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Determinación de brazo de Aplicación. Para esto, se balanceó el sistema con 1100 ml de agua, con densidad aproximada de 1 𝑔⁄𝑐𝑚3 . Además se conoce la masa del portapesas, de 0,1267 kg, y se trabajará con la aceleración de gravedad de valor 9,8 𝑚⁄𝑠 2 . A continuación se presentan los valores del brazo al que se ubica el portapesas, tras agregar diferentes pesos adicionales. Sup: totalmente cubierta, vertical. Volumen [ml] 1100 Altura [mm] 118 Peso adicional [N] Brazo [cms] Peso Total [N] Torque [N*cm] 2 24,5 3,24166 79,42067 2,5 20,9 3,74166 78,200694 3 18,8 4,24166 79,743208 3,5 16,7 4,74166 79,185722 4 15,2 5,24166 79,673232 4,5 13,8 5,74166 79,234908 Tabla : Valores de torque obtenidos experimentalmente. El peso total está calculado como 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝐴𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 0,1267 ∙ 9,8 [𝑁]. Además, el peso del volumen de agua es 1100 𝑐𝑚3 ∙ 9,8 𝑚⁄ 2 ∙ 1 𝑠 1000 𝑔𝑟 𝑔𝑟 ⁄𝑐𝑚3 ∙ 1 𝑘𝑔 = 10,78 [𝑁]. Haciendo el balance de torques entre los pesos y el volumen de agua, tomando el torque promedio que los pesos ejercen sobre la balanza se obtiene el valor promedio del brazo de aplicación de la fuerza ejercida por el fluido en el sistema. Torque Prom [N*cm] Brazo [cm] (Torque/Peso Agua) 79,243 7,35 Tabla : Valor de brazo de aplicación en base a torque promedio. Ahora, se determina la coordenada horizontal del centro de gravedad del volumen de líquido en el recipiente, a fin de comparar su valor con el brazo determinado. Para ello se parametriza la figura que forma el agua de la siguiente forma. Figura : Diagrama invertido de volumen de agua en recipiente El centro de gravedad, mediante integrales, queda: √𝑅12 −(𝑅2−ℎ)2 𝑋𝐶𝐺 = ∫0 √𝑅12 −(𝑅2−ℎ)2 ∫0 √𝑅22 −𝑥 2 √𝑅22 −(𝑅2−ℎ)2 √𝑅22 −𝑥 2 √𝑅22 −(𝑅2−ℎ)2 √𝑅22 −𝑥 2 ∫√𝑅12−𝑥 2 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + ∫√𝑅12−(𝑅2−ℎ)2 ∫𝑅2−ℎ √𝑅22 −𝑥 2 ∫√𝑅12−𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + ∫√𝑅12−(𝑅2−ℎ)2 ∫𝑅2−ℎ 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Ocupando los valores experimentales, se obtiene el siguiente resultado. R1 [cm] 10 Xcg [cm] 7,46 R2 [cm] 20 h [cm] 11,8 Tabla : Valor obtenido de centro de gravedad de volumen de liquido. → Valores de brazo experimental y de centro de gravedad son aproximadamente iguales. Momento y superficie plana El líquido ejerce fuerzas sobre las superficies con las que está en contacto. En este caso, sería sobre las superficies planas laterales, la superficie plana inferior las superficies de mantos cilíndricos que lo encierran por arriba o por abajo. Figura : Diagramación de fuerzas actuando en un esquema cilíndrico, donde eje de giro es eje central. Vectores en 𝑟̂ : Son las fuerzas que efectua el líquido en una o ambas caras de manto cilíndrico. Como la fuerza ejercida es perpendicular a las caras, se hace en dirección radial, y por tanto no ejercen torque respecto a eje de giro (en diagrama, fuerzas 1 y 2). Vectores en 𝑘̂: Debido a la homogeneidad del fluido, este adopta la forma del recipiente, por lo que la superficie de contacto con las caras laterales del recipiente es la misma. Luego el fluido hace la misma fuerza perpendicular sobre ambas, pero en sentido contrario (en diagrama fuerzas 3 y 4). Luego el torque que puedan realizar es nulo, además de no aplicable a la dirección de giro del eje (recipiente no puede girar en otra dirección que no sea la de 𝜔 𝑘̂ ). Vector en 𝜃̂ : Consiste en la fuerza que ejerce el fluido sobre la superficie plana inferior del recipiente. Esta fuerza sí ejerce torque de acuerdo al eje de giro, y no tiene con qué anularse. Luego, la única fuerza que ejerce torque en el eje de giro de la balanza es la perpendicular a la cara plana inferior del recipiente. Demostración empírica. Para corroborar la última demostración, se ocuparon diferentes configuraciones de la balanza, vertical e inclinada, con la superficie inferior total o parcialmente cubierta por agua. Con ello, se podrá identificar el torque que ejerce el agua, balanceado con pesos al otro costado, y se corroborará que es el mismo torque que ejerce la fuerza de presión del agua sobre la superficie en cuestión. Figura : Diagrama de balanza. Con el diagrama descrito se puede describir la fuerza como el volumen del prisma de presiones y su punto de aplicación, medido desde fondo de recipiente y con a como ancho del recipiente, de la siguiente forma. 𝐹 = 𝑉𝑟𝑒𝑐𝑡 + 𝑉𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 = 𝑋= 2 ∙ 𝑃0 ∙ 𝑎 ∙ ℎ + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑎 ∙ ℎ2 2 ∙ cos(𝜃) 𝑉𝑟𝑒𝑐𝑡 ∙ ℎ′⁄2 + 𝑉𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 ∙ ℎ′⁄3 𝑉𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3 ∙ 𝑃0 ∙ ℎ + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 3 ∙ cos(𝜃) ∙ (2 ∙ 𝑃0 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ) Luego el brazo de aplicación del torque sería 0,2 – X, distancia al eje de giro. Caso 1: Superficie vertical, totalmente cubierta. Fuerza [N] X [m] Brazo [m] Torque Agua [N*m] Torque masa [N*m] 4,998 0,03775 0,162255 0,81095049 0,7924307 Tabla : Error % 2,3371 Caso 2: Superficie vertical, parcialmente cubierta. Fuerza [N] X [m] Brazo [m] Torque Agua [N*m] Torque masa [N*m] 1,23627 0,01933 0,180667 0,223353192 0,204874 Error % 9,0198 Caso 3: Superficie inclinada en 50°, totalmente cubierta Fuerza [N] 9,83874 X [m] 0,046 Brazo [m] Torque Agua [N*m] Torque masa [N*m] 0,154002 1,515185637 1,68288872 Caso 4: Superficie inclinada en 30°, parcialmente cubierta ρθ Error % -9,9652