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TEMA 6: Distribuciones Estadísticas
ÍNDICE
1.- Variable aleatoria discreta.
2.- Función de probabilidad de variable discreta. Propiedades
3.- Parámetros en distribuciones discretas: Media y varianza
4.- Distribución binomial: Función de probabilidad, media y varianza.
5.- Variable aleatoria continua. Función de densidad.
6.-Distribución normal.
7. Tipificación de la variable. Cálculo de probabilidades con las tablas
1. Variable aleatoria discreta.
Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio
muestral E un número real.
Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias.
2. Función de probabilidad de variable discreta. Propiedades
La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable
aleatoria X asociada a un experimento aleatorio.
Sea X una variable aleatoria discreta asociada a un espacio probabilístico, se define la
función de distribución:
Sea X una una variable aleatoria discreta con función de probabilidad Px(x). Entonces:
● 1. Px(x) ≥ 0, para cada valor x.
● 2. Las probabilidades individuales suman 1.
3. Parámetros en distribuciones discretas: Media y varianza
La media y la desviación típica son los parámetros en las distribuciones discretas:
4. Distribución binomial: Función de probabilidad, media y varianza
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función
de la distribución de Bernoulli, es:
n es el número de pruebas. k es el número de éxitos. p es la probabilidad de éxito. q es
la probabilidad de fracaso.
-
Media:
-
Desviación típica:
-
Varianza:
5. Variable aleatoria continua. Función de densidad
Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función
continua.
En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales
la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo.
Según la definición, una v.a. continua puede tomar un número infinito no
numerable de puntos, la probabilidad que hemos de asignarle a cada valor de
la variable estará en [0,1] con la condición de que la suma de todas las
probabilidades es 1, como hay un número infinito no numerable de valores con
masa, ésta es desplecible por lo que se dice que no tienen masa
P[X = x] = 0.
Definimos
una función que verifica:


A esta función asociada a una v.a. continua se le llama función de densidad.
6.Distribución normal
La distribución normal N (m, s) es un modelo matemático que rige muchos
fenómenos Esta distribución queda definida por dos parámetros: la media m y la
desviación típica s. Se presenta mediante una curva simétrica conocida
como campana de Gauss. Esta distribución nos da la probabilidad de que al elegir un
valor, éste tenga una medida contenida en unos intervalos definidos. Esto permitirá
predecir de forma aproximada, el comportamiento futuro de un proceso, conociendo
los datos del presente.
7. . Tipificación de la variable. Cálculo de probabilidades con las tablas
Se observó que no existe una sola distribución de probabilidad normal, sino una
“familia” de ellas. Como sabemos, cada una de las distribuciones puede tener una
media (µ) o una desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el número de
distribuciones normales es ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de
probabilidades para cada combinación de µ yσ.
Para resolver este problema, se utiliza un solo “miembro” de la familia de
distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es la que
se conoce como distribución estándar normal, de forma que todas las distribuciones
normales pueden convertirse a la estándar.
Si tenemos una distribución normal
, llamamos tipificar la variable al
proceso de convertirla en una Normal Estándar
consultarla en las tablas. Si.
, lo cual nos permitirá poder
-
Caso 1: Caso 1: P [ Z ≤ a ] con " a " un número positivo
F(a) = P [ X ≤ a].
Existen tablas de la función de distribución de esta variable N(0,1). A continuación se
muestra la tabla con sus valores.
Caso 2: P [ Z > a ] con "a " un número positivo
Aplicando las propiedades de la probabilidad, basta ver que " Z > a" es el suceso
complementario a " Z ≤ a ". Por tanto P [Z > a ] = 1 - P [ Z ≤ a ], y esta última la
calculamos utilizando las tablas.
Por ejemplo: P[ Z > 1.83 ] = 1 - P [ Z ≤ 1.83 ] = 1 - 0.9664 = 0.0336
Caso 3: P [ Z ≤ - a ]
P [ Z < - a ] = 1 - P [ Z ≤ a]
Ejemplo : P [ Z ≤ -1.37 ] = P [ Z > 1.37] = 1 - P [ Z ≤ 1.37] = 1- 0.9147 = 0.0853
Caso 4: P [ Z > - a ]
Aplicando las propiedades de la probabilidad, tenemos que: P [ Z > - a] = 1 - P [ Z ≤ - a
] = 1 - ( 1 - P [ Z < a ] ) = P [ Z < a ].
Luego P [ Z > -a] = P [ Z < a ].
Ejemplo : P [ Z ≥ - 1.14] = P [ Z < 1.14] = 0.8729
TRABAJO DE :
-Ricardo
-Rocío Paredes