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NODOS, RAMAS Y LAZOS
Dado que los elementos de un circuito eléctrico pueden interconectarse de varias maneras, es necesario
conocer algunos conceptos básicos de topología de redes. Para diferenciar entre un circuito y una red,
se puede considerar a una red como una interconexión de elementos o dispositivos, mientras que un
circuito es una red que proporciona una o más trayectorias cerradas. La convención, al hacer referencia
a la topología de red, es usar la palabra red más que circuito. Se hace así pese a que las palabras red y
circuito signifiquen lo mismo cuando se usan en este contexto. En topología de redes se estudian las
propiedades relativas a la disposición de elementos en la red y la configuración de la misma. Tales
elementos son nodo, ramas y lazos.
Figura 3.1 Nodos, ramas y lazos.
Un nodo es el punto en el que dos o más elementos (o dos o más ramas - definidas más adelante) se
unen o interconectan. Toda la extensión y segmentos de alambre con una resistencia sustancialmente
igual a cero (corto circuitos) que interconectan los dos o más elementos (o ramas) constituyen un mismo
punto de contacto y referencia eléctrica, es decir, constituyen un mismo nodo. Un nodo suele indicarse
con un punto en el circuito.
El circuito de la Figura 3.1 tiene tres nodos: a, b y c. Nótese que los tres puntos que forman el nodo b
están conectados por alambres perfectamente conductores, y constituyen por lo tanto un solo punto o
nodo. Lo mismo puede decirse de los cuatro puntos que forman el nodo c.
Una rama es una trayectoria simple que interconecta dos nodos, sin que exista otro nodo entre ellos.
Una rama representa un solo elemento.
El circuito de la Figura 3.1 tiene cinco ramas: la fuente de tensión de 10V, la fuente de corriente de 2A y
las tres resistencias.
Lo anterior se demuestra representando el circuito de la Figura 3.1 como un circuito que tiene sólo tres
nodos, tal como en la Figura 3.2.
Figura 3.2 Nuevo diagrama del circuito de tres nodos de la Figura 2.1.
Un lazo es cualquier trayectoria cerrada en un circuito. Un lazo es una trayectoria cerrada que se inicia
en un nodo, pasa por un conjunto de nodos y retorna al nido inicial sin pasar por ningún nodo más de
una vez. Se dice que un lazo es independiente si contiene al menos una rama que no forma parte de
ningún otro lazo independiente. Los lazos o trayectorias independientes dan por resultado conjuntos
independientes de ecuaciones.
Es posible formar un conjunto de lazos independientes en el que uno de los lazos no contenga una rama
así. En la Figura 3.2, abca, con el resistor de 2Ω, es independiente. Un segundo lazo, con el resistor de
3Ω y la fuente de corriente, es independiente. El tercer lazo podría ser aquel con el resistor de 2Ω y la
resistencia de 3Ω. Esto forma un conjunto de lazos independientes.
Una red con b ramas, n nodos y l lazos independientes satisface el teorema fundamental de la topología
de redes:
(3.1)
Dos o más elementos están en serie si comparten exclusivamente un solo nodo y conducen en
consecuencia la misma corriente.
Los elementos están en serie cuando están conectados en cadena o secuencialmente, terminal con
terminal. Por ejemplo, dos elementos están en serie si comparten un nodo y ningún otro elemento está
conectado a él.
Dos o más elementos están en paralelo si están conectados a los dos mismos nodos y tienen en
consecuencia la misma tensión entre sus terminales.
Los elementos en paralelo están conectados al mismo par de terminales.
Los elementos pueden estar conectados de tal forma que no estén en serie ni en paralelo. En el circuito
de la Figura 3.1, la fuente de tensión y el resistor de 5 Ω están en serie, porque a través de ellos fluirá la
misma corriente. El resistor de 2 Ω, el resistor de 3 Ω y la fuente de corriente están en paralelo, ya que
están conectados a los dos mismos nodos (b y c), y en consecuencia tienen la misma tensión entre ellos.
Las resistencias de 5 y 2 Ω no están en serie ni en paralelo entre sí.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo 3.1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 3.1
LEYES DE KIRCHHOFF
La ley de Ohm no es suficiente en sí misma para analizar circuitos. Pero cuando se le une con las dos
leyes de Kirchhoff, hay un conjunto suficiente y eficaz de herramientas para analizar gran variedad de
circuitos eléctricos. Las leyes de Kirchhoff fueron introducidas en 1847 por el físico alemán Gustav
Robert Kirchhoff. Se les conoce formalmente como la ley de la corriente de Kirchhoff, o LCK (KCL en
inglés) y la ley de tensión de Kirchhoff, o LTK (KVL en inglés).
La primera ley de Kirchhoff se basa en la ley de la conservación de la carga, de acuerdo con la cual la
suma algebraica de las cargas dentro de un sistema no puede cambiar.
La ley de corrente de Kirchhof (LCK o KCL) establece que la suma algebraica de las corrientes que entran
y salen en un nodo (o frontera cerrada) es cero.
Esto implica matemáticamente que
donde N es el número de ramas conectadas al nodo e in es la n-ésima corriente que entra o sale del
nodo. Por efecto de esta ley, las corrientes que entran a un nodo pueden considerarse positivas,
mientras que las corrientes que salen del nodo se consideran negativas, o viceversa.
Para comprobar la LCK, supóngase que un conjunto de corrientes ik(t), k = 1, 2, ..., fluye en un nodo. La
suma algebraica de las corrientes del nodo es
La integración de ambos miembros de la ecuación (3.3) produce
donde
Sin embargo, la ley de la conservación de la carga eléctrica requiere que no cambie la suma algebraica
de las cargas eléctricas en el nodo; esto es, que el nodo no almacene ninguna carga neta. Así, qT(t) = 0 y ,
por lo tanto, iT(t) = 0, lo que confirma la validez de la LCK.
Considérese el nodo de la Figura 3.7. La aplicación de la LCK da como resultado
puesto que las corrientes i1, i3 e i4 entran al nodo, mientras que las corrientes i2 e i5 salen de él. De la
reordenación de los términos de la ecuación anterior, se obtiene
La ecuación (3.6) plantea una forma alterna de la LCK:
La suma de las corriente que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él.
Figura 3.7 Corrientes en un nodo que ilustran la LCK.
La LCK también se aplica a una frontera cerrada. Esto podría juzgarse un caso generalizado, porque a un
nodo se le podría considerar una superficie cerrada contraída en un punto. En dos dimensiones, una
frontera cerrada es igual a una trayectoria cerrada. Como lo ilustra representativamente el circuito de la
Figura 3.8, la corriente total que entra a la superficie cerrada es igual a la corriente total que sale de ella.
Figura 3.8 Aplicación de la LCK a una frontera cerrada.
Una aplicación simple de la LCK es la combinación de fuentes de corriente en paralelo. La corriente
combinada es la suma algebraica de la corriente suministrada por las fuentes individuales. Por ejemplo,
las fuentes de corriente que aparecen en la Figura 3.9a pueden combinarse como en la Figura 3.9b. La
fuente de corriente combinada o equivalente puede determinarse aplicando la LCK al nodo a.
Figura 3.9 Fuentes de corriente en paralelo: a) circuito original; b) circuito equivalente.
o sea
Un circuito no puede contener dos corrientes diferentes, I1 e I2, en serie, a menos que I1 = I2; de lo
contrario se infringirá la LCK.
NOTA: Se dice que dos fuentes (o circuitos en general) son equivalentes si tienen la misma relación i-v
en un par de terminales.
Las segunda ley de Kirchhoff se basa en el principio de la conservación de la energía:
La ley de tensión o voltaje de Kirchhoff (LTK o KVL) establece que la suma algebraica de todas las
tensiones alrededor de una trayectoria cerrada (o lazo) es cero.
Expresada matemáticamente, la LTK establece que
donde M es el número de tensiones (o el número de ramas en el lazo) y vm es la m-ésima tensión.
Para ilustrar la LTK, considérese el circuito de la Figura 3.10.
Figura 3.10 Circuito de un solo lazo que ilustra la LTK.
El signo en cada tensión es la polaridad de la primera terminal encontrada al recorrer el lazo. Se puede
comenzar con cualquier rama y recorrer el lazo en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido
contrario. Supóngase que se inicia con la fuente de tensión y que recorre el lazo en el sentido de las
manecillas del reloj, como se muestra en la figura; así, las tensiones serían -v1, +v2, +v3, -v4 y +v5, en ese
orden. Por ejemplo, al llegar a la rama e, la primera terminal encontrada es positiva, y de ahí que se
tenga +v3. En cuanto a la rama 4, se llega primero a la terminal negativa, y de ahí que -v4. Por lo
tanto, la LTK establece
La reordenación de los términos produce
lo que puede interpretarse como
Suma de caídas de tensión = Suma de aumentos de tensión
(3.11)
Ésta es una forma alternativa de la LTK. Adviértase que si se hubiera recorrido el lazo en el
sentido contrario a las manecillas del reloj, el resultado habría sido +v1, -v5, +v4, -v3 y -v2, igual que
antes, salvo que los signos están invertidos. Así que las ecuaciones (3.9) y (3.10) permanecen iguales.
Cuando las fuentes de tensión se conectan en serie, la LTK puede aplicarse para obtener la tensión total.
La tensión combinada es la suma algebraica de las tensiones de las fuentes individuales. Por ejemplo, en
relación con las fuentes de tensión que aparecen en la Figura 3.11a, la fuente de tensión combinada o
equivalente en la Figura 3.11b se obtiene aplicando la LTK.
o sea
Figura 3.11 Fuentes de tensión en serie: a) circuito original; b) circuito equivalente.
Para no infringir la LTK, un circuito no puede contener dos tensiones diferentes V1 y V2 en
paralelo a menos que V1 = V2.
Nota: La LTK puede aplicarse de dos maneras: recorriendo el lazo en el sentido de las manecillas
del reloj o en el contrario alrededor del lazo. De una u otra forma, la suma algebraica de las
tensiones a lo largo del lazo es de cero.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 3.2 Utilización de LCK
Sume las corrientes en cada nodo del circuito mostrado en la Figura 3.12. Observe que no hay ningún
punto de conexión (•) en el centro del diagrama, donde la rama de 4 Ω se cruza con la rama que
contiene la fuente ideal de corriente ia.
Solución:
Al escribir las ecuaciones, utilizamos un signo positivo para la corriente que sale de un nodo. Las cuatro
ecuaciones son
Figura 3.12 Circuito del ejemplo.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 3.3 Utilización de LTK
Sume las tensiones alrededor de cada uno de los lazos designados en el circuito mostrado en la Figura 3.
13.
Figura 3.13 CIrcuito del ejemplo
Solución:
Al escribir las ecuaciones, utilizamos un signo positivo para indicar una caída de tensión. Las cuatro
ecuaciones son
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 3.4 Aplicación de la ley de Ohm y de las leyes de Kirchhoff
a) Utilice las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm para calcular io en el circuito mostrado en la Figura 3.
14.
b) Compruebe la solución obtentida para io verificando que la potencia total generadaes igual a la
potencia total disipada.
Figura 3.14 Circuito del ejemplo.
Solución:
a) Comenzamos volviendo a dibujar el circuito y asignando una corriente desconocida a la resistencia
de 50 Ω y tensiones desconocidas en las terminales de las resistencias de 10 Ω y de 50 Ω. La Figura
3.15 muestra el circuito. Hemos etiquetado los nodos como a, b y c para simplificar las
explicaciones.
Figura 3.15 El circuito mostrado en la Figura 3.14, definiendo las incógnitas io, vo y v1.
Puesto que io es también la corriente en la fuente de 120 V, tenemos dos corrientes desconocidas y
deberemos, por tanto, definir un sistema de dos ecuaciones donde aparezcan io e i1. Obtenemos una
de las ecuaciones aplicando la ley de Kirchhoff de las corrientes al nodo b o al nodo c. Sumando las
corrientes en el nodo b y asignando un signo positivo a las corrientes que salen del nodo,
obtenemos
Podemos obtener la segunda ecuación a partir de la ley de Kirchhoff de las tensiones, en
combinación con la ley de Ohm. Observando, a partir de la ley de Ohm, que vo es 10io y que v1 es
50i1, podemos sumar las tensiones alrededor del camino cerrado cabc para obtener
Al escribir esta ecuación, hemos asignado un signo positivo a las caídas de tensión en el sentido de
las agujas del reloj. Resolviendo estas dos ecuaciones, obtenemos los valores io e i1:
b) La potencia disipada en la resistencia de 50 Ω es
La potencia disipada en la resistencia de 10 Ω es
La potencia suministrada a la fuente de 120 V es
La potencia suministrada a la fuente de 6 A es
por tanto,
La fuente de 6 A está suministrando 900 W y la fuente de 120 y está absorbiendo 360 W. La
potencia total absorbida es 360 + 450 + 90 = 900 W. Por tanto, la solución verifica que la potencia
suministrada es igual a la potencia absorbida.
CIRCUITOS SERIE (RESISTENCIAS EN SERIE)
Anteriormente se vio que cuando sólo hay dos elementos conectados en un mismo nodo, decimos que
ambos elementos están en serie. Los elementos de circuito conectados en serie transportan la misma
corriente. Las resistencias del circuito mostrado en la Figura 3.16 están conectadas en serie. Podemos
demostrar que estas resistencias transportan la misma corriente aplicando la ley de Kirchhoff de las
corrientes a cada uno de los nodos del circuito. La interconexión en serie de la Figura 3.16 requiere que
lo que implica que, si conocemos cualquiera de las siete corrientes, sabremos el valor de todas ellas. Por
tanto, podemos volver a dibujar la Figura 3.16 como se muestra en la Figura 3.17, reteniendo una única
incógnita, la comente is.
Figura 3.16 Resistencias conectadas en serie.
Figura 3.17 Resistencias en serie con una única variable de corriente, is.
Para calcular is, aplicamos la ley de Kirchhoff de las tensiones alrededor del único lazo cerrado de la
figura. Definiendo la tensión en las terminales de cada resistencia como una caída en la dirección de is,
obtenemos
o
El significado de la Ecuación 3.14 a la hora de calcular is, es que las siete resistencias pueden sustituirse
por una única resistencia cuyo valor numérico sea la suma de las resistencias individuales, es decir,
y
Por tanto, podemos volver a dibujar la FIgura 3.17 como se muestra a continuación:
Figura 3.18 Una versión simplificada del circuito mostrado en la Figura 3.17.
Combinación de resistencias en serie: En general, si se conectan k resistencias en serie, la resistencia
única equivalente tiene un valor igual a la suma de las k resistencias, o
Observe que el valor de la resistencia equivalente siempre es mayor que el de la resistencia más grande
de las que se combinan en serie.
Otra manera de contemplar este concepto de resistencia equivalente consiste en visualizar la cadena de
resistencias como si estuvieran contenidas dentro de una caja negra. (Un ingeniero eléctrico utiliza la
denominación caja negra para referirse a un contenedor opaco, es decir, un circuito cuyo contenido
está oculto. El desafío para el ingeniero consiste entonces en modelar el contenido de la caja estudiando
las relaciones entre la tensión y la corriente en sus terminales). Resulta imposible determinar si la caja
contiene k resistencias o una única resistencia equivalente. La Figura 3.19 ilustra este método de estudio
del circuito mostrado en la Figura 3.17.
Figura 3.19 Equivalente de caja negra del circuito mostrado en la Figura 3.17.
CIRCUITOS PARALELOS (RESISTENCIAS EN PARALELO)
Cuando dos elementos están conectados a una misma pareja de nodos, decimos que esos elementos
están en paralelo. Los elementos de circuito conectados en paralelo tienen la misma tensión en sus
terminales. El circuito mostrado en la Figura 3.20 ilustra varias resistencias conectadas en paralelo. No
cometa el error de creer que dos elementos están conectados en paralelo simplemente porque estén
alineados en paralelo en un diagrama de circuito. La característica que define la conexión en paralelo de
elementos es que tienen la misma tensión en sus terminales. En la Figura 3.21, puede verse que R1 y R2
no están conectados en paralelo, porque entre sus respectivos terminales hay una resistencia que disipa
parte de la tensión.
Las resistencias en paralelo pueden reducirse a una única resistencia equivalente utilizando la ley de
Kirchhoff de las corrientes y la ley de Ohm, como vamos a ver. En el circuito mostrado en la Figura 3.20,
denominemos i1, i2, i3 e i4 a las corrientes que atraviesan las resistencias R1 y R4, respectivamente.
Definamos, asimismo, la dirección de referencia positiva para la corriente de cada resistencia en sentido
descendente a través de la resistencia, es decir, desde el nodo a hasta el nodo b. Aplicando la ley de
Kirchhoff de las corrientes,
Figura 3.20 Resistencias en paralelo.
Figura 3.21 Resistencias no conectadas en paralelo.
La conexión en paralelo de las resistencias implica que la tensión en las terminales de cada resistencia
debe ser la misma. Por tanto, aplicando la ley de Ohm,
de aquí obtenemos que
Sustituyendo la Ecuación (3.20) en la Ecuación (3.18) se obtiene
de donde
Por lo tanto,
La ecuación (3.23) indica el resultado que queríamos demostrar: que las cuatro resistencias del circuito
mostrado en la Figura 3.20 pueden sustituirse por una única resistencia equivalente.
Combinación de resistencias en paralelo: En general, si se conectan k resistencias en paralelo, la
resistencia única equivalente tiene un valor igual a la siguiente expresión:
o
Se puede usar la siguiente simbología para representar este arreglo de resistencias en paralelo:
R1 || R2 || ... || R3
El circuito de la Figura 3.22 ilustra esta situación
Figura 3.22 Sustitución de las cuatro resistencias en paralelo de la Figura 3.20
por una única resistencia equivalente.
Observe que el valor de la resistencia equivalente siempre es menor que el valor de la resistencia más
pequeña de entre las que conectemos en paralelo. En ocasiones, resulta más cómodo utilizar la
conductancia a la hora de tratar con resistencias conectadas en paralelo. En este caso, la Ecuación 3.24
se transforma en
En muchas ocasiones, sólo hay dos resistencias conectadas en paralelo. La Figura 3.23 ilustra este caso
especial. Calculemos la resistencia equivalente a partir de la Ecuación (3.25):
Figura 3.23 Dos resistencias conectadas en paralelo.
Así, cuando sólo hay dos resistencias en paralelo, la resistencia equivalente es igual al producto de las
resistencias dividido por la suma de éstas. Recuerde que sólo puede utilizarse este resultado en el caso
especial de que haya únicamente dos resistencias en paralelo.
CIRCUITOS MIXTOS (RESISTENCIAS EN SERIE Y PARALELO)
Existen circuitos en los que no todas las resistencias están conectadas en serie ni todas en paralelo, es
decir, existen elementos que podrían estar en serie y otros en paralelo. tal es el caso mostrado en el
circuito de la Figura 3.24.
Figura 3.24 Circuito mixto (serie-paralelo).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 3.5 Aplicación de la simplificación serie-paralelo
Calcular is, i1 e i2 en el circuito mostrado en la Figura 3.25.
Figura 3.25 Circuito del problema.
Solución:
Comenzamos observando que la resistencia de 3 Ω está en serie con la resistencia de 6 Ω. Por tanto,
sustituimos esta· combinación en serie por una resistencia de.9 Ω, reduciendo el circuito al mostrado en
la Figura 3.26a. Ahora podemos sustituir la combinación paralela de.las resistencias de 9' Ω y 18 Ω por
una única resistencia de valor (18, X. 9)/(18 + 9),.o'6 Ω . La Figura 3.26b muestra esta reducción adicional
del circuito. Los nodos x e y etiquetados en todos los diagramas facilitan la. identificación. de las
distintas partes del· circuito a lo largo del proceso de reducción.
Figura 3.26 Simplificación del circuito mostrado en la Figura 3.25.
A partir de, la. Figura 3.26b, podemos verificar que i = 120/10, o 12 A. La Figura 3.27 muestra el
resultado en este punto del análisis. Hemos añadido la tensión v1 para clarificar las explicaciones
siguientes. Utilizando la ley de Ohm, podemos calcular el valor de v1 :
Pero v1 es la caída de tensión entre el nodo x y el nodo y, así que podemos volver al circuito mostrado en
la Figura 3.26a y volver a aplicar la ley de Ohm para calcular i1 e i2. De este modo,
Hemos calculado las tres corrientes especificadas utilizando reducciones serie-paralelo en combinación
con la ley de Ohm.
Figura 3.27 El circuito de la Figura 3.26a mostrando el valor numérico de is.
Se sugiere que se tome el tiempo necesario para demostrar que la solución satisface la ley de Kirchhoff
de las corrientes en todos los nodos y la ley de Kirchhoff de las tensiones en cada uno de los caminos
cerrados (lazos) del circuito (observe que hay tres caminos cerrados que pueden comprobarse).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 3.6 Aplicación de la simplificación serie-paralelo
Para el circuito mostrado, calcule
a) la tensión v,
b) la potencia 'suministrada al circuito por la fuente ·de corriente y
c) la potencia disipada en la resistencia de 10 Ω.
Figura 3.28 Circuito del problema
Se inicia en el lado derecho del circuito para hacer las combinaciones en serie y paralelo de las
resistencias hasta que se obtiene la resistencia equivalente única. Primeramente, las resistencias en
serie de 6 Ω y 10 Ω resultan en
6 Ω + 10 Ω = 16 Ω
Ahora se combina esta resistencia de 16 Ω en paralelo con la resistencia de 64 Ω:
16 Ω || 64 Ω = (16)(64)/((16+64) = 1024/80 = 12.8 Ω
Esta resistencia equivalente de 12.8 Ω está en serie con la resistencia de 7.2 V:
12.8 V + 7.2 Ω = 20 Ω
Finalmente, este equivalente de 20 Ω está en paralelo con la resistencia de 30 Ω:
20 Ω || 30 Ω = (20)(30)/(20 + 30) = 600/50 = 12 Ω
Entonces, el circuito simplificado es
a) Con el circuito simplificado se puede usar la ley de Ohm para encontrar el voltaje o tensión a través
de la fuente de corriente y la resistencia equivalente de 12 Ω:
v = (12 Ω)(5 A) = 60 V
b) Ahora que conocemos el valor del la caída de voltaje a través de la fuente de corriente, se puede
usar la fórmula p = -vi para encontrar la potencia asociada con la fuente:
p = -(60 V)(5 A) = -300 W
Entonces, la fuente suministra 300 W de potencia a el circuito.
c) Ahora podemos regresar al circuito original, mostrado en la primera figura. En este circuito, v = 60 V,
como se calculó en la parte a). Este también es la caída de voltaje a través de la resistencia de 30 Ω,
por lo que se puede usar la ley de Ohm para calcular la corriente a través de esta resistencia:
iA = 60 V / 30 Ω = 2 A
Ahora se escribe la ecuación de la LCK para el nodo superior a la izquierda para encontrar la
corriente iB :
-5 A + iA + iB = 0 así que iB = 5 A - iA = 5 A - 2 A = 3 A
Ahora, se escribe la ecuación LTK en torno al lazo más exterior del circuito, usando la ley de Ohm
para expresar la caída de voltaje a través de las resistencias en términos de las corrientes que fluyen
en las resistencias:
-v + 7.2iB + 6iC + 10iC = 0
Entonces,
16iC = v - 7.2iB = 60 V - (7.2)(3) = 38.4 V
Por lo tanto,
iC = 38.4/16 = 2.4 A
Ahora que se tiene la corriente en la resistencia de 10 Ω se puede usar la fórmula p = Ri2 para
encontrar la potencia:
p10 = (10)(2.4)2 = 57.6 W