Download Prueba_2 - Tongoy

Ingeniería Civil Industrial
Estadística Aplicada 1
Facultad de Ingeniería y Ciencias Geológicas / Escuela de Ingeniería
2° Semestre 2011
Prueba 2
Variables Aleatorias Unidimensionales
Profesor: Hernán Cáceres
Indicaciones generales:
 Realice cada uno de los ejercicios en hojas separadas
 No use menos de cuatro decimales en cualquier cálculo
 Haga las aproximaciones de forma apropiada
 Defina claramente cualquier evento que necesite utilizar
 Al usar modelos de análisis combinatorio, indique claramente cual utiliza
1. Sharles Flush participa en un juego donde, en cada partida, la probabilidad de ganar es 𝑝 y la de perder es
1 − 𝑝. Cuando en una partida gana, Sharles duplica su capital, y cuando pierde, su capital disminuye a la
mitad. Si Sharles comienza el juego con un capital igual a 𝐶 y 𝑋 representa su capital después de jugar
durante 4 partidas:
a) Encuentre la pmf y cdf de 𝑋.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que Sharles pierda todo su capital?
c) ¿Cuánto debe valer 𝑝 para que la probabilidad de terminar en la cuarta partida con al menos el doble de
capital sea 90%?
d) ¿Cuánto espera Sharles ganar al término de las cuatro partidas considerando que la probabilidad de
ganar una partida es 40% y su capital inicial es de $100.000?
2. Suponga Usted que ha decidido iniciarse en el negocio forestal plantando eucaliptus. La madera puede ser
utilizada para hacer listones, o bien, para ser vendida para producir celulosa. Usted puede elegir qué
variedad de árboles plantar: e1 que es mejor como madera, o e2 que es mejor como pulpa para celulosa.
El precio de la celulosa al momento de la tala de los árboles puede ser alto lo que ocurre con probabilidad
40% o bajo, lo que ocurre con probabilidad 60%.
Los ingresos por hectárea sembrada de c/u de las combinaciones de acciones se muestran en la siguiente
tabla:
e1
e2
Madera
1.000
700
PCel Alto
600
1.500
PCel Bajo
100
200
a) ¿Cuánto es lo máximo que puede llegar a ganar en este negocio? Si tomo la mejor decisión (sobre la
variedad a plantar) dada la información disponible, ¿Cuál es el valor esperado de mis ganancias?
b) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por saber con seguridad el precio de la celulosa?
c) Una adivina se ofrece para predecir el precio que tendrá la celulosa en el futuro, de manera que la
probabilidad que el precio sea alto dado que me vaticinó precios altos es 90% y la probabilidad que el
precio sea bajo dado que pronosticó precios bajos es de 80%, ¿Cuánto es lo máximo que le pagaría a la
adivina por la información?
1/2
Ingeniería Civil Industrial
Estadística Aplicada 1
Facultad de Ingeniería y Ciencias Geológicas / Escuela de Ingeniería
2° Semestre 2011
3. Juan se traslada todos los días a su trabajo en taxi o en microbús. El paradero de taxi y el de microbuses
están ubicados en la misma cuadra, muy cerca de su casa. Juan se dirige al sector de los paraderos y si un
taxi está esperando (lo cual ocurre 2⁄3 de las veces) él lo toma. Si no, él espera por un taxi o por un
microbús, cualquiera que llegue primero. El siguiente taxi arribará en un tiempo que sigue la distribución
1⁄10 0 ≤ 𝑡 ≤ 10
𝑓𝑇 (𝑡) = {
0
𝑑𝑜𝑚
mientras que el siguiente microbús lo hará en exactamente 5 minutos.
a) [50%] Encuentre la pdf y cdf del tiempo de espera de Juan. Grafique.
b) [20%]¿Cuál es la probabilidad de que Juan no espere más de 2 minutos?
c) [30%] Si cuando Juan se dirige al paradero no hay ningún taxi esperado, ¿Cuanto espera Juan que le
tomará esperar por locomoción?
4. Un centro de distribución de químicos industriales debe decidir cada mes cuanta cantidad de cierto
compuesto debe adquirir para satisfacer la demanda de las mineras de la región. La distribuidora sabe que la
demanda es aleatoria y sigue una distribución dada por 𝑓𝑋 (𝑥), siendo 𝑋 las toneladas del compuesto
demandadas al mes.
100−𝑥
𝑒 1000
𝑓𝑋 (𝑥) = { 1000
0
𝑥 ≥ 100
𝑑𝑜𝑚
La distribuidora adquiere cada tonelada del compuesto a un valor de 300€ y lo vende a 1.000€ a las mineras.
Debido a que este material es esencial en los procesos de extracción, la distribuidora es penalizada al no
tener disponible el compuesto cuando alguna minera le solicita, este costo penal asciende a 500€ por cada
tonelada.
Por otro lado, cuando la distribuidora no vende todo el compuesto, ésta debe almacenarlo en bodega para
su venta del siguiente mes y se sabe que el costo de mantener el producto en bodega es de 20€ por
tonelada.
Si la distribuidora el mes anterior vendió todo lo que adquirió:
a) ¿Cuántas toneladas de químico debe adquirir para este mes la distribuidora de tal forma de maximizar
su utilidad esperada? ¿A cuánto asciende esta utilidad esperada?
b) Encuentre la pdf de la utilidad que tendrá la distribuidora.
c) Calcule la cantidad esperada de compuesto que quedará en bodega. ¿Cuánto es el costo anual esperado
asociado a este concepto?
d) ¿Con qué frecuencia la distribuidora no podrá suplir a las mineras? ¿Cuánto espera pagar al año la
distribuidora por concepto de penalización?
2/2