α
a = g.sen α
Por otra parte:
sen α = 3,5 m/15 m = 0,233
a = 9,807 (m/s ²).0, 233
a = 2, 29 m/s ²
b) Suponiendo que parte del reposo:
5
vf = a.t
Luego:
Ec = ½.m.vf ²  Ec = ½.m.(a.t) ²
Ec = ½.(200 N/9,807 m/s ²).(2,29 m/s ².3 s) ²
Ec = 480, 54 J
c)
e = ½.a.t ²
e = ½.2, 29 m/s ².(3 s) ²
e = 10,29 m
6)
Ep = m.g.h  Ep = 5 kg.9, 807 (m/s ²).2 m  Ep = 98, 07 J
7)
Si no hubo pérdidas por rozamiento, toda la energía potencial se transformó
en energía cinética:
Ec = 98,07 J
8)
h = 2,3 m.4 + 3 m = 14,5 m
El balcón del 5° piso es el techo del 4° piso
Ep = m.g.h  Ep = 8,5 kg.9,807 (m/s ²).14,5 m  Ep = 1017 J
9)
Recordemos que toda la energía potencial se transforma en energía cinética:
Ep1 = Ec2
Ep1 = Ec2 = m.g.h1  Ep1 = 1250 kg.9,807 (m/s ²).50 m  Ep = 612.937,5 J
10)
Primero hallamos la velocidad a los 3 s del lanzamiento:
v2 = v1 + g.t
v2 = 60 m/s + (- 9,807 m/s ²).3 s
v2 = 30,579 m/s
Luego calculamos la energía cinética:
Ec2 = ½.m.v2 ²  Ec2 = ½.5 kg.(30,579 m/s) ²  Ec2 = 2.337,69 J
Para la segunda parte debemos tener en cuenta que cuando alcanza la altura
máxima la velocidad se anula, por lo tanto, toda la energía cinética inicial se
transformó en energía potencial:
Ec1 = ½.m.v1 ²  Ec1 = ½.5 kg. (60 m/s) ²  Ec1 = 9.000 J
Ep2 = 9.000 J
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Resolver:
1) Un carrito de 5 N es desplazado 3 m a lo largo de un plano horizontal
mediante una fuerza de 22 N. Luego esa fuerza se transforma en otra de 35
N a través de 2 m. Determinar:
a) El trabajo efectuado sobre el carrito.
6
b) La energía cinética total.
c) La velocidad que alcanzó el carrito.
2) Un cuerpo de 1,5 kg de masa cae desde 60 m. Determinar la energía
potencial y cinética cada 10 metros a partir del origen.
3) Un cuerpo de 150 g de masa se lanza hacia arriba con velocidad inicial de
400 m/s, calcular:
a) La energía cinética inicial.
b) La energía cinética a los 5 s de caída.
4) Un carrito de 10 kg de masa se mueve con una velocidad de 3 m/s,
calcular:
a) La energía cinética si debe subir una pendiente.
b) La altura que alcanzará.
5) Una persona sube una montaña hasta 2000 m de altura, ¿cuál será su
energía potencial si pesa 750 N?
6) Un cuerpo de 40 kg de masa cae por un plano inclinado que forma con la
horizontal un ángulo de 20°. ¿Cuál será su energía cinética luego de recorrer
18 m sobre el plano si partió del reposo?.
7) Un cuerpo de 50 N de peso se halla en el punto más alto de un plano
inclinado de 20 m de largo y 8 m de alto. Determinar:
a) La energía potencial en esa posición.
b) La energía cinética si cae al pié de esa altura.
c) La energía cinética si cae al pié deslizándose por la pendiente.
8) Un proyectil de 0,03 N de peso atraviesa una pared de 20 cm de espesor,
si llega a ella con una velocidad de 600 m/s y reaparece por el otro lado con
una velocidad de 400 m/s, ¿cuál es la resistencia que ofreció el muro?.
9) Un vagón de 95000 kg de masa que desarrolla una velocidad de 40 m/s,
aplica los frenos y recorro 6,4 km antes de detenerse. ¿Cuál es la resistencia
ejercida por los frenos?.
10) Un cuerpo de 2,45 kg de masa se desplaza sin rozamiento por un plano
inclinado de 5 m y 1 m de altura, determinar:
a) La distancia recorrida por el cuerpo, que parte del reposo, en 1,5 s.
b) La energía cinética adquirida en ese lapso.
c) La disminución de la energía potencial en igual lapso.
Desarrollo:
1)
El teorema de la energía mecánica dice que el trabajo de las fuerzas
conservativas es igual a la variación de la energía mecánica del sistema.
L FC = ΔEm
Desarrollamos esta ecuación:
L FC = ΔEm = ΔEc + ΔEp
7
Como el movimiento es horizontal la variación de la energía potencial es nula.
L FC = ΔEm = ΔEc
La variación de la energía cinética total de este sistema es:
ΔE cT = ΔEc1 + ΔEc2  ΔE cT = ½.m.vf1 ² - ½.m.vi1 ² + ½.m.vf2 ² - ½.m.vi1 ²
ΔE cT = ½.m.(vf1 ² - vi1 ² + vf2 ² vi1 ²)
No hay rozamiento y:
vi1 = 0
vf1 = vi2
Por lo tanto:
ΔE cT = ½.m.vf2 ²
Adaptándolo a la ecuación de trabajo:
L FC = ½.m.vf2 ²
Como no hay fuerzas NO conservativas el trabajo del sistema es igual a la
variación de la energía cinética del sistema (o total). El trabajo y la variación
de la energía cinética tienen el mismo valor pero distinto sentido.
Mediante cinemática calculamos la velocidad final pero por partes, hay que
obtener la masa del cuerpo y la aceleración en cada tramo:
Se emplea g = 9,8 m/s ²
La masa del cuerpo es:
P = m.g  m = P/g  m = 5 N/(9,81 ms ²)  m = 0,51 kg
La aceleración en el primer tramo la obtenemos de:
F1 = m.a1  a1 = F1/m  a1 = 22 N / 0,51 kg  a1 = 43,16 m/s ²
Para el segundo tramo
F2 = m.a2  a2 = F2/m  a2 = 35 N / 0,51 kg  a2 = 68,67 m/s ²
Con este último dato calculamos el trabajo del sistema:
L FC = ½.m.vf2 ²  L FC = ½.0,51 kg.(23,10 m/s) ²  L FC = 136 J
Por supuesto el trabajo se puede calcular sencillamente por:
LT = L1 + L2  LT = 22 N.3 m + 35 N.2 m  LT = 136 J
¡Pero no tiene sentido hacerlo fácil!
Luego la energía cinética:
ΔE cT = ½.m.vf2 ²  L FC = ½.0, 51 kg.(23,10 m/s) ²  L FC = 136 J
2)
Se emplea g = 9,8 m/s ²
8
Para h = 60 m
Ep60 = m.g.h  Ep60 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).60 m  Ep60 = 882 J
Para la altura 60 metros la velocidad es nula, por lo tanto la energía cinética
también es nula.
Ec60 = 0 J
Para h = 50 m
Ep50 = m.g.h  Ep50 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).50 m  Ep50 = 735 J
Para ésta altura la velocidad es distinta de cero, parte de la energía potencial
se transformó en energía cinética.
Ec50 = Ep60 - Ep50  Ec50 = 882 J - 735 J  Ec50 = 147 J
Para h = 40 m
Ep40 = m.g.h  Ep40 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).40 m  Ep40 = 588 J
Ec40 = Ep60 - Ep40  Ec40 = 882 J - 588 J  Ec40 = 294 J
Para h = 30 m
Ep30 = m.g.h  Ep30 = 1,5 kg. (9,8 m/s ²).30 m  Ep30 = 441 J
Ec30 = Ep60 - Ep30  Ec30 = 882 J - 441 J  Ec30 = 441 J
Para h = 20 m
Ep20 = m.g.h  Ep20 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).20 m  Ep20 = 294 J
Ec20 = Ep60 - Ep20  Ec20 = 882 J - 294 J  Ec20 = 588 J
Para h = 10 m
Ep10 = m.g.h  Ep10 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).10 m  Ep10 = 147 J
Ec10 = Ep60 - Ep10  Ec10 = 882 J - 147 J  Ec10 = 735 J
Para h = 0 m
Ep0 = m.g.h  Ep0 = 1,5 kg.(9,8 m/s ²).0 m  Ep0 = 0 J
Al final de la caída toda la energía potencial se transformó en energía
cinética.
Ec0 = Ep60 - Ep0  Ec0 = 882 J - 0 J  Ec0 = 882 J
3)
Datos:
m = 150 g = 0, 15 kg
vi = 400 m/s
Se adopta g = 10 m/s ²
a) Ec = ½.m.vi ²  Ec = ½.0,15 kg.(400 m/s) ²  Ec = 12.000 J
9
b) Mediante cinemática calculamos la velocidad a los 5 s del lanzamiento.
vf = vi + g.t  vf = 400 m/s - 10 (m/s ²).5 s  vf = 350 m/s
Con éste dato calculamos la energía cinética.
Ec = ½.m.vf ²  Ec = ½.0,15 kg.(350 m/s) ²  Ec = 9.187,5 J
4)
Datos:
m = 10 kg
vi = 3 m/s
Se adopta g = 10 m/s ²
a) Ec = ½.m.vi ²  Ec = ½.10 kg.(3 m/s) ²  Ec = 45 J
b) La energía cinética inicial permitirá el ascenso hasta que se transforme
completamente en energía potencial.
Ec = Ep = m.g.h  45 J = 10 kg.10 (m/s ²).h  h = 45 J/100 N  h = 0,45 m
5)
Datos:
P = 750 N
h = 2.000 m
Se adopta g = 10 m/s ²
Ep = m.g.h  Ep = P.h  Ep = 750 N.2.000 m  Ep = 1.500.000 J
6)
Datos:
m = 40 kg
d = 18 m
α = 20°
Se adopta g = 10 m/s ²
Primero calculamos la altura que descendió al recorrer 18 m sobre el plano,
podemos hacerlo mediante el teorema de Pitágoras o trigonométricamente.
h = 18 m.sen 20°  h = 6,16 m
Luego calculamos la energía potencial que tenía al principio, es decir al tope
de los 6,16 m.
Ep = m.g.h  Ep = 40 kg.10 (m/s ²).6,16 m  Ep = 2.462,55 J
Al final del recorrido ésta energía potencial se transformó en energía cinética,
por lo tanto:
Ep = Ec = 2.462,55 J
10
7)
Datos:
P = 50 N
d = 20 m
h=8m
a) Ep = m.g.h  Ep = 50 N.8 m  Ep = 400 J
b y c) Al caer al pié directamente o deslizándose por la parte inclinada, toda la
energía potencial se transforma en energía cinética porque varía su altura en
8 m.
Ec = Ep = 400 J
8)
Datos:
P = 0,03 N
e = 20 cm = 0, 20 m
vi = 600 m/s
vf = 400 m/s
Se adopta g = 10 m/s ²
Como la pared ofrece resistencia hay pérdida de energía cinética, esto se
expresa como el trabajo de de la fuerza que ejerce la resistencia.
E cf - E ci = LFr
½.m.vf ² - ½.m.vi ² = Fr.e  Fr = ½.m. (vf ² - vi ²)/e
De la fuerza peso obtenemos la masa del proyectil.
P = m.g  m = P/g  m = 0, 03 N/10 m/s ²  m = 0,003 kg
Luego:
Fr = ½.0,003 kg.[(400 m/s) ² - (600 m/s) ²]/0,20 m
Fr = - 1.500 N
9)
Datos:
m = 95.000 kg
d = 6,4 km = 6.400 m
vi = 40 m/s
vf = 0 m/s
La pérdida de energía cinética durante el frenado se manifiesta por el trabajo
de la fuerza de frenado.
E cf - E ci = LFf
½.m.vf ² - ½.m.vi ² = Ff.d  Ff = ½.m. (0 ² - vi ²)/d
Lo anterior nos indica que la ausencia de velocidad en un punto anula la
energía cinética en ese punto.
Ff = ½.95000.[- (40 m/s) ²]/6400 m  Ff = - 11.875 N
11
10)
Datos:
m = 2,45 kg
d=5m
h=1m
t = 1, 5 s
vi = 0 m/s
Se adopta g = 10 m/s ²
a) La componente Px de la fuerza peso es la causante del desplazamiento.
Px = P.sen α
Geométricamente:
Px = P. (1 m/5 m)  Px = P. (1 m/5 m)  Px = P.0, 2
De estas fuerzas obtenemos la aceleración del cuerpo en dirección del plano:
a.m = g.m.0, 2  a = g.0,2  a = 10 m/s ².0,2  a = 2 m/s ²
El espacio recorrido será:
e = ½.a.t ²  e = ½.2 m/s ².(1,5 s) ²  e = 2,25 m
b) Mediante cinemática calculamos la velocidad a los 1,5 s:
vf ² - vi ² = 2.a.e  vf ² - 0 = 2.2 m/s ².2,25 m  vf = 3 m/s
Ec = ½.m.vf ²  Ec = ½.2,45 kg. (3 m/s) ²  Ec = 11,025 J
c) Como la energía potencial depende de la altura calculamos que altura se
corresponde con el desplazamiento de 2,25 m.
Por triángulos semejantes:
1 m/5 m = h/2,25 m  h = 2,25 m/5  h = 0,45 m
Ep = m.g.h  Ep = 2, 45 kg.10 m/s ².0,45 m  Ep = 11,025 J
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Resolución:
Calcular la energía cinética, potencial y mecánica de un cuerpo de 90 N que
se encuentra a 95 metros del suelo
a) al comienzo de la caída
b) a 35 metros del suelo
c) al llegar al suelo
12
Desarrollo
El teorema de la energía mecánica es:
ΔEM = ΔEc +ΔEp + Hf
Como no hay fuerzas de rozamiento:
Hf = 0
ΔEM = ΔEc +ΔEp = 0
Luego:
ΔEM = ΔEc +ΔEp = Ec2 - Ec1 + Ep2 - Ep1
a) En el instante inicial su altura es máxima y su velocidad es nula, por lo
tanto:
ΔEM = Ec2 + Ep2 - Ep1
Como aún no se movió:
ΔEM = - Ep1
ΔEM = - Ep1 = -m.g.h
Tomando el eje "y" positivo hacia arriba y g se dirige hacia abajo:
g = 10 m/s ²
Recordemos que:
P = m.g
Si:
P = 90 N  90 N = m.10 m/s ²  m = 9 kg
Tenemos:
Ep1 = -m.g.h  Ep1 = -9 kg.(-10 m/s ²).95 m  Ep1 = 8.550 J
Para éste caso:
ΔEM = 8.550 J
Ec1 = 0 J
b) Para este punto tenemos:
ΔEM = Ec2 + Ep2 - Ep1 = 0  Ec2 = Ep2 + Ep1 ½.m.v2 ² = - m.g.h2 + m.g.h1
½.v2 ² = - g.h2 + g.h1  v2 ² = - 2.g.(h2 - h1)  v2 ² = - 2.10 m/s ².(35 m - 95 m)
 v2 ² = 1.200 m ²/s ²
Luego:
Ec2 =½.m.v2 ²  Ec2 =½.9 kg.1200 m ²/s ²  Ec2 = 5.400 J
Ep2 = m.g.h2  Ep2 = 9 kg.10 m/s ².35 m  Ep2 = 3.150 J
EM2 = Ec2 + Ep2  EM2 = 5.400 J + 3.150 J  EM2 = 8.550 J
c) En el suelo (punto 3) tenemos h3 = 0 m, la velocidad será máxima, y toda la
energía potencial se habrá transformado en cinética.
Por lo que tenemos:
ΔEM = Ec3 + Ep3 - Ep1 = 0
Ep3 = 0 J
Ec3 - Ep1 = 0  Ec3 = Ep1 Ec3 =8.550 J
EM3 = Ec3 + Ep3  EM3 = 8.550 J
Verificándose el teorema de la Energía Mecánica.
13