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TRABAJO DE MATEMATICAS
RECUPERACION PERIODO 2 Y NOTA PERIODO 3
1002
I.E. RAMON GIRALDO CEBALLOS
TEMA 1: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIANGULOS Y EN EL PLANO
1. Halla las 6 razones trigonométricas para los ángulos agudos del triángulo rectángulo
de la figura y las medidas dadas para cada ejercicio.
a  44cm b  5cm
a  5cm c  16cm
b  6cm c  10cm
a b
b
e. a 
2
f. b  3a
g. a  b  3
a.
b.
c.
d.
2. Une con una flecha la razón trigonométrica de la columna A que es equivalente a la de
la columna B.
A
B
sen30
tan 20
sec45
ctg15
cos80
sen25
ctg 70
tan 75
cos 60
sen10
csc45
cos 65
3. Resuelve:
a. Halla la medida del ángulo A que cumple la condición senA  cos A
b. Halla la medida del ángulo A que cumple la condición sen2 A  cos3A
c. Halla el valor de las 6 razones trigonométricas para los ángulos agudos del
triángulo rectángulo de la figura
4. En el siguiente triángulo isósceles la base mide 20m y el ángulo opuesto 80°. Halla la
altura del triángulo BM, las longitudes de los lados AB y CB, la medida de los ángulos A
y C y halla el área del triángulo.
5. Dado el triángulo rectángulo DEF, si d=4 cm y F=30°, halla la altura del triángulo EM, la
medida de los lados e y f y de los ángulos.
6.
Basado en la figura halla la medida de h y x.
a.
b.
7.
Desarrollo del taller de clase para el 28 de abril. Ejercicios de refuerzo.
1. Dada la medida de AC y el ángulo B, halla la altura BM, la longitud de AB y CB, la
medida de los ángulos A y C y el área del triángulo.
a. AC = 10 cm B = 70°
b. AC = 5 km B = 110°
c. AC = 4 Hm B = 60°
2. Dado el triángulo rectángulo DEF y conociendo la medida del lado d y el ángulo F
halla la altura EM, la medida de e y f y el área del triángulo.
a.
d = 10 km F = 45°
b.
d = 150 km F = 22°
c.
d = 400 Hm F = 40°
d.
d = 12,5 m F = 40° 10´ 30¨
3. Basado en la figura halla la medida de h, x y el área del triángulo
a.
b.
c.
8. Mayo 3. Halla las 6 razones trigonométricas para cada ángulo en posición normal cuyo
lado final contiene el punto dado en el plano cartesiano:
a. (3,4)
b. (1,5)
c. (-1,1)
f.
g. (3,-2)
h. (5,-3).
(-3,-1)
d. (-2,3)
e. (-6,-8)
9. Mayo 6. Construir las gráficas de las 6 razones trigonométrica a partir de los valores
obtenidos en la tabla para ángulos que van de 0° a 360° de 15° en 15°.
Angulo
S Sexagesimal (°)
0°
15°
g
S Centesimal (g)
0g
S Circular (rad)
0
50
3

12
30°
100
3

6
°°°
360°
°°°
400 g
°°°
2
g
10. Mayo 20. Trabajo en clase. Halla la medida de y en cada triángulo dado.
a.
b.
c.
d.
TEMA 2: TRANSFORMACION DE FUNCIONES SENO Y COSENO
f  x   A cos  bx  c   d
f  x   Asen bx  c   d
Para cada función propuesta en la tabla represéntala gráficamente y
completa las tablas.
a. AMPLITUD = A .
f  x   A cos x
Función
f  x   Asenx
Amplitud
Periodo
Rango
f  x   cos x
g  x   3cos x
1
h  x   cos x
2
f  x   7senx
g  x   5senx
h  x 
b. PERIODO =
11
senx
23
2
b
f  x   cos bx
f  x   senbx
El factor b determina el período de la función sin modificar la amplitud
de la onda. La relación es inversa es decir, cuanto mayor es |b|, menor es
el período. El valor absoluto de b indica la cantidad de ondas que hay en
el intervalo de longitud 2 , y se llama frecuencia. El período p de cada
función puede calcularse por la expresión:
2
b
Función
f  x   cos x
g  x   cos3x
1
h  x   cos x
4
f  x   sen7 x
1
g  x   sen x
5
h  x   12senx
b
Período
c. FASE:
Para la función La función f  x   cos b  x  c  el ángulo de fase es c.
Para la función La función f  x   cos  bx  c  el ángulo d fase es
c
.
b
(la gráfica se traslada horizontalmente a izquierda cuando es + y se traslada
horizontalmente a derecha cuando es -)
Función
b
c
c
b
Ángulo
de
izquierda derecha
fase
2
b
periodo
f  x   cos x
g  x   cos  x  30
h  x   cos  x  60


f  x   cos  x  
4

h  x   sen  2x   
3 

g  x   sen 4  x 

5 

f  x   cos  3x  60
3 

g  x   sen  4 x 

5 

g  x   cos 4  x   
d. DESPLAZAMIENTO VERTICAL:
Corresponde al valor d de La función f  x   cos x  d o f  x   senx  d .
Función
f  x   cos x
g  x   cos x  4
h  x   cos x  8
h  x   senx  11
f  x   cos x  
d
sube
baja
e. REFLEXIÓN RESPECTO A LOS EJES.
Cuando el factor de la función es negativo, es decir,
f  x   -cos x
o
f  x   -senx
la gráfica se refleja respecto al eje x (abscisa)
Cuando el factor de la variable x es negativo, es decir,
f  x   cos( x)
f  x   sen(-x)
o
la gráfica se refleja respecto al eje y (ordenada)
f. Aplicando los conceptos vistos completa la tabla
Ángulo
Desplazamiento
Amplitud Período de
vertical
fase
Función
Reflexión
f  x    cos 2 x  3

f  x   3cos( x  )  1
3
1
f  x    cos( x)
2
3

f  x   cos( x  )
2
5
f  x    cos 2( x  3)  1

f  x   2 sen(3 x  )
3
3

f  x   sen( x  )
2
5
f  x   2sen4 x  3
g. DADA LA GRÁFICA DE LA FUNCION HALLAR UNA ECUACIÓN.
a.
b.
TEMA 3. CIRCULO Y LINEAS TRIGONOMÉTRICAS.
1. Representa en un círculo trigonométrico de radio 5 cm que
corresponderá a la unidad la líneas trigonométricas para las siguientes
funciones.
sen30 cos53 sen100 cos 200 cos315
2. Representa en un círculo trigonométrico las 6 razones trigonométricas
para cada ángulo.
a. 30°
b. 120°
c. 200°
d. 300°
3. Halla el área de la región sombreada en función del ángulo 
4. Ordena de mayor a menor
A= cos10 B  cos 260
C=cos80
TEMA 4. LEY DE SENO Y LEY DE COSENO
Julio 15
senA senB senC


a
b
c
o
a
b
c


senA senB senC
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
EJERCICIOS: resuelve los siguientes triángulos
1. a=10, A=30°, B=40°
2.   20 , A=130° , b=6
3. Resuelve el triángulo cuyas medidas conocidas son:
A=23,38°, C=126,42°, c=8.1cm
4. Resuelve el triángulo cuyas medidas conocidas son:
b=,97m , C=25,18°, A=43,82°
5. Resuelve el siguiente triangulo
6. Resuelve el siguiente triangulo
7. Halla la medida de x
8. Halla la medida de d en la figura
9. Resuelve el triángulo cuyas medidas son:
a. a = 1792, b = 4231, c = 3164
b. a = 12, b =57, A = 150°
c. a = 72 m, b = 57 m, C = 75,78°
TEMA 5. IDENTIDADES.
Demuestra las siguientes identidades:
1. cos x sec x  1
2. cos x csc x  ctgx
3. cos x tan x  1  cos x
4. cos   se n tan   sec 
2
2
2
1  sen 1  sen

 4 tan  sec 
1  sen 1  sen
1
cos 
sen


6.
sen sen 1  cos 
5.
7.
 sen  cos  
2
 1  2sen cos 
 ctg 2  ctg 2  cos2 
4
4
2
2
9. sen   cos   sen   cos 
10. sen tan   sec   cos 
tan 3   1
 sec2   tan 
11.
tan   1
sen 2  2cos   1
1

12.
2  cos   cos 2  1  sec
2
2
13. ctg   sec   1  1
8. cos
2
14. 2 tan  
1
1

sec   tan  sec   tan 
tan   c t g
 csc 
sec 
1  c t g 2
16.
 se c
ctg csc
17. sec  ctg 1  csc 1  tan   2  csc  sec 
15.
sec ctg  csc tan 
 csc sec
cos  sen
sen
1  cos 

 2csc
19.
1  cos 
sen
cos
20. sec  tan  
1  sen
18.
TEMA 6. REPASO ICFES.
1. Del triángulo se puede afirmar que:
a. 4senA  3senC
b. senB  senC
c. 3senB  4senC
d. 6senA  senC
2. En el triángulo de la figura los valores de b y
5 3
14
5
b. b=7 sen 
14
5 3
c. b=7 sen 
10
a. b=7
sen 
sen son:
d. b=7
sen 
5
10
*****Recuerde que sen60 
3
2
y
cos 60  
1
*******
2
3. Si en un triángulo ABC se tiene que cos A  0 es posible que:
a. a=b
c. c>a
b. b=c
d. b>a
4. En cada figura se muestra un par de triángulos:
a.
b.
c.
d.
1y2
2y4
1y3
3y4
TEMA 7. IDENTIDADES CON OPERACIONES EN SUS ÁNGULOS.
1. En los siguientes ejercicios halla el valor del sen usando las identidades
vistas.
a.
  15
b.
  75
c.
  135
d.
  300
2. Halla sen     y sen     sabiendo que:
1
2
y cos  
7
3
3
4
y cos  
b. sen 
5
5
c. sen  0 y cos   1
a. sen 
3. Demuestra que sen      sen      2sen cos 
4. Demuestra que sen   45  
2  sen  cos 
2
e.
 5

12
5. Calcula el valor de las razones trigonométricas de los ángulos
    y     si:
3
3 13
y cos  
5
2
2 5
2
y sen 
b. sen 
5
2
1
1
c. tan  
y sen 
7
2
1  tan 
d. tan  45    
1  tan 
sen    
e.
 cot   cot 
sen sen




f. cos      cos       3sen
3

3

TEMA 8 ECUACIONES CUADRÁTICAS – ECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a. x 2  4 x  0
l. x 2  7 x  12  0
b. 5 x 2  8 x  0
m. x 2  5 x  14  0
c. 3 x 2  9 x
n. x 2  2 x  15  0
d. 10x 2  x
o. x 2  6 x  216  0
e. x 2  5  0
p. a 2  66a  1080  0
f. x 2  3  0
q. a 2  4 x  3  0
r. y 2  9 y  20  0
g. x 2  9  0
h. x 2  9  0
s. x 2  6  x
i. x 2  25  0
t. x 2  9 x  8  0
2
j. x 2  16  0
u. 20  a  21a  0
k. x 2  2  0
a. sen 
2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a. 6 x 2  7 x  3  0
b. 2 x 2  3x  2  0
c. 3 x 2  5 x  2  0
d. 6 x 2  7 x  2  0
e. 6 x 2  6  5 x  0
f. 5 x 2  13x  6  0
g. 12 x 2  x  6  0
h. 4a 2  15a  9  0
i. 3  11a  10a 2  0
3.
a.
b.
c.
d.
j. 3x 2  12 x  5  0
k. 2 x 2  x  3  0
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas
1
cos x   0 en el intervalo  0, 2 
2

2cos x  3  0 en el intervalo 0  x 
2
2
6cos x  cos x  2  0 en el intervalo 0  x  2
csc2 x  2cot 2 x en el intervalo 0,2 
1
e. sen 1 x  cos 1 x  150
2
 xseny  5
f. 
 x cos y  2
g. cos x  3senx  1 en el intervalo 0  x  2
h. 2cos 2 x  3cos x  1  0 en el intervalo 0  x  2
i. 2cos 2 x  cos x  1 en el intervalo 0  x  2
j. 4cos 2 x  3cos x  1  0 en el intervalo 0  x  2
k. 4cos x  3  0 en el intervalo 0  x  2
l. cos x  2sen 2 x  2  0 en el intervalo 0  x  2
m. sen 1 3x  sen 1 x  60