Download Intensidad de campo gravitatorio

FÍSICA: CAMPO GRAVITATORIO
𝐶𝐴𝑀𝑃𝑂 𝐺⃗ 𝑅𝐴𝑉𝐼𝑇𝐴𝑇𝑂𝑅𝐼𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂. ..
NOTA: Los títulos están en otro tipo de letra a posta, no es que no me haya dado cuenta,
es que así destacan más .
Índice
Teoría ............................................................................................................ 2
Introducción .................................................................................................. 2
Fuerza gravitatoria .......................................................................................... 2
Para verlo más bonito .................................................................................... 2
Intensidad de campo gravitatorio ......................................................................... 3
Energía potencial gravitatoria ............................................................................. 3
Potencial gravitatorio ....................................................................................... 4
Velocidad de escape ........................................................................................ 4
Velocidad y período orbital ................................................................................ 5
Momento angular ............................................................................................ 5
Trabajo de escape desde una órbita...................................................................... 6
Puesta en órbita de un satélite ............................................................................ 6
Práctica .......................................................................................................... 6
Uno facilillo .................................................................................................. 6
Uno jodidillo ................................................................................................. 7
Tabla de ecuaciones más básicas ............................................................................ 8
Pues las notas necesarias es que del aburrimiento me acuerdo de las fórmulas (vamos
que lo he sacado de mi cabeza porque me da pereza abrir el libro de física)
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FÍSICA: CAMPO GRAVITATORIO
Teoría
Introducción
Primero diremos lo que es este bonito campo que le trae quebraderos de cabeza a
más de uno. Es aquel que se produce por la gravedad (nunca lo hubieras imaginado) y
fue descubierto por el mismo tío que creó las leyes de la dinámica (si, hablamos de
Newton) ya explicadas en el documento realizado por mi compadre Maroto (publicidad
encubierta).
Por cierto también es importante saber que el campo gravitatorio es conservativo,
vamos que se cumple el principio de conservación de la energía mecánica.
Fuerza gravitatoria
La expresión vectorial de la fuerza del campo gravitatorio es:
𝑚 𝑚
𝐹⃗ = −𝐺 𝑟1 2 2 𝑢
⃗⃗
Se mide en Newtons (N)
Siendo G la constante de gravitación universal 6.6 · 10−11
𝑁𝑚2
𝐾𝑔2
, m1 y m2 las masas,
r la distancia que las separa y u el vector unitario, es negativa porque siempre se dirige
hacia el propio cuerpo.
Para verlo más bonito
𝐹⃗1
𝐹⃗2
Tierra
Luna
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐹⃗1 = −𝐹⃗2
Pues las notas necesarias es que del aburrimiento me acuerdo de las fórmulas (vamos
que lo he sacado de mi cabeza porque me da pereza abrir el libro de física)
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FÍSICA: CAMPO GRAVITATORIO
Intensidad de campo gravitatorio
Lo que llamamos intensidad de campo gravitatorio es esa fuerza de antes por
unidad de masa colocada en ese punto, ésta tiene unidades de aceleración y es lo que se
llama g que es aproximadamente 9.8𝑚/𝑠 2
𝑀
𝑔⃗ = −𝐺 𝑅2𝑇 𝑢
⃗⃗
𝑇
Esto podemos hacerlo para cualquier distancia y cualquier masa para ver la
aceleración que sufre un cuerpo colocado en ese campo, así podremos saber datos
curiosos como por ejemplo si te matarás cayendo desde una altura de 100 metros en
distintos planetas partiendo del reposo.
Energía potencial gravitatoria
Bueno pues resulta que para hallar la variación de energía potencial habría que
integrar el trabajo realizado por el campo para llevar un cuerpo de un punto a otro, eso
es más o menos (más más que menos) lo siguiente:
𝑊 = 𝐹𝛥𝑥
𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝑥
1 2
𝑊1−2 = 𝐺𝑚1 𝑚2 [𝑥]
2
𝑊1−2 = ∫1 𝐹𝑑𝑥
2
𝑊1−2 = ∫1 −𝐺
𝑚1 𝑚2
𝑥2
𝑑𝑥
𝑊 = −∆𝐸𝑃
1
Ahora si se nos va la olla y decimos que queremos calcular el trabajo en traer un
cuerpo desde el infinito a cierta posición tenemos que:
1 𝐴
𝑊∞−𝐴 = 𝐺𝑚1 𝑚2 [𝑥]
∞
Y por último, si terminamos la integral definida nos da que:
𝐸𝑃𝐴 = −𝐺
𝑚1 𝑚2
𝑟
Se mide en Julios (J)
Pues las notas necesarias es que del aburrimiento me acuerdo de las fórmulas (vamos
que lo he sacado de mi cabeza porque me da pereza abrir el libro de física)
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FÍSICA: CAMPO GRAVITATORIO
(Hemos sustituido x por r por si hay alguien que no se ha coscado).
Si hacemos una aproximación cuando un cuerpo se sitúa a una altura despreciable
de la Tierra con respecto al radio terrestre tenemos como aproximación válida que la
energía potencial es:
𝐸𝑃 = 𝑚𝑔ℎ
Potencial gravitatorio
Bueno he aquí nuestra última magnitud que podemos definir del campo
gravitatorio (y la más inútil posiblemente). Se trata de la energía potencial por unidad
de masa o potencial gravitatorio, y para los tonticos que no se hayan imaginado la
fórmula después de decir esto (es broma) tenemos que:
𝑉𝑔 = −𝐺
𝑀
𝑟
Se mide en J/Kg
Velocidad de escape
Podemos decir que es la velocidad necesaria para que al tirar una piedra
(entiéndase por piedra cualquier objeto con masa) hacia arriba, ésta escape del campo
gravitatorio
del
planeta
(o
asteroide
o
lo
que
sea,
preferentemente que tenga masa que si no lo llevas chungo
porque suspendes física) en el que esté. Para ello no tiene que
pasar nada más que anular la energía mecánica.
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑃
1
2
𝑚𝑣 2 = 𝐺
𝑀𝑚
𝑟
Si despejamos v
2𝐺𝑀
𝑣=√
𝑟
Pues las notas necesarias es que del aburrimiento me acuerdo de las fórmulas (vamos
que lo he sacado de mi cabeza porque me da pereza abrir el libro de física)
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FÍSICA: CAMPO GRAVITATORIO
Velocidad y período orbital
Bueno esto es más fácil que robarle un caramelo a un niño (no te estoy incitando
a hacerlo, si lo haces el niño se podría chivar a su padre y éste pegarte una paliza), si
igualamos la fuerza gravitatoria con la fuerza centrípeta:
𝐺
𝑀𝑚
𝑟2
=𝑚
𝑣2
𝐺𝑀
𝑣=√
𝑟
𝑟
Y ya tenemos la velocidad. Si queremos saber el período orbital sólo tenemos que
hacer lo siguiente:
𝑤=
2𝜋
𝑣 = 𝑤𝑟
𝑇
𝑇=
2𝜋𝑟
𝑣
Si a esto le aplicamos las ecuaciones de la velocidad orbital sustituyendo la
velocidad y despejando T:
𝑟3
𝑇 = 2𝜋√𝐺𝑀
Momento angular
Es una magnitud que se mantiene constante en todo momento de la órbita de una
piedra (ya sabes piedra=cualquier cosa con masa) en torno a un planeta (otra cosa con
masa).
⃗⃗ = 𝑟⃗ × 𝑝⃗
𝐿
Pues las notas necesarias es que del aburrimiento me acuerdo de las fórmulas (vamos
que lo he sacado de mi cabeza porque me da pereza abrir el libro de física)
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FÍSICA: CAMPO GRAVITATORIO
Trabajo de escape desde una órbita
Como se ha dicho antes, para escapar de un campo gravitatorio hay que anular la
energía mecánica. Pues esto es lo mismo, el trabajo será la variación de energía
mecánica:
𝑊 = 𝐸𝑚𝑓 − 𝐸𝑚𝑖 = 0 − 𝐸𝑚𝑖
Puesta en órbita de un satélite
El trabajo necesario para ello será la variación de la energía mecánica, así que
hay que tener en cuenta que tanto en el momento de despegue como cuando está
orbitando tiene energía potencial y energía cinética.
𝑊 = ∆𝐸𝑚
1
𝑊 = 2 𝑚𝑣𝑓2 − 𝐺
𝑀𝑚
𝑅𝑓
1
− 2 𝑚𝑣𝑖2 + 𝐺
𝑀𝑚
𝑅𝑖
Si lo que nos apetece es cambiar de órbita un satélite pues lo mismo, el trabajo
será la variación de energía mecánica.
Práctica
Uno facilillo
Calcula la fuerza ejercida por un cuerpo de 100 toneladas de masa sobre una
piedra de 50 Kg de masa separados a una distancia de 2 metros.
Pues las notas necesarias es que del aburrimiento me acuerdo de las fórmulas (vamos
que lo he sacado de mi cabeza porque me da pereza abrir el libro de física)
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FÍSICA: CAMPO GRAVITATORIO
Hagamos un dibujito orientativo
𝐹⃗
Ahora aplicamos la formulita (en módulo):
𝐹=𝐺
𝑚1 𝑚2
𝑟2
𝑚1 = 100000 𝑘𝑔
𝑚2 = 50 𝑘𝑔 𝑟 = 2 𝑚
𝐹 = 1,65 · 10−4 𝑁
Uno jodidillo
Calcula el trabajo necesario para poner en órbita una piedra de 300 kg a 1000 km
de altura de la superficie terrestre (𝑅𝑇 = 6400 𝑘𝑚 𝑀𝑇 = 6 · 1024 𝑘𝑔)
Inténtalo tu primero que así no aprendes.
.
.
.
.
.
.
.
Vale supongamos que lo has intentado (no te lo crees ni tu).
La energía mecánica inicial sería la energía potencial en la superficie terrestre,
que vale −2900 𝐽 y si no te lo crees coges la calculadora y lo haces que de eso se trata.
Pues las notas necesarias es que del aburrimiento me acuerdo de las fórmulas (vamos
que lo he sacado de mi cabeza porque me da pereza abrir el libro de física)
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FÍSICA: CAMPO GRAVITATORIO
La energía mecánica final sería la suma de la energía potencial y la cinética. La
potencial sería −2169 𝐽 y la cinética la calcularemos una vez que hayamos calculado la
velocidad que surge de igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta, como ya hicimos en
la teoría. Nos sale que la velocidad es 7315 𝑚/𝑠. Así que la energía cinética será 8 · 109 𝐽
∆𝐸𝑚 = 8 · 109 − 2169 + 2900 ≅ 8 · 109 𝐽
Tabla de ecuaciones más básicas
Magnitud
Fuerza
Intensidad de campo
Energía potencial
Potencial gravitatorio
Velocidad orbital
Ecuación
𝑚1 𝑚2
𝑢
⃗⃗
𝑟2
𝑀
𝑔⃗ = −𝐺 2 𝑢
⃗⃗
𝑟
𝑚1 𝑚2
𝐸𝑃 = −𝐺
𝑟
𝑀
𝑉𝑔 = −𝐺
𝑟
𝐹⃗ = −𝐺
𝐺𝑀
𝑣=√
𝑟
Pues las notas necesarias es que del aburrimiento me acuerdo de las fórmulas (vamos
que lo he sacado de mi cabeza porque me da pereza abrir el libro de física)
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