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Materia de apoyo de Trigonometría
Profr. Carlos Justino Arévalo García
Material de apoyo de Geometría Analítica
Profr. Carlos Justino Arévalo García
Unidad I: La recta
Conceptos Básicos
Geometría: Es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las propiedades de las figuras
regulares en dos o tres dimensiones (puntos, rectas, triángulos, rectángulos, circunferencias, planos, esferas,
cubos, prismas, etc.). Dichas propiedades son por ejemplo: el comportamiento de su área, perímetro,
superficie o volumen.
Geometría Analítica: Es una rama de la geometría que utiliza técnicas básicas del análisis matemático y del
álgebra para el estudio de lugares geométricos (rectas, circunferencias, parábolas, etc.). Para ello se apoya de
la herramienta matemática llamada “plano cartesiano”.
Lugar geométrico: Es un conjunto de puntos en un plano cartesiano que cumplen las mismas propiedades
geométricas. Por ejemplo: los puntos que forman parte de una misma circunferencia tienen en común que se
encuentran todos ellos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
Las dos cuestiones básicas de la Geometría Analítica son:

Dada la gráfica de un lugar geométrico escribir la ecuación que lo represente.

Conociendo la ecuación de un lugar geométrico, realizar la gráfica que lo represente en un plano
cartesiano.
El plano cartesiano
El plano cartesiano es una herramienta que se utiliza para ubicar puntos. Está conformado por dos rectas
numéricas que se cruzan formando cuatro ángulos de 90° (de forma perpendicular). Una recta es horizontal y
se le llama eje de las “x” o de las “abscisas”. La otra recta es vertical y se le llama eje de las “y” o de las
“ordenadas”. Cada uno de los ejes está numerado y tiene una parte positiva y otra negativa como se muestra
en el gráfico siguiente:
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El punto donde se cruzan ambos ejes se llama origen. Para ubicar cualquier punto dentro del plano cartesiano
es necesario conocer dos datos del mismo llamados coordenadas del punto, los cuales son valores numéricos.
El primer valor indica el desplazamiento horizontal a partir del origen para llegar a dicho punto; el segundo
valor indica el desplazamiento vertical. Ambos valores pueden ser positivos o negativos.
Ejercicio No. 1 Traza un plano cartesiano en tu cuaderno de trabajo y ubica los siguientes puntos en él:
A (3,2)
B (-4,1)
C (0,-5)
D (2,-2)
E (4,0)
F (-1,4)
G (3,-3)
H (-4,-2)
I (-2,-5)
Cálculo de forma gráfica de la distancia entre dos puntos
Para calcular la distancia entre dos puntos en un mapa es importante considerar la escala a la que está trazado
el mismo. Los pasos a seguir para obtener la distancia real entre ambos puntos son:
1. Medir la distancia entre ambos puntos (mm, cm, pulgadas, etc.).
2. Medir el tamaño de una unidad de la escala del mapa en las mismas unidades del paso 1.
3. Obtener la distancia entre ambos puntos en unidades de la escala (dividir resultado paso 1 entre
resultado paso 2).
4. Multiplicar el resultado anterior por el valor de una unidad de la escala en la realidad.
Ejercicio No. 2 Resuelve lo siguiente:
En una zona militar se desean construir túneles subterráneos que comuniquen a todos los edificios del
complejo de la siguiente forma:
 El edificio central con el edificio A.
 El A con el B.
 El A con el C.
 Central con el D.
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 Central con el E.
 El E con el F.
Si utilizáramos un plano cartesiano de referencia los edificios tendrían las siguientes coordenadas:
 Central (0,0)
 Edificio A (2,5)
 Edificio B (10,6)
 Edificio C (6,10)
 Edificio D (-8,3)
 Edificio E (-5,-7)
 Edificio F (5,-7)
Ubica todos los edificios en un plano cartesiano trazado en tu libreta, traza los túneles que se planea construir
y determina la longitud real de cada uno de ellos utilizando el método gráfico visto anteriormente. Considera
que tres unidades de tu plano equivalen a 2 km. Traza la escala en algún lugar del plano.
Cálculo de la distancia entre dos puntos del plano cartesiano de coordenadas conocidas de
forma analítica
Para calcular la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas de forma exacta se puede emplear el
teorema de Pitágoras. En la gráfica siguiente se puede apreciar que restando las coordenadas en “x” de ambos
puntos se obtiene el valor del cateto horizontal del triángulo formado. De forma similar se puede obtener el
cateto vertical restando las coordenadas en “y”.
La distancia de interés es la hipotenusa del triángulo formado.
Por consiguiente la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas es:
̅̅̅̅
𝑨𝑩 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐
Donde:
x1, y1 = coordenadas del punto 1.
x2, y2 = coordenadas del punto 2.
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Es importante mencionar que es indistinto a cual punto elegir como punto 1, ya que la fórmula dará el mismo
resultado independientemente de eso. Recordar también que es indispensable respetar el signo de las
coordenadas al sustituir.
Ejercicio 1.3:
Calcular la distancia de forma analítica entre el punto C (2,9) y el punto D (10,-4). Ubícalos en un plano
cartesiano y traza la distancia. Elige primero al punto C como punto 1 y realiza el cálculo, luego elige el punto
D como punto 1 y repite el proceso. Compara resultados.
Tomando como punto 1 a C
X1= 2, Y1=9,
X2=10, Y2=-4
̅̅̅̅ = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐
𝑪𝑫
̅̅̅̅
𝐶𝐷 = √(10 − 2)2 + (−4 − 9)2
̅̅̅̅ = √(8)2 + (−13)2
𝐶𝐷
̅̅̅̅ = √64 + 169
𝐶𝐷
̅̅̅̅
𝐶𝐷 = √233
̅̅̅̅
𝐶𝐷 ≈ 15.26𝑢
X1= 10, Y1=-4,
X2=2, Y2=9
̅̅̅̅
𝐶𝐷 = √(2 − 10)2 + (9 − (−4))2
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̅̅̅̅
𝐶𝐷 = √(2 − 10)2 + (9 + 4)2
̅̅̅̅
𝐶𝐷 = √(−8)2 + (13)2
̅̅̅̅
𝐶𝐷 = √64 + 169
̅̅̅̅ = √233
𝐶𝐷
̅̅̅̅ ≈ 15.26𝑢
𝐶𝐷
Ejercicio de aplicación 1.4:
Si ubicamos los vértices de un triángulo en el plano cartesiano tendrían las siguientes coordenadas:
A (-4,-6) B (2,4) C (-9,-3)
Traza el triángulo en un plano cartesiano y calcula la longitud de sus lados de forma analítica.
¿Cómo podrías demostrar que se trata de un triángulo rectángulo sin utilizar transportador?
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