Download 2do ESB (8vo)- Matematica- Marcelo Maiolo (documento 2)

Hola chicos. Voy a tratar de explicarle uno de los teoremas más importantes de la teoría de números, además de
resolver los ejercicios que quedaron pendientes. Primero voy a hacer esto, así que si no hicieron los ejercicios del
documento anterior, no lean esto. OK? Bueno.
El ejercicio era así:
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
132: 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132
100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
93: 1, 3, 31, 93
91: 1, 7, 13, 91
Si les falto alguno, agréguenlo, y como se que son estos y no hay más? Justamente en lo que viene se van a enterar. Lo
que viene a la carpeta:
NUMEROS PRIMOS
Vamos a hacer la lista de los divisores de los primeros 12 números naturales
1:1
7 :1,7
2 :1, 2
8 :1, 2, 4,8
3:1,3
9 :1,3,9
4 :1, 2, 4
10 :1, 2, 5,10
5 :1,5
11:1,11
6 :1, 2,3,6
12 :1, 2,3, 4,6,12
Vemos que hay 3 clases de números:
Los que tienen un solo divisor: El único que pertenece a este grupo es el 1
Los que tienen solo 2 divisores, (el 1 y el mismo número): Estos números se denominan Números Primos
Los que tienen más de dos divisores: Números compuestos
(Los números primos tienen una importancia fundamental en la matemática pero no da para que se los explique acá,
cuando nos volvamos a encontrar les cuento, aunque estaría bueno que busquen la historia en internet y después lo
charlamos. Hay varios misterios sin revelar….ta, taa, ta, taann)
Para saber si un número es primo o no, hay que utilizar las reglas de divisibilidad para saber si tiene divisores entre el
número y el 1. No hay una regla exacta, pero hubo varios intentos para lograrlo (ya vamos a charlar). Uno de los
intentos para ver si existía una regla de formación de números primos es la criba de Eratóstenes. (Que es una criba? Es
una lámina agujereada o una tela sujeta a un aro de madera, que se emplea para separar granos de distintos tamaños
o cosas similares, como en las películas los que sacan oro de un rio, bah! un colador).
Eratóstenes, (que se hizo famoso por ser el primero en medir la tierra), hizo una tabla con los 100 primeros números
ubicados de la siguiente manera:
Eratóstenes, entonces, empezó a recorrer la lista. Tachó al número 1, porque él sabía que no era primo. Entonces, el
primer número con el que se encontró, fue con el 2. Lo que hizo entonces, fue dejar el 2 (que aquí aparece destacado)
pero tachó todos los múltiplos de 2. Y le quedó una lista como ésta:
Una vez que tachó todos los múltiplos de 2, siguió con la lista y fue a buscar el primer número que no estaba tachado,
en este caso el número 3. Lo dejó como estaba (sin tachar) pero eliminó a todos los múltiplos de 3. (O sea, tachó uno
cada tres números.) Le quedó una tabla así:
Y siguió: no necesitó tachar el 4, porque ya estaba tachado, pero siguió hasta el primer número que no lo estaba, y se
encontró con el 5. Lo que hizo entonces fue tachar todos los múltiplos de 5. (Claro, ya había habido algunos que había
tachado antes, pero siguió con los que estaban libres.) De esta forma, quedaron eliminados todos los múltiplos de 5. Y
la tabla quedó así:
Y luego, siguió con el 7, y tachó todos los múltiplos de 7. Y luego, siguió hasta el primer número no tachado, y encontró
el 11. Y luego, tachó todos los múltiplos de 11. Y siguió hasta encontrar, luego, al primer número no tachado. Y se
encontró con el 13. Y luego, tachó todos los múltiplos de 13. Finalmente, los números que no quedaban tachados en
ningún paso, es porque no eran múltiplos de ningún número anterior. Con ésos se quedaba Eratóstenes. En realidad,
lo que estaba haciendo era construir una suerte de “filtro” por el cual, al hacer pasar a todos los números, sólo
quedaban los “primos”.
Y la lista quedaba (al menos, en los primeros 100 lugares) así:
Es decir, si paráramos acá, habríamos descubierto (con el método de Eratóstenes) que todos los números primos que
hay entre los primeros cien números, son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 91 y 97. En total 25
(Ustedes copien en la carpeta solamente esta última lista con la explicación) Con este método sencillo y muy efectivo,
Eratóstenes construyó su famosa “criba”. Los números que logran sortear el filtro son los números primos (acá, son los
que aparecen destacados en color).
Hay otras cribas para los números mayores que 100, no la voy a hacer pero lo destacable es que cada vez aparecen
más espaciados, para que tengan una idea del 1 al 100 hay 25 y del 101 al 1000 hay 143, y cada vez se separan mas
(busquen…).
La siguiente regla es útil para poder determinar si un número es primo o no:
REGLA DE LA RAIZ CUADRADA
“Si un número no tiene divisores menores que su raíz cuadrada, el número será primo”
(Como utilizamos esta regla?)
Ejemplo:
Supongamos que queremos saber si el número 977 es primo, seguimos los siguientes pasos:
a) Verificamos si cumple alguna regla de divisibilidad (en este caso ninguna, si cumple alguna ya esta)
b) Calculamos la raíz cuadrada: 977  31,256... entonces debemos probar con los números primos menores o
iguales que 31 que no tienen regla:
977:31=31,51..
977:29=33,68..
977:23=42,47…
977:19=51,42..
977:17=57,47..
977:13=75,15..
977:7=139,57..
Como vemos no hay ninguno que lo divida exactamente por lo que podemos asegurar que es primo. (Esta
regla es muy útil, imagínense si tienen que probar con todos los primos menores que la mitad, osea 488!!. Sin
palabras no?. Hay otros métodos para números más grandes pero no nos vamos meter en eso, investiguen…)
Otro ejemplo:
Queremos saber si 481 es primo: como no verifica ninguna regla calculamos
481:19=25,31…
481:17=28,29…
481:13=37
481  21,931.. . Calculamos:
Y encontramos que el 481 no es primo ya que es divisible por 13, y obviamente también por 37.
(vamos a hacer un ejercicio)
Ej Nº…… (si alguno me dice que número es mejor)
Determinar si algunos de los siguientes números son primos
a) 179
b) 217
c) 181
d) 533
e) 211
(Vamos a ver el teorema del que hablé)
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA
“Todo número entero distinto de 1, 0 y – 1 puede ser expresado como producto de factores primos, dicha
representación es única para cada número”
Ejemplo
Supongamos el 36: lo escribimos como producto de 2 números, por ejemplo
36=4.9
Ahora hago lo mismo con el 4 y con el 9 ya que son compuestos
36=2.2.3.3=22.33
El dos y el tres son primos, si los quisiera descomponer lo único que logro es agregar 1, (se entiende?)
Pero como sé que es única? (No lo voy a demostrar ahora), pero supongamos que elijo otros dos números:
36=3.12=3.3.4=3.3.2.2=22.33
Y como ven llegamos a lo mismo (es como el documento de identidad de un número, esta combinación de primos es
única para el número en cuestión) Esta expresión única se denomina “factorización completa de un número”.
(Factorización, obviamente, porque es un “producto” de números primos)
FORMA PRÁCTICA DE FACTORIZAR UN NÚMERO
(Esto casi seguro lo hicieron en la primaria) Se divide sucesivamente al número por un NUMERO PRIMO (se entendió?)
hasta obtener un 1: Ejemplo: supongamos que queremos factorizar el 156. (Conviene empezar por los más chicos, solo
por una cuestión de orden, porque da lo mismo por donde empiecen, ya lo vimos)
156
78
39
13
1
Entonces 156=22.3.13
2
2
3
13
(se acuerdan haberlo hecho? Bueno… lo fundamental es QUE LOS NUMEROS SEAN PRIMOOOSSS!!!.... Lo
entendieron?. No me van a usar un 4 o un 9, eh! Por más que tengan regla, no son primos)
Ej Nº……
Factorizar los siguientes números
a) 24
b) 100
c) 128
d) 49
e) 481
f) 180
(Vamos a ver, por último, uno de los usos,… bueno lo dejo para la semana que viene, que sería la forma fácil y segura
de hacer el 10 del practico. Saludos)