Download Para poner en práctica lo que hemos aprendido y

Dibujo Técnico II
María Amián
Bloque I: Geometría Plana
Tema 5: Transformaciones Geométricas
5.1
Concepto:
Una transformación geométrica es la operación por la que una figura se transforma en
otra con unas características determinadas.
Las transformaciones puedes ser, según sus características:



Isométricas: Se mantienen las magnitudes o medidas lineales (lados) y
angulares (ángulos), entre la figura original y la transformada.
Isomórficas: Se mantienen las magnitudes angulares aunque varían las
lineales.
Anamórficas: Cambian las magnitudes lineales y angulares.
Según su fundamento geométrico:


5.2
Proyectivas: Son aquellas en las que se obtiene una figura a partir de la
proyección de la original, desde un centro (foco) o siguiendo un vector,
y a través de rayos proyectantes y segmentos que seccionan esos rayos.
No proyectivas
Homotecia.
¿Recuerdas
?
Es una transformación proyectiva isomórfica.
 Los puntos originales y los transformados se encuentran en rectas que
convergen en un punto llamado Centro de Homotecia.
 Para hallar la figura homotética de otra necesitaremos conocer la razón
de homotecia, un valor, positivo o negativo que es constante y que se
indica con la letra K.
Tipos de Homotecia:

K positiva: Es decir el valor de K es mayor que 0, los elementos transformados
serán mayores que los originales. Se mantienen los valores angulares y las
figuras son paralelas. Ejemplo: Razón K= 3
1. Unimos un punto de la figura original A, con el centro de homotecia, O
2. Sobre la recta (rayo proyectante) llevamos la distancia AO, tres veces
desde O.
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En algunos casos, la K puede ser positiva pero menor que 1, entonces se
expresa como fracción y la figura obtenida será más pequeña

K negativa: Valor de K es menor que 0: En este caso, la figura trasformada se
ubica al otro lado del centro de homotecia. Se mantienen los valores
angulares.
Si la k=-1, obtendremos una simetría central y en este caso se mantienen
valores angulares y lineales.
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
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K = 1: El valor de K es igual que 1, por tanto los puntos originales y los
transformados son iguales y las figuras se superponen. Se trata de una identidad
En algunos ejercicios puedes encontrar el centro de homotecia dentro de la figura,
coincidiendo con un punto notable o también coincidiendo con uno de los
vértices, en este último caso, los rayos de proyección serán los lados del polígono o
la figura, y trabajarás con ellos como en una homotecia normal.
¿Para qué sirve?
Las homotecias pueden formar parte de ejercicios de polígonos, especialmente en las
pruebas de acceso a la universidad.
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5.3
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Traslación
Es una transformación proyectiva isométrica. Es como una homotecia en la que el
centro se halla en el infinito.
Necesitamos:


La magnitud de la traslación, es decir, a qué distancia se hallará la figura
transformada.
La dirección y el sentido de la traslación, indicados por un vector.
Para hallar una figura lo único que debemos hacer es trazar desde los vértices de la
original, rayos proyectantes paralelos a la dirección de traslación y llevar sobre ellos la
magnitud.
5.4
Giro
Es una transformación no proyectiva isométrica.
Todos los elementos de la figura giran desde un centro, con un mismo ángulo y en el
mismo sentido.
Por lo tanto para efectuar un giro necesitamos:



El centro de giro
Un ángulo de giro
El sentido de giro (horario o antiorario)
Para hallar una figura debemos unir el punto original con el centro de giro y sobre la
recta que obtenemos, trasladar el ángulo indicado.
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5.4
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Simetría
Mediante una simetría hallamos figuras que mantienen los valores angulares y
lineales.
Puede ser:
5.5

Central: Mediante un giro de 180º

Axial: una rotación alrededor de un eje de simetría. El efecto es el de un
espejo. La obtenemos trazando una línea perpendicular al eje desde el
punto original y trasladando la medida entre ambos sobre la
perpendicular al otro lado del eje.
Homología
1 ¿Qué es una homología?
Una homología es una transformación geométrica proyectiva. Es decir, la obtención
de una figura a partir de otra a través de la proyección de sus vértices desde un punto
o centro.
2 Elementos de una homología
Para poder resolver un ejercicio de homología necesitamos los siguientes elementos:



Centro de Homología: Es un punto desde el cual “arrancan” (o en el que
convergen) las rectas que contienen un punto y su homólogo (punto
transformado).
Puntos Homólogos: Pareja de puntos formada por el punto inicial u original y el
transformado.
Puntos Dobles: Son puntos homólogos de sí mismos.
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

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Eje de Homología: Un recta formada por puntos dobles.
Rectas límites: Lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el
infinito.
3 Propiedades de la homología:
1 Dos puntos homólogos están alineados con el centro de homología.
2 Dos rectas homólogas siempre se cortan en el eje de homología.
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4 Rectas Límite:
Una recta límite es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos se encuentran
en el infinito.


Son 2 rectas paralelas al eje.
Se llaman l y l’
Propiedades de las Rectas Límites:

Todas las rectas que se cortan en un mismo punto P de la recta límite, tienen
sus rectas homólogas paralelas a la dirección OP.
+o
P
l
s
r
e
r´
s´

La distancia de una de las rectas límite al centro de homología, es la misma
que hay desde la otra recta límite al eje de homología.
+o
l
d
l´
d

Las rectas límite están siempre entre el centro O y el eje, o fuera de ellos.
l
d
o+
l´
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d
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Las figuras homólogas de la circunferencia son curvas cónicas, en función a la posición
de la recta límite.



Si la recta límite es exterior a la circunferencia, la figura homóloga es una elipse
Si la recta límite es tangente a la circunferencia, la figura homóloga es una
parábola
Si la recta límite es secante a la circunferencia, la figura homóloga es una
hipérbola
5 Homología Afín (Afinidad)
La afinidad es una homología en la que el centro se encuentra en el infinito.



En una afinidad, en lugar de tener un centro, tenemos una dirección a la que
serán paralelas las rectas que unen 2 puntos homólogos.
En la afinidad no existen rectas límite.
Dos rectas afines se cortan en un punto del eje.
A+
B+
d
B´+
A´+
Para hallar una homología afín, necesitamos:



El eje y 2 puntos
Dos figuras afines
El eje, 1 punto y una relación proporcional o razón.
¿Para qué sirve?
Los ejercicios y problemas de homologías y afinidades son muy comunes en las pruebas de
acceso a la universidad.
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Ejercicios: Para poner en práctica lo que hemos aprendido y
así reforzar nuestros conocimientos
1 Dados un eje y los puntos homólogos A y A´, halla el segmento afín al dado
AB.
B
A
A+
2 Hallar el eje dados los puntos A-A´, B-B´y C-C´
B
A
C
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3 Dados dos pares de puntos homólogos A-A´y B-B´ y un punto C, doble hallar
el eje y el centro de homología.
A+
C=C´+
B+
B´+
A´+
4 Dados dos pares de puntos homólogos y un punto doble del eje, halla la
figura homóloga del triángulo ABC dado.
A
B
C
+D=D´
B´+
A´+
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5 Dado un eje, una dirección y la relación de proporción en A-A´ k=3/4, halla
el triángulo afín al dado
A
d
B
C
6 Halla la figura homóloga de la circunferencia de 30 mm de diámetro, dado
el centro, un eje, la recta límite y el vértice.
RL
+o
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Eje
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Construye un cuadrilátero igual que el dibujado ABCD, con el lado
correspondiente a AB situado en la recta r y el vértice correspondiente a C
en la recta s.
r
D
C
A
B
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s
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8 Con centro de homotecia en A, determina un polígono homotético del dibujado, de manera
que sus longitudes sean 5/7 de las del inicial. Considerando que el dibujo está a escala 1:50,
escribe la longitud real en metros del segmento AB.
C
D
E
B
F
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A
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Hallar el cuadrilátero afín (homología sin centro) del ABCD, dados el eje y
la dirección de afinidad.
A
B
C
D
10 Hallar el cuadrilátero homólogo del ABCD, sabiendo que el centro de
homología es el del cuadrado, y dados el eje y la recta límite.
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RL
A
B
C
D
Eje
11 Hallar el cuadrilátero homólogo del ABCD, dados el centro, el eje y la recta
límite.
+o
RL
A
B
C
D
Eje
12 Hallar el cuadrilátero homólogo del ABCD, dados el eje, la recta límite y el
centro.
+o
RL
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A
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13 Dado el segmento AB, su homólogo A’B’ y el punto doble P P’, halla:
a) El eje de homología
b) El centro de homología
c) La figura homóloga de un triángulo equilátero de lado AB
B’
A’
+P=P’
A
B
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14 Dados el vértice V y el eje de homología, halla:
a) La figura homóloga del triángulo ABC, conociendo el punto A’
homólogo de A.
b) El punto homólogo del baricentro de dicho triángulo.
+V
B
C
A
+A’
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15 Determinar la figura homóloga del pentágono regular ABCDE, dado,
conociendo el eje y los puntos homólogos del vértice E y del centro del
Pentágono.
D
C
E
B
A
+o
+E’
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16 Dados los puntos A, B y los homólogos A’ y B’, así como el punto doble
C=C’, halla:
a) El eje de homología
b) El centro de homología
c) El triángulo isósceles que tiene como base el segmento A’B’ y cuyo
ángulo opuesto a la base mida 45º. De las dos posibles soluciones elige
el triángulo que no corte al eje.
d) El triángulo homólogo al construido.
+B
+A
+C=C’
+A’
+B’
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17 Dados el eje, el centro y la recta límite, hallar la figura homóloga del
cuadrilátero ABCD.
+O
A
B
D
C
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18 Hallar el centro O, que transforma el triángulo ABC en uno A’B’C’ equilátero.
C
A
B
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