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BACHILLERATO
FÍSICA
03. CAMPO GRAVITATORIO
R. Artacho
Dpto. de Física
y Química
03. CAMPO GRAVITATORIO
ÍNDICE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Concepto de campo
Campo gravitatorio
Enfoque energético del campo
Representación gráfica del campo
Movimiento de cuerpos en un campo gravitatorio
Origen y evolución del universo
2
03. CAMPO GRAVITATORIO
1 Concepto de campo
¿Cómo es posible la acción a distancia?
 En 1831, Faraday establece el concepto de líneas de fuerza, aplicadas a
las interacciones entre cargas e imanes, que se extienden por el espacio.
 En 1865, Maxwell, introduce la noción de campo aplicada al
electromagnetismo, basada en las ideas de Faraday. Calcula la velocidad
en que propaga la interacción: la velocidad de la luz.
 Einstein establece el concepto de campo en la gravitación: el campo
gravitatorio no es más que la deformación de la geometría del espaciotiempo por efecto de la masa de los cuerpos.
3
03. CAMPO GRAVITATORIO
1 Concepto de campo
1.1. ¿Qué entendemos por campo?
Campo es aquella región del espacio cuyas propiedades son perturbadas por
la presencia de una partícula.
 Un campo es definido mediante magnitudes que adquieren distintos
valores en cada punto del espacio y en el tiempo: Ai (x, y, z, t) (solo nos
dedicaremos a los campos que no dependen del tiempo, estacionarios).
 Según el tipo de magnitud, los campos pueden ser escalares (p.ej. campo
de temperaturas) o vectoriales (p.ej. campo de velocidades).
 El campo se pone de manifiesto colocando en su seno una partícula
dotada de la propiedad (carga, masa,…) necesaria para interactuar con
dicho campo.
 Magnitudes que definen el campo: intensidad del campo (enfoque
dinámico) y potencial (enfoque energético).
 Magnitudes inherentes a la interacción: fuerza que actúa sobre la partícula
(enfoque dinámico) y energía potencial (enfoque energético).
4
03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
 Para definir la magnitud que representa al campo gravitatorio originado por
una masa m, elegimos la aceleración que adquirirá una partícula situada en
dicho campo y que es independiente de la masa de la partícula testigo.
𝑔 = −𝐺
𝑀𝑇
𝑢
𝑟2 𝑟
La intensidad del campo gravitatorio, 𝒈,
en un punto es la magnitud que define el
campo gravitatorio desde el punto de vista
dinámico y que puede considerarse como
la fuerza que actuaría sobre la unidad de
masa testigo colocada en dicho punto:
𝑚𝑚′
−𝐺 2 𝑢𝑟
𝐹
𝑚
𝑟
𝑔=
=
= −𝐺 2 𝑢𝑟
𝑚′
𝑚′
𝑟
 La unidad del campo gravitatorio en el SI es el N/kg, que equivale al m/s2.
 𝒈 es una magnitud vectorial radial y su sentido apunta hacia m que da lugar
al campo. Varía conforme al inverso del cuadrado de la distancia.
5
03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
EJERCICIO 1
¿A qué distancia de un cuerpo de masa 3m tiene el campo gravitatorio el
mismo valor que a una distancia r de un cuerpo de masa m?
6
03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos
Campo gravitatorio en el exterior de un cuerpo esférico
Corteza esférica
𝑑𝑚
𝑠
𝑑𝑔′
 La intensidad resultante de
un campo gravitatorio debido
a una corteza esférica se
dirige al centro de la corteza.
𝑔𝑖
 El valor de dicho campo es
el mismo que se obtendría si
toda la masa de la corteza
estuviese concentrada en
dicho centro.
𝑑𝑔
𝑟
𝑠
𝑑𝑚′
𝑠
𝑔𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑠
7
03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos
Campo gravitatorio en el exterior de un cuerpo esférico
Esfera sólida
 El campo gravitatorio originado por
cuerpos esféricos de masa m en un
punto exterior P es el mismo que el que
originaría dicha masa
si estuviese
concentrada en el centro del cuerpo:
𝑚
𝑔 = −𝐺 2 𝑢𝑟
𝑟
8
03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos
Campo gravitatorio en el interior de un cuerpo esférico
Corteza esférica
𝑑𝐴 = 𝜋𝑟 2 = 𝜋(𝑏𝑠𝑒𝑛𝑑𝜃)2
𝑟′
𝑑𝐴′ 𝑚′
𝑆
𝑑𝜃
𝑏
𝐶
𝑎 = 2𝑏
2
𝑑𝐴′ = 𝜋𝑟 ′ = 𝜋 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑑𝜃
𝑟
𝑚 𝑑𝐴
= 𝜋(2𝑏𝑠𝑒𝑛𝑑𝜃)2 = 4𝑑𝐴
𝑑𝜃
Si la corteza es uniforme:
𝑚′
𝑚
𝑔 =𝐺 2−𝐺 2 =𝐺
𝑎
𝑏
𝑔
𝑔=𝐺
𝑔=0
2
𝑚′ = 4𝑚
4𝑚
𝑚
−
=0
2𝑏 2 𝑏2
𝑚
𝑟2
El campo neto en el
interior de una corteza
esférica es nulo
9
03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
2.1. Campo gravitatorio producido por cuerpos esféricos
Campo gravitatorio en el interior de un cuerpo esférico
Esfera sólida homogénea
 La densidad de la esfera:
𝑚
𝑟
𝑚′
𝑟′
𝑚
𝑚
𝜌= =
𝑉 4 𝜋𝑟 3
3
 En P, solo contribuye la masa m’:
𝑃
3
4
𝑟′
𝑚′ = 𝜌𝑉 ′ =
· 𝜋𝑟′3 = 𝑚 3
4 3 3
𝑟
𝜋𝑟
3
′3
𝑟
𝑚 3
𝑚′
𝑔 = −𝐺 ′ 2 𝑢𝑟 = −𝐺 ′𝑟2 𝑢𝑟
𝑟
𝑟
𝑚
= −𝐺 3 𝑟′𝑢𝑟
𝑟
𝑚
𝑔
𝑔=𝐺
𝑔=0
𝑚
𝑟2
El campo neto en el interior de una esfera
sólida maciza aumenta linealmente con r’.
10
03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
EJERCICIO 2
Dos esferas A y B tienen la misma densidad, pero el radio de A es el triple del
radio de B.
a) ¿Qué relación guardan los respectivos valores del campo en un punto P
equidistante de los centros de las esferas?
b) Si la separación entre los centros de las esferas es d, ¿a qué distancia de la
esfera A se encuentra el punto en el que el campo resultante es nulo?
11
03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
2.2. Campo gravitatorio terrestre
 Por todo lo anterior, podemos considerar que el campo gravitatorio
terrestre sería el mismo que el que tendría si toda la masa del planeta
estuviera concentrada en su centro:
𝑀𝑇
𝑁
𝑔 = −𝐺 2 𝑢𝑟 = −9,8𝑢𝑟
𝑜 𝑚/𝑠 2
𝑘𝑔
𝑅𝑇
Variaciones con la altitud
𝑔=𝐺
𝑔′
𝑀𝑇
𝑟2
𝑀𝑇
𝑑𝑟
𝑑𝑔 = −2𝐺 3 𝑑𝑟 = −2𝑔
𝑟
𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑟
2ℎ
= 𝑔 + 𝑑𝑔 = 𝑔 − 2𝑔
=𝑔 1−2
=𝑔 1−
𝑟
𝑟
𝑅𝑇
 Esta ecuación es válida cuando las altitudes son pequeñas en comparación
con el radio terrestre.
12
03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
EJERCICIO 3
Considerando que en la superficie de Marte g es de 3,72 m/s2, calcula cuál sería
el valor de la gravedad en la cima del monte Olimpo, que, con sus 25 km de
altura, es el monte conocido más alto del sistema solar.
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03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
2.2. Campo gravitatorio terrestre
Variaciones con la latitud
𝑌
𝑎𝑐
𝑎𝑐ℎ
𝑋
𝑎𝑐 = 𝜔2 𝑟 = 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑎𝑐𝑟
𝑟
𝑔
𝜑
𝑅𝑇
 Valor máximo en el ecuador  0’034 m/s2
𝜑
𝑎𝑐𝑟 = 𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑
𝑎𝑐ℎ = 𝑎𝑐 𝑠𝑒𝑛𝜑 = 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑔𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = − 𝑔 − 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 𝑢𝑟 + 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑢ℎ
 Dado que ac es muy pequeña:
𝑔𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔 − 𝜔2 𝑅𝑇 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑
Localidad
Latitud
Gravedad
Polo N
Greenwich
Florida
Ecuador
90º0’
51º29’
24º34’
0º0’
9,8321
9,8119
9,7897
9,7799
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03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
EJERCICIO 4
Calcula los valores de la gravedad efectiva en las latitudes canarias (aprox. 28º)
y cantábricas (aprox. 43º).
g = 9,81 m/s2
15
03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
2.3. Principio de superposición de campos
𝑚1
𝑔1
𝑟1
𝑃
𝑔2
𝑔3
𝑟2
𝑔4
𝑟3
𝑚3
 En general:
𝑛
𝑚2
𝑚4
𝑔 = 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 + 𝑔4
𝑟4
𝑔=
𝑛
𝑔𝑖 =
𝑖=1
𝑖=1
𝑚𝑖
−𝐺 2 𝑢𝑟𝑖
𝑟𝑖
El campo gravitatorio debido a un
conjunto de masas en un punto que
dista una distancia ri de cada una de
ellas es igual a la composición vectorial
de los campos individuales generados
por cada una de ellas.
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03. CAMPO GRAVITATORIO
2 Campo gravitatorio
EJERCICIO 5
Tres partículas que tienen, respectivamente, una masa de 2, 4 y 0,3 kg se
encuentran situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 8,66 m de
altura. ¿Cuánto vale la intensidad del campo, 𝑔, en el centro de dicho triángulo?
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03. CAMPO GRAVITATORIO
3 Campo gravitatorio. Enfoque energético
 La fuerza gravitatoria es conservativa.
 Es posible asociarle una función de la posición denominada energía
potencial.
𝑊𝐶 = −∆𝐸𝑃
3.1. Energía potencial gravitatoria
𝑟
𝑟
𝑢𝑟 · 𝑑𝑟
𝑊 = 𝐹 · 𝑑 𝑟 = −𝐺𝑚𝑚′
= −𝐺𝑚𝑚′
2
𝑟
∞
∞
𝑊=𝐺
𝐸𝑃
𝑟
𝐸𝑃 𝑟 = −𝐺
𝐸𝑃 𝑟 = −𝐺
𝑀𝑇 𝑚′
𝑅𝑇
𝑚𝑚′
𝑟
𝑟
𝑑𝑟
1
1
=
−𝐺𝑚𝑚′
−
−
−
2
𝑟
∞
∞ 𝑟
𝑚𝑚′
= −∆𝐸𝑃 = − 𝐸𝑃 𝑟 − 𝐸𝑃 (∞)
𝑟
𝐸𝑃 ∞ = 0
𝐸𝑃 𝑟 = −𝐺
𝑚𝑚′
𝑟
La energía potencial gravitatoria es
el trabajo que realiza la fuerza
gravitatoria para aproximar dos masas
desde el infinito a una distancia r.
18
03. CAMPO GRAVITATORIO
3 Campo gravitatorio. Enfoque energético
3.1. Energía potencial gravitatoria
El término “mgh”
𝑀𝑇 𝑚
𝐵 𝐸𝑃 𝐵 = −𝐺
𝑅𝑇 + ℎ
𝐸𝑃 𝐴 = −𝐺
𝑀𝑇 𝑚
𝑅𝑇
ℎ
𝐸𝑃 𝐵 = −𝐺
𝑀𝑇 𝑚
𝑅𝑇 + ℎ
𝑀𝑇 𝑚
𝐸
𝐴
=
−𝐺
𝐴 𝑃
𝑅𝑇
∆𝐸𝑃 = 𝐸𝑃 𝐵 − 𝐸𝑃 (𝐴)
∆𝐸𝑃 = −𝐺
𝑀𝑇 𝑚
𝑀𝑇 𝑚
− −𝐺
=
𝑅𝑇 + ℎ
𝑅𝑇
= 𝐺𝑀𝑇 𝑚
1
1
ℎ
−
= 𝐺𝑀𝑇 𝑚
𝑅𝑇 𝑅𝑇 + ℎ
𝑅𝑇 2 + 𝑅𝑇 ℎ
 Sí h<<RT , RTh<<RT2:
∆𝐸𝑃 = 𝐸𝑃 𝐵 − 𝐸𝑃 𝐴 = 𝑚𝑔ℎ
19
03. CAMPO GRAVITATORIO
3 Campo gravitatorio. Enfoque energético
EJERCICIO 6
¿Cuánto trabajo se realiza al desplazar una masa de 1 000 kg desde la
superficie terrestre hasta una distancia igual a tres veces el radio de la Tierra?
20
03. CAMPO GRAVITATORIO
3 Campo gravitatorio. Enfoque energético
3.1. Energía potencial gravitatoria
Energía potencial de un sistema de varias partículas
𝑚2
𝑟12
𝑚1
𝑟13
𝑟23
𝑚3
La energía potencial gravitatoria de
tres o más partículas es la suma
llevada a cabo sobre todos los
pares de partículas.
𝐸𝑃 = 𝐸𝑃12 + 𝐸𝑃13 + 𝐸𝑃23
𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚3 𝑚2 𝑚3
𝐸𝑃 = −𝐺
+
+
𝑟12
𝑟13
𝑟23
21
03. CAMPO GRAVITATORIO
3 Campo gravitatorio. Enfoque energético
EJERCICIO 7
Un sistema consta de cuatro partículas de 10 g situadas en los vértices de un
cuadrado de 20 cm de lado. ¿Cuál es la energía potencial del sistema?
22
03. CAMPO GRAVITATORIO
3 Campo gravitatorio. Enfoque energético
3.2. Potencial gravitatorio
Se define el potencial gravitatorio en un punto, V, como la energía potencial
adquirida por la unidad de masa colocada en dicho punto.
𝑃
𝑚
𝑟
𝑉 𝑟 =
𝐸𝑃 (𝑟)
𝑚
𝐽
= −𝐺
( )
𝑚′
𝑟 𝑘𝑔
𝑃
 Por el Principio de superposición:
𝑟1
𝑚1
𝑚2
𝑟2
𝑟3
𝑉(𝑟) = −𝐺
𝑚1 𝑚2 𝑚3
+
+
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑚3
23
03. CAMPO GRAVITATORIO
3 Campo gravitatorio. Enfoque energético
3.2. Potencial gravitatorio
Relación entre potencial y la intensidad del campo
 Si derivamos la expresión del potencial respecto de r,
𝑉 = −𝐺
𝑚
𝑟
⟹
𝑑𝑉
𝑚
=𝐺 2
𝑑𝑟
𝑟
⟹
𝑔=−
𝑑𝑉
𝑑𝑟
 Como V = V(x, y, z),
𝜕𝑉
𝑔𝑥 = −
;
𝜕𝑥
𝑔=−
𝜕𝑉
𝑔𝑦 = −
;
𝜕𝑦
𝜕𝑉
𝑔𝑧 = −
𝜕𝑧
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝑖+
𝑗+
𝑘 = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
24
03. CAMPO GRAVITATORIO
3 Campo gravitatorio. Enfoque energético
EJERCICIO 8
Cuatro masas de 2, 4, 3 y 0,4 kg, respectivamente, se encuentran en los
vértices de un cuadrado de 2 m de lado. ¿Cuánto vale el potencial en el centro
del cuadrado? ¿Qué energía potencial adquirirá una masa de 10 kg situada en
dicho punto?
25
03. CAMPO GRAVITATORIO
4 Representación gráfica del campo gravitatorio
4.1. Líneas de fuerza y superficies equipotenciales
líneas de fuerza
 Las líneas de fuerza son siempre
tangentes al vector intensidad del campo.
 Su sentido es siempre entrante hacia la
masa que origina el campo.
 Las líneas de fuerza nunca se cruzan.
 El número de líneas de fuerza que
atraviesan una unidad de superficie es
proporcional a valor de g.
 Todos los puntos que se encuentran a la
misma distancia r de la masa m, tienen el
mismo valor del potencial y constituyen
una superficie equipotencial.
 Las superficies equipotenciales nunca se
cortan.
 Las líneas de fuerza son perpendiculares
a las superficies equipotenciales.
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03. CAMPO GRAVITATORIO
5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio
5.1. Energía de amarre o de ligadura
La energía mínima necesaria para que un cuerpo de 1 kg abandone
necesariamente la Tierra se denomina energía de amarre o de ligadura.
𝐹 = −𝐹𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 = 𝐺
∞
𝑊=
∞
𝐹 · 𝑑𝑟 = 𝐺𝑀𝑇 𝑚
𝑅𝑇
𝑅𝑇
𝑀𝑇 𝑚
𝑟2
1
𝑀𝑇 𝑚
𝑑𝑟
=
𝐺
𝑟2
𝑅𝑇
Sustituyendo los datos de la Tierra y m = 1 kg:
𝑊 = 6,28 · 107 𝐽
27
03. CAMPO GRAVITATORIO
5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio
5.2. Velocidad de escape
Para que un cuerpo abandone totalmente el campo gravitatorio debemos
suministrarle, al menos, una energía igual a la de amarre:
1
𝑀𝑇 𝑚
2
𝑚𝑣 = 𝐺
2
𝑅𝑇
⟹
𝑣=
2𝐺𝑀𝑇
𝑅𝑇
 Esta velocidad se denomina
velocidad de escape y es
independiente de la masa del
cuerpo e indiferente de la dirección
de lanzamiento.
 En la Tierra vale 11,2 km/s. No es
suficiente para escapar del sistema
solar.
 Para ello es necesario
asistencia gravitacional.
una
Asistencia gravitacional
para la Sonda Cassini
28
03. CAMPO GRAVITATORIO
5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio
5.3. Energías y órbitas
Cuando la velocidad de un cuerpo es menor que la velocidad de escape el
cuerpo quedará ligado al campo gravitatorio.
Velocidad orbital
𝐹
 La fuerza gravitatoria hace el papel de fuerza
centrípeta
𝑟
𝑀𝑇 𝑚
𝑣2
𝐺 2 =𝑚
𝑟
𝑟
⟹
𝑣=
𝐺𝑀𝑇
𝑟
Es la velocidad orbital supuesta una órbita
circular.
29
03. CAMPO GRAVITATORIO
5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio
5.3. Energías y órbitas
Energía mecánica en una órbita
𝐸𝑀 = −𝐺
𝑟
𝑀𝑇 𝑚
2𝑟
La energía mecánica de un satélite es:
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 =
1
𝑀𝑇 𝑚
𝑚𝑣 2 − 𝐺
2
𝑟
𝐸𝑃
𝑅𝑇 𝑟2
𝑟3
𝐸3 < 0
𝐸2 < 0
𝐸𝑃 = −𝐺
𝑟
𝑀𝑇 𝑚
𝑟
𝑀𝑇 𝑚
𝑣2
𝐺 2 =𝑚
𝑟
𝑟
𝐸𝑀 = 𝐺
⟹
𝐸𝐶 =
1
𝑀𝑇 𝑚
𝑚𝑣 2 = 𝐺
2
2𝑟
𝑀𝑇 𝑚
𝑀𝑇 𝑚
𝑀𝑇 𝑚
−𝐺
= −𝐺
2𝑟
𝑟
2𝑟
𝐸1 < 0
30
03. CAMPO GRAVITATORIO
5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio
5.3. Energías y órbitas
Energía mecánica y órbitas
 EM < 0
𝐸
𝑟𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜
𝐸𝑀 < 0
𝑟
En este caso las órbitas son cerradas:
circulares o elípticas.
𝑚
𝐸𝐶
𝐸𝑃 = −𝐺
𝑀𝑇 𝑚
𝑟
𝑀𝑇
𝑟𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜
31
03. CAMPO GRAVITATORIO
5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio
5.3. Energías y órbitas
Energía mecánica y órbitas
𝐸
𝐸𝑀 = 0
 EM = 0
𝑟
En este caso las órbitas son abiertas:
parábolas.
𝐸𝐶
𝐸𝑃 = −𝐺
𝑀𝑇 𝑚
𝑟
𝑚
𝑀𝑇
32
03. CAMPO GRAVITATORIO
5 Movimiento de cuerpos en campo gravitatorio
5.3. Energías y órbitas
Energía mecánica y órbitas
𝐸
𝐸𝑀 > 0
 EM > 0
𝑟
𝐸𝐶
𝐸𝑃 = −𝐺
En este caso las órbitas son abiertas:
hipérbolas.
𝑀𝑇 𝑚
𝑟
𝑚
𝑀𝑇
33
03. CAMPO GRAVITATORIO
6 Origen y evolución del Universo
34