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Los números reales
1. Los números racionales
2. Los números irracionales
3. Los números reales
4. Topología de la recta real
5. Potencias de exponencial racional
6. Las raíces propiedades y operaciones
7. Racionalización
8. Aproximaciones. Error absoluto y relativo
9. Notación científica
Índice del libro
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Los números reales
1. Números racionales
Paso de decimal a fracción
El conjunto de los números racionales, Q, está formado por
p
todas las fracciones de la forma n siendo p un número entero y n
un número natural distinto de cero.
p
  :p  n
n

con n  0 

Todo número decimal exacto, periódico o mixto se puede
expresar como una fracción.
Dado el número 2,345, la fracción 2345 tiene como
expresión decimal el número
dado. 1000

 Dado el número x  3,5 , como solo hay una cifra decimal
en el periodo, multiplicamos el número por 10 y le restamos
el número inicial: 10 x  35,5555...

 x  3,5555...
9 x  32, 0000...  x 
32
9
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2. Números irracionales
Observemos el siguiente número decimal:
0,101001000100001000001…
Este número decimal no es exacto y en él no se puede definir un
periodo.
 Los números irracionales tienen una expresión decimal infinita
no periódica.
 Entre dos números racionales hay infinitos números
irracionales.
 Los números que se obtienen como solución de la ecuación
exacta x2=a, donde a 
con a  0 y no es un cuadrado
perfecto, son irracionales.
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3. Números reales
El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de
números racionales y el de números irracionales. Este conjunto se
representa con el símbolo
Representación de números en la recta real
El conjunto de los números reales se puede representar en una recta,
la recta real.
Representación de números racionales
Para representar una fracción, tenemos que dividir el segmento en el
que se encuentre en tantas partes como indique el denominador,
utilizando el teorema de Tales, y marcar el numerador.
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Los números reales
3. Números reales
Representación de números irracionales
En general, nos resultará imposible representar con exactitud un
número irracional. Se suele indicar el segmento donde se encuentra.
Este segmento puede ser tan pequeño como queramos, dependiendo
del número de decimales que utilicemos para aproximar.
Representación de números irracionales en forma de A
Estos números se pueden representar de forma exacta utilizando el
teorema de Pitágoras. Para ello tenemos que construir un triángulo cuya
hipotenusa mida la raíz buscada y transportar esta distancia a la recta
con el compás.
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4. Topología de la recta real
Relación del orden
Dados dos números reales a y b:
 Diremos que a es menor que b, a < b, si b – a es positivo.
 Diremos que a es mayor que b, a > b, si b – a es negativo.
 Diremos que a es menor o igual que b, a ¥ b, si a < b o a = b.
 Diremos que a es mayor o igual que b, a ¡ b, si a > b o a = b.
Intervalos
Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde
con un segmento o una semirrecta de la recta real.
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5. Potencias de exponente racional
Potencias de exponente natural
Definimos a elevado a la n-ésima potencia, an, siendo n un número
natural, como el producto de a por sí mismo repetido n veces:
n veces
a n  a  a  ...  a
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5. Potencias de exponente racional
Potencias de exponente entero
Para definir potencias de exponente entero, necesitamos definir las
potencias de exponente negativo. Este tipo de potencias debe
cumplir las propiedades de las potencias de exponente natural; por
tanto:
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a n  a  n  a n   n   a n n  a 0  1  a  n  n
a
Una potencia con exponente negativo es el inverso de esta misma
potencia con exponente positivo:
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an  n
a
Potencias de exponente racional
Definiremos la potencia de exponente racional an/m como la raíz
m-ésima de an.
a
n 
m m
an
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5. Potencias de exponente racional
Raíces equivalentes
Se dice que dos raíces son equivalentes si al expresarlas como potencia
las fracciones que determinan los exponentes son equivalentes.
a
n q
m
ap 
n p

m q
Expresar en forma de potencia y escribir raíces equivalentes:
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6. Las raíces: propiedades y operaciones
Reducción de raíces a común índice
Vamos a reducir las raíces
1.
2.
10
23 y
6
37 a índice común.
Expresamos las raíces en forma de potencia:
10
23  2
6
37  3
3
10
7
6
Reducimos los exponentes a común denominador y volvemos a
expresar las potencias en forma de raíz. El mcm de los
denominadores es 30.
10
23  2
6
37  3
3
10
7
6
2
9
35
3
30
30
 30 29
 30 335
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6. Las raíces: propiedades y operaciones
Extracción de factores de una raíz
Vamos a extraer factores de la raíz 4 1944
1. Descomponemos el radicando en factores primos:
4
1944  4 23  35
2. Dividimos el exponente de cada factor primo entre el índice de la
raíz. El cociente es el exponente del factor primo que sale fuera de
la raíz y el resto es el exponente del factor primo que queda dentro
de la raíz:
5  4 1  1
3  40  3
4
1944  4 23  35  4 23  3411  4 23  34  3  3  4 23  3
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6. Las raíces: propiedades y operaciones
Introducción de factores en una raíz
Podemos introducir un factor dentro de una raíz elevando dicho
factor al índice de la raíz:
Suma y resta de raíces
Dos raíces son semejantes si tienen los mismos índices y radicandos.
 Para sumar o restar varias raíces, estas tienen que ser semejantes.
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Los números reales
6. Las raíces: propiedades y operaciones
Producto y cociente de raíces
Para multiplicar o dividir dos raíces, estas tienen que tener el mismo
índice.
n
a  b  n a  n b para cualquier n 
n
a na
 n
para cualquier n 
b
b
Si las raíces no tienen el mismo índice, siempre podemos reducirlo a
índice común y luego operar.
Potencia y raíz de una raíz
m n
a  nm a para cualquieresquiera n, m 
 a
n
m
 n a m para cualquieresquiera n, m 
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Los números reales
7. Racionalización
Racionalizar una fracción es eliminar las raíces de su denominador.
Fracciones con una raíz en el denominador
a
Para racionalizar una fracción del tipo
, multiplicamos el
m
b
numerador y el denominador por
n
bnm y simplificamos.
Fracciones con un binomio en el denominador
Para racionalizar fracciones con un binomio en el denominador,
multiplicamos
numerador y denominador por el conjugado del denominador.
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8. Aproximaciones. Error absoluto y relativo
Decimos que una aproximación es de orden n cuando obtenemos
un número racional con n decimales.
Métodos de aproximación
 Aproximación por defecto o truncamiento: se eliminan las
cifras decimales a partir del orden considerado.
 Aproximación por exceso: se eliminan las cifras decimales a
partir del orden considerado y se añade una unidad a la última
cifra decimal.
 Redondeo: se eliminan todas las cifras decimales a partir del
orden indicado y, si la cifra siguiente al orden considerado es
mayor o igual que 5, se añade una unidad a la última cifra
decimal que incluimos.
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8. Aproximaciones. Error absoluto y relativo
Error absoluto y relativo
El error absoluto (Ea) de una aproximación Va de un número Vr es el
valor absoluto de su diferencia:
Ea  Vr  Va
El error relativo (Er) de una aproximación Va de un número Vr es el
valor del cociente del error absoluto entre Vr:
Vr  Va
Ea
Er 

Vr
V
Cotas para el error absoluto
La cota del error absoluto indica en cuánto nos podemos equivocar
como máximo al utilizar una aproximación.
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9. Notación científica
Para que un número esté expresado correctamente en notación
científica, debe tener la siguiente forma:
a,bcd… · 10n, donde n es un número entero
En un número expresado en notación científica, el exponente al que
está elevado el 10 es el orden de magnitud.
Suma y resta en notación científica
Para sumar y restar números expresados en notación científica,
necesitamos que todos estén expresados con el mismo orden de
magnitud.
Producto y división en notación científica
Para multiplicar y dividir números expresados en notación científica,
simplemente tenemos que operar las potencias de 10 por un lado y el
resto de la expresión por otro.