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1
UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA
CONTADURÍA PÚBLICA Y SISTEMAS
DOSSIER
GESTIÓN II – 2016
ESTADISTICA I
QUINTO SEMESTRE
PARALELOS:
5A1
5C1
Lic. Jorge Troche Luna
ESTADISTICA I
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Jorge Justo Troche Luna
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ESTADISTICA I
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Jorge Justo Troche Luna
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NDICE
EL PAPEL DE LA ESTADISTICA
REPRESENTACIONES GRAFICAS
MEDIDAS DE POSICION
MEDIDAS DE DISPERSION
ANALISIS BIVARIANTES
PROBABILIDADES
ANALISIS COMBINATORIO Y PERMUTACIONES
BIBLIOGRAFIA
Estadística descriptiva “ Luis Zapata”.
Estadística “Murray/ Spiegel Serie Shawn”
Estadística – Tópicos de estadística descriptiva y probabilidades “Maximo Mitak”
Estadística descriptiva “Chungara”.
Estadística descriptiva “Rufino Molla”.
Probabilidades de “Paul Meyer”.
Probabilidades de “Rufino Moya”.
Estadística y Probabilidades serie Schaum
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EL PAPEL DE LA ESTADISTICA
Estadística.Es una ciencia parte de la matemática teórica aplicada que permite el manejo de información con el
objetivo de describir y tomar decisiones. Se divide en dos grandes áreas:
a) Estadística Descriptiva
b) Estadística Inferencial
a) Estadística Descriptiva.- La estadística descriptiva proporciona un conjunto de técnicas y
métodos para la recolección, organización, resumen, análisis e interpretación de los datos con
el objetivo principal de describir a una población o un conjunto de datos, por medio de cuadro,
tablas e indicadores.
b) Estadística Inferencial.- La estadística proporciona un conjunto de métodos y técnicas
teóricas basadas en la estadística descriptiva y las probabilidades para inferir, estimar,
proyectar, pronosticar con el objetivo principal de la toma de decisiones.
Población.- es un conjunto de personas, animales, objetos u observaciones que tienen al menos
una característica en común y debe estar bien definida en tiempo y espacio.
Ejemplo:
Censo.- Es el recuento de todos los elementos de la población.
Parámetro (θ).- Es una medida obtenida con todos los elementos de la población.
Muestra ( ).- Es un subconjunto de la población que debe ser representativa, es decir debe tener
un tamaño adecuado y debe ser obtenido mediante técnicas de muestreo puesto que la
representatividad que debe tener de garantizar las características y estructuras de la población.
GRAFICA:
ESTADISTICA I
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Tipos de muestreo.-
Existen varias técnicas de muestreo como ser el muestreo aleatorio simple, el muestreo por
conglomerado, el muestreo estratificado, el muestreo sistemático, entre los principales muestreos
probabilísticos y los muestreos por cuotas o conveniencia entre los muestreos no probabilísticos
Los muestreos probabilísticos se caracterizan por ser obtenidos mediante métodos aleatorios.

Muestreo aleatorio simple:
El procedimiento empleado es el siguiente:
1.
Se asigna un número a cada individuo de la población
2.
A través de algún medio mecánico (bolas dentro de una bolsa, tablas de números aleatorios,
números aleatorios
generados con una calculadora u ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos como sea necesario para
completar el tamaño de muestra requerido.
Este procedimiento, atractivo por su simpleza, tiene poca o nula utilidad práctica cuando la población
que estamos manejando es muy grande.
Ejemplo: formar el equipo de fútbol de la universidad seleccionando 11 boletas de una urna con el nombre de
todos los alumnos de la universidad.

Muestreo aleatorio sistemático:
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Este procedimiento exige, como el anterior, numerar todos los elementos de la población, pero en
lugar de extraer n números aleatorios sólo se extrae uno. Se parte de ese número aleatorio i, que es
un número elegido
al azar, y los elementos que integran la muestra son los que ocupa los lugares i, i+k, i+2k,
i+3k,...,i+(n−1)k, es
decir se toman los individuos de k en k, siendo k el resultado de dividir el tamaño de la población
entre el tamaño de la muestra: k= N/n. El número i que empleamos como punto de partida será un
número al azar entre 1 y k

Muestreo aleatorio estratificado:
Trata de obviar las dificultades que presentan los anteriores ya que simplifican los procesos y suelen
reducir el error muestral para un tamaño dado de la muestra. Consiste en considerar categorías
típicas diferentes entre sí (estratos) que poseen gran homogeneidad respecto a alguna característica
(se puede estratificar, por ejemplo, según la profesión, el municipio de residencia, el sexo, el
estado civil, etc.).

Muestreo aleatorio por conglomerados:
Los métodos presentados hasta ahora están pensados para seleccionar directamente los elementos
de la población, es decir, que las unidades muéstrales son los elementos de la población.
En el muestreo por conglomerados la unidad muestral es un grupo de elementos de la población que
forman una unidad, a la que llamamos conglomerado. Las unidades hospitalarias, los departamentos
universitarios, una caja de determinado producto, etc., son conglomerados naturales.

Muestreo por cuotas:
También denominado en ocasiones "accidental". Se asienta generalmente sobre la base de un buen
conocimiento de los estratos de la población y/o de los individuos más "representativos" "adecuados"
para los fines de la investigación. Mantiene, por tanto, semejanzas con el muestreo aleatorio
estratificado, pero no tiene el carácter de aleatoriedad de aquél.
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En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en un número de individuos que
reúnen unas determinadas condiciones.
Ejemplo: 20 individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en Gijón. Una vez determinada la cuota
se eligen los primeros que se encuentren que cumplan esas características. Este método se utiliza mucho en las
encuestas de opinión.

Muestreo opinático o intencional:
Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener muestras
"representativas" mediante la inclusión en la muestra de grupos supuestamente típicos. Es muy
frecuente su utilización en sondeos preelectorales de zonas que en anteriores votaciones han
marcado tendencias de voto.
Estimador (Ô).Es una medida obtenida únicamente por los valores de la muestra.
Ejemplo:
PARAMETROS:
Media Poblacional
Varianza poblacional
Tamaño de la Población
Proporción poblacional
ESTIMADORES:
Media muestral
Varianza muestral
Tamaño de muestra
Proporción muestral
Variables Observables.-
TIPOS DE VARIABLES
CUALITATIVAS
NOMINALES
ORDINALES
CUANTITATIVAS
DISCRETAS
CONTINUAS
Son características o atributos de los elementos de la población de la población que pueden ser
medidas.
Variables Observables Cualitativas.ESTADISTICA I
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Son atributos no numéricos de los elementos de la población y se dividen en variables observables
cualitativas nominal. Que se caracterizan por no tener un orden preestablecido y las variables
observables cualitativas ordinales que se caracterizan por tener un orden preestablecido.
Ejemplo.-
Variables observables cuantitativas.Son características de la población numéricas que cuantifican únicamente cada uno de ellos. Se
clasifican en cuantitativas Discretas que se caracterizan en tomar valores aislados y enteros. Las
variables observables cuantitativas continuas que se caracterizan por tomar cualquier valor dentro de
un intervalo.
Ejemplo:
Organización y representación de datos.Ejemplo:
ℙ: Mujeres casadas de la zona de Achachicala
𝕩: nº de hijos
X (1) = x (Amanda Flores) = 2
X (2) = 4
X (6) = 2
X (10) = 1
X (3) = 3
X (7) = 2
X (11) = 0
X (4) = 0
X (8) = 3
X (12) = 5
X (5) = 1
X (9) = 2
X (13) = 4
ESTADISTICA I
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Conjunto de datos
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Distribuciones de Frecuencia.Son tablas o arreglos divididos en clases o intervalos que permiten resumir de forma ordenada un
conjunto de datos o serie de datos.
a) Para variables cualitativas o cuantitativas discretas.
CLASES (K)
VARIABLE
X(1)
X(2)
X(3)
:
X(k)
CONTEO
FRECUENCIA
n(1)
n(2)
n(3)
:
n(k)
Donde:
n: total de las observaciones o tamaño de muestra.
Frecuencia Absoluta.Numero de veces que se repite la clase o intervalo
CONTEO
Nº DE HIJOS ( )
K=G
ESTADISTICA I
0
1
2
3
4
5
TOTAL
I_
I_I
⊟I
I_
I_
I
------------------------------------------------------Lic.
Nº DE MUJERES
( )
2
3
6
2
2
1
16
Jorge Justo Troche Luna
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CUADRO Nº 1
DISTRIBUCION MUJERES CASADAS DE LA ZONA DE ACHACHICALA SEGÚN EL NÚMERO DE HIJOS
CONTEO
Nº DE HIJOS ( )
0
1
2
3
4
5
TOTAL
I_
I_I
⊟I
I_
I_
I
Nº DE MUJERES
2
3
6
2
2
1
16
FUENTE: Sub Alcaldia Zona Norte
b) Para Variables Cuantitativas Continuas
CLASES (K)
INTERVALO
:
-
CONTEO
FRECUENCIA
n(1)
n(2)
n(3)
:
n(k)
Donde:
: Límite o extremo inferior de la clase i
Límite o extremo superior de la clase i
Si el
=
= Se dice que la distribución tiene extremos o limites reales, donde cualquier valor x (j)
Se evalúa considerando:
= Se dice que la distribución tiene limites o extremos aparentes, donde
cualquier valor x(j)
Se evalúa considerando:
Ejemplo:
Distribución estudiantes según nota final de calculo.
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EXTREMOS REALES
NOTA FINAL
20 – 30
30 – 42
42 – 51
51 – 60
60 – 80
80 - 95
TOTALES
K=G
CONTEO
Nº DE ESTUDIANTES ( )
I_I
⊟⊟
⊟ ⊟⊟⊟⊟
⊟⊟⊟⊟⊟⊟⊟⊟⊟ I_I
⊟⊟I_
⊟I
3
10
25
43
12
6
N = 99
5 ≤ K ≤ 15
Ejemplo:
Distribución de personas según edad
EXTREMOS APARENTES
INTERVALO
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
TOTALES
Nº PERSONAS ( )
6
10
30
15
6
n = 67
EXTREMOS REALES
9.5 – 19.5
19.5 – 29.5
29.5 – 39.5
39.5 – 49.5
49.5 – 59.5
Ejemplo:
Distribución de estudiantes según estatura (mt.)
EXTREMOS
REALES
1.40 – 1.44
1.44 – 1.52
1.52 – 1.55
1.55 – 1.60
1.60 – 1.63
1.63 – 1.69
1.69 – 1.80
TOTALES
Nº
Est.
4
9
15
23
18
14
7
90
%
0.044
0.1
0.167
0.256
0.2
0.156
0.078
1.001
4
13
28
51
69
83
90
0.44
0.144
0.311
0.567
0.767
0.923
1.00
90
86
77
62
39
21
7
1.001
0.957
0.857
0.069
0.434
0.234
0.078
4.4
10
16.7
25.6
20
15.6
7.8
%
4.4
14.4
31.1
56.7
76.7
93.3
100.1
%
100.1
95.7
85.7
69
43.4
23.4
7.8
0.04
0.08
0.03
0.05
0.03
0.06
0.11
Frecuencias Relativas ( ).Representa la proporción de observaciones de la clase (i) y se define:
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Donde:
Frecuencias acumuladas (menor q).Frecuencias acumuladas absolutas ( ).Representa el numero de observaciones menor a la clase (i) y se define como:
Frecuencias acumuladas relativas ( ).Representa la proporción de observaciones menor o la clase (i)
Frecuencias des acumuladas (mayor que).Frecuencias des acumuladas absolutas (
).-
Representa el nº de observaciones mayor a la clase (i) y se define:
Frecuencias des acumuladas absolutas ( ).Representa el nº de observaciones mayor a la clase (i) y se define:
ESTADISTICA I
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Jorge Justo Troche Luna
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Frecuencias porcentuales.-
Notación matemática.N (1.40 ≤ X < 1.44) = 4
P (1.60 ≤ X < 1.63) = 0.2
N (X <1.60) = 51
P (X < 1.52) = 0.144
N (X ≥ 1.52) = 77
P (X ≥1.63)=0.234
P% (1.69≤X<1.80)=7.8%
P% (X<1.60)= 56.7%
Ancho de clase ( ) o Amplitud de clase.Es el tamaño de la clase (i) y se define como el extremo inferior.
b
a)
q
q = (1.62-1.60)
= 12
N (x≤1.62)=4+9+15+23+12 = 63
Ejemplo:
¿Qué proporción de estudiantes tienen una estatura ≥ a 1.57mt. ?
P (x≥1.57)=? 0.078+0.156+0.2+
b
b)
ESTADISTICA I
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14
q
q = (1.60-1.57)
= 13.8
P (x≥1.57)= 0.078+0.156+0.2+0.153 = 0.587
¿Qué % est. (1.49 y 1.64)?
q = (1.52-1.44)
=
q = (1.69-1.64)
=
= 0.44
= 0.12
Método para construir una distribución de frecuencias de anchos iguales de variable
continúa.
1) Recorrido (
)
2) Nº de Intervalos (K)
n: total de observaciones o tamaño de muestra
3) Ancho de clase ( )
Tomar en cuenta que: 5≤X≤15
Ejemplo:
ℙ: empleados públicos
𝕏: ingreso
n :30
: 1500 (Salario mas bajo)
:8300(Salario mas alto)
1)
2)
3)
ESTADISTICA I
=8300-1500=6800
=5.477 =6
= 1242
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INGRESO
1500 - 2742
2742 – 3984
3984 – 5226
5226 – 6468
6468 – 7710
7710 - 9852
TOTALES
CONTEO
I_I
⊟ I_
⊟⊟I_
□
I_I
I
Nº EMPLEADOS
PUBLICOS ( )
3
7
12
4
3
1
N = 30
15
2121
3363
4605
5847
7089
8781
Ejemplo:
Dada la siguiente distribución de anchos iguales y extremos reales, completar dicha frecuencia
EXTREMOS
REALES
20 – 25
25 – 30
30 – 35
35 - 40
40 - 45
TOTALES
Nº
Personas
20
20
80
50
30
n =200
0.1
0.1
0.4
0.25
0.15
20
40
120
170
200
200
180
160
80
30
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Representante de clase o marca de clase.Es el valor mas representativo de la clase (i); para una variable discreta es la misma variable para
una variable continua se define como:
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Representaciones graficas.Nos permiten observar la estructura de la información o el comportamiento a simple vista.
Diagramas de barras.Son representaciones en el plano cartesiano para variables cualitativas y cuantitativas discretas
donde en el eje de las abscisas se ubica la variable y en el eje de las coordenadas con barras
proporcionales a dichas frecuencias.
Frecuencias (
)
Ejemplo:
Distribución de estudiantes según numero de materias aprobadas el anterior semestre.
Nº DE MATERIAS
APROBADAS ( )
1
2
3
4
5
6
TOTAL
Nº DE
ESTUDIANTES ( )
2
8
12
15
24
18
79
Diagrama de barras de frecuencia absoluta será:
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Diagramas reales de áreas o histogramas.Son representaciones graficas en el plano cartesiano para variables cuantitativas continuas donde en
el eje de las coordenadas “x” se encuentran los limites reales de la distribución y en el eje “y” las
alturas con rectángulos proporcionales a la frecuencia con base en el ancho de clase.
ALTURA ( )
Ejemplo:
Distribución de jugadores de un equipo de La Paz según edad.
EDAD
18 – 20
20 – 24
24 – 26
26 – 27
27 - 32
32 – 40
TOTALES
Nº JUGADORES
4
5
10
8
4
4
n =35
2
4
2
1
5
8
2
1.25
5
8
0.8
0.5
Polígonos de frecuencia.Son representaciones graficas en el plano cartesiano de una poligonal generada por la unión de los
pares ordenados (
)o(
) si la variable es discreta y (
) si la variable es continua.
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NOTA: En caso de que la distribución tenga anchos iguales las alturas ( ) pueden ser sustituidas
por las frecuencia absolutas ( ).
Diagramas Circulares o tortas.Son representaciones graficas para variables cualitativas y cuantitativas discretas mediante sectores
circulares de tal manera que el ángulo es proporcional.
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Ejemplo:
Distribución de empresas según razón social
RAZON SOCIAL
( )
Nº DE EMPRESAS
( )
SRL.
10
51
SA.
40
205
LTDA.
15
77
SC.
5
27
TOTAL
n =70
Diagramas de frecuencia acumulada y des acumulada.a) Para variables discretas
%
%
Ejemplo:
Distribución de estudiantes según número de más asistencias a clase.
ESTADISTICA I
Nº DE INASISTENCIA
ESTUDIANTES
0
1
2
3
4
5
TOTALES
12
15
10
6
4
3
50
------------------------------------------------------Lic.
%
0.24
0.3
0.2
0.12
0.08
0.06
1
0.24
0.54
0.74
0.86
0.94
1
24
54
74
86
94
100
Jorge Justo Troche Luna
%
100
76
46
26
14
6
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Construyendo un diagrama de frecuencia acumulada porcentual tenemos:
P% (X≤2)=74%
P% (X≥4)=14%
b) Para variables continuas u ojivas.NOTA: Los extremos para representaciones graficas deben ser reales.
Ejemplo.Distribución de empresas según ingreso mensual en miles de dólares.
INGRESO
-
Nº EMPRESAS
1–3
14
14
120
3–5
5–8
25
42
39
81
106
81
8 – 12
32
113
39
12 - 15
TOTALES
7
n =120
120
7
Estadígrafo.Es una medida que depende únicamente de los valores obtenidos en una muestra.
Ejemplo:
Si
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Condiciones que debe cumplir un estadígrafo.1. Debe estar bien definido es decir no debe ser ambiguo porque debe ser interpretado.
2. Deben intervenir la mayoría de las observaciones, mejor si todas.
3. Debe prestarse al cálculo.
4. No debe ser valores extremos.
Tipos de estadígrafo.De acuerdo a su naturaleza existen:
Estadígrafos o medidas de posición.
Estadígrafos o medidas de dispersión.
Estadígrafos o medidas de asimetría.
Estadígrafos o medidas de curtosis.
Estadígrafos o medidas de correlación.
Estadígrafos o medidas de regresión.
Estadígrafos o medidas de concentración.
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MEDIDAS DE POSICION
Definición.Son medidas que representan a un conjunto de datos también denominados promedios.
Media aritmética(x o x͞ ).Es el promedio mas conocido y el mas representativo si la distribución es simétrica o casi simétrica
del conjunto de los datos y se define como:
Serie de datos no agrupados SD
Distribución de frecuencias o datos agrupados DF
Ejemplo:
X: Nº de materias asignadas en este semestre.
5, 4, 6, 6, 3 (Serie de datos)
Ejemplo:
Distribución de personas según edad.
EDAD
20 – 25
25 – 30
30 – 35
35 – 40
40 - 45
TOTALES
Nº PERSONAS
20
32
64
42
12
170
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
450
880
2080
1575
510
5495
5
5
5
5
5
-2
-1
0
1
2
-40
-32
0
42
24
-6
Propiedades.1. La M(x) de una constante es la misma constante.
2. La M( ) = CM(x)
3. La M (x ± y) = M(x) ± M(y)
4. a)
b)
5. Si
Entonces:
Comprobando la propiedad 4 ene l primer ejemplo:
(5-4.8) + (4-4.8) + (6-4.8) + (6-4.8) + (3-4.8) = 0
ESTADISTICA I
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23
Comprobando la propiedad en el segundo ejemplo:
Si = C=5 y T=32.5
5(-0.035)+ 32.5 = 32.32
Media aritmética ponderada.Si
es un conjunto de datos donde
respectivamente, entonces:
son los pesos o ponderaciones de los
Ejemplo:
Un estudiante obtuvo las siguientes calificaciones primer parcial 80%, segundo parcial 60%, y el
examen final 35%cuyas ponderaciones son: primer parcial 20%, segundo parcial 35%, y el final 45%
= 100%.
Ejemplo.En la universidad salesiana existe 3 paralelos de cálculo cuyos promedios son:
PARALELOS
A
B
C
TOTALES
Nº ESTUDIANTES
50
20
80
150
60
80
55
Hallar el promedio o la media aritmética de la materia Calculo I
Ejemplo.El salario promedio de una empresa de los trabajadores es bs.2640, el salario promedio de las
mujeres es bs.2490 y el de salario promedio de los hombres es bs.2700.
= 2490
= 2700
Que porcentaje son hombres y porcentaje son mujeres.
M: Porcentaje mujeres
H: Porcentaje hombres
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24
264000-249000 = 210H
• H son 71.43%
• M son 28.57%
Mediana Me (x).Es el valor que divide a un conjunto de datos ordenados en dos partes iguales
Ejemplo:
Me (x)
Para serie de datos si
Si n es impar
Si n es par
Ejemplo:
X: nota primer parcial
72, 40, 58, 63, 80, 25
N=6
25, 40, 58, 63, 72, 80
Para distribuciones de frecuencia
Si la variable es discreta
Si la variable es continua
Donde:
La clase que contiene a la mediana es aquella que primero sobrepasa al valor
en la columna de las
frecuencias acumuladas absolutas en
Ejemplo.Nº HIJOS
0
1
2
3
4
5
TOTALES
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Nº DE MUJERES
6
12
18
32
15
3
86
6
18
36
68
83
86
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25
Ejemplo:
Dada la distribución:
GANANCIA
-
Nº E.
1000 - 2000
2000 – 3000
3000 – 5000
5000 – 7000
7000 – 10000
10000 – o mas
TOTALES
2
8
21
43
25
10
109
2
10
31
74
99
109
1000
1000
2000
2000
3000
∞
0.002
0.008
0.011
0.022
0.008
Moda (Mo).Es el valor que mas se repite
Ejemplo:
X: Nº de materias aprobadas
3, 6, 2, 4, 6, 5, 6, 7…
Cuando existen dos se llama bimodal para distribuciones de frecuencia
Si la variable es discreta
En el ejemplo
Si la variable es continua la moda
Donde
La clase que contiene a la
es aquella cuyo
es máximo
La mayoría de las empresas tienen una ganancia de 5880bs.
Momentos ordinarios de orden.Si r=0
S.D.
Si r≠0
Si r=0
D.F.
Si r≠0
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26
En general
Si r= -1 =
media armónica (
)
Si r= 0 =
media geométrica (
)
Si r= 1 =
media aritmética ( )
Si r= 2 =
media cuadrática (
)
a)Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La
suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:
b) Media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican
todo estos resultados y al producto fiinal se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la
muestra).
Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media
geométrica.
La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación,
etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En
todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada.
Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que
no se pierde ninguna información.
Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como
geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de
la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo
ésta representatividad.
Luego:
S.D.
Media Armónica
D.F.
S.D.
Media Geométrica
D.F.
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SD
Media Aritmética
D.F.
S.D.
Media Cuadrática
D.F.
Ejemplo:
Gasto en pasajes 3, 8, 2, 5
General:
3.45 ≤ 3.94
≤4.5 ≤5.049
Relación empírica.Si un conjunto de datos tiene distribución simétrica o casi simétrica entonces:
Ejemplo.Distribución de empresas según ganancia (en miles $us).
GANANCIA
1–3
3–5
5–7
7–9
9 - 11
TOTALES
Nº EMP.
3
6
12
9
2
32
2
4
6
8
10
6
24
72
72
20
194
3
9
21
30
32
2
2
2
2
2
1.5
1.5
2
1.125
0.2
6.325
0.903
3.612
9.338
8.128
2
23.981
12
96
432
576
200
Media aritmética.-
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Mediana.-
Moda.-
Medida de posición no central fractiles.Estas medidas dividen a la población en partes iguales y sirven para clasificar a un individuo dentro
de una determinada muestra o población (mismo concepto que la mediana)
Cuartiles.Medidas de localización que divide a la población en cuatro partes
iguales (Q1, Q2 y Q3).
Q1: Valor de la distribución que deja el 75% de los valores por encima
Q2: Valor de la variable que deja el 50% de los valores de la variable por encima (coincide con la
mediana)
Q3: Valor de la variable que deja el 25% de los valores de la variable por encima
Deciles.Medidas de localización que divide a la población en diez partes iguales dk = Decil k-simo es aquel
valor de la variable que deja a su izquierda el k·10 % de la distribución.
Percentiles.Medidas de localización que divide a la población en cien partes iguales. El primer percentil supera al
uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante.
Pk = Percentil k-ésimo es aquel valor que deja a su izquierda el K*1% de la distribución
Reflexiones sobre las medidas de posición central.a) La media, la mediana y la moda coinciden en toda distribución simétrica o normal
b) La media aritmética es la medida de posición que más se utiliza pues normalmente es la que
mejor representa los datos, al intervenir todos ellos en su deter minación. Por otra parte permite la
aplicación del cálculo de probabilidades. Ahora bien, tiene el inconveniente de que en el caso de que
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exista una gran diferencia entre los valores extremos pierda gran parte de su utilidad al estar
afectada por ellos. Por ello en este caso es más conveniente el uso de la mediana.
c) Un promedio puede actuar como medida de tendencia central solamente si existe una cantidad
considerable de concentración en la distribución de frecuencias, es decir, que la variación no es
demasiado grande.
d) Un promedio sirve como una medida útil de localización para comparar dos o más distribuciones
de frecuencias solamente si las que se comparan tienen aproximadamente la misma forma.
Medidas de dispersión.Hasta el momento hemos estudiado los valores centrales de la distribución, pero también es
importante conocer si los valores en general están cerca o alejados de estos valores centrales, para
ver si estos valores son o no son representativos. Es por esto por lo que surge la necesidad de
estudiar medidas de dispersión. Los momentos son valores específicos de la distribución y van
íntimamente ligados a las medidas de dispersión y se hallan con la siguiente fórmula:
Momentos de orden r
Momentos respecto al origen (
Momentos respecto ala media
El momento de orden r es el promedio de las desviaciones de los valores de una variable, con
respecto al origen o a la media, elevadas a la potencia r.
Relación entre momentos:
m0 = a0
a1= media
m1= 0
Desviación media.Mide el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto ala media aritmética es decir mide
la distancia promedio entre los valores observados y su media, se define como la DM(x).
Ejemplo:
𝕏: Edad 19,22,25,23
Tiene una diferencia de 1 año,75.
Desviación mediana.-
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Desviación estándar ( ).(Desviación típica)
La desviación típica es la mejor medida de dispersión y la más empleada. Cuando las distribuciones
de frecuencias se aproximan a una distribución simétrica o normal entonces se verifica una
propiedad muy importante que consiste, en que aproximadamente:
El 68% de los valores de la variable están comprendidos entre
x±s
El 95% de los valores de la variable están comprendidos entre
x ± 2s
El 99% de los valores de la variable están comprendidos entre
x ± 3s
Ejemplo:
Varianza ( ).Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las
diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha
repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el tamaño de la muestra.
La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados
están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza,
más dispersos están.
Propiedades.1.
2.
3.
4.
Ejemplo.ESTADISTICA I
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Distribución de estudiantes según peso corporal (Kg)
PESO CORPORAL
40 – 45
45 - 50
50 – 55
55 – 60
60 – 65
65 - 70
TOTALES
Nº EST.
4
10
18
22
12
4
70
42.5
47.5
52.5
57.5
57.5
62.5
67.5
170
475
945
1265
750
270
3875
51.428
78.57
51.48
47.146
85.716
48.572
362.858
661.21
617.32
146.92
101.03
612.27
589.81
2728.56
7225
22562.5
49612.5
72737.5
46875
18225
217237.5
Mediante la propiedad 4.-
En el ejemplo: T=57.5 C=5
Luego:
Coeficiente de variación.El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y
su media.
El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes:
El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones
distintas, siempre que sus medias sean positivas.
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32
Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se
comparan entre sí.
La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.
Ejemplo.Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos
presenta mayor dispersión?
La primera distribución presenta mayor dispersión .
Desviación intercuartil o Rango Intercuartil.Es la diferencia entre los cuartiles 3 y 1. Es decir, es el rango del 50\% de las observaciones
centrales, las más representativas de la masa de datos. Tiene la propiedad de ser muy resistente a
valores extremos.
DIC = Q3-Q1
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Relaciones empíricas.-
Mejores medidas.MEDIDAS
POSICION CENTRAL
DISPERSION
SIMETRICA
ASIMETRICA
Q
Variable estandarizada.Se define como:
: De variable a variable
Es decir:
: a valor a valor
Coeficiente de simetría.Cuantifica el grado de asimetría que presenta la muestra. Se define como el promedio de los cubos
de las desviaciones en torno a la media, dividido por la desviación standard elevada también al cubo.
La fórmula es:
Si los datos presentan una cola larga hacia la derecha, el coeficiente de simetría es positivo. Si
presentan una cola larga hacia la hacia la izquierda, el coeficiente de simetría es negativo. Si hay
simetría, el coeficiente es cercano a cero.
Ejemplo: coeficiente de simetría
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34
El signo positivo del coeficiente de simetría de la muestra 1 indica que tiene sesgo hacia la derecha.
El coeficiente de simetría de la muestra 2 indica que no tiene sesgo. La muestra 3 tiene sesgo hacia
la izquierda.
Coeficiente de curtosis.Cuantifica el hecho que la masa de datos presenta una forma de campana (mesocúrtica), una forma
más bien puntiaguda en la parte central (leptocúrtica) o muy plana (platicúrtica). El coeficiente de
curtosis se define como el promedio de las desviaciones elevadas a la cuarta potencia, respecto de
la media, dividido por la desviación standard elevado a la cuarta. A todo esto se le resta el número 3.
La fórmula es
Los datos con forma de campana (mesocúrticos) tienen un coeficiente de curtosis cercano a cero. Si
son leptocúrticos o con forma puntiaguda, el coeficiente es negativo. Si son planos o platicúrticos, su
coeficiente de curtosis es positivo.
Ejemplo.- Coeficiente de curtosis
Los primeros dos conjuntos aparecen con forma lepticúrtica (puntiagudos), mientras el de la muestra
3 aparece con forma platicúrtica (más plano). Eso se puede apreciar por el hecho que las tres barras
más grandes, en el histograma correspondiente a este tercer conjunto, tienen alturas similares. Si se
comparan con los histogramas de los primeros dos conjuntos, hay más diferencia entre la barra más
alta y las que le siguen.
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Análisis bivariante.Distribuciones bidimensionales.En algunos experimentos las medidas que se obtienen son dobles, pertenecientes a dos variables
distintas, a las que llamaremos X e Y respectivamente. Este tipo de estudios es muy frecuente.
Daremos algunos ejemplos:
 Comparación entre mortalidad y natalidad
 Ídem entre extensión y población de diversos países.
 Diferencias de renta entre la población en general y los titulados universitarios.
 Pruebas pretest y postest.
 Influencia de la latitud en la temperatura media.
 Ídem de las horas de estudio en la calificación en una asignatura. Etc.
Tipos de variables
Las dos variables que se comparan pueden ser de igual naturaleza, ambas nominales u ordinales o
de intervalo, o de distinta, lo que da lugar a muchos casos posibles, que es imposible estudiarlos
todos en este curso. Incluimos algunos ejemplos:
Tablas simples de comparación de dos datos cuantitativos
En estos casos cada par de valores representa a un sujeto o medición. Se representan mediante
gráficos de dispersión XY
Distribuciones de frecuencia bivariantes.a) Tablas de doble entrada:
En ellas la X y la Y pueden ser de naturaleza muy distinta, por lo que se disponen en tabla de doble
entrada. Cuando existen frecuencias, es el mejor método, pues permite tratar una variable por
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columnas y otra por filas. La siguiente tabla muestra la distribución de las llamadas telefónicas con
origen o destino en los cuatro hijos de una pareja.
Estas tablas de doble entrada con frecuencias admiten una representación gráfica muy intuitiva
mediante barras (columnas) ordenadas en varios conjuntos mediante tres ejes.
Tipos de frecuencias en una distribución bidimensional.Para aclarar las definiciones de los tipos de frecuencias usaremos la siguiente tabla:
Frecuencias conjuntas.Se representan por nij, y son las frecuencias incluidas en la tabla primitiva de entrada. Los
subíndices i y j representan la fila y columna en la que está situada la frecuencia.Así, en la tabla n13
= 7 y n34 = 13 Llamaremos N a la suma total de estas frecuencias. En el ejemplo, N es 109.
Representaremos este hecho mediante un sumatorio doble sin índices, para no complicar las
fórmulas:
Al conjunto de las frecuencias conjuntas lo denominaremos como Distribución conjunta de las dos
variables.
Frecuencias marginales.Llamaremos frecuencia marginal de un valor de X, a la que le corresponde a ese valor si no tenemos
en cuenta la existencia de Y. En la práctica coincide con la suma de todas las frecuencias contenidas
en la fila correspondiente a ese valor. En la tabla del ejemplo, la frecuencia marginal de B es 26,
suma de las frecuencias de la segunda fila. La frecuencia marginal de la fila i se representará por ni*
De la misma forma se define la frecuencia marginal en la variable Y, como la que tendría si no se
tuviera en cuenta la X, o la suma de la columna correspondiente. En el ejemplo, la frecuencia
marginal de Marzo es n*3 = 20
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Frecuencias condicionadas.Son las frecuencias que posee una variable si sólo consideramos un valor (o varios) de la otra
variable. En la práctica se traduce a considerar sólo una fila o sólo una columna, según el valor
elegido. Las frecuencias condicionadas se representan con este símbolo: nx/y, que se puede leer
como Frecuencia de x condicionada por y. En la tabla del ejemplo, la distribución de X condicionada
a Marzo es la columna A=7, B=6, C=7. Las frecuencias condicionadas son más representativas si se
convierten en proporciones o porcentajes.
Medidas en una distribución bidimensional.Al existir dos variables X e Y, las medidas también son dobles. Así, consideraremos las siguientes:
Media de X.Tiene la misma definición que en el caso unidimensional. Viene dada por la fórmula
si los datos están aislados y por esta otra
si están agrupados.
Media de la Y.Se define de forma similar:
y para agrupados
(Las siguientes definiciones las desarrollaremos sólo para aislados, pues su traducción es fácil)
Varianzas y desviaciones típicas.También serán dobles: La varianza de X será
y su desviación típica sx será la raíz cuadrada de esa expresión. En el caso de Y la definición es
similar:
Covarianza.Esta medida es muy interesante. Mide el paralelismo existente entre ambas variables (en función
sólo de los datos presentes en la tabla). Si la covarianza es grande, manifestará la existencia de un
cierto paralelismo o dependencia (en sentido estadístico) entre X e Y. Si es pequeña, indicará que
ambas variables se comportan de manera más independiente. Su definición es:
y puede ser positiva, cero o negativa.
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El significado de la varianza es el siguiente:
Si en el numerador la mayoría de los productos son positivos, será porque las diferencias de X y de
Y tienen el mismo signo. Eso significa que para X mayor que la media, la Y también lo es, y al
contrario, a valores pequeños de X le corresponden pequeños en Y. Por tanto, los productos serán
mayoritariamente positivos y la varianza crecerá. Una varianza positiva y alejada del valor cero indica
un cierto paralelismo entre X e Y, en el que a valores mayores de X le corresponden los mayores en
Y. Si los productos son mayoritariamente negativos, es que las diferencias tienen distintos signos,
por lo que Una varianza negativa y alejada del cero indica un paralelismo inverso, en el que a valores
pequeños de X le corresponden valores grandes de Y, y a la inversa.
Por último, si están muy repartidos los productos positivos y negativos, es que apenas existe
paralelismo, y la varianza se acercará a cero. El problema de la varianza es que carece de un valor
máximo, por lo que es difícil juzgar si la correspondencia entre las dos variables es la mejor posible.
Coeficiente de correlación.Como en el caso de una variable, la covarianza no es adecuada para establecer comparaciones
entre medidas muy diferentes, además del inconveniente de no tener un valor máximo, lo que impide
valorar el grado de paralelismo existente en los datos. Para normalizar la covarianza procederemos
como en el Coeficiente de Variación: dividiremos dicha covarianza entre las dos desviaciones típicas
(de X y de Y respectivamente). Al resultado le daremos el nombre de Coeficiente de correlación y lo
representaremos por r.
El coeficiente r también recibe el nombre de Coeficiente de Pearson o también Coeficiente de
correlación producto-momento. También se puede demostrar que este coeficiente es en realidad la
covarianza del conjunto si expresamos los datos en medidas típicas z (ver sesión 3). El valor de r
oscila entre -1 y +1, y mide el paralelismo o correlación entre X e Y. Si sus valores se acercan a 1 o a
-1, diremos que existe correlación fuerte, y está cerca del cero, débil. Podemos desarrollar más estos
comentarios mediante una tabla:
Se deben evitar interpretaciones erróneas del coeficiente r. Seleccionamos las más frecuentes: La
dependencia es sólo matemática: no supone relación causa-efecto. Las causas nunca son tan
simples y pueden existir, pero respecto a una tercera variable.
Se deben evitar demasiados adjetivos como correlación regular, media, pues el significado exacto de
r depende de cada experimento en concreto. Si la relación entre datos es de tipo curvilíneo, el
coeficiente r pierde representatividad. A veces, si existe asimetría, r no puede acercarse al 1.
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PROBABILIDADES
La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las Matemáticas que están en mayor
auge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad en todos los aspectos y ciencias,
especialmente en las Ciencias Sociales, puesto que aquellas variables que influyen en dichas
ciencias, económicas, demográficas, suelen tener carácter aleatorio, es decir, no son deterministas,
y se fundamentan en predicciones a partir de datos conocidos. Todo aquello que implique predicción
nos lleva al terreno de la probabilidad.
Experimentos aleatorios.En todos los aspectos de la vida a veces nos encontramos con acontecimientos predeterminados, es
decir, tales que podemos decir el resultado de dichos acontecimientos antes de que finalice o incluso
de que comience. Tal es el caso de:
1. Tirar una piedra desde un edificio (sabemos que se caerá).
2. Calentar un cazo de agua (sabemos que la temperatura sube).
3. Golpear una pelota (sabemos que se va a mover, e incluso conociendo fuerzas que actúan, etc.,
Podemos conocer precisamente donde caerá ).
Tales acontecimientos o experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se
realicen se denominan experimentos deterministas. Sin embargo, analicemos otro tipo de
experimentos, mucho mas interesantes desde el punto de vista matemático:
Imaginemos que lanzamos un dado al aire (normal, de 6 caras y no trucado). .Podemos predecir el
resultado que vamos a obtener?. Evidentemente no. Este es un experimento que no es determinista.
A este tipo de experimentos, en los cuales no se puede predecir el resultado antes de realizar el
experimento se les denomina experimentos aleatorios.
Otros ejemplos de experimentos aleatorios pueden ser:
Tirar una moneda al aire y observar que lado cae hacia arriba, rellenar una quiniela de futbol,
jugar una partida de póker y, en general, cualquier juego en el que intervenga el azar.
Ejemplo:
1. .Cual es el espacio muestral asociado al experimento de lanzar un dado normal al aire y observar
la cara que queda hacia arriba?.
Evidentemente, en este caso hay 6 posibles resultados (6 sucesos elementales) y el espacio
muestral
estará formado por: E={1,2,3,4,5,6}.
2. .Y en el caso del lanzamiento de una moneda?
Entonces E={C,X}
Evento o suceso.Llamaremos suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. El concepto de suceso
es fundamental en probabilidad. Dicho de forma simple, un suceso de un experimento aleatorio es
cualquier cosa que se nos ocurra afirmar sobre dicho experimento.
Así, si tiramos una moneda dos veces, serían sucesos todos los siguientes:
1. Sale al menos una cara.
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40
2. Salen mas caras que cruces.
3. La moneda cae de canto.
4. No sale ninguna cruz.
Llamaremos suceso imposible al que no tiene ningún elemento y lo representaremos por .
Llamaremos suceso seguro al formado por todos los posibles resultados (es decir, al espacio
muestral).
Llamaremos espacio de sucesos y lo representaremos por S, al conjunto de todos los sucesos
aleatorios.
Ejemplo:
De cuantas maneras posibles se puede elegir a un presidente y un secretario de un grupo de 7
personas.
A, B, C, D, E, F, G
Ω = {(A,B);(A,C);(A,D);(A,E);(A,F);(A,G)}
Ejemplo:
Una moneda tiene dos lados cara (c)y sello (s). Se lanza la moneda. Halar el espacio muestral.
a) Una vez
Ω = {c, s }
b) Dos veces
Ω = {cc, cs, ss,}
c) Tres veces
Ω = {ccc, ccs, css, csc, scc, ssc, sss}
Ejemplo:
Se tira una moneda 3 veces. Calcular la probabilidad de obtener alguna cara.
Los problemas de este tipo, en los que se pide la probabilidad de obtener “alguna” cosa, se suelen
resolver muy bien por paso al complementario. En este caso concreto, A = “obtener alguna cara”.
= “no obtener ninguna cara”= “obtener 3 cruces”.
Entonces, p(A) = , pues hay 8 casos posibles (2·2·2!,haz el diagrama de árbol!) y solo uno
favorable (XXX, 3 cruces), por tanto:
Tipos de conjuntos.Extensión
Comprensión
Diagrama de ven
A= {a, e, i, o, u} extensión
A= {x∖ x es una vocal} comprensión
Diagrama de ven
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Método del árbol.-
Ω=
=
= es un producto cartesiano
a) Hasta que salga cara
Ω = {c, sc, ssc, sssc, ssssc,…,}
b) Hasta que saldo dos caras
Ω = {cc, scc, csc, sscc, scsc,…,}
Definición axiomática.Las definiciones anteriores son netamente empíricas o experimentales, sin embargo después de
establecer una forma de determinar la probabilidad experimentalmente, se pueden deducir leyes o
propiedades de la probabilidad en forma lógica o computacional bajo ciertas suposiciones llamados
axiomas de la probabilidad.
La probabilidad de un evento A se define como el número P(A), tal que cumple con los siguientes
axiomas:
AXIOMA 1: La probabilidad P(A) de cualquier evento no debe ser menor que cero ni mayor
que uno: 0 < P(A) < 1
AXIOMA 2: P(S) = 1
AXIOMA 3: Si A y B son dos eventos mutuamente exclusivos (A Ç B = Æ ), entonces: P
(A È B) = P(A) + P(B)
Toda la teoría elemental de la probabilidad está construida sobre las bases de estos tres
simples axiomas.
Si el espacio muestral es infinito, debemos reemplazar el axioma 3 por el
AXIOMA 4: Si A1, A2, … son eventos mutuamente exclusivos, entonces tenemos que
P(A1 È A2 È …) = P(Al) + P(A2) +…+
Teoremas.Además de P(E) = 1, P( ) = 0, 0 P(A) 1, tenemos:
1) Si A B = (A y B se excluyen mutuamente) entonces:
P(A B) = P(A) + P(B)
2)
P(A) + P(Ac) = 1
3) Si A B
entonces
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
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4) Si A y B son eventos independientes ( la ocurrencia de A no influye en la ocurrencia de B),
entonces
P(A B) = P(A) • P(B)
5) Si A y B son eventos dependientes (la ocurrencia de A influye en la ocurrencia de B), entonces
P(A B) = P(A) • P(B/A)
P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendo
que ha ocurrido A.
Ejemplo:
María y José son dos amigos la probabilidad que María asista a clases es 0.8 y José 0.65 y la
probabilidad de que ambos asistan a clases es 0.53.
DATOS:
M: asista a clases María
J: asista a clases José
P(M)=0.8
P(J)=0.65
P(M∩J)=0.53
a) Cual es la probabilidad que María no asista.
P(M)=1 – P(M) = 1 – 0.8 =0.2
b) Cual es la probabilidad que solo asista José.
P(J∩ )= P(J) – P(M∩J)
= 0.65 – 0.53 =0.12
c) Cual es la probabilidad que ninguno asista.
P( ∩ )= 1 – P(M∩J)
= 1 - [P(M)+P(J) - P(M∩J)]
= 1 - [(0.8+0.65) – 0.53] = 0.08
ANALISIS COMBINATORIO Y PERMUTACIONES
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las
cosas es importante. En otras palabras:
"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa
en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas
y bananas", es la misma ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni
"247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
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Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden sí importa es una permutación.
Con otras palabras:
Una permutación es una combinación ordenada.
Permutaciones.Hay dos tipos de permutaciones:


Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar
primero y segundo a la vez.
Permutaciones con repetición.Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones
posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda
elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas que puedes
elegir,
y
eliges r de
ellas
(Se puede repetir, el orden importa)
Permutaciones sin repetición.En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de
billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes
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elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades,
después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números
descendentes. Ejemplos:



4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso
que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas
ecuaciones.
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos?
Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...
= 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
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donde n es el número de cosas que puedes
elegir,
y
eliges r de
ellas
(No se puede repetir, el orden importa)
Ejemplo:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16!
16!
=
(16-3)!
20,922,789,888,000
=
13!
= 3360
6,227,020,800
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
10!
10!
=
(10-2)!
3,628,800
=
8!
= 90
40,320
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
Combinaciones.También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):


Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
Combinaciones con repetición.En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
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Combinaciones sin repetición.Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da
igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:


imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden importa
1
2
1
3
2
1
2
3
3
1
3
2
El orden no importa
3
2
3
1
2
1
123
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la
sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú
mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de
ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
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donde n es el número de cosas que puedes
elegir,
y
eliges r de
ellas
(No se puede repetir, el orden no importa)
Y se la llama "coeficiente binomial".
Notación
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
Ejemplo:
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
16!
16!
20,922,789,888,000
=
3!(16-3)!
=
3!×13!
= 560
6×6,227,020,800
O lo puedes hacer así:
16×15×14
3360
=
3×2×1
= 560
6
Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
16!
16!
16!
=
3!(16-3)!
=
13!(16-13)!
= 560
3!×13!
Triángulo de Pascal.ESTADISTICA I
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Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a
la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
1
1
1
14 91 364 ...
15 105 455 1365 ...
16 120 560 1820 4368 ...
Combinaciones con repetición.Ejemplo:
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y
vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son



{c, c, c} (3 de chocolate)
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica
especial para que lo averigües tú mismo.
Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el
primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores
siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!
Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero
no cambia nada, tendrás lo que quieres.
Ahora puedes escribirlo como
(la flecha es saltar, el círculo es tomar)
Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:
{c, c, c} (3 de chocolate):
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla):
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):
entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más
simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"
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Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4
veces para ir del contenedor 1º al 5º).
Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos.
Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como
el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:
donde n es el número de cosas que puedes
elegir,
y
eliges r de
ellas
(Se puede repetir, el orden no importa)
Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos, y entonces
habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta
sería la misma...
¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
(5+3-1)!
7!
5040
=
3!(5-1)!
=
3!×4!
= 35
6×24
Definición empírica “a posteriori” o frecuencial.-
La definición clásica se ve limitada a situaciones en las que hay un número finito de resultados
igualmente probables. Por desgracia, hay situaciones prácticas que no son de este tipo y la
definición de Laplace no se puede aplicar. Por ejemplo, si se pregunta por la probabilidad de que un
paciente se cure mediante cierto tratamiento médico, o la probabilidad de que una determinada
máquina produzca artículos defectuosos, entonces no hay forma de introducir resultados igualmente
probables. Por ello se necesita un concepto más general de probabilidad. Una forma de dar
respuesta a estas preguntas es obtener algunos datos empíricos en un intento por estimar las
probabilidades.
Supongamos que efectuamos un experimento n veces y que en esta serie de n ensayos el evento
Aocurre exactamente r veces, entonces la frecuencia relativa del evento es ,o sea,
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Si continuamos calculando esta frecuencia relativa cada cierto número de ensayos, a medida que
aumentamos n, las frecuencias relativas correspondientes serán más estables; es decir; tienden a ser
casi las mismas; en este caso decimos que el experimento muestra regularidad estadística o
estabilidad de las frecuencias relativas. Esto se ilustra en la siguiente tabla, de una moneda lanzada
al aire 1000 veces.
#
de # de
lanzamientos
caras
Frecuencia Frecuencia
relativa
acumulada
Frecuencia
acumulada
relativa
1 - 100
52
0.52
52
0.520
100 - 200
53
0.53
105
0.525
200 - 300
52
0.52
157
0.523
300 - 400
47
0.47
204
0.510
400 - 500
51
0.51
255
0.510
500 - 600
53
0.53
308
0.513
600 - 700
48
0.48
356
0.509
700 - 800
46
0.46
402
0.503
800 - 900
52
0.52
454
0.504
900 -1000
54
0.54
508
0.508
Total: 1000
508
0.508
En un total de 1000 lanzamientos ocurrieron 508 caras, es decir la frecuencia relativa es
aproximadamente 0.50.
Tres investigadores realizaron experimentos y obtuvieron los siguientes resultados
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Investigador
Número de
lanzamientos
Número
caras
Buffon
4040
2048
0.5069
K. Pearson
12000
6019
0.5016
K. Pearson
24000
12012
0.5005
------------------------------------------------------Lic.
de
Frecuencia
relativa
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La mayoría de experimentos aleatorios de importancia práctica tienen estabilidad, por esto
podemos sospechar que prácticamente será cierto que la frecuencia relativa de un evento E en un
gran número de ensayos es aproximadamente igual a un determinado número P(E), o sea, la
probabilidad del evento E es
Obsérvese que este número es una propiedad que no depende solamente de E, sino que se refiere a
un cierto espacio muestra S y a un experimento aleatorio. Entonces, decir que el evento E tiene
probabilidad P(E) significa que si efectuamos el experimento muchas veces, es prácticamente cierto
que la frecuencia relativa de E, fr(E) es aproximadamente igual a P(E).
Cuando se usa la definición frecuencial, es importante tomar en cuenta los siguientes aspectos:
i.
ii.
La probabilidad obtenida de esta manera es únicamente una estimación del valor real.
Cuanto mayor sea el número de ensayos, tanto mejor será la estimación de la probabilidad;
es decir, a mayor número de ensayos mejor será la estimación.
iii.
La probabilidad es propia de sólo un conjunto de condiciones idénticas a aquéllas en las que
se obtuvieron los datos, o sea, la validez de emplear esta definición depende de que las
condiciones en que se realizó el experimento sean repetidas idénticamente.
Probabilidad condicional.Para dos eventos cualesquiera A y B en un espacio muestra S, tales que P(A) > 0 con P(A) ¹ 0, la
probabilidad del evento B dado el evento A, se define por .
En esta sección examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos depende o se ve influida por
la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos ejemplos.
Ejemplo:
Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de
flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a. La primera semilla sea roja?
b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
Solución:
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a. La probabilidad de que la primera semilla sea roja es
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, puesto que hay 10 semillas de flores
rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:
b. La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero,
es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja.
Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por
, y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.
Esta probabilidad
restantes.
, puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14
Veamos la situación en un diagrama de árbol:
Probabilidad conjunta.La que da la probabilidad de la intersección de dos eventos. La tabla de probabilidad conjunta
proporciona un resumen de la información de probabilidad.
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