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ACTIVIDAD 2.2 Trabajando con demostraciones geométricas. Fecha: ____________ Ejemplo 1. Demostrar que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 1800. Datos: A, B, C son ángulos interiores del triángulo ABC. CM es paralelo a AB CN es prolongación de AC Tesis: A B C 1800 RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. A MCN 1. Son ángulos correspondientes 2. B BCM 2. Son ángulos alternos internos 3. MCN BCM C 1800 3. Forman un ángulo llano (ángulos colineales) 4. A B C 1800 4. Por sustitución de las afirmaciones 1 y 2 en 3 En esta demostración se recurrió a ordenar las afirmaciones razonadas para utilizar la pauta provista por la propiedad de sustitución. Esta propiedad argumenta que toda cantidad en una expresión o igualdad, puede ser sustituida por su equivalente sin alterar el valor de la expresión. Puede notarse que se dispone de una ventaja singular al utilizar axiomas cuya propuesta es indiscutible. Al efectuar una demostración, necesitarás primero seleccionar la funcionalidad de algún determinado axioma o propiedad. A continuación, el trabajo consistirá en la ordenación de elementos que estén entremezclados con el problema y los datos, para satisfacer los requerimientos del axioma. Ejemplo 2. Demostrar que un ángulo exterior de cualquier triángulo equivale a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él. Datos: TSU es ángulo exterior del triángulo RST. R, S , T son ángulos interiores del triángulo RST SU es prolongación de RS Tesis: TSU R T V. Santiago RAZONAMIENTO AFIRMACIONES 1. R S T 180 0 RAZONES 1. Teorema de la suma de ángulos interiores de cualquier triángulo 2. S TSU 1800 2. Por formar un ángulo llano 3. R S T S TSU 3. Por propiedad transitiva entre las afirmaciones 1 y 2 4. R T TSU 4. Por propiedad cancelativa en la afirmación 3 Ejemplo 3. Demostrar que ABO DCO DATOS: TESIS: Círculo con centro en O ABO DCO AB CD RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. AO CO 1.Son radios en un mismo círculo 2. AB CD 2. Es un dato 3. BO DO 3. Son radios en un mismo círculo 4. ABO DCO 4. Criterio lll de congruencia de triángulos Ejemplo 4. Demostrar que ABC DCB DATOS: TESIS: BCO es isósceles AC BD ABC DCB RAZONAMIENTO AFIRMACIONES V. Santiago RAZONES 1. AC BD 1. Es dato del problema 2. ACB DBC 2. Propiedad del triángulo isósceles 3. BC es lado común 3. Por construcción 4. ABC DCB 4. Criterio lal de congruencia de triángulos Ejemplo 5. Demostrar que BAD DCB DATOS: AB CD TESIS: y BAD DCB AD BC RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. ADB CBD 1. Son ángulos alternos internos 2. BD es lado común 2. Por construcción 3. ABD CDB 3. Son ángulos alternos internos 4. BAD DCB 4. Criterio ala de congruencia de triángulos INSTRUCCIÓN: Resuelve de forma individual. 1. Demostrar que ABC DEC DATOS: AC CD TESIS: y ABC DEC BC CE RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 2. Demostrar que ACD BCD DATOS: TESIS: ABC es isósceles y CD es ACD BCD bisectriz del C RAZONAMIENTO AFIRMACIONES V. Santiago RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 3. Demostrar que MNO PQO DATOS: TESIS: MN MP , PQ MP y MNO PQO M 0 PO RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 4. Demostrar que ABC CDE DATOS: TESIS: ABCDEF es un hexágono ABC CDE regular RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. ¿Cuál es la razón entre el área del triángulo ACE y el área del hexágono regular ABCDEF? _____________. Explica tu respuesta. V. Santiago 6. Demostrar que dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus catetos. DATOS: TESIS: ______________________ C 90 , F 90 , 0 0 AC DF y BC EF RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 7. Toma en cuenta las siguientes definiciones. a) paralelogramo: cuadrilátero con dos pares de lados opuestos paralelos. b) trapecio: cuadrilátero con un solo par de lados opuestos paralelos. c) trapezoide: cuadrilátero con ningún par de lados opuestos paralelos. Dibuja en los casilleros respectivos los diferentes tipos de cuadriláteros que se ajusten a cada definición. Incluye el nombre de cada cuadrilátero. PARALELOGRAMOS TRAPECIOS TRAPEZOIDE 8. Demuestra que los ángulos opuestos dentro de un paralelogramo son congruentes. DATOS: TESIS: ABCD es un paralelogramo AC RAZONAMIENTO AFIRMACIONES V. Santiago RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 9. Demostrar que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes respectivamente. DATOS: TESIS: ABCD es un paralelogramo y AB ______ AD ______ RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 10. Demuestra que las diagonales de un paralelogramo se cortan a la mitad (se bisecan mutuamente). DATOS: TESIS: ABCD es un paralelogramo AO ______ y BO ______ RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 11. Dibuja y nombra el cuadrilátero que cumple con las siguientes condiciones: “sus diagonales son perpendiculares y congruentes y se bisecan mutuamente”. V. Santiago 12. Con base en la información que ofrece la siguiente figura calcula las medidas que se piden. D 65o C 57o BCD =______ M DAB=______ ABC = ______ CDA = _______ A CBD = ______ B Las medidas de AC y BD suman 60 cm. Si AM mide DBA = _______ 3 de dicha suma , calcula: 10 AM = ___________ DM=___________ CM=___________ BM=____________ AC=____________ BD=___________ Si CD mide el triple de AD, y el perímetro de ABCD es de 80 cm, calcula la longitud de los 4 lados del paralelogramo. AB = ____________ CD = ____________ AD = ____________ BC = ____________ 13. Encuentra el valor de los ángulos internos del paralelogramo. Incluye procedimiento. M ______ , N ______ , P ______ , Q ______ 14. ABC es un triángulo, encuentra el valor de cada ángulo requerido. Incluye procedimiento. B ______ , V. Santiago C ______ , BCD ______ CORRIGIÓ: _____________________ V. Santiago CALIFICACIÓN= # aciertos 10 _____ 14