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La verdadera ciencia enseña, sobre todo, a dudar y a ser ignorante. Miguel de Unamuno (1864-1936).
Matemáticas I. Examen de trigonometría. 09.12.2015.
Nombre:
1. a) Representa, con su seno, tangente y
cotangente, un ángulo α ∈ III tal que
cos α = −
1
3
b) Calcula cos(α + 30°) + cos (α − 30°)
c) ¿Qué relación hay entre tg α y tg(α −90°)?
Justifica.
2. a) Demuestra que sen 3x = 3 sen x − 4sen3 x.
b) Resuelve la ecuación sen 3x = sen x.
3. Dos móviles parten simultáneamente de un punto con direcciones que forman un ángulo de
105°. Sus velocidades son de 60 y 80 km/h respectivamente. ¿Cuánto distarán a los 15 min?
4. Resuelve el triángulo ABC con a=2, b=3, B=60° .
5. La figura muestra un pentágono regular.
a) Halla el valor de los ángulos α, β, γ y δ en grados y en
radianes.
b) Deduce las razones trigonométricas (seno y coseno) de δ y
de β. ¿Qué relación hay entre ellas?
Nota: Se recuerda que sólo se admitirán como válidos los resultados debidamente
justificados y con valores exactos. No se considerarán respuestas correctas las
aproximaciones. Los ejercicios 1, 2 y 5 valen 2 puntos, el 3, 1,5 puntos y el 4, 2,5 puntos.
Fórmulas:
sen(a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b
tg (a ± b) =
tg a ± tg b
1 ∓ tg a tg b
sen 2a = 2 sen a cos a
cos 2a = cos 2 a − sen2 a
tg 2a =
2 tg a
1 − tg 2 a
sen
a
1 − cos a
= ±√
;
2
2
a
1 + cos a
cos = ±√
2
2
A±B
A∓B
cos
2
2
A+B
A−B
cos A + cos B = 2 cos
cos
2
2
A+B
A−B
cos A − cos B = −2sen
sen
2
2
sen A ± sen B = 2 sen
Estándares de aprendizaje evaluables
Bloque 1: Procesos, métodos y actitudes en matemáticas
1.1. Expresa de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un
problema, con rigor y precisión
2.1. Comprende el enunciado de un problema, lo formaliza matemáticamente y
lo relaciona con el número de soluciones.
4.1. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados.
4.2. Utiliza de forma coherente argumentos, justificaciones, explicaciones y
razonamientos.
Bloque 2: Números y álgebra.
1.1 Reconoce los distintos tipos de números y opera y resuelve problemas con
ellos.
Bloque 4: Geometría.
1.1. Conoce las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, del ángulo
doble, del ángulo mitad, de la suma y de la diferencia de otros dos.
2.1. Resuelve ecuaciones e identidades trigonométricas usando las fórmulas y
transformaciones habituales.
2.2. Resuelve problemas geométricos con aplicaciones en contextos reales,
utilizando los teoremas del seno, coseno y tangente y las fórmulas
trigonométricas usuales.
Ejercicios
3, 4, 5
3
Todos
Todos
Todos
Todos
1, 2
3, 4, 5
Examen resuelto
1. a) Representa, con sus otras razones
trigonométricas, un ángulo 𝛂 ∈ 𝐈𝐈𝐈 tal que
𝐜𝐨𝐬 𝛂 = −
𝟏
(0,75 puntos)
𝟑
b) Calcula 𝐜𝐨𝐬(𝛂 + 𝟑𝟎°) + 𝐜𝐨𝐬 (𝛂 − 𝟑𝟎°) =
= 2 cos
α + 30° + α − 30°
α + 30° − (α − 30°)
cos
=
2
2
1 √3
√3
= 2 cos α cos 30° = 2 ∙ (− ) ∙
=−
(0,5 p)
3
2
3
c) ¿Qué relación hay entre las razones de 𝛂 y las de
𝛃 = 𝛂 − 𝟗𝟎° ? (0,75 p)
Como se ve en el dibujo, sen (α − 90°) = − cos α ;
Análogamente,
cos(α − 90°) = sen α ⇒ tg(α − 90°) = −cotg α
2. a) Demuestra que 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝐱 = 𝟑 𝐬𝐞𝐧 𝐱 − 𝟒𝐬𝐞𝐧𝟑 𝐱. (1 punto)
sen 3x = sen (2x + x) = sen 2x cos x + cos 2x sen x = 2 sen x cos2 x + (1 − 2sen2 x)sen x =
= 2 sen x(1 − sen2 x) + sen x − 2 sen3 x = 3 sen x − 4 sen3 x 𝑞. 𝑒. 𝑑.
b) Resuelve la ecuación: (1 punto)
𝐬𝐞𝐧 𝟑𝐱 = 𝐬𝐞𝐧 𝐱 ⇒ 3 sen x − 4sen3 x = sen x ⇒ 2 sen x − 4sen3 x = 0 ⇒
⇒ 2sen x(1 − 2sen2 x) = 0 ⇒ {
sen x = 0 ⇒ x = k ∙ 180°
√2
sen x = ±
⇒ x = 45° + k ∙ 90°
2
Otra forma:
sen 3x − sen x = 0 ⇒ 2 sen
3x − x
3x + x
cos
= 0 ⇒ sen 2x cos x = 0 ⇒
2
2
⇒ {cos 2x = 0 ⇒ 2x = 90° + k180° ⇒ x = 45° + k90°
sen x = 0 ⇒ x = k180°
3. Dos móviles parten simultáneamente de un punto con direcciones que forman un ángulo
de 105°. Sus velocidades son de 60 y 80 km/h respectivamente. ¿Cuánto distarán a los 15
min?
La distancia recorrida por cada coche es de 15 y 20 Km respectivamente (0,25 p). Por el
teorema del coseno, y teniendo en cuenta que
cos 105° = cos(60° + 45°) = cos 60° cos 45° − sen 60°sen 45° =
=
1 √2 √3 √2
∙
−
∙
=
2 2
2 2
√2 − √6
(0,25 puntos)
4
La distancia d verificará:
d2 = 152 + 202 − 2 ∙ 15 ∙ 20 ∙ cos 105° = 225 + 400 − 300
√2 − √6
⇒
4
⇒ d = √625 − 75√2 + 75√6 = 5√25 − 3√2 + 3√6 (0,75 p por hallar d+ 0,25 p por dar
resultado simplificado)
4. Resuelve un triángulo ABC con a=2, b=3, B=60°.
Utilizamos el teorema de los senos:
sen B sen A
a sen B 2√3
√3
=
⇒ sen A =
=
⇒ A = arc sen
∈ I (0,5 p)
b
a
b
2∙3
3
La solución es única, ya que sen A<sen 60° ⇒ A < 60° ⇒ 180° − A + 60° > 180° (0,25 p)
C = 180° − 60° − A = 120° − A = 120° − arc sen
√3
3
Para hallar c podemos utilizar el teorema del coseno o el de los senos; para cualquiera de las
dos opciones primero necesitamos hallar
2
cos A = √1 − (
2 √6
√3
(0,25 p)
) =√ =
3
3
3
Con el teorema del coseno (hallamos primero cos C):
cos C = cos(120° − A) = cos 120° cos A + sen 120° sen A =
1 √6 √3 √3 3 − √6
=− ∙
+
∙
=
(0,75 p)
2 3
2 3
6
c 2 = 9 + 4 − 12
3 − √6
6
= 13 − 6 + 2√6 ⇒ c = √7 + 2√6 (0,75 p)
Con el teorema de los senos (hallamos primero sen C):
sen C = sen(120° − A) = sen 120° cos A − cos 120° sen A =
=
√3 √6 1 √3 √3(1 + √6)
∙
+ ∙
=
(0,75 p)
2 3
2 3
6
a sen C 2
c=
=
sen A
√3(1 + √6)
6
= 1 + √6 (0,75 p)
√3
3
Los dos resultados son equivalentes, como se puede comprobar elevándolos al cuadrado.
5. La figura muestra un pentágono regular.
a) Halla el valor de los ángulos 𝛂, 𝛃, 𝛄 𝐲 𝛅 en grados y en
radianes. (1 punto)
360°
2π
α=
= 72° =
rad;
5
5
2π
π−
180° − α
5 = 3π rad;
β=
= 54° =
2
2
10
3π
γ = 2β = 108° =
rad;
5
3π
π−
180° − γ
5 = π rad;
δ=
= 36° =
2
2
5
b) Deduce las razones trigonométricas de 𝛅 y de 𝛃. (0,75 p) ¿Qué relación hay entre ellas?
(0,25 p)
δ + β = 90° ⇒ sen β = cos δ y viceversa
Usamos el triángulo rectángulo ABC. Como la diagonal
del pentágono mide φ,
cos 36° = sen 54° =
BC φ 1 + √5
= =
1
2
4
2
√10 − 2√5
1 + √5
sen 36° = cos 54° = √1 − (
) =
4
4