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OPERACIONES ARITMÉTICAS
Alfinio Flores Peñafiel
University of Delaware
Significados de las operaciones aritméticas
Suma
El sentido más básico de la suma es juntar dos colecciones.
3+4=7
La suma también se relaciona con añadir objetos a una colección, o agrandar una colección. La
suma está relacionada con contar (seguir contando).
Sumar en la recta numérica.
Representación de 4 + 6. Primero un brinco de cuatro unidades y luego un brinco de seis
unidades.
Sustracción
Quitar. Se quita un subconjunto del conjunto original
7-3
OperacionesGTO
1
Comparar
Se comparan dos conjuntos y se encuentra la diferencia.
La diferencia es 5 - 3
El sumando perdido o completar
Involucra la relación entre la suma y la sustracción.
6 + ?? = 8
6+2=8
Por tanto 8 - 6 = 2
Si tengo seis objetos pero quiero tener 8, necesito 2 más
Lo que me falta es 8 - 6
Sustracción en la recta numérica
Representación de 10 - 6. Un brinco de diez unidades hacia adelante y luego un brinco de seis
unidades hacia atrás.
Extensiones
¿Puedes restar 6 de 4?
Otra representación de la sustracción
La diferencia entre dos números en la recta numérica también puede ser encontrada contando
cuántos intervalos más necesitamos recorrer para llegar a 6, o encontrando la distancia (dirigida)
que tenemos que recorrer para llegar de 2 a 6.
OperacionesGTO
2
5-1
La misma idea puede ser utilizada con números negativos. Para resolver (-1) - (-5), encuentra
cuántos intervalos más necesitas contar para llegar a (-1) empezando desde (- 5)
Para encontrar 0 - (-4), cuenta cuántos espacios necesitas contar para llegar a 0 empezando desde
-4
Para resolver 4 - (-2), encuentra la distancia entre (-2) y 4. ¿Cuál es la respuesta?
Significados de la multiplicación
Suma repetida
2+2+2+2=42=8
4+4=24=8
Grupos del mismo tamaño
Tres grupos cada uno con cinco objetos da 15 objetos
OperacionesGTO
3
Contar salteado
5, 10, 15, 20, 25, 30
Contamos de cinco en cinco seis veces
6  5 = 30
Arreglos de objetos
Cuando los objetos se arreglan se puede calcular el número total si conocemos el número de filas
y cuántos objetos en cada fila. La figura representa 5  3.
Modelo de área
El producto de dos números se puede también represetar por medio de un rectángulo cuyos lados
tienen la longitud de los factores.
El área de este rectángulo es 6.
Lo podemos ver como dos renglones con tres cuadrados por renglón,
o tres columnas con dos cuadrados por columna.
Modelo de área para la multiplicación y la propiedad distributiva
23
 12
46
230
276
OperacionesGTO
20 + 3
 10 + 2
40 + 6
200 + 30 _
200 + 70 + 6
4
Producto cartesiano
En el juego de submarino hay diez letras en un eje y diez números el otro eje. Los barcos se
pueden colocar en posiciones dadas por las combinaciones de una letra y un número. El número
total de posiciones está dada por el producto 10  10. Nota que en este caso no estamos sumando
objetos del mismo tipo.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A1
B1
C1
D1
E1
F1
G1
H1
I1
J1
A2
B2
C2
D2
E2
F2
G2
H2
I2
J2
A3
B3
C3
D3
E3
F3
G3
H3
I3
J3
A4
B4
C4
D4
E4
F4
G4
H4
I4
J4
A5
B5
C5
D5
E5
F5
G5
H5
I5
J5
A6
B6
C6
D6
E6
F6
G6
H6
I6
J6
A7
B7
C7
D7
E7
F7
G7
H7
I7
J7
A8
B8
C8
D8
E8
F8
G8
H8
I8
J8
A9
B9
C9
D9
E9
F9
G9
H9
I9
J9
A10
B10
C10
D10
E10
F10
G10
H10
I10
J10
Ramificaciones
Hay dos ramas, cada rama con tres ramitas. El total de ramitas es 2  3.
Significados de la división
8÷4
Divide 8 en 4 partes iguales (partición)
OperacionesGTO
5
8 dividido en 4 partes iguales
¿Cuántas veces cabe 4 en 8? (medición)
Si se tienen 8 objetos, se pueden formar dos grupos de cuatro
División como resta repetida.
Para resolver 40 ÷ 8 podemos restar 8 repetidamente
40 - 8 = 32
32 - 8 = 24
24 - 8 = 16
16 - 8 = 8
8-8=0
Restamos 8 cinco veces, por tanto 40 ÷ 8 = 5.
Factor perdido
5  = 30
5  6 = 30
Por tanto 30 ÷ 5 = 6
OperacionesGTO
6
Suma y resta de enteros.
Adaptado de Bennet y Musser, Arithmetic Teacher, mayo 1976.
OBJETIVO: Realizar sumas y restas de números enteros empleando fichas de dos colores.
MATERIAL: 15 fichas azules, 15 fichas rojas, hojas de actividades.
INTRODUCCION: Las fichas azules serán usadas para representar enteros positivos y las fichas
rojas representarán enteros negativos. Por ejemplo, un conjunto de 5 fichas azules y un conjunto
de 6 fichas rojas son modelos para los enteros 5 y (- 6) respectivamente. (Ver figura 1).
Si nos ponemos de acuerdo que una ficha azul cancela a una ficha roja, cada entero puede ser
representado de muchas maneras. La figura 2 muestra otra forma de representar los números 5 y 6.
Usa fichas de ambos colores para representar de dos formas distintas, los siguientes enteros.
Anota el número de fichas que empleaste de cada color.
6
Rojas _____
Azules _____
Rojas _____ Azules _____
3
Rojas _____
Azules _____
Rojas _____ Azules _____
OperacionesGTO
7
(-2) Rojas _____
Azules _____
Rojas _____
Azules _____
Si tuvieras una cantidad ilimitada de fichas rojas y azules, ¿de cuántas maneras podrías
representar un número entero?
DESARROLLO: 1) Representación de Inversos Aditivos.
Las 3 fichas azules y las 3 fichas rojas de la figura 3 pueden ser puestas en correspondencia uno a
uno, por lo tanto, las fichas azules cancelan a las rojas y el conjunto representa el número 0. Por
esto decimos que 3 y -3 son inversos; es decir 3 es el inverso de -3, y -3 es el inverso de 3.
Cada vez que un conjunto de fichas azules (entero positivo) y un conjunto de fichas rojas (entero
negativo) pueden ponerse en correspondencia uno a uno, el entero positivo y el entero negativo
que representan son inversos uno del otro y por lo tanto su suma es 0.
Usa las fichas para formar dos conjuntos diferentes que representen 0.
Anota en el espacio correspondiente, el número de fichas empleadas de cada color.
0: Rojas _____ Azules _____
0: Rojas_____ Azules _____
2) Suma de Enteros Positivos.
El modelo usual para la suma de números naturales es unir los conjuntos que los representan. El
modelo es usado en la figura 4 para ilustrar la suma de dos números naturales.
OperacionesGTO
8
Con la ayuda de tus fichas, ejecuta las siguientes operaciones:
6 + 4 = _______________
1 + 10 = _______________
3 + 9 = _______________
3 + 5 = ________________
3) Suma de dos enteros negativos.
También es posible, realizar sumas de enteros negativos utilizando nuestras fichas. En esta
ocasión, usaremos las rojas. En este caso también uniremos los conjuntos que representan a cada
número.
Si queremos realizar (-4) + (-5), representaremos cada sumando con las fichas:
OperacionesGTO
9
Utiliza tus fichas para resolver las siguientes operaciones:
(-4) + (-2) = ___________
(-2) + (-5) = _____________
(-1) + (-6) = ___________
(-4) + (-3) = _____________
(-8) + (-1) = ___________
(-2) + (-10) = _____________
4) Suma de dos enteros con signo distinto.
La figura 5 muestra cómo se pueden usar las fichas para calcular -5 + 2. La unión de los dos
conjuntos es el tercero, que tiene 5 fichas rojas y 2 azules. Este conjunto representa -3 ya que las
fichas rojas se pueden cancelar con las fichas azules y quedan 3 fichas rojas sin cancelar.
Esta operación queda representada así:
(-5) + 2 = (-3) + (-2) + 2 = -3 + [(-2) + 2] = -3 + 0 = -3.
Con ayuda de tus fichas, calcula las siguientes sumas:
8 + (-4) = ____
11 + (-2) = ____
3 + (-2) = ____
9 + (-1) = ____
7 + (-5) = ____
6 + (-6) = ____
OperacionesGTO
10
Ejercicios.
Con lo que has aprendido hasta aquí, resuelve las siguientes operaciones:
4 + (-7) = ____________
(-5) + 2 = ______________
(-9) + 3 = ____________
(-8) + 5 = ______________
(-3) + 2 = ____________
4 + (-2) = ______________
SEGUNDA PARTE.
Resta de Enteros.
El modelo de "quitar" para la resta es el medio usual para introducir la resta de dos números
naturales. Este modelo se usa con las fichas azules para calcular 5 - 3 en el primer ejemplo de la
figura 6. La figura muestra 5 fichas azules y 3 que se quitan.
El segundo ejemplo de la figura 6 muestra el uso del modelo de quitar con fichas rojas para
ilustrar la resta de dos números negativos. Para calcular -6 - (-2), cuenta 6 fichas rojas y quita 2
de ellas. Sobran 4 fichas, y así la resta es -4.
Usa las fichas para calcular las siguientes restas:
(-5) - (-3) = ___
(-4) - (-4) = ___
(-6) - (-1) = ___
9 - 3 = ___
Para calcular 5 - 8, ¿cómo se pueden quitar 8 de 5 ? La figura 7 muestra cómo se puede hacer
esto usando las fichas. El primer conjunto sólo tiene 5 fichas azules, así que usamos 3 fichas
azules más junto con 3 fichas rojas para obtener el segundo conjunto. Ambos conjuntos
representan el número 5, pero el segundo conjunto tiene 8 fichas azules. El tercer conjunto
OperacionesGTO
11
muestra que se quitan las 8 fichas azules y que quedan 3 fichas rojas. Por lo tanto, 5 - 8 = -3.
El proceso de cambiar del primer conjunto al segundo para obtener una representación más
conveniente de 5 ilustra el uso de las propiedades del idéntico aditivo y del inverso aditivo.
Las siguientes ecuaciones son una descripción matemática de este proceso.
Nota que el (3 + (-3)) en la segunda ecuación corresponde a las 3 fichas azules y 3 fichas rojas
extra que se usaron en el segundo conjunto.
5 - 8 = (5 + 0) - 8
= 5 + (3 + (-3)) -8
= 5 + 3 + (-3) - 8
= 8 + (-3) - 8
= 8 - 8 + (-3)
= -3
Con la ayuda de las fichas encuentra el resultado de las operaciones indicadas:
3 - 7 = ____________
2 - 8 = _________________
5 - 9 = ____________
4 -10 = ________________
1 - 3 = ____________
3 - 4 = _________________
La figura 8 muestra otro ejemplo de sustracción. Para calcular 6 - (-2), se ha cambiado el primer
conjunto por el segundo usando 2 fichas rojas y 2 fichas azules extra. Ahora es posible quitar 2
fichas rojas del segundo conjunto. El tercer conjunto muestra que se quitan 2 fichas rojas y que
quedan 8 fichas azules.
OperacionesGTO
12
Calcula la resta (-3) - 2 usando las fichas. Primero cuenta 3 fichas rojas para representar -3.
Luego, representa -3 poniendo 2 fichas azules y 2 fichas rojas más junto con las 3 rojas.
Usa las fichas para calcular las siguientes restas:
5 - (-2) = ____
(-3) - 2 = ____
(-3) - (-4) = ____
Suma de inversos
(-8) - 2 = (-8) + (-2)
a - b = a + (-b)
Sumando perdido
a - b = k si y sólo si
OperacionesGTO
a=k+b
13
Conclusiones.
1. Has representado enteros usando fichas. Esta representación no es única.
Por ejemplo:
2 = 7 + (-5) = 10 + (-8) = 4 + (-2)
2. La representación de los enteros de distintas formas es debida a que en los enteros tenemos el
cero. El cero se conoce como neutro aditivo, porque sumado a cualquier número, nos da el
mismo número.
Por ejemplo:
7+0 = 7
0 + (-2) = -2
3 - 0 = 3.
3. Para cada entero, podemos encontrar otro entero de modo que su suma sea cero. Estos
números se conocen como inversos aditivos.
Por ejemplo:
El inverso aditivo de (-3) es 3, porque (-3) + 3 = 0
4. La resta se puede sustituir por una suma algebraica.
Por ejemplo:
3 - 5 = 3 + (-5)
10 - 4 = 10 + (-4)
5. La suma tiene la propiedad conmutativa, es decir, el orden de los sumandos no altera el total.
Por ejemplo:
5 + 3 = 3 + 5 = 8 o también,
10 - 4 = 10 + (-4) = (-4) + 10 = 6
6. La resta de enteros no es conmutativa. No es lo mismo: a - b que b - a.
a - b es diferente de b - a, por ejemplo, si a = 0 y b = 4
0 - 4 = -4, pero 4 - 0 = 4.
El tiburón y el bote.
OperacionesGTO
14
Un dado tiene escrito ya sea Bote o Tiburón en cada una de sus caras. El otro tiene A1, A2, A3
(avanza 1, 2, ó 3), y R1, R2, R3 (retrocede 1, 2, ó 3) en sus caras. La persona arroja el primer
dado y se pone en la dirección indicada. Luego arroja el segundo dado y camina el número
indicado de pasos avanzando o retrocediendo. La persona que llega primero al bote gana. La
persona que se topa con el tiburón es comida y pierde.
!
Tiburón
Bote
Suma y resta de números enteros con una regla de cálculo
Corta las reglas numéricas para esta actividad (pega las reglas al final de la actividad en cartulina
antes de recortarlas para hacer más fácil su manejo).
Para esta actividad usaremos dos reglas como éstas, una llamada escala A, y la otra escala B.
escala B
escala A
Figura 1
Adición
1) Suma 4 + 3 con las reglas
a) Mueve la escala B a la derecha hasta que el 0 en la escala B esté exactamente arriba del 4 en la
escala A (ver fig. 2)
b) Busca el 3 en la escala B. Directamente debajo de este número está 7 en la escala A, por tanto,
4+3=7
escala B
escala A
Figura 2
OperacionesGTO
15
2) Usa las reglas numéricas para representar las sumas 5 + 2, 3 + 3, 10 + 5.
3) a) Suma 4 + 5.
b) Nota que la posición de las reglas es exactamente la misma que en 1)
c) ¿Necesitas cambiar la posición de la escala B para las siguientes sumas 4 + 4, 4 + 2, 4 + 10?
d) ¿Qué otras sumas puedes representar con esta posición de las reglas?
Sustracción
1) Resta 8 - 3
a) Desliza la escala B a la derecha hasta que el 3 en la escala B esté exactamente encima del 8 en
la escala A (ver fig. 3).
b) Busca el 0 en la escala B.
c) Directamente debajo del 0 está el 5, por tanto 8 - 3 = 5
escala B
escala A
Figura 3
2) Usa la regla deslizante para encontrar las siguientes sustracciones 5 - 4, 15 - 11, 4 - 4
3) ¿Cuáles otras sustracciones están representadas por la figura 3?
4) La figura 2 representa 4 + 3 = 7. ¿Qué otra sustracción está representada por esta figura?
5) ¿Cuáles sumas están representadas en la figura 3? Compara tu respuesta con la respuesta en 3).
6) ¿Puedes usar tus reglas de manera diferente para sumar? ¿Cómo?
7) ¿Puedes usar tus reglas para mostrar que la suma es conmutativa? ¿Cómo?
Pega en cartulina y recorta
escala B
escala A
OperacionesGTO
16
Extensión a números negativos y positivos
(Actividades redactadas por Francisco Mirabal)
OBJETIVO: Resolver sumas y restas de números enteros empleando una regla de cálculo.
MATERIALES: Tijeras, pegamento, 1/32 de hoja de cartulina, 2 regletas de números enteros.
Se te proporciona una plantilla en la última hoja para que pegues, recortes y obtengas tus regletas
de cálculo con mayor facilidad.
INTRODUCION:
En esta actividad realizarás operaciones básicas de suma y resta en el conjunto de los números
enteros que como recordarás se compone de enteros negativos, positivos y el cero.
DESARROLLO:
Para ello emplearemos dos regletas como las que se muestran abajo, nombradas con las letras A
y B. Cada una representa la recta numérica.
Estas regletas con idéntica escala, serán utilizadas para efectuar operaciones como a continuación
se describe.
1er. Caso: Suma de dos números enteros positivos (+a) + (+b)
Observa como se pueden usar las regletas para obtener la suma (+2) + (+3)
a) Coloca tus dos reegletas en la posición que muestra la figura de arriba
b) Mueve la escala B a la derecha hasta que el cero de la escala B quede exactamente arriba del
primer sumando que es (+2) en la escala A. Observa la figura que aparece a continuación.
c) Localiza el segundo sumando (+3) en la escala B. Directamente abajo de 3 de la escala B,
aparece 5 en la escala A, o sea el resultado de (+2) + (+3) = 5.
Como observaste en el ejemplo anterior la escala A permanece fija y la que se mueve es la escala
B.
OperacionesGTO
17
Resumiendo, en la escala A ubicas el primer sumando que en este caso fue 2 y colocas el cero de
la escala B exactamente arriba del primer sumando. En la escala B localizas el segundo sumando
y abajo de él en la escala A encuentras el resultado.
Ahora vas a calcular la suma de (+5) + (+4)
¿Cuál regleta permanece fija?__________________________________
¿Arriba de qué número de la escala A ubicas el cero de la escala B?______
__________________________________________________________
¿Qué número representa el segundo sumando? ______________________
Si localizas en la escala B el segundo sumando, ¿qué número de la escala A queda exactamente
abajo de él? _____________________________________
¿Cuál es el resultado que encontraste? __________________________
Si tu resultado es 9, es correcto, en caso contrario revisa el manejo de tus regletas nuevamente .
Con la ayuda de tus regletas calcula el resultado de las siguientes operaciones:
(+1) + (+6) = __________
(+3) + (+3) = __________
(+4) + (+1) = __________
(+5) + (+2) = __________
(+8) + (+2) = __________
(+6) + (+3) = __________
2o. Caso: Suma de dos números enteros negativos:
Observa el manejo de las regletas para obtener la suma (-3) + (-2)
a) Coloca tus regletas en posición para iniciar.
b) Mueve la escala B a la izquierda hasta que el cero de la escala B quede exactamente arriba del
primer sumando que es (-3) en la escala A.
Observa la siguiente Figura.
c) Localiza el segundo sumando que es (-2) en la escala B. Directamente abajo del -2 de la escala
B, aparece -5 en la escala A, o sea el resultado de (-3) + (-2) = -5
Ahora vas a calcular la suma (-2) + (-4)
OperacionesGTO
18
¿Cuál es el primer sumando? _____________________________________
¿Arriba de qué número de la escala A ubicas el cero de la escala B? ____
__________________________________________________________
Si localizas en la escala B el segundo sumando, ¿qué número de la escala A queda exactamente
abajo de él? ___________
¿Cuál es el resultado encontrado? ______________________________
Si el resultado que encontraste es -6, es correcto.
Empleando la regla de cálculo obtén el resultado de las operaciones que a continuación se te
presentan.
(-2) + (-1) = __________
(-1) + (-3) = __________
(-3) + (-3) = __________
(-2) + (-2) = __________
(-4) + (-2) = __________
(-5) + (-1) = __________
3er. Caso: Suma de dos números enteros con diferentes signos:
Parte 1
También puedes usar tus regletas para obtener la suma (+4) + (-3)
a) Coloca tus regletas en posición para iniciar.
b) Mueve la escala B a la derecha hasta que el cero de la escala B quede arriba del primer
sumando que es (+4) en la escala A.
c) Localiza el segundo sumando (-3) en la escala B. Directamente abajo está 1 de la escala A, o
sea la suma de (+4) + (-3) = 1
Calcula la suma de (+8) + (-5) con la ayuda de tus regletas.
¿Cuál es el primer sumando?
____________________________________
¿Arriba de qué número de la escala A ubicas el cero de la escala B?_____
__________________________________________________________
Al localizar el segundo sumando en la escala B, ¿qué número de la escala A queda exactamente
abajo de él?___________
¿Cuál es el resultado de la operación?____________________________
OperacionesGTO
19
Si utilizaste tus regletas correctamente tu resultado debe ser 3.
¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones? Emplea la regla de cálculo.
(+3) + (-3) = _________
(+6) + (-5) = __________
(+5) + (-2) = _________
(+8) + (-2) = __________
(+3) + (-1) = _________
(+10) + (-6) = _________
Parte 2.
Con la técnica aprendida resuelve las siguientes operaciones empleando la regla de cálculo.
(-6) + (+1) = __________
(-4) + (+2) = ___________
(-5) + (+5) = __________
(-5) + (+3) = ___________
(-3) + (+2) = __________
(-2) + (+1) = ___________
4o. Caso: Resta de dos números enteros (-a) -b
Con la ayuda de tus regletas resuelve (-4) -2
a) Acomoda tus reglas de cálculo en posición para iniciar.
b) Mueve la escala B hasta que el 2 quede arriba del -4 de la escala A.
c) Localiza el 0 en la escala B.
d) Lee la respuesta en la escala A, directamente abajo del 0 de la escala B tal como se muestra en
la siguente figura.
¿Es tu respuesta -6? Correcto.
Resuelve las siguientes operaciones con la regla de cálculo.
(-4) -1 = __________ (-3) -2 = ___________
(-1) -2 = __________
(-5) -1 = ___________
(-2) -2 = __________
(-1) -3 = ___________
¿De qué otra manera se puede utilizar la regla de cálculo para encontrar la diferencia (-4 ) - 2?
Investígalo.
Conclusiones.
1. La actividad que has realizado te ha permitido asociar las regletas con la recta númerica.
2.Aprendiste a obtener el resultado de una suma de dos cantidades utilizando una regla de
OperacionesGTO
20
cálculo.
3. Las regletas ahora utilizadas están numéradas a partir de -6 hasta 10, pero para obtener algunos
otros resultados se puede ampliar el número de divisiones de la regletas, en sentido negativo
como positivo.
NOTA: En el desarrollo de la unidad hemos empleado paréntesis para que distingas los
siguientes elementos:
a) El signo del número. Ejemplo (+3), (-2), etc.
b) El signo de operación. Ejemplo (+3) + (-2). Sin embargo es conveniente aclarar que en
algunos de los casos se puede eliminar el parentesis.
Por ejemplo:
(+2) + (+3) = 2 + 3
(-6) + (+1) = -6 + 1
Lo anterior no significa que se hayan alterado las operaciones ya que siguen representando sumas
de enteros. Lo importante es distinguir cuándo el signo corresponde al número y cuándo a la
operación.
PEGA LA REGLA DE CALCULO SOBRE UNA CARTULINA Y RECORTA AMBAS TIRAS
(Escala A y Escala B)
Multiplicación de enteros: Buscando patrones
1. Busca un patrón en la tabla de multiplicar. Nota que el primer factor es siempre el mismo:
2. Nota que el segundo factor decrece de uno en uno. Describe el comportamiento de las
respuestas en la recta numérica y extiende la tabla.
_|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|__ _|___|___|___|___|_
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2  5 = 10
24 = 8
23 = 6
22 = 4
21 = 2
20 = 0
2  (- 1) =
2  (- 2) =
OperacionesGTO
21
2  (- 3) =
2  (- 4) =
2. Busca un patrón en la tabla de multiplicar. Nota que el primer factor es siempre el mismo,
(-2) Nota que el segundo factor decrece de uno en uno. Describe el comportamiento de las
respuestas en la recta numérica y extiende la tabla.
_|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|__ _|___|___|___|___|_
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(- 2) 4 = - 8
(- 2)  3 = - 6
(- 2)  2 = - 4
(- 2)  1 = - 2
(- 2)  0 = 0
(- 2)  (- 1) =
(- 2)  (- 2) =
(- 2)  (- 3) =
(- 2)  (- 4) =
3. Procede de manera análoga, llena la tabla de multiplicar.
Otros argumentos
5  (-1) = - 5. Multiplicar por (-1) es como reflejar los números con el cero como espejo. La
reflexión de los números negativos debe ser positiva.
El método de Al-Khowarizmi
Multiplica 7  8 como el producto de dos binomios (10 - 3)  (10 - 2). ¿Cuál debe ser el signo
de (-3)  (-2) para que el resultado sea todavía 56?
Operaciones como mapeos.
OperacionesGTO
22
Adición.
Suma 1 a cada uno de los números de la recta de arriba. Conecta cada número con el resultado
correspondiente en la recta de abajo. Por ejemplo, 0 + 1 = 1, así que conectamos 0 with 1.
-4 + 1 = -3 así que conectamos - 4 with - 3, etc. Describe la figura con tus propias palabras.
Suma 2 a cada uno de los números de la recta de arriba. Conecta cada número con el resultado
correspondiente en la recta de abajo. Compara este diagrama con el anterior.
¿Como se vería la figura si sumaras 0 a cada número?
Sustracción
Resta 2 de cada uno de los números en la recta de arriba. Conecta cada número con el resultado
correspondiente en la escala de abajo. Contrasta esta figura con la anterior.
Adición de un número negativo.
Suma (-2) a cada uno de los números en la recta de arriba. Conecta cada número con el resultado
OperacionesGTO
23
correspondiente en la recta de abajo. Compara este diagrama con el anterior.
Multiplicación
Multiplica cada número en la escala de arriba por 2. Conecta cada número con el resultado
correspondiente en la recta de abajo. Describe la figura resultante con tus propias palabras.
Contrasta con las figuras obtenidas con la multiplicación y la sustracción.
¿Cómo se vería el dibujo si multiplicaras por 1?
Multiplica cada número par de la línea de arriba por 1/2. Conecta estos números con el resultado
correspondiente en la escala de abajo. Describe la figura resultante. Contrasta con la figura
anterior. Ahora haz lo mismo con los números impares de la escala de arriba.
¿Cómo se vería la figura si multipicaras por 0?
OperacionesGTO
24
Multiplica cada número en la línea de arriba por -1. Conecta cada número con el resultado
correspondiente en la línea de abajo. Describe la figura y contrástala con las figuras anteriores.
¿Como se verá la figura si multiplicas por - 2?
¿Como se verá la figura si multiplicas por -1/2?
OperacionesGTO
25
Elevar al cuadrado
Eleva al cuadrado cada uno de los siguientes números en la recta de arriba: - 2, -1, 0, 1, 2.
Conecta cada uno de estos números con el resultado correspondiente en la recta de abajo. ¿Qué
es diferente en esta figura?
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Un cuadrado mágico para la multiplicación de enteros.
Pon una ficha en cualquier cuadrado. Pon otra ficha en otro cuadrado que no esté en el mismo
renglón o en la misma columna que la primera ficha. Pon una tercera ficha en un cuadrado que
no esté en el mismo renglón y la misma columna que ninguna de las dos fichas anteriores. Mira
los números que han sido cubiertos. Multiplica estos números. El resultado es siempre 720.
La criba de Eratóstenes
Los números primos menores que 100.
1) Encierra el número 2 en un círculo. Encuentra todos los múltiplos de 2. Tacha todos los
múltiplos de 2 (excepto el 2) con tres líneas verticales.
2) Encierra el número 3 en un círculo. Encuentra los múltiplos de 3. Algunos de ellos ya han sido
tachados. Tacha todos los restantes múltiplos de 3 (excepto el 3) con una línea vertical.
3) Encierra el número 5 en un círculo. Encuentra los múltiplos de 5. Algunos de ellos ya han sido
tachados. Tacha todos los restantes múltiplos de 5 (excepto el 5) con cuatro líneas.
4) Encierra el número 7 en un círculo. Encuentra los múltiplos de 7. Algunos de ellos ya han sido
tachados. Tacha todos los restantes múltiplos de 7 (excepto el 7) con tres líneas.
5) Encierra en círculos todos los números que no han sido tachados. Estos son los números
primos menores que 100.
OperacionesGTO
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6) Discute con tus compañeros de grupo por qué sólo es necesario tachar los múltiplos de 2, 3, 5,
y 7 para obtener los números primos menores que 100.
2
8
14
20
26
32
38
3
9
15
21
27
33
39
4
10
16
22
28
34
40
5
11
17
23
29
35
41
6
12
18
24
30
36
42
7
13
19
25
31
37
43
44
50
56
62
68
74
80
86
92
45
51
57
63
69
75
81
87
93
46
52
58
64
70
76
82
88
94
47
53
59
65
71
77
83
89
95
48
54
60
66
72
78
84
90
96
49
55
61
67
73
79
85
91
97
98
99
100
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