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Universidad Nacional Del Callao
Facultad De Ingeniería Eléctrica Y Electrónica
Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica
TEMA:
HALLANDO EL POTENCIAL ELÉCTRICO,
CAMPO ELÉCTRICO Y GRAFICANDO EN MATLAB
TEMA:
FISICA 3
PROFESOR:
JUAN MENDOZA NOLORBE
INTEGRANTE:
CUBAS TRUJILLO ELVIS JEISON
072571E
2009
Trabajo de investigación de Física III 2009A
Gráficas en Matlab sobre Potencial Eléctrico y Campo Eléctrico
Página 1
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1. Dos cargas puntuales de +20μC y -80μC están ubicadas sobre el eje x, en las
posiciones x=-10cm y x=+10cm.
1.1. Expresar el potencial eléctrico V(x,y), en un punto cualquiera del plano XY.
V=
𝑘𝑞
𝑑
Desarrollando toda la operación, nos quedaría así el potencial eléctrico:
V=𝑘[
20μC
√(𝑥+10)2 +𝑦²
−
80μC
]
√(𝑥−10)2 +𝑦²
Reemplazando los valores nos queda:
V=
180000
√(𝑥+10)2 +𝑦 2
−
720000
√(𝑥−10)2 +𝑦 2
Para graficar esta función en Matlab, expresaremos de esta forma al programa:
V= (180000).*/((x+10).^2+y.^2).^1/2 - (720000).*/((x-10).^2+y.^2).^1/2
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La cual MATLAB nos dará una grafica correspondiente:
La cual “level” representa el valor correspondiente a los valores de “x” e “y”.
1.2. Utilizar el resultado anterior, calcular la intensidad del campo eléctrico
E(x,y) en dicho punto.
Para hallar el campo eléctrico introduciremos la expresión siguiente:
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La cual nos representará de la siguiente forma:
2. Una carga esta uniformemente distribuida con una densidad de 100μC/m³ en
todo el volumen de un cubo de lado 10cm.
2.1.
Determinar el potencial eléctrico a una distancia de 5cm. Del centro
de una de las caras del cubo, medida a lo largo de una perpendicular de la
cara.
Dado que el potencial depende de la
distancia de separación, lo primero que
haremos será ubicar los puntos en
coordenadas cartesianas de los centros
de los cubos que se va a dividir con el
punto donde se irá a calcular el potencial
eléctrico.
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 La distancia se definirá así:
D = Po-C = √(𝑿𝒐 − 𝑿𝒄)² + (𝒀𝒐 − 𝒀𝒄)² + (𝒁𝒐 − 𝒁𝒄)²
Donde:
Po= Ubicación del punto indicado.
C= Centro del cubo.
 Para la divisiones del cubo mayor a cubo pequeños la carga será:
q = Q/n
Donde:
Q = carga total.
q = carga del cubo dividido.
n = numero de cubos divididos con respecto al cubo mayor.
 Descomponiendo el cubo en 8 cubos de lado L*=L/2, la cual se representa en la
siguiente figura:
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La cual sus centros lo designaremos así:
𝐿
𝐿
𝐿
4
𝐿
4
𝐿
4
4
4
a) C1= (− , , )
𝐿
b) C2= (− , , − )
c) C3= (
d) C4= (
𝐿
4
𝐿
4
𝐿
4
𝐿
4
, , )
g) C7= (
𝐿
, ,− )
4
𝐿
𝐿
4
𝐿
4
𝐿
4
4
4
𝐿
f) C6= (− , − , − )
4
𝐿
𝐿
e) C5= (− , − , )
h) C8= (
4
𝐿
4
𝐿
4
,−
,−
𝐿
4
𝐿
4
4
𝐿
, )
4
,−
𝐿
4
)
La distancia de separación respectiva de cada uno se calcula así:
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
4
2
4
4
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
4
2
4
4
r1= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − ) ²
r2= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − (− )) ²
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
4
2
4
4
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
4
2
4
4
r3= √(0 − ) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − ) ²
r4= √(0 − ) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − (− )) ²
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
4
2
4
4
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
4
2
4
4
r5= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − (− )) ² + (0 − ) ²
r6= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − (− )) ² + (0 − (− )) ²
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
4
2
4
4
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
4
2
4
4
r7= √(0 − ) ² + (( + 5) − (− )) ² + (0 − ) ²
r8= √(0 − ) ² + (( + 5) − (− )) ² + (0 − (− )) ²
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Su potencial eléctrico será el siguiente:
1
1
𝑟1
𝑟2
V = 𝑘𝑞 [ +
1
V = 𝑘𝑞 [
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+( )²
4
2
4
4
1
+
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+( )²
4
2
4
4
+
1
𝑟3
𝑟4
+
1
𝑟5
+
+
𝑟6
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+( )²
4
2
4
4
1
+
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)+ )²+( )²
4
2
4
4
𝐿
2
1
1
+
1
𝐿
4
1
+
𝐿
4
𝐿
4
𝑟7
+
1
+ ]
𝑟8
1
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+( )²
4
2
4
4
1
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)+ )²+( )²
4
2
4
4
1
+
√( )²+(( +5)+ )²+( )²
1
𝐿
4
𝐿
2
𝐿
4
𝐿
4
+
+
]
√( )²+(( +5)+ )²+( )²
Observando que hay expresiones que son iguales, factorizando quedaría así:
V = 𝑘𝑞 [
4
𝐿
4
𝐿
2
𝐿
4
𝐿
4
+
√( )²+(( +5)− )²+( )²
4
𝐿
4
𝐿
2
𝐿
4
𝐿
4
]
√( )²+(( +5)+ )²+( )²
Donde:
2
K= 8.9876x109 𝑁. 𝑚 ⁄𝐶 2
𝜌. 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛⁄
𝑄
q = ⁄𝑛 =
𝑛=
L = 10 cm
100μC
m3
. (0.1m)³⁄
4
Como en el denominador estamos trabajando en cm, entonces para tener las mismas
magnitudes factorizaremos un 10-2 a los radicales.
V = 8.9918. 109 .
(100𝑥10−6 𝐶/𝑚³ .(0,1𝑚)³)
8.10−2
4
10
4
10
2
10
4
10
4
[
4
10
10
10
10
√( )²+(( +5)− )²+( )²
4
2
4
4
+
]
√( )²+(( +5)+ )²+( )²
V = 8875.0555 vol. o 8875 vol.
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 Descomponiendo el cubo en 64 cubos de lado L*=L/4, la cual se representa en la
siguiente figura:
Para los demás cubos, tendrán el mismo orden de numeración.
La cual sus centros lo designaremos así:
1) C1= (−
2) C2= (−
3) C3= (−
4) C4= (−
3𝐿
8
3𝐿
8
3𝐿
8
3𝐿
8
,
,
,
,
3𝐿
3𝐿
8
𝐿
3𝐿
8
8
9) C9= (
8
,−
8
8
6) C6= (− ,
𝐿
,− )
3𝐿
,
3𝐿
8
𝐿
, )
8
3𝐿
)
3𝐿
8
8
𝐿
3𝐿
8
8
8) C8= (− ,
8
8
𝐿
7) C7= (− ,
)
8
𝐿
3𝐿
3𝐿
3𝐿
, )
8
𝐿
5) C5= (− ,
,
8
8
)
𝐿
8
10) C10= (
11) C11= (
12) C12= (
3𝐿
,
𝐿
8
𝐿
8
𝐿
8
8
,
,
,
3𝐿
8
3𝐿
8
3𝐿
8
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𝐿
,− )
8
,−
,
3𝐿
8
3𝐿
8
)
)
𝐿
, )
8
𝐿
,− )
8
,−
3𝐿
8
)
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13) C13= (
14) C14= (
3𝐿
,
8
3𝐿
,
8
3𝐿
,
8
3𝐿
3𝐿
8
)
15) C15= (
𝐿
, )
8
16) C16= (
8
3𝐿
3𝐿
,
8
3𝐿
8
8
3𝐿
,
8
𝐿
,− )
3𝐿
,−
8
8
)
Si observamos el cubo, deduciremos que los centros de los cubos serán lo mismo
con la diferencia que la ordenada disminuirá en L/4 como se mostrara a
continuación:
17) C17= (−
18) C18= (−
19) C19= (−
20) C20= (−
3𝐿
8
3𝐿
8
3𝐿
8
3𝐿
8
𝐿
3𝐿
8
8
𝐿
𝐿
8
8
, ,
)
25) C25= (
, , )
26) C26= (
𝐿
𝐿
8
8
𝐿
3𝐿
8
8
, ,− )
, ,−
𝐿
𝐿
3𝐿
8
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
8
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
8
8
8
𝐿
𝐿
3𝐿
8
8
8
21) C21= (− , ,
27) C27= (
)
28) C28= (
)
29) C29= (
22) C22= (− , , )
30) C20= (
23) C23= (− , , − )
24) C24= (− , , −
31) C31= (
)
32) C32= (
𝐿
8
𝐿
8
𝐿
8
𝐿
8
3𝐿
8
3𝐿
8
3𝐿
8
3𝐿
8
,
𝐿
8
3𝐿
,
)
8
𝐿
𝐿
8
8
, , )
𝐿
𝐿
8
8
𝐿
3𝐿
8
8
, ,− )
, ,−
𝐿
3𝐿
8
8
𝐿
𝐿
8
8
, ,
)
)
, , )
𝐿
𝐿
8
8
, ,− )
𝐿
3𝐿
8
8
, ,−
)
 Nota: para las demás coordenadas de la mitad de cubo que falta solamente
cambiara el signo de la ordenada inversamente ósea:
C17=C33 ; C20=C36 ; C29=C45 ; C32=C48 ; así sucesivamente con los demás.
La distancia de separación respectiva de cada uno se calcula así:
3𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
3𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
3𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
r1= √(0 − (− )) ² + (( + 5) −
r2= √(0 − (− )) ² + (( + 5) −
r3= √(0 − (− )) ² + (( + 5) −
) ² + (0 −
3𝐿
8
)²
𝐿
) ² + (0 − )) ²
8
𝐿
) ² + (0 − (− )) ²
8
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3𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
r4= √(0 − (− )) ² + (( + 5) −
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
r5= √(0 − (− )) ² + (( + 5) −
r6= √(0 − (− )) ² + (( + 5) −
r7= √(0 − (− )) ² + (( + 5) −
r8= √(0 − (− )) ² + (( + 5) −
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
r9= √(0 − ) ² + (( + 5) −
𝐿
3𝐿
8
2
8
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
r11= √(0 − ) ² + (( + 5) −
r12= √(0 − ) ² + (( + 5) −
r13= √(0 −
3𝐿
r14= √(0 −
3𝐿
r15= √(0 −
3𝐿
8
8
8
3𝐿
8
)²
𝐿
) ² + (0 − ) ²
8
𝐿
) ² + (0 − (− )) ²
8
3𝐿
) ² + (0 − (− )) ²
8
3𝐿
8
)²
𝐿
) ² + (0 − ) ²
8
𝐿
) ² + (0 − (− )) ²
8
3𝐿
) ² + (0 − (− )) ²
8
) ² + (( + 5) −
𝐿
3𝐿
2
8
) ² + (( + 5) −
𝐿
3𝐿
2
8
𝐿
3𝐿
2
8
) ² + (( + 5) −
8
) ² + (0 −
) ² + (0 −
𝐿
r10= √(0 − ) ² + (( + 5) −
3𝐿
) ² + (0 − (− )) ²
) ² + (0 −
3𝐿
8
)²
𝐿
) ² + (0 − ) ²
8
𝐿
) ² + (0 − (− )) ²
8
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r16= √(0 −
3𝐿
8
𝐿
3𝐿
2
8
) ² + (( + 5) −
3𝐿
) ² + (0 − (− )) ²
8
3𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
8
3𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
8
2
8
8
3𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
8
2
8
8
3𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
8
r17= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − ) ² + (0 −
)²
r18= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − )) ²
r19= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − (− )) ²
r20= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − (− )) ²
𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
8
2
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
8
2
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
8
r21= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − ) ² + (0 −
)²
r22= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − ) ²
r23= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − (− )) ²
r24= √(0 − (− )) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − (− )) ²
𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
8
2
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
8
2
8
8
r25= √(0 − ) ² + (( + 5) − ) ² + (0 −
)²
r26= √(0 − ) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − ) ²
r27= √(0 − ) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − (− )) ²
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𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
8
2
8
8
r28= √(0 − ) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − (− )) ²
r29= √(0 −
3𝐿
r30= √(0 −
3𝐿
r31= √(0 −
3𝐿
r32= √(0 −
3𝐿
8
8
8
8
𝐿
𝐿
3𝐿
2
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
2
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
2
8
8
𝐿
𝐿
3𝐿
2
8
8
) ² + (( + 5) − ) ² + (0 −
)²
) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − ) ²
) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − (− )) ²
) ² + (( + 5) − ) ² + (0 − (− )) ²
 NOTA: Para las demás distancia solamente se cambiará la diferencia de
ordenadas quitando cada 16 juegos L/4, lo cual solamente varia la ubicación de
nuestro cubo pequeño en el eje Y.
Su potencial eléctrico será el siguiente:
1
1
𝑟1
𝑟2
V = 𝑘𝑞 [ +
1
𝑟15
1
𝑟29
1
𝑟43
1
𝑟57
+
+
+
+
1
𝑟16
1
𝑟30
1
𝑟44
1
𝑟58
+
+
+
+
1
𝑟17
1
𝑟31
1
𝑟45
1
𝑟59
+
+
+
+
+
1
𝑟3
1
𝑟18
1
𝑟32
1
𝑟46
1
𝑟60
+
1
𝑟4
+
+
+
+
+
1
𝑟19
1
𝑟33
1
𝑟47
1
𝑟61
1
𝑟5
+
+
+
+
+
1
𝑟20
1
𝑟34
1
𝑟48
1
𝑟62
1
V = 𝑘𝑞 [
√(
3𝐿
𝐿
3𝐿
3𝐿
)²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
1
3𝐿
𝐿
3𝐿
3𝐿
√( )²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
+
1
+
𝑟6
+
+
+
+
1
𝑟7
1
𝑟21
1
𝑟35
1
𝑟49
1
𝑟63
+
+
+
+
+
1
𝑟8
1
𝑟22
1
𝑟36
1
𝑟50
1
+
+
+
+
1
𝑟9
1
𝑟23
1
𝑟37
1
𝑟51
+
+
+
+
1
𝑟10
1
𝑟24
1
𝑟38
1
𝑟52
+
+
+
+
√(
𝑟11
1
𝑟25
1
𝑟39
1
𝑟53
+
+
+
+
1
𝑟12
1
𝑟26
1
𝑟40
1
𝑟54
+
+
+
+
1
𝑟13
1
𝑟27
1
𝑟41
1
𝑟55
+
+
+
+
1
𝑟14
1
𝑟28
1
𝑟42
1
𝑟56
+
+
+
+
]
𝑟64
1
+
1
3𝐿
𝐿
3𝐿
𝐿
)²+(( +5)− )²+(− ))²
8
2
8
8
1
𝐿
𝐿
3𝐿
3𝐿
√( )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
+
1
+
√(
3𝐿
𝐿
3𝐿
𝐿
)²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
1
𝐿
𝐿
3𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
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+
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Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica
1
𝐿
8
𝐿
2
√( )²+(( +5)−
3𝐿
𝐿
)²+( )²
8
8
1
+
𝐿
8
1
𝐿
8
𝐿
2
√(− )²+(( +5)−
𝐿
8
1
1
+
+
3𝐿
𝐿
3𝐿
3𝐿
√(− )²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
3𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
)²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
1
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
√(
1
𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
√(− )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
1
𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
√(− )²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
1
√(−
3𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
)²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
1
+
+
1
1
𝐿
2
𝐿
8
3𝐿
)²
8
1
1
3𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
)²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
+
+
+
1
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√(− )²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
+
+
3𝐿
𝐿
3𝐿
𝐿
√(− )²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
√( )²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
1
+
3𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+(− ))²
8
2
8
8
𝐿
8
3𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
√(− )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
√(−
+
+
+
3𝐿
3𝐿
)²+( )²
8
8
√( )²+(( +5)− )²+(−
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√(− )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
+
𝐿
2
1
+
1
+
𝐿
8
√(− )²+(( +5)−
3𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
√( )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
1
3𝐿
3𝐿
)²+(− )²
8
8
1
1
3𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
)²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
𝐿
2
+
3𝐿
𝐿
3𝐿
𝐿
√(− )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+( )²
8
2
8
8
+
𝐿
8
√(− )²+(( +5)−
3𝐿
𝐿
)²+( )²
8
8
1
+
+
𝐿
2
√(− )²+(( +5)−
3𝐿
𝐿
3𝐿
3𝐿
√(− )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
√(
3𝐿
3𝐿
)²+( )²
8
8
1
+
3𝐿
𝐿
)²+(− )²
8
8
1
𝐿
2
√( )²+(( +5)−
1
+
+
1
3𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√(− )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
+
+ …]
Dado que varias expresiones se repiten, factorizando quedará así:
V = 8.9918. 109 .
(100𝑥10−6 𝐶/𝑚³ .(0,1𝑚)³)
64.10−2
8
3𝐿
𝐿
3𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
8
3𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
+
+
8
3𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)−(− ))²+(− )²
8
2
8
8
3𝐿
𝐿
3𝐿
3𝐿
√( )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
4
𝐿
𝐿
3𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
4
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
+
8
3𝐿
𝐿
3𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)−(− ))²+(− )²
8
2
8
8
4
[
+
+
4
3𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
√( )²+(( +5)− )²+(− )²
8
2
8
8
4
4
4
++
3𝐿
𝐿
𝐿
3𝐿
√( )²+(( +5)−(− ))²+(− )²
8
2
8
8
𝐿
𝐿
𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)−(− ))²+(− )²
8
2
8
8
+
+
+
+
4
3𝐿
𝐿
3𝐿
3𝐿
√( )²+(( +5)−(− ))²+(− )²
8
2
8
8
+
]
𝐿
𝐿
3𝐿
𝐿
√( )²+(( +5)−(− ))²+(− )²
8
2
8
8
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Reemplazando datos:
V = 8876 vol.
Observando los dos potenciales encontrados, podremos determinar un algoritmo
para el potencial eléctrico de n-ésimo cubos, la cual solamente se podrá evaluar para
n cubos de cantidad pares:
2𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
∑
∑ ∑(
𝑘=1
𝑘≠ º
𝑖=1
𝑖≠º
2
(
2
(
𝑗=1
𝑗≠º
2
𝑛
2
𝐿𝑗 2
𝐿𝑖
𝐿𝑘
( ) + ( + 5) + ( )
2𝑛
2𝑛
2𝑛
2
)
))
Donde:
n= es la raíz cubica de los números de cubos que se está trabajando.
i,j,k= son variables.
Nota: Para el primer caso, se multiplicara por 2 dados que no se repite la expresión
dos veces.
2.2.
Si la carga del cubo se distribuye uniformemente en una esfera con el
mismo centro que el cubo. ¿Cuánto cambiará el potencial?
V=
𝑘𝑞
𝑑
V= 8.9876x109 N/C².m² x (
10−7 𝐶
0.1 𝑚
)
V =8987.6 vol. o 8988 vol.
La diferencia de voltaje entre la esfera y el cubo es de 112 voltios.
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3. Un hemisferio metálico de radio R=50cm. Esta electrizado en toda su
superficie, la densidad de carga superficial es σ=100μC/m².
3.1.
Expresar el potencial eléctrico V(r,ө,ф), en coordenadas esféricas, en
un punto cualesquiera del espacio que rodea a la carga.
𝑘𝑑𝑞
V = ∫ |𝑟̅
2 −𝑟̅1 |
𝜋⁄
2
V = ∫0
𝑘𝑅² σsenөdөdф
2𝜋
∫0
√𝑥²+𝑦²+𝑧²+𝑅²−2𝑅(𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф+ysenөsenф+zcosө)
d= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑅2
𝑢 = −2𝑅(𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф + ysenөsenф + zcosө)
𝜋⁄
2
V = ∫0
2𝜋 𝑘𝑅² σsenөdөdф
∫0
√𝑑+𝑢
=
𝑘𝑅² σ
√𝑑
𝜋⁄
2
∫0
2𝜋
u
∫0 senөdөdф(1 + d)−
1⁄
2
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Usando el binomial de newton:
u
(1 + )−
d
1⁄
2=
1
𝑢
1
3
𝑢 2
1
3
5
𝑢 2
2
𝑑
2
2
𝑑
2
2
2
𝑑
1
𝑢
1+(− ) ( ) + (− ) (− ) ( ) + (− ) (− ) (− ) ( ) + ⋯
Reemplazando en la integral:
V =
𝑘𝑅² σ
√𝑑
𝜋⁄
2
∫0
2𝜋
3
𝑢 2
15
𝑢 2
∫0 senөdфdө [1 + (− 2) (𝑑) + (4) (𝑑) + (− 8 ) (𝑑) ] …(α)
Operando uno por uno:
𝜋⁄
2
 ∫0
𝜋⁄
2
 ∫0
2𝜋
∫0 senөdфdө (1) = 2 𝜋
2𝜋
1
∫0 senөdфdө [(− 2) (
𝜋⁄
2
𝑅
∫
𝑑 0
𝜋⁄
2
I.
∫0
II.
∫0
III.
∫0
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝑅
= ∫
𝑑 0
𝜋⁄
2
 ∫0
−2𝑅(𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф+ysenөsenф+zcosө)
)] =
𝑑
2𝜋
∫ senөdфdө (𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф + ysenөsenф + zcosө)
0
2𝜋
∫0 senөdфdө (𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф)= 0
2𝜋
∫0 senөdфdө (ysenөsenф)= 0
2𝜋
∫0 senөdфdө (zcosө)= z 𝜋
2𝜋
∫ senөdфdө (𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф + ysenөsenф + zcosө) =
0
2𝜋
3
∫0 senөdфdө [(4) (
𝜋⁄
2
𝑅 2
= 3( ) ∫
𝑑
0
𝑅
z𝜋
𝑑
−2𝑅(𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф+ysenөsenф+zcosө)
𝑑
) ²]
2𝜋
∫ senөdфdө (𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф + ysenөsenф + zcosө)2
0
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Recordando que:
(𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф + ysenөsenф + zcosө)2 = 𝑥²𝑠𝑒𝑛²өcos²ф + y²sen²өsen²ф +
z²cos²ө + 2𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛²өcosфsenф + 2𝑥𝑧𝑠𝑒𝑛өcosөcosф + 2𝑦𝑧𝑠𝑒𝑛өcosөsenф
Operando uno por uno:
𝜋⁄
2
I.
∫0
II.
∫0
III.
∫0
IV.
∫0
V.
∫0
VI.
∫0
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
2𝜋
∫0 senөdфdө(𝑥 2 𝑠𝑒𝑛2 өcos2 ф) =
2𝜋
∫0 senөdфdө(y²sen²өsen²ф) =
2𝜋
∫0 senөdфdө(z²cos²ө) =
2𝜋
3
2𝜋
3
2𝜋
3
𝑥2
𝑦²
𝑧²
2𝜋
∫0 senөdфdө(2𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛²өcosфsenф) = 0
2𝜋
∫0 senөdфdө(2𝑥𝑧𝑠𝑒𝑛өcosөcosф) = 0
2𝜋
∫0 senөdфdө(2𝑦𝑧𝑠𝑒𝑛өcosөsenф) = 0
𝜋⁄
2
𝑅 2
= 3( ) ∫
𝑑
0
2𝜋
∫ senөdфdө (𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф + ysenөsenф + zcosө)2
0
𝑅 2 2𝜋
2𝜋
2𝜋
= 3 ( ) [ 𝑥² +
𝑦² +
𝑧²]
𝑑
3
3
3
𝜋⁄
2
 ∫0
2𝜋
15
∫0 senөdфdө [(− 8 ) (
𝜋⁄
2
𝑅
= 15 ( ) ³ ∫
𝑑
0
−2𝑅(𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф+ysenөsenф+zcosө)
𝑑
) ³]
2𝜋
∫ senөdфdө(𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф + ysenөsenф + zcosө)³
0
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Recordando que:
(𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф + ysenөsenф + zcosө)³ = 𝑥³𝑠𝑒𝑛³өcos³ф + y³sen³өsen³ф +
z³cos³ө + 3𝑥²𝑦𝑠𝑒𝑛³өcos²фsenф + 3𝑥²𝑧𝑠𝑒𝑛²өcosөcos²ф + 3𝑥𝑦²𝑠𝑒𝑛³өcosфsen²ф +
3𝑦²𝑧𝑠𝑒𝑛²өcosөsen²ф + 3𝑥𝑧²𝑠𝑒𝑛өcos²өcosф + 3𝑦𝑧²𝑠𝑒𝑛өcos²өsenф +
6xyz𝑠𝑒𝑛²өcosөsenфcosф
Operando uno por uno:
𝜋⁄
2
I.
∫0
II.
∫0
III.
∫0
IV.
∫0
V.
∫0
VI.
∫0
VII.
∫0
VIII.
∫0
IX.
∫0
X.
∫0
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
𝜋⁄
2
2𝜋
∫0 senөdфdө(𝑥 3 𝑠𝑒𝑛3 өcos3 ф) = 0
2𝜋
∫0 senөdфdө(y³sen³өsen³ф) = 0
2𝜋
𝜋
∫0 senөdфdө(z³cos³ө) = 2 𝑧³
2𝜋
∫0 senөdфdө(3𝑥²𝑦𝑠𝑒𝑛³өcos²фsenф) = 0
2𝜋
∫0 senөdфdө(3𝑥²𝑧𝑠𝑒𝑛²өcosөcos²ф) =
3𝜋
4
𝑥²𝑧
2𝜋
∫0 senөdфdө(3𝑥𝑦²𝑠𝑒𝑛³өcosфsen²ф) = 0
2𝜋
∫0 senөdфdө(3𝑦²𝑧𝑠𝑒𝑛²өcosөsen²ф) =
3𝜋
4
𝑦²𝑧
2𝜋
∫0 senөdфdө(3𝑥𝑧²𝑠𝑒𝑛өcos²өcosф) = 0
2𝜋
∫0 senөdфdө(3𝑦𝑧²𝑠𝑒𝑛өcos²өsenф) = 0
2𝜋
∫0 senөdфdө(6xyz𝑠𝑒𝑛²өcosөsenфcosф) = 0
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𝜋⁄
2
2𝜋
𝑅
= 15 ( ) ³ ∫
𝑑
0
∫ senөdфdө(𝑥𝑠𝑒𝑛өcosф + ysenөsenф + zcosө)³
0
𝑅
𝜋
3𝜋
3𝜋
= 15 ( ) ³ [ 𝑧³ +
𝑥²𝑧 +
𝑦²𝑧]
𝑑
2
4
4
Reemplazando todo en (α):
𝑅
𝑅 2 2𝜋
2𝜋
2𝜋
(2𝜋 + z 𝜋 + 3 ( ) [ 𝑥² +
V =
𝑦² +
𝑧²]
𝑑
𝑑
3
3
3
√𝑑
𝑘𝑅² σ
𝑅 3𝜋
3𝜋
3𝜋
+15 ( ) 𝑧³ +
𝑥²𝑧 +
𝑦²𝑧)
𝑑 2
4
4
Factorizando y reemplazando los valores últimos:
V=
𝑘𝑅² σ𝜋
√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑅2
(2 +
𝑅𝑧
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑅2
2
𝑅
2
2
2
) [ 𝑥² + 𝑦² + 𝑧²]
+3 ( 2
2
2
2
𝑥 +𝑦 +𝑧 +𝑅
3
3
3
𝑅
𝑧³ 3𝑥²𝑧 3𝑦²𝑧
)
[
])
+15 ( 2
³
+
+
𝑥 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑅2
2
4
4
Dado que podamos hallar el potencial en cualquier punto del espacio que rodee a la
carga del hemisferio, haremos que el punto se ubique en un hemisferio de radio
variable la cual nos representara el espacio.
Por lo tanto transformaremos el punto en coordenadas esféricas, la cual será de la
siguiente manera:
(x,y,z) = (𝑟𝑠𝑒𝑛өcosф, rsenөsenф, rcosө)
La cual los ángulos ө, ф variaran respecto a sus valores acotados y el radio del
hemisferio tomado será “r”.
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Reemplazando y factorizando, nos quedara así:
V=
𝑘𝑅² σ𝜋
√𝑟² + 𝑅 2
(2 +
2
𝑅𝑟cosө
𝑅
𝑅
cosө(2 + sen²ө)
+2𝑟²
(
)
+ 15𝑟³ (
)³[
])
2
2
2
𝑟² + 𝑅
𝑟² + 𝑅
𝑟² + 𝑅
4
Nota: Observamos que el potencial eléctrico no depende del Angulo azimutal "𝜑" ,
la cual nos indicaría que el potencial electrico es simetrico en todo su trayecto del
angulo acimutal, y nos representaría el potencial como una circunferencia.
3.2.
Utilice el resultado anterior para determinar la intensidad de campo
eléctrico E(r,ө,ф), en coordenadas esféricas.
𝐸⃗ = −∇𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉
∇𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 =
𝜕𝑓
1 𝜕𝑓
1 𝜕𝑓
𝑖𝑟 +
𝑖𝜃 +
𝑖
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝜑 𝜑
1
2
(− )𝑘𝑅² σ𝜋
𝜕𝑓
𝑅𝑎cosө
𝑅
2
(2
𝑖 (V) =
+
+2𝑟² (
)
3
𝜕𝑟 𝑟
𝑟² + 𝑅 2
𝑟² + 𝑅 2
(𝑟 2 + 𝑅 2 ) ⁄2
+15𝑟³ (
𝑅
cosө(2 + sen²ө)
𝑘𝑅² σ𝜋
𝑅cosө(𝑅2 − 𝑟 2 )
(0
)
³
+
+
[
])
1
𝑟² + 𝑅 2
4
(𝑟 2 + 𝑅 2 )²
(𝑟 2 + 𝑅 2 ) ⁄2
−
4𝑅 2 r(𝑅2 − 𝑟 2 ) 45 2
cosө(2 + sen²ө)(𝑅2 − 𝑟 2 )
+
𝑟
𝑅³
[
])
(𝑟 2 + 𝑅 2 )3
4
(𝑟 2 + 𝑅 2 )4
r
r
𝑅cosө (𝑅 2 − 2 − 𝑟 2 ) 2𝑅 2 r (2𝑅2 − 2 − 2𝑟 2 )
𝜕𝑓
𝑘𝑅² σ𝜋
𝑖 (V) =
+
3 (1 +
(𝑟 2 + 𝑅 2 )
(𝑟 2 + 𝑅 2 )2
𝜕𝑟 𝑟
(𝑟 2 + 𝑅 2 ) ⁄2
r
cosө(2 + sen²ө)(3𝑅2 − 2 − 3𝑟 2 )
15
+ 𝑅³𝑟 2
)
4
(𝑟 2 + 𝑅 2 )3
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1 𝜕𝑓
𝑘𝑅² σ𝜋
𝑅𝑟(−senө)
(0 +
𝑖𝜃 (𝑉) =
+ 0
2
𝑟 𝜕𝜃
𝑟² + 𝑅 2
𝑟√𝑟² + 𝑅
+15𝑟³ (
𝑅
−2senө − sen³ө + 2cos²өsenө
)³[
])
2
𝑟² + 𝑅
4
1 𝜕𝑓
𝑘𝑅² σ𝜋 𝑅𝑟(−senө)
𝑖𝜃 (𝑉) =
(
𝑟 𝜕𝜃
𝑟√𝑟² + 𝑅 2 𝑟² + 𝑅 2
3
𝑅
−2senө − sen³ө + 2cos²өsenө
+15𝑟³ (
) [
])
𝑟² + 𝑅 2
4
1 𝜕𝑓
𝑘𝑅² σ𝜋
(0 + 0 + 0 +0) = 0
𝑖𝜑 =
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝜑
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃√𝑟² + 𝑅 2
⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑟 = −
𝑘σ𝑅²𝜋
3⁄ (1 +
2
(𝑟 2 + 𝑅 2 )
r
𝑅cosө (𝑅 2 − 2 − 𝑟 2 )
(𝑟 2 + 𝑅 2 )
+
r
2𝑅 2 r (2𝑅 2 − 2 − 2𝑟 2 )
(𝑟 2 + 𝑅 2 )2
r
cosө(2 + sen²ө)(3𝑅2 − − 3𝑟 2 )
15
2
2
+ 𝑅³𝑟
)
4
(𝑟 2 + 𝑅 2 )3
⃗⃗⃗⃗
𝐸ө =
3
𝑅𝑟(−senө)
𝑅
3sen³ө
(
+
15𝑟³
(
)
[
])
2
2
𝑟² + 𝑅
4
𝑟√𝑟² + 𝑅 2 𝑟² + 𝑅
𝑘𝑅² σ𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝜑 = 0
Nota: Dado que el campo eléctrico para el Angulo acimutal es cero, nos indica que
el campo eléctrico estaría en la orientación de los parámetros r y ө.
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3.3.
Graficando el potencial eléctrico y el campo eléctrico del hemisferio
cargado.
Obs: dado que el potencial eléctrico no depende del Angulo nos indica que su campo
estará expresado en una circunferencia, pero en nuestra ecuación:
V=
𝑘𝑅² σ𝜋
√𝑟² + 𝑅 2
(2 +
2
𝑅𝑟cosө
𝑅
+2𝑟²
(
)
𝑟² + 𝑅 2
𝑟² + 𝑅 2
𝑅
cosө(2 + sen²ө)
+15𝑟³ (
)³[
])
2
𝑟² + 𝑅
4
Solamente hay en ángulo ө, que varia de arriba hacia el piso (plano XY), y eso nos
dificultaria representar el potencial por lo cual tomaremos la expresión en forma
cartesiana.
V =
𝑘𝑅² σ
√𝑑
(2𝜋 +
𝑅
𝑅 2 2𝜋
2𝜋
2𝜋
𝑅 3𝜋
3𝜋
3𝜋
z 𝜋 + 3 ( ) [ 𝑥² +
𝑦² +
𝑧²] + 15 ( ) 𝑧³ +
𝑥²𝑧 +
𝑦²𝑧)
𝑑
𝑑
3
3
3
𝑑 2
4
4
Para:
z²=1
k= 9x109 N/C².m²
R=0.5 m
Quedando así:
28260
V=
(√x 2
5
(2(x² + y² + 1 + 0.25)2 +
+ y² + 1 + 0.25)
+(0.5cosө)(x 2 + y 2 + 1 + 0.25)(x 2 + y 2 + 1) + 0.5(x 2 + y 2 + 1)+…)
Solamente usaremos esta ecuación:
V=
28260
(√x 2
+ y 2 + 1 + R2 )5
(2(x 2 + y 2 + 1 + 0.25)2 +
(0.5cosө)(x 2 + y 2 + 1 + 0.25)(x 2 + y 2 + 1) + 0.5(x 2 + y 2 + 1))
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Así ingresaremos a Matlab:
V=(28260.*(2*((x.^2+y.^2+1)+0.25).^2+(0.5cosө).*((x.^2+y.^2+1)+0.25).*(x.^2+y
.^2+1).^1/2+(0.5).*(x.^2+y.^2+1)))./((x.^2+y.^2+1)+0.25).^2.5;
 Para ө = 0º.
La cual MATLAB nos dará una grafica correspondiente de su potencial eléctrico:
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Para hallar el campo eléctrico introduciremos la expresión siguiente:
La cual nos dará la siguiente grafica:
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 Para ө = 45º
La cual MATLAB nos dará una grafica correspondiente de su potencial eléctrico:
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Para hallar el campo eléctrico introduciremos la expresión siguiente:
La cual nos dará la siguiente grafica:
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 Para ө = 90º
La cual MATLAB nos dará una grafica correspondiente de su potencial eléctrico:
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Para hallar el campo eléctrico introduciremos la expresión siguiente:
La cual nos dará la siguiente grafica:
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Nota: Todas las graficas se asemejan dado que el potencial eléctrico no varía mucho.
En 3 dimensiones se observaría así el potencial eléctrico:
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