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Los números reales
Números naturales, números enteros y
números racionales
Conjunto de los números naturales: N = {0, 1, 2, 3, 4, ........}
Al considerar para cada a  N un nuevo número, – a, al que llamamos opuesto de a,
ampliamos N a Z. Esto equivale a exigir que la ecuación x + a = b, con a, b  N tenga
siempre solución.
Conjunto de los números enteros: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ........}
Al exigir que la ecuación q . x = s, con q, s  Z tenga siempre solución, ampliamos el
conjunto de los números enteros a los números racionales.
Conjunto de los números racionales: Q = {a/b : a, b  Z, b  0}
Números decimales y expresión decimal
• La expresión decimal de un número racional o es finita o es periódica
• Cualquier número cuya expresión decimal sea finita o periódica es una
número racional
Un número decimal periódico:
Parte entera
Anteperíodo
q = 2‚ 4 78 78 78 78 …….
Período: primer bloque.
Período: cuarto bloque.
Expresión fraccionaria de los números
decimales
Para convertir el número q = 2‚ 4787878……. en fraccionario
Pasos:
• Primero.
1000q = 2478,787878….
• Segundo.
10q = 24,78787878.…
• Tercero.
• Cuarto.
990q = 2478 – 24
2478 - 24 2454 409
q=
=
=
990
990 165
Densidad de los números racionales
Entre dos números racionales existen infinitos números racionales
(qo + q2)/2
(qo + q1)/2
=
=
qo
(qo + q3)/2
q3
q1
q2
=
q4
Aunque qo y q1 estén muy próximos este procedimiento se puede seguir
indefinidamente. Por ello se dice que los números racionales son densos
Los números decimales que no son racionales se llaman irracionales: son
números decimales que no se pueden expresar en forma de fracción
El número
2
no es racional
a
2=
b
a
fracción irreducible
b
a2
2= 2
b
2b2 = a2
2 divide a a
Imposible
a = 2k
2b2 = 4k2
2 divide a b
b2 =2k2
a
fracción reducible
b
Los números irracionales
• Los números irracionales tienen una expresión decimal no periódica e infinita
• Los números irracionales junto a los racionales forman los números reales: se
escribe R = Q  I
Ejemplos
• El número p con 1000 cifras decimales
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899
8628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450
2841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831
6527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558
8174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511
6094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857
5272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094
3702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757
7896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121
2902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281
6096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886
5875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577
8185778053217122680661300192787661119590921642.
•
Un número decimal de expresión no periódica.
2,020020002000020000020000002000000020000000020000000002…...
Representación de números reales: enteros
1 u.
1 u.
–3
1 u.
1 u.
1 u.
1 u.
0
1
1 u.
1 u.
4
Representación de números reales: racionales
1 l.
O
1/5
2/5
3/5
4/5
15/5
u.
Representación de números reales
1 u.
1 u.
3
2
2
1 u.
O
2
3
Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un
número real equivale a señalar un punto en la recta
Sucesivas ampliaciones de los números
R
R
–2
–1
0 1/2
1
2
2
–1
0
1/2 1
2
–1
0
1
2
0
1
2
Q
Q
–2
Z
Z
–2
N
N
Intervalos abiertos y cerrados
• Intervalo abierto: (a, b) = {r  R / a < x < b}
a
b
Los extremos no pertenecen al conjunto
• Intervalo cerrado: [a, b] = {r  R / a  x  b}
a
Los extremos sí pertenecen al conjunto
b
Intervalos semiabiertos (o semicerrados)
• Intervalo abierto por la derecha: [a, b) = {r  R / a  x < b}
a
b
El extremo izquierdo pertenece al conjunto; el derecho no.
• Intervalo abierto por la izquierda: (a, b] = {r  R / a < x  b}
a
b
El extremo izquierdo no pertenece al conjunto: el derecho sí.
Valor absoluto
|a| =
 a si a  0

-a si a < 0
Propiedades del valor absoluto
•|a|0
•|a|=|–a|
• | a .b | = | a | . | b |
•|a+b| |a|+|b|
Significado geométrico del valor absoluto de la diferencia de dos números
O
A
B
a
b
Longitud del segmento AB =distancia entre los puntos A y B = |b – a| = |a – b|
Potencias de exponente natural. Raíces
Dado un entero n > 0, se llama a elevado a la n-ésima potencia al producto de a
consigo mismo n veces.
potencia o exponente
an = a . a . ..... . a
n factores
base
n
a es un número b, que elevado a la n-ésima potencia da a
b=
n
a  bn = a
radical
radicando
Número de raíces
Si b =
n
a
a > 0: dos raíces
par
a < 0: sin raíces
n: índice del radicando
impar
cualquiera que sea a, hay
exactamente una raíz
Exponentes enteros y fraccionarios
1
Potencias de exponente negativo: a = n.
a
Potencias de exponente cero: a0 = 1, cualquiera que sea a
-n
Se mantienen las propiedades de las potencias
Producto de potencias de la misma base
am . an = am+n
Cociente de potencias de la misma base
am / an = am-n
Potencia de potencia
(am)n = am.n
Producto de potencias del mismo exponente
am . bm = (a.b)m
Cociente de potencias del mismo exponente
am / bm = (a / b)m
Potencias de exponente fraccionario
m
n m n m
m/n
Dado un número real a  0 y un número racional
se define: a
=( a) = a
n
Las propiedades de las raíces son un caso particular de las propiedades de las potencias
I. Raíz de un producto
II. Raíz de un cociente
III. Raíz de una raíz
n
Como raíces
Como potencias
n
(ab) 1/n = a1/n . b1/n
a.b =
a .
n
b
n
n a
a
=
b
n
b
m
n
a 1/n a1/n
  = 1/n
b
b 
mn
a =
a
(a1/n)1/m = a (1/n) . (1/m) =
a1/(mn)
Redondeo
Cuando se toma la aproximación más cercana a un número irracional, con un
número decimal, se dice que se ha redondeado
Para redondear 2 + p a tres cifras decimales
1. Se escriben la parte entera y las dos primeras
cifras decimales
2 + p = 5,14......
2. Antes de escribir la tercera cifra decimal del
redondea, se mira la cuarta cifra decimal
2 + p = 5,1415...
3. Si la cuarta cifra decimal es menor o igual que
4, se toma como tercera cifra decimal la actual
Si la cuarta cifra decimal es mayor o igual que 5,
se toma como tercera cifra decimal la actual más
uno
2 + p = 5,142 con
tres cifras
decimales
Aproximaciones y errores. Notación científica
• Se llama error absoluto al valor absoluto de la diferencia entre el valor real x de
^ Se designa por D = | x - x^ |
un número y su valor estimado x.
• Casi nunca se conoce exactamente el error: sólo se debe aspirar a acotarlo
Se escribe x = ^x  D
De aquí se puede deducir que el error absoluto de una suma o diferencia es menor o
igual que la suma de los errores absolutos de los términos
• El error relativo es d = D / | x |
• No se puede conocer su valor: como antes sólo se debe aspirar a acotarlo
• Se suele expresar en %
Notación científica
Todo número decimal se puede expresar en la forma a . 10 k, donde –10 < a < 10 y k  Z.
• k es el orden de magnitud del número
• Las cifras de a se llaman cifras significativas
• El número de cifras significativas con que se expresa un número indican el grado de
precisión con que se conoce, es decir, el error absoluto que se puede cometer