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Reflexiones
 Azar


Eventos azarosos, fortuitos
Aleatorio
 Certeza
 Credibilidad
 Variabilidad
 Regularidad
Definiciones











Certeza
Variabilidad
Azar (chance, likely)
Credibilidad
Regularidad
Axioma
Aleatorio (random)
Probabilidad
Estadística
A priori
A posterior






Experiment
Trial
Outcome
Event
Sample Space
Eventos
independientes
 Probabilidad
condicionada
Espacio Muestral
S   f1 , f 2 ....... f6 
S   AA, AS , SA, SS 
Subconjuntos de S son 2#
 f1..................S
S S
Experimento: consiste en un procedimiento, observaciones y un modelo
Resultado: es cualquier posible observación de un experimento
Espacio muestral: es el conjunto exhaustivo de colecciones mutuamente
exclusivos de todos los posibles resultados.
Evento: es el conjunto de resultados de los intentos de un experimento
Explicación matemática de intentos repetidos
“outcomes” formando parte del espacio muestral
 Experimentos

,
,
con
resultados
Ejemplo
 Ejemplo:
 sea
 con
y
con
contínuo
discreto


 Dicótoma
de clasificación 
 No Dicótoma


 bueno


de orden o rango malo

 regular....


Promedios
media mediana y la moda
Variación
Varianza
x
x
n
elementos del arreglo
s
2
 ( x  x)

n
2
Métodos de Conteo

Principio Fundamental de conteo


SI A tiene n posibles resultados y B tiene k posibles resultados
entonces, AxB tiene nk posibles resultados
Objetos indistinguibles
 Objetos distinguibles
 Con remplazo
 Sin remplazo
 Permutaciones
 Combinaciones
Permutación

Se define como una diferente secuencia u
ordenamiento de los n elementos de un
conjunto.
 La forma de calcular la permutación es: n!
 Cuando se repiten algunos elementos la
formula tiende a ser
n!
Pn 
x! y! z!...
Combinación

A diferencia de la permutación que toma en cuenta
el orden, por ejemplo ABC, BCA, etc. Mientras que
para este caso es visto como una combinación
nada mas.
 La formula para obtener la combinación es:
Cn , r

n!

r!(n  r )!
Donde r es el número del subconjunto que se esta
evaluando.

Principio Fundamental de conteo


SI A tiene n posibles resultados y B tiene k posibles resultados
entonces, AxB tiene nk posibles resultados
L permutaciones de n objetos indistinguibles son
  n, k  

n!
(n  k )!
Distinguibles


Sin reemplazo para elegir k objetos de entre n
n
n!

 
 k  k !(n  k )!
Con reemplazo para ordenar n objetos de entre m
n
m
Intentos repetidos de Bernoulli
 Probabilidad
de que un evento ocurra k
veces en n intentos repetidos
 Recuerde
Y
que
,
S
espacio muestral
 ,  2 .........resultados outcomes
y su subconjunto "eventos"
S es el evento seguro
 es el evento imposible
Probabilidad "a priori", " a posteriori"
eventos independientes P(AB)=P(A)P(B)
Suma a+b,
Intersección
S= 1,2,3,4,5
A= par

a+(b+c)
AB =BA
B+A
B= <5
AB= 2,4  par, <5
Mutuamente excluyentes AB=0
¡ No elementos en común!
Sc  S
Resta A-B
c
Leyes de Morgan (A+B)  AB
(AB)=A+B
Definiciones
 Event
 Set
 Universal
Set
 Element
 Complete
CAMPO?
Set
 Sample
Space, Trial
 Outcome
 Event Space o
campo de Borel
Clásico
Axiomático
Laplace
Kolmogorov
Frecuencial
3 Axiomas
Frecuencia
relativa de
ocurrencia
Sin indicaciones
de uso
razón de
veces favorables
Total de casos
Noción Intuitiva de Probabilidad
si son igualmente probables
(igualmente posibles)
v.g. resultados, etc.
Evento elemental i 
Axiomas
P  A número asociado llamado probabilidad
P  A  0
P S   1
si AB  0  P  A  B  P  A  P B
Corolarios
P    0
 
P A  1  P A  1
Si AB  0  P  A  B  P  A  P  B  P  AB  P  A  P B
¿ cómo se calcula P  A 
nA
?
n
¿?
¡Campo!
"Campo de Borel"
F : formado por todos los subconjuntos de S (todos los eventos)
E : S , F, P
Experimento
Discreto
P  i   pi

  
 
P  A  P    .......  P    p
A   k1 ,.....,  kr   k1  .......   kr

k1
kr
k1
 ....  pkr
Si todas las probabilidades son iguales
P  i  
1
N
 P  A 
k
N
Continuo
 (t )  0, t es el resultado, A= 0  t  t1
t1
P(A)=   (t ) dt
0
Tarea Probabilidad
 At 2 (100  t ) 2

 (t )  
0

0  t  100
elsewhere
Dos Clases de Problemas
Modelo
F ( x,  )
Known
E  x
x
Observaciones
P x  x
predicción
Observaciones
F ( x,  )
unknown
estimación

f x ( x)
Model
H ( i)   oi
o

Prueba de
Hipótesis
Ley de la Probabilidad Total en un campo de Borel
F1 ,......, Fm  con P Fi   0
m
P  A   P  A | Fi P Fi 
i 1
Teorema de Bayes
P  B | A 
P  A | B P B
P  A
 Desviación
Población
Estándar
Muestra
Promedios
x
22
( x  x)
11
( x  x)
media mediana y la moda
Variación
2
Varianza
121
20
9
81
15
4
16
14
3
9
8
-3
9
7
-4
16
5
-6
36
5
-6
36
3
-8
64
0
388
x
x
n
elementos del arreglo
s2 
 ( x  x)
2
n
Estimado de una desconocida
n9
x  11
Mediana = 8
Moda = 5
La mediana no necesariamente cae en uno existente
( x  x) 2 388

 48.50
n 1
8
Mejor estimado
2 
II. Estadística Descriptiva
•
Existen tres clases de promedios.

Media. Promedio que se obtiene al dividir al dividir la suma de n número
entre n:
x


(Media Poblacional)
x

x
(Media Muestral)
n
n

Mediana. Es el número que se encuentra a la mitad de n números que
son ordenados en un arreglo del más grande al más pequeño o del más
pequeño al más grande.

Moda. Número que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de
datos.

Media, mediana y moda también son conocidas como mediciones de
tendencia central.
II. Estadística Descriptiva
•
•
Propiedades de la media.

La suma de diferencias (de todos los valores) respecto a la media es
siempre 0.

Si sumamos una constante a cada uno de los valores, la nueva media
aritmética resultante será la original más la constante.

Si multiplicamos cada uno de los valores por una constante, la nueva
media aritmética será la original por la constante.

Minimiza la suma de diferencias en términos cuadráticos.
Propiedades de la mediana.

No utiliza todos los elementos.

Se puede calcular con datos ordinales.

Se ve menos afectada por datos atípicos que la media.

Minimiza la suma de diferencias en valor absoluto.
II. Estadística Descriptiva
•
Propiedades de la moda.

No es necesariamente única (puede haber varias modas).

Se puede calcular con datos en escala nominal.

En su cálculo no intervienen todos los elementos.
¿Cuál elegir?
Moda
Media
Mediana
II. Estadística Descriptiva
•
Intervalo. Distancia del número más pequeño al más grande. El conjunto de
números debe está organizado en un arreglo.
•
La varianza de un conjunto de números es una medida de la dispersión de los
números alrededor de la media. Por lo tanto, es una medida de la variación
en un conjunto de números.
2 

x

x  n
s2 

x

x  n
2
x   


2
2

2
n


x

x




s2  
n 1

(Varianza Poblacional)
n
2
2
2
n 1
(Varianza Muestral)
II. Estadística Descriptiva
¿Por qué se divide entre n-1 en lugar de n en la varianza muestral? Esto se debe a
que se utilizan muestras de una población. Por lo tanto, aquí se aplica estadística
inferencial, la cual trata con muestras extraídas de poblaciones que son demasiado
grandes para mediar de forma directa y por lo tanto, se utilizan valores de
muestras para hacer inferencias a cerca de los valores correspondientes de la
población.
Comúnmente se utiliza la varianza muestral como un estimado de una varianza
poblacional desconocida. Si se utiliza n en el denominador de s 2 , la varianza
muestral tenderá a subestimar la varianza poblacional. Por lo tanto, al utilizar n-1 en
la varianza muestral se obtiene una mejor estimación de la varianza
poblacional.
II. Estadística Descriptiva
•
Desviación estándar. Se obtiene al tomar la raíz cuadrada de la varianza.

 x 
x


n
s

x

x  n
2
2
  2
(Desviación Estándar Poblacional)
n
2
2
s  s2
•
n 1
(Desviación Estándar Muestral)
Las tablas de frecuencia ayudan a visualizar la distribución de una gran
cantidad de números. Desafortunadamente no existe una fórmula para
construir una tabla de frecuencia.
II. Estadística Descriptiva
•
Ejemplos.
Tabla 1. Una distribución de nueve números.
3 (a)
Tabla 2. Mediana de una distribución de ocho números.
3 (b)
Tabla 3 (a) y (b). Cálculo de la varianza de una distribución de nueve números.
II. Estadística Descriptiva
•
Ejemplos.
Tabla 4. Arreglo de 30 datos en forma desordenada.
Tabla 7. Tabla frecuencial con doce clases.
Tabla 6. Distribución frecuencial de 30 datos.
Tabla 5. Arreglo 30 de datos en forma ordenada.
Tabla 8. Tabla frecuencial con ocho clases.
III. Presentación de Gráficas de Datos
•
Gráfica de barras.

El eje x contiene categorías tales como edades de grupos, años,
meses.

Algunas medición cuantitativa asociada con una categoría dada está
representada por la altura de la barra.

Los anchos de todas las barras en una gráfica de barras simple
deben ser los mismos.

Las barras pueden ser horizontales o verticales y pueden estar
juntas o separadas.
III. Presentación de Gráficas de Datos
•
Gráfica de barras.
Tabla 1. Una distribución de nueve números.
Figura 1. Gráfica de barras de taza de mortandad
Infantil de bebés blancos y no blancos (1970-1979).
Tabla 9. Mortandad infantil, EUA: 1970-1979
(edad < 1 año.)
Figura 2. Gráfica de barras de taza de mortandad
Infantil de bebés no blancos (1970-1979).
III. Presentación de Gráficas de Datos
•
Representaciones Gráficas de Tablas de Frecuencia.

Histograma. Es una forma especial de gráfica de barras en el cual
los intervalos de clases están representados por los anchos de las
barras y las frecuencias de mediciones que caen dentro de las clases
que son representadas por las áreas de las barras.

Polígono de Frecuencia. Se construye al conectar los puntos medios
de las barras del histograma.

Curva de Frecuencia Acumulativa. Tiene una forma S y se llama
ojiva.
III. Presentación de Gráficas de Datos
•
Representaciones Gráficas de Tablas de Frecuencia.
Tabla 10. Distribución frecuencial de diez clases.
Figura 4. Polígono frecuencial basado en el
histograma de la figura 3.
Figura 3. Histograma basado en la distribución
frecuencia de la tabla 10.
Figura 5. Curva de frecuencia acumulativa basada
en la columna de frecuencia acumulativa
de la tabla 10.