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ACTIVIDAD 2.2
Trabajando con demostraciones geométricas.
Fecha: ____________
Ejemplo 1. Demostrar que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 1800.
Datos:
A, B, C son ángulos interiores del triángulo ABC.
CM es paralelo a AB
CN es prolongación de AC
Tesis:
A  B  C  1800
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
RAZONES
1. A  MCN
1. Son ángulos correspondientes
2. B  BCM
2. Son ángulos alternos internos
3. MCN  BCM  C  1800
3. Forman un ángulo llano (ángulos colineales)
4.  A  B  C  1800
4. Por sustitución de las afirmaciones 1 y 2 en 3
En esta demostración se recurrió a ordenar las afirmaciones razonadas para utilizar la pauta
provista por la propiedad de sustitución. Esta propiedad argumenta que toda cantidad en
una expresión o igualdad, puede ser sustituida por su equivalente sin alterar el valor de la
expresión. Puede notarse que se dispone de una ventaja singular al utilizar axiomas cuya
propuesta es indiscutible.
Al efectuar una demostración, necesitarás primero seleccionar la funcionalidad de algún
determinado axioma o propiedad. A continuación, el trabajo consistirá en la ordenación de
elementos que estén entremezclados con el problema y los datos, para satisfacer los
requerimientos del axioma.
Ejemplo 2. Demostrar que un ángulo exterior de cualquier triángulo equivale a la suma de
los dos ángulos interiores no adyacentes a él.
Datos:
TSU es ángulo exterior del triángulo RST.
R, S , T son ángulos interiores del triángulo RST
SU es prolongación de RS
Tesis:
TSU  R  T
V. Santiago
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
1. R  S  T  180
0
RAZONES
1. Teorema de la suma de ángulos interiores de cualquier triángulo
2. S  TSU  1800
2. Por formar un ángulo llano
3. R  S  T  S  TSU
3. Por propiedad transitiva entre las afirmaciones 1 y 2
4.  R  T  TSU
4. Por propiedad cancelativa en la afirmación 3
Ejemplo 3. Demostrar que ABO  DCO
DATOS:
TESIS:
Círculo con centro en O
ABO  DCO
AB  CD
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
RAZONES
1. AO  CO
1.Son radios en un mismo círculo
2. AB  CD
2. Es un dato
3. BO  DO
3. Son radios en un mismo círculo
4.  ABO  DCO
4. Criterio lll de congruencia de triángulos
Ejemplo 4. Demostrar que ABC  DCB
DATOS:
TESIS:
BCO es isósceles
AC  BD
ABC  DCB
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
V. Santiago
RAZONES
1. AC  BD
1. Es dato del problema
2. ACB  DBC
2. Propiedad del triángulo isósceles
3. BC es lado común
3. Por construcción
4.  ABC  DCB
4. Criterio lal de congruencia de triángulos
Ejemplo 5. Demostrar que BAD  DCB
DATOS:
AB CD
TESIS:
y
BAD  DCB
AD BC
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
RAZONES
1. ADB  CBD
1. Son ángulos alternos internos
2. BD es lado común
2. Por construcción
3. ABD  CDB
3. Son ángulos alternos internos
4.  BAD  DCB
4. Criterio ala de congruencia de triángulos
INSTRUCCIÓN: Resuelve de forma individual.
1. Demostrar que ABC  DEC
DATOS:
AC  CD
TESIS:
y
ABC  DEC
BC  CE
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
RAZONES
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
2. Demostrar que ACD  BCD
DATOS:
TESIS:
ABC es isósceles y CD es
ACD  BCD
bisectriz del C
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
V. Santiago
RAZONES
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
3. Demostrar que MNO  PQO
DATOS:
TESIS:
MN  MP , PQ  MP
y
MNO  PQO
M 0  PO
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
RAZONES
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
4. Demostrar que ABC  CDE
DATOS:
TESIS:
ABCDEF es un hexágono
ABC  CDE
regular
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
RAZONES
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5. ¿Cuál es la razón entre el área del triángulo ACE y el área
del hexágono regular ABCDEF? _____________. Explica tu respuesta.
V. Santiago
6. Demostrar que dos triángulos rectángulos son congruentes
si tienen respectivamente congruentes sus catetos.
DATOS:
TESIS:
______________________
C  90 , F  90 ,
0
0
AC  DF
y
BC  EF
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
RAZONES
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
7. Toma en cuenta las siguientes definiciones.
a) paralelogramo: cuadrilátero con dos pares de lados opuestos paralelos.
b) trapecio: cuadrilátero con un solo par de lados opuestos paralelos.
c) trapezoide: cuadrilátero con ningún par de lados opuestos paralelos.
Dibuja en los casilleros respectivos los diferentes tipos de cuadriláteros que se ajusten a
cada definición. Incluye el nombre de cada cuadrilátero.
PARALELOGRAMOS
TRAPECIOS
TRAPEZOIDE
8. Demuestra que los ángulos opuestos dentro de un paralelogramo son congruentes.
DATOS:
TESIS:
ABCD es un paralelogramo
AC
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
V. Santiago
RAZONES
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5.
5.
9. Demostrar que los lados opuestos de un paralelogramo son
congruentes respectivamente.
DATOS:
TESIS:
ABCD es un paralelogramo
y
AB  ______
AD  ______
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
RAZONES
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5.
5.
10. Demuestra que las diagonales de un paralelogramo se
cortan a la mitad (se bisecan mutuamente).
DATOS:
TESIS:
ABCD es un paralelogramo
AO  ______
y
BO  ______
RAZONAMIENTO
AFIRMACIONES
RAZONES
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5.
5.
11. Dibuja y nombra el cuadrilátero que cumple con
las siguientes condiciones: “sus diagonales son perpendiculares
y congruentes y se bisecan mutuamente”.
V. Santiago
12. Con base en la información que ofrece la siguiente figura calcula las medidas que se
piden.
D
65o
C
57o
 BCD =______
M
 DAB=______

ABC = ______  CDA = _______
A
 CBD = ______
B
Las medidas de AC y BD suman 60 cm. Si AM mide
 DBA = _______
3
de dicha suma , calcula:
10
AM = ___________
DM=___________ CM=___________ BM=____________
AC=____________
BD=___________
Si CD mide el triple de AD, y el perímetro de ABCD es de 80 cm, calcula la longitud de los 4
lados del paralelogramo.
AB = ____________
CD = ____________
AD = ____________
BC = ____________
13. Encuentra el valor de los ángulos internos del paralelogramo. Incluye procedimiento.
M  ______ , N  ______
, P  ______ , Q  ______
14. ABC es un triángulo, encuentra el valor de cada ángulo requerido. Incluye
procedimiento.
B  ______ ,
V. Santiago
C  ______ ,
BCD  ______
CORRIGIÓ: _____________________
V. Santiago
CALIFICACIÓN=
# aciertos
10  _____
14