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NÚMEROS REALES
1.- LOS NÚMEROS RACIONALES.
Números naturales y enteros
Números racionales
Representación gráfica de los números racionales
Los números racionales se representan con ayuda del teorema de Tales:
Por ejemplo para representar el número 3
4
se dan los
siguientes pasos:
1. se traza un segmento auxiliar en el que se marcan cuatro
partes iguales (denominador).
2. Se une la última división con la unidad de la recta real.
3. Se traza la paralela al segmento anterior por la tercera
división (numerador).
La intersección con la recta real es el número 3
4
Si fuese el numerador mayor que el denominador, se hace
la división entera, se cogen tantas unidades completas
como indique el cociente, y tantas partes de la unidad
siguiente como indique la fracción resto/denominador, de
la misma forma que acabamos de ver. Por ejemplo: si
7
1
queremos representar  2  , haremos:
3
3
2.-EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Decimales exactos y periódicos.
Expresión decimal de los números racionales.
Expresión racional de los decimales exactos y periódicos.
Inversamente a lo anterior, todos los números decimales exactos y periódicos pueden
expresarse en forma de fracción:
3.-NÚMEROS IRRACIONALES. NÚMEROS REALES.
Números irracionales.
Representación gráfica de los números irracionales.
Los números reales.
Ya hemos visto como pueden representarse sobre una recta tanto los números racionales
como los irracionales. Se puede demostrar que a cada número real le corresponde un único
punto de la recta e, inversamente, que cada punto de la recta corresponde a algún número real.
Por tanto existe una correspondencia perfecta entre puntos de la recta y números reales y se
habla de la recta real.
4.- APROXIMACIÓN DE UN NÚMERO REAL. ERRORES.
Sabemos hacer operaciones con números enteros y también con racionales expresados en
forma de fracción. Pero si queremos hacer operaciones con números decimales nos
encontramos con que la mayoría de los racionales y todos los irracionales tienen una
expresión decimal con infinitas cifras. En estos casos lo que hacemos (por ejemplo para
calcular la longitud de una circunferencia mediante la fórmula L = 2πr) es sustituir ese
número por otro con un número finito de cifras decimales (3’14 ó 3’1416). Lo que estamos
haciendo es sustituir el valor exacto del número (π) por una aproximación.
El truncamiento es siempre una aproximación por defecto. La más utilizada es el redondeo
que puede ser por defecto o por exceso.
Errores.
Al aproximar un número real (3’14 en lugar de π, o 6’66 en lugar de 20/3) se comete un error.
En concreto:
Pero, evidentemente, no es lo mismo equivocarse en medio metro al medir la altura de una
casa de un piso que la de un edificio de quince pisos. Por ello se utiliza el error relativo, que
nos da la “proporción” del error cometido, y se define así:
Lo que significa que nos hemos equivocado en una milésima parte del valor real. Si
multiplicamos el error relativo por 100 tendremos el porcentaje de error, en nuestro caso es
del 0’1%.
Ejemplo: si el velocímetro de un coche marca siempre 5km/h más que la velocidad real, el
error absoluto será siempre 5 tanto si vamos a 20km/h como si vamos a 100km/h, pero los
errores relativos son:
5
5
E1 
 0 ' 25  25%
E2 
 0 ' 05  5%
20
100
Cotas de error.
5.- POTENCIAS DE NÚMEROS REALES. PROPIEDADES.
Definición de potencia de exponente natural.
Elevar un número a a un exponente natural n es multiplicar el número a por sí mismo n veces:
n veces
an  a           a
Propiedades de las potencias de exponente natural.
1: El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo
exponente es la suma de los exponentes
an·ap = an + p
2: El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la mismna base cuyo
exponente es la diferencia de los exponentes SI EL EXPONENTE DEL NUMERADOR ES
MAYOR QUE EL DEL DENOMINADOR.
an
 a n  p si n  p
p
a
3: Para elevar un producto a un exponente se elevan todos los factores a ese exponente.
n
 a  b   a n  bn
4: Para elevar un cociente a un exponente se elevan numerador y denominador a ese
exponente.
n
a
a
 b   bn
 
5: Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes.
a 
n
p
n
 a n p
Potencias de exponente 0 y enteros negativos.
Si queremos eliminar la restricción de la segunda propiedad podemos distinguir dos casos que
nos llevan a convenir o aceptar unos valores para las potencias de exponente 0 y entero
negativo que no corresponden a la definición dada arriba porque, evidentemente, no tiene
sentido multiplicar un número por sí mismo cero veces o menos tres veces.
a) si los exponentes son iguales el cociente evidentemente vale 1 pero al restar los
exponentes quedaría exponente 0 por lo que aceptamos que CUALQUIER NÚMERO
ELEVADO AL EXPONENTE 0 VALE 1.
an
1  n  an  n  a0
a
b) si el exponente del numerador es menor que el del denominador tendríamos, por ejemplo:
1
aa
a2

 5  a2  5  a 3
3
a
aaaaa a
por lo que aceptamos que CUALQUIER NÚMERO ELEVADO A UN EXPONENTE
ENTERO NEGATIVO ES IGUAL A LA UNIDAD DIVIDIDA POR LA MISMA
POTENCIA PERO CON EXPONENTE POSITIVO.
6.- RAÍCES. OPERACIONES CON RAÍCES. RACIONALIZACIÓN
Definición de raíz n-sima o de índice n.
La raíz n-ésima o de índice n de un número real a es otro número real b, si existe, que elevado
al exponente n sea igual al número a.
n
a  b  bn  a
Propiedades de las raíces.
1: La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-ésimas de los factores
n
ab  n a  n b
(Inversamente: el producto de dos raíces del mismo índice es otra raíz del mismo índice cuyo radicando es el
producto de los radicandos).
2: La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del numerador y
el denominador.
n
a
a
n
 n
b
b
(Inversamente: el cociente de dos raíces del mismo índice es otra raíz del mismo índice cuyo radicando es el
cociente de los radicandos).
3: Para elevar una raíz a un exponente se eleva el radicando a ese exponente.
 a
n
p
 n ap
4: La raíz de índice n de una raíz de índice p es igual a la raíz de índice n·p del mismo
radicando.
n p
a 
n p
a
5: El valor de una raíz no varía si se multiplican o se dividen por un mismo número distinto
de 0 el índice de la raíz y el exponente del radicando.
n
ap 
n s
a p s
Potencias de exponente fraccionario.
Teniendo en cuenta la definición de raíz se puede dar un significado a las potencias de
exponente fraccionario (que tampoco tendrían sentido según la definición) de la forma
siguiente:
Una potencia de exponente fraccionario es igual a la raíz de índice el denominador del
exponente de la base elevada al numerador del exponente:
n
a
p
p
 an
p
n
p
 n 
Justificación:  a p   a p  a n , luego se cumple la condición de la definición de raíz.


Se puede demostrar que las potencias de exponente fraccionario cumplen todas las
propiedades de las potencias (sin ninguna restricción).
Operaciones con raíces.
Sólo se pueden sumar (agrupándolas) las raíces semejantes (del mismo índice y con el mismo
radicando).
Ejemplo: 2  3  5  3  2  2  3 3  7  3  2  2  3 3
Para multiplicar o dividir raíces se aplican las dos primeras propiedades lo cual exige
que las raíces tengan el mismo índice. Si no lo tienen se pueden transformar en raíces
equivalentes pero con el mismo índice aplicando la última propiedad.
Extracción e introducción de factores en un radical.
Racionalización.
Racionalizar una fracción es transformarla en otra equivalente pero sin raíces en el
denominador. Los casos más sencillos, y la forma de hacerlo en cada uno de ellos, son los
siguientes:
7.- NOTACIÓN CIENTÍFICA.
Más concretamente, cuando un número está expresado en notación científica, su expresión
consta de tres partes diferenciadas:
8.- ORDENACIÓN EN
.
a≤b se lee a menor o igual que b, y significa que la diferencia b – a es positiva o cero.
b≥a se lee a mayor o igual que b, y, obviamente, es equivalente a a ≤ b.
La relación de orden en R cumple las siguientes propiedades:
a  b
ac
b  c
Si un número (o expresión) es mayor que otro y éste que un tercero, el primero es
mayor que el tercero.
1.-
2.- a > b
a+c>b+c
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo número o expresión
se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
a  b
  ac  bc
c  0
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un mismo
número positivo se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
3.-
a  b
  ac  bc
c  0
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un mismo
número negativo se obtiene una desigualdad de sentido contrario.
4.-
a  b
  ac  bd
c  d
Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido se obtiene otra
desigualdad del mismo sentido.
(si fueran de sentidos contrarios podría dar cualquier resultado. Y si se restan también).
5.-
ab 
1 1
 
ab  0 
a b
Si los dos miembros de una desigualdad tienen el mismo signo y se invierten se
obtiene una desigualdad de sentido contrario.
6.-
9.- VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL. PROPIEDADES.
El valor absoluto de un número real es su valor (o “tamaño”) independientemente del signo.
Por ejemplo, 3 y -3 tienen el mismo valor absoluto que es 3. Más concretamente:
IMPORTANTE: no confundirse con el signo menos que aparece en la definición. Calcular el
valor absoluto de un número es “convertirlo en positivo” y para convertir un número negativo
en positivo hay que cambiarle el signo lo que se consigue poniéndole un signo menos delante:
| - 2 | = - (- 2 ) = 2.
Gráficamente el valor absoluto de un número es su distancia al 0.
Y la distancia entre dos puntos de la recta real viene dada por el valor absoluto de su
diferencia.
Por su propia definición es evidente que el valor absoluto de un número es siempre mayor o
igual que 0. Además se cumplen las siguientes propiedades:
Además es fácil ver que (siendo α un número positivo) se cumple que:
x   equivale a x   ó x   
x   equivale a    x  
 x  

x   equivale a  ó
x  

10.- INTERVALOS, ENTORNOS Y SEMIRRECTAS.
Semirrectas
En particular, si los dos extremos fueran infinitos obtendríamos toda la recta real:
  ,    
Entornos.
Un tercer tipo de intervalos son los entornos: un entorno de un punto a es un intervalo cuyo
centro (punto medio) es a. Por ejemplo el intervalo (2, 4) es un entorno del 3. Más
concretamente:
Para representar los intervalos también pueden usarse (como para escribirlos) los paréntesis y
corchetes como se ve en la figura:
Operaciones con intervalos.