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MATEMÁTICA DE 5º AÑO CICLO BÁSICO SECUNDARIO
PROPUESTAS DE ACTIVIDADES DE FIJACIÓN Y ORIENTACIÓN
APELLIDO Y NOMBRE: ………………………………………………………………………………………………………………………………
CURSO: QUINTO
DIVISIÓN: SÉPTIMA
CICLO LECTIVO 2010
CONTENIDOS CONCEPTUALES
Revisión del concepto de función. Dominio e imagen. Clasificación de funciones. Análisis de gráficos. Revisión de funciones
polinómicas. Funciones trascendentes. Conceptualización. Función cuadrática, exponencial y logarítmica. Concepto, gráfica y
expresión analítica de cada una. Asíntotas de las curvas. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Logaritmación.
Concepto. Propiedades. Ecuación cuadrática, exponencial y logarítmica.
Angulo orientado y ángulo centrado. Sistema de medición angular. Sexagesimal, centesimal y radial. Pasaje de un sistema a
otro de medición angular. Círculo trigonométrico. Funciones circulares: seno, coseno, tangente, cotangente, secante,
cosecante. Funciones circulares inversas. Ángulo de fase, pulsación, período, amplitud, dominio e imagen. Identidades y
ecuaciones trigonométricas. Teorema del seno y teorema del coseno. Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos.
Fórmula del área de un triángulo en función de sus lados. Problemas.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1- Interpreta y resuelve situaciones problemáticas.
2- Justifica o argumenta.
3- Cumple y participa.
CRITERIOS DE PROMOCIÓN
 Función. Concepto. Clasificación.
 Resolver situaciones problemáticas aplicando
distintas funciones
 Función cuadrática, exponencial y logarítmica.
 Resolver situaciones problemáticas de ecuaciones
 Ecuaciones cuadráticas, exponenciales y
cuadráticas, exponenciales y logarítmicas.
logarítmicas.
 Funciones trigonométricas. Concepto. Gráficos.
 Resolver situaciones problemáticas de funciones
Obtención de parámetros. Análisis de gráficos
trigonométricas..
 Construir y analizar gráficos de la función Seno,
Coseno y Tangente.
 Resolución de triángulos rectángulos y
 Resolver situaciones problemáticas de triángulos
oblicuángulos
rectángulos y oblicuángulos.
 Teorema del Seno y Teorema del Coseno
RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS QUE SON ACTIVIDADES QUE TE PERMITIRÁN PONER A PUNTO LAS TÉCNICAS
MATEMÁTICAS PARA LUEGO APLICARLOS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ORIENTARÁN TUS ESTUDIOS EN
MATEMÁTICA DE QUINTO, SI ASÍ DECIDES HACERLO. RECUERDA QUE ESTAMOS TRABAJANDO EN EL CONJUNTO DE
NÚMEROS REALES, QUE ES UN CONJUNTO CERRADO Y UNIFORME EN LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS. EXPLICA Y
ARGUMENTA LOS PROCEDIMIENTOS A FAVOR DE TU SOLUCION.
1. Cuando un conductor encuentra un peligro en la carretera y necesita frenar, pasa un cierto tiempo desde que decide
frenar hasta que realmente pisa el freno, (tiempo de reacción). Ese tiempo, unos ¾ de segundo, que aunque puede parecer
insignificante, da lugar a un recorrido del coche tanto más largo cuanto mayor sea la velocidad.
Pero, además, el coche no para automáticamente cuando se pisa el freno, sino que recorre una distancia (distancia de
frenado) debida a la inercia.
De modo que, desde que el conductor aprecia el peligro hasta que el coche se detiene, se recorre una distancia ( y ), tanto
mayor cuanto mayor sea la velocidad ( x ).
Experimentalmente se obtienen los siguientes valores:
VELOCIDAD QUE SE
1 - DISTANCIA (por
2 - DISTANCIA (de
3 - DISTANCIA TOTAL
TIEMPO EN RECORRER
LLEVA
tiempo de reacción en
frenado en metros)
DE DETENCION (en
4,068 km
metros)
metros)
10 km/h = 2,8 m/seg
2
1
3
20 km/h
4
3
7
30 km/h
6,5
7
13,5
40 km/h
8,5
12
20,5
50 km/h
10,5
19
29,5
60 km/h
12,5
27
39,5
70 km/h
14,5
36
50,5
80 km/h
17
47
64
90 km/h
19
60
79
Profesor Rey Zarza
1
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100 km/h
21
74
95
110 km/h
120 km/h
130 km/h
140 km/h
150 km/h
160 km/h
170 km/h
180 km/h
190 km/h
200 km/h
210 km/h
220 km/h
230 km/h
Las ecuaciones son para 1: y = 0,21x
2: y = 0,0074x2
3: y = 0,0074x2 + 0,21x
Completa toda la tabla y luego construye las gráficas correspondientes para 1, 2 y 3, considerando la velocidad en km/h.
2. En una cierta comarca hay una especie vegetal que aparece con frecuencia. Se ha estudiado la cantidad media aproximada
de ejemplares por hectárea que hay a distintas alturas. A la vista de esta gráfica, intenta describir la influencia de la altura
sobre esa especie vegetal. Para ello, ve contestando a estas preguntas y elabora, con tus respuestas, un pequeño informe.
NUMERO DE
EJEMPLARES
300
0
200
100
ALTURA en metros
1500
500
1000
a) ¿Cuáles son las variables que se relacionan?.
b) ¿Cuál es la variable independiente?.
c) ¿Cuál es la variable
dependiente?.
d) ¿Las variables son cualitativas o cuantitativas?. ¿Por qué?.
e) En el eje horizontal la escala es: un
cuadradito es 100 m, ¿Cuál es la escala en el eje vertical?.
f) La gráfica pasa por el punto (500,225) que aparece señalado.
Esto significa que en esa comarca, a 500 m de altura, se encuentran unos 225 ejemplares por hectárea. Explica lo que
significa que la gráfica pase por (1.200,100).
g) ¿A qué altura hay aproximadamente 200 ejemplares por hectárea?
h) ¿Cuántos ejemplares cabe esperar a 2.000 m de altura?
i) La comarca estudiada, ¿está por encima de los 350 m sobre
el nivel del mar?. ¿En qué te fijas para averiguarlo?.
3. Se ha tomado la temperatura de un enfermo cada cuatro horas durante tres días y medio. A la vista de esta gráfica en la
que se expresan los resultados de estas observaciones, haz un estudio de la función tiempo-temperatura.
40
°C
39
38
37
36
8 12 16 20 24 4 8 12 16 20 24 4 8 12 16 20 24 4 8 12 16 20 24
SEGUNDO DIA
CUARTO DIA
PRIMER DIA
TERCER DIA
HORA
a) ¿A qué crees que se debe la franja que aparece en torno a los 37°C?
b) En el intervalo de tiempo que va desde las 8 de la mañana hasta las 8 de la noche (20 hs) del primer día, la temperatura del
paciente es demasiado baja. Señala otro intervalo de tiempo en el que ocurre lo mismo.
Profesor Rey Zarza
2
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c) ¿En qué intervalo la temperatura es demasiado alta?.
d) Señala un intervalo de 8 hs en el que la temperatura haya sido creciente. ¿Cuánto ha aumentado?. En ese intervalo, ¿Cuál
ha sido la subida media por hora?.
e) ¿Cuál es el descenso más brusco que observas en la gráfica?.
f) La temperatura mínima del enfermo durante estos días ha sido de 35,8°C a las 8 de la noche del segundo día. Éste es el
mínimo de la curva. Localiza y describe su máximo.
4. EL AGUILA Y LA BALA
Dicen que apostó una bala con un águila a volar, y éste dijo sin tardar:
-Vete, plomo, noramala. ¿Quién a estas plumas iguala con que hasta los vientos domo?. Mi cuerpo de tomo y lomo verás
donde tú no subes, que esto de andar por las nubes no es para un ave de plomo.
Despreció la bobería, siempre la bala en sus trece, diciendo: - ¿A quién se le ofrece negarme la primacía?. ¿Pues no es más
claro que el día que nunca mi vuelo igualas?. En mal camino resbalas, ave infeliz, porque en suma, si son tus alas de pluma,
de pólvora son mis alas.
Ni el ave la lucha esquiva, ni la bala se convence. -¿Probamos a ver quién vence?. – Arriba. –Vamos arriba. Subió la bala tan
viva, que dio a su rival antojos, pues fue, para darle enojos y centuplicar sus quejas, un estruendo a sus arejas y un relámpago
a sus ojos.
Subió el águila con calma cuando la bala caía, y la dijo: -Amiga mía, ¿Quién se llevará la palma?. Si te hundes en cuerpo y
alma, paciencia, yo no desmayo. Harás de tu capa un sayo, pero que sepas es bueno que el que sube como trueno suele bajar
como un rayo.
Hagamos algunos supuestos:
a) La bala fue lanzada desde el suelo, verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 200 m/s, cuya ecuación
será 200t – 5t2.
b) El águila comenzó a subir en el mismo momento desde su nido a 525m del suelo, con una velocidad constante de 10
m/s, cuya ecuación será 525 + 10tc) Construye un gráfico aproximado que represente ambos movimientos. Representa sobre el eje horizontal el tiempo
(en seg) y sobre el eje vertical la altura (en m).
5. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la resolvente:
a) x2 -2 = 2
b) 3x2 – 6x = 0
c) (x – 1).(x + 2) = 0
d) (x – 1)2 = 4
e) 3x2 – 2x + 1 = 0
f) x2 + 4x – 3 = 0
x
x
6. Dibuja las gráficas de las funciones exponenciales y = 3 e y = (1/3) .
7. Dibuja la gráfica de la función y = log1/3 x completando previamente la tabla de valores; recordando que el logaritmo de un
número es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número. Simbólicamente: log b a = n  bn = a,
donde b es la base del logaritmo “a” un número real y “n” un número.
Como la calculadora no halla otro logaritmo que no sea de base diez, te mostramos como hacer un cambio de base:
logb a = log10 a = log a
log10 b log b
x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
y
Compárala con la gráfica de la función exponencial y = (1/3)x.
8. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Te damos las propiedades de los logaritmos por si son
necesarias:
logaritmo de un producto:es la suma de los logaritmos en la misma base: Logb(x.y) = Logb x + Logby.
logaritmo de un cociente: es la resta de los logaritmos en la misma base: Logb (x:y) = Logb x - Logb y.
logaritmo de una potencia: es igual al exponente por el logaritmo de la base: Logb xn = n. Logb x.
logaritmo de una raíz: es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz: Log b n√x = logbx
n
a) 23x + 2 = 16500 (usa
definición
de
logaritmo)
b)
log
c)
Log
b x = Logb 9 – Logb 4
b x = 3 . (Logb 5 + 4. Logb2 - Logb3)
2
d) 3x = 2
e) 2x -2x + 1 = 1
f) Log10 21 – x2 .
3x + 210
9. Resuelve:
a) En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 10 cm y los ángulos iguales miden 70°. Calcula su área y su perímetro.
b) Desde el balcón de un edificio se ve, con un ángulo de depresión de 48° 20’, un automóvil estacionado en la calle. Si desde
el balcón de otro piso del mismo edificio, situado 9,36 m más bajo que el anterior, el ángulo de depresión con que se ve el
automóvil es de 25°.
¿A qué distancia del edificio se encuentra estacionado?.
¿A qué altura se encuentra el primer balcón?
Profesor Rey Zarza
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