Download descomposición de un número en producto de factores primos

1-
Extraer factores de un radical
Así como antes les dije que íbamos a trabajar con radicales amigables,
con la lección 1, vamos a aprender como transformar esos radicales
horribles como √156 en uno más lindo a la vista.
Lo primero que vamos a hacer es agarrar el radicando (el número que
está dentro de la raíz) y lo vamos a descomponer. Para el que no se
acuerda o no sabe que es descomponer un número, es expresarlo
como una multiplicación de números primos. (Esto lo hacíamos en
años anteriores para encontrar el m.c.m. y el m.c.d. de varios números)
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO
DE FACTORES PRIMOS
Para descomponer un número, por ejemplo 36, en producto de
factores primos se siguen estos pasos:
1° Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su
derecha el menor número primo (2, 3 5, 7,...) por el cual dicho número
sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número
propuesto (36).
2° Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido (18),
y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1.
El número es igual al producto de los factores primos obtenidos.
Haz la descomposición en producto de factores primos de los
siguientes números.
¿Se acuerdan? Para el que no se acuerda acá les dejo un video de
youtube con un par de explicaciones. Recuerden: del lado izquierdo
van los dividendos y del lado derecho los divisores (siempre los más
pequeños que puedan).
Lo explico desde el esquemita y abajo les pongo el link del video:
http://www.youtube.com/watch?v=4MNkFH1P_7I
Como les había dicho antes. Para transformar radicales horribles descomponemos el
número y a la raíz ahora la vamos a escribir pero con el número factoreado.
Sigamos con el ejemplo de √156.
Entonces se los muestro como se hace.
1) Tomo el 156 y lo descompongo
2) Una vez descompuesto el número, voy a remplazar la raíz de 156
por la raíz del número ahora factorizado.
√156 = √22 . 3.13
Se perdieron? Bueno simplemente descompuse el numero 156 y
ahora la raíz la expreso con el número factorizado porque
22 . 3.13 = 156
3) Bueno ahora es trabajito algebraico (como solía decir una profesora
mía del profesorado, viejita ya…). Lo que hacemos ahora es aplicar
las propiedades de la raíz (Les dejo de tarea recordar el nombre de
esta propiedad) y separar los factores del radicando. La propiedad
dice que si tengo un producto (multiplicación) dentro de la raíz,
puedo separarla en dos raíces distintas. (SOLO CON LA
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN, NO CON LA SUMA NI CON LA RESTA
¡A RECORDAR ESO!)
√22 . 3.13 = √22 . √3. √13
= 2. √3 . √13
Bueno paso uno, separe la multiplicación que había dentro de las
raíces, paso 2, cancelé la raíz con el cuadrado del primer factor
porque √22 = 2, y tercero ahora lo que voy a hacer es: como no
puedo “achicar mas el número”, o sea no puedo resolver ninguna
raíz, voy a juntar todas las raíces que me quedaron en una sola, en
este caso me quedó √3 . √13, entonces aplicando la recíproca de la
misma propiedad (quiere decir aplicar la propiedad pero esta vez al
revés de como la aplicamos antes pero en palabras matemáticas)
voy a juntarlos en una misma raíz: √3 . √13 = √3.13 = √39
En este caso √39 no tiene solución entera, por lo tanto es un
irracional, si tuviese solución entera lo resuelvo, y si no, lo dejo así.
Entonces para finalizar repasemos: Teníamos la raíz de 156, para
hacerla más amigable, descompusimos el 156 y expresamos ahora
la raíz con el número factorizado (los divisores que resultaron de la
descomposición multiplicándose), luego separamos las raíces
porque los números se estaban multiplicando y luego nos fijamos si
podíamos resolver alguna de las raíces, después con las raíces que
quedaban las volvimos a juntar en una sola raíz y quedó algo
parecido a lo siguiente:
√156 = √22 . 3.13
√156 = √22 . √3. √13
√156 = 2. √3. √13
√156 = 2. √39
Entonces terminamos con la lección de “Extraer factores de un
radical”. Le voy a dejar 3 de estos ejercicios resueltos y ustedes
hacen los demás. ¡¡No se atrasen que quedan bastantes cosas!!
Ejercicios:
Extraer factores de los siguientes radicales:
1) √48
2) √27
3) √12
4) √75
5) √50
6) √150
7) √80
8) √175
9) √24
10) √8
11) √63
12) √32
Bueno. Les muestro como hacerlos pero es exactamente igual que cuando
resolvimos el de √156.
Voy a resolver primero el ejercicio 1.
√48 = √22 . 22 3
√48 = √22 . √22 . √3
√48 = 2.2. √3
√48 = 4. √3
Bueno lo que hice primero fue tomar el 48 y descomponerlo en la parte
derecha de la hoja. Fíjense que al final no puse 48=24 . 3 ¿Por qué? Bueno
simplemente para poder cancelar las raíces después. Entonces si tienen
muchos números para multiplicar, en este caso estaba el 2 multiplicado 4
veces, vamos a separarlos en grupos de N cantidad de números, donde N es
igual al índice de la raíz. En este caso estamos trabajando con raíces de índice
2, entonces a los números si tengo muchos que estén multiplicándose los voy
a agrupar de a dos. Por eso puse 22 . 22 3. ¿Ven? Los 2 están agrupados de a
dos. Entonces se me hizo más fácil cuando separé las raíces para cancelarlos
a los dos en el segundo paso. Una vez que cancelé las raíces, me quedaron
dos 2 (valga la redundancia) afuera, entonces como se están multiplicando,
simplemente los multiplico. Entonces en el cuarto paso ven que aparece
4. √3, ese 4 viene de multiplicar 2.2
Y listo! √48 = 4. √3, que coloquialmente se dice “cuatro raíces de 3”.
Vamos con el ejercicio 2.
√27 = √32 . 3
Bueno la misma historia, tomo el 27, lo
descompongo, y como me quedaron 3 divisores
iguales,
los juntos en grupos de a dos. Por eso puse 32 . 3 en vez de 33 . Esto me sirvió
para poder separar la multiplicación en dos raíces y poder cancelar una.
Entonces fíjense siempre cuando haya mucho divisores agruparlos en grupos
de a dos, quiero decir “juntar dos números iguales que estén multiplicándose
en potencias cuadradas”.
Por último voy a hacer √12 para que vean los distintos tipos de ejemplos que
hay. Lo que vamos a hacer, por si ya se olvidaron, es tomar el número,
descomponerlo y luego expresar la raíz con el numero factorizado. (Si no se
acuerdan como descomponerlo, vuelvan al principio de esta lección y
repasen como descomponer un número, porque si eso les sale mal, entonces
el radical final les va a quedar distinto.
Entonces descompongo el 12:
Llego a que 12 = 22 . 3
Entonces ahora lo reemplazo en la raíz
√12 = √22 . 3
√12 = √22 . √3
√12 = 2. √3
Entonces de esta forma la raíz que teníamos en un principio es igual a tres
raíces cuadradas de 3.
¿Cómo verificar las demás?
Bueno, para verificar si esto ejercicios les salieron bien, simplemente agarran
la calculadora y se fijan cuando vale la raíz del número primeramente,
ejemplo: √12 = 3,464101615137 y ahora calculan 2. √3, que es igual a
3,464101615137. Esto quiere decir que hicimos bien el ejercicio. Si los dos
nos dan diferentes es porque extrajimos mal los factores. Generalmente el
error se encuentra en la descomposición, porque es la parte más importante.
Así que vean esos ejercicios que les deje, resuélvanlo que en unos días le
subo la lección dos que es: Operaciones con radicales.