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IES MIRADOR DEL GENIL
IZNÁJAR
Departamento
de Ciencias
1.Un cuerpo cae por un
plano inclinado de 30º. En
movimiento
podemos
identificar dos posiciones. La
inicial (1), y la final (2).
La expresión del trabajo es la
siguiente:
𝑊 = 𝐹 ∙ ∆𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
La fuerza que actúa sobre el
cuerpo,
podemos
descomponerla en dos. Una
fuerza a favor del movimiento, que será el peso del cuerpo, y una fuerza en
contra del movimiento, que será la fuerza de rozamiento. Calcularemos ambas
fuerzas.
Para ello, lo primero de todo, es ver las fuerzas que actúan sobre el cuerpo:
𝑃𝑥 = 𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 → 𝑃𝑥 = 50𝑘𝑔 ∙ 9,8
𝑚
∙ 𝑠𝑒𝑛30º → 𝑃𝑥 = 245 𝑁
𝑠2
𝐹𝑟𝑜𝑧 = 𝜇 ∙ 𝑁 = 𝜇 ∙ 𝑃𝑦 = 𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 →
𝐹𝑟𝑜𝑧 = 0,1 ∙ 50𝑘𝑔 ∙ 9,8 𝑚 /𝑠 2 ∙ cos 30º → 𝐹𝑟𝑜𝑧 = 42,44 𝑁
El trabajo final o neto que actúa sobre el cuerpo, será:
∆𝐹 = 𝑃𝑥 − 𝐹𝑟𝑜𝑧 → 245 𝑁 − 42,44 𝑁 → ∆𝐹 = 202,56 𝑁
Una vez conocida la fuerza actuante, podemos calcular el trabajo:
𝑊 = 𝐹 ∙ ∆𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 → 𝑊 = 202,56𝑁 ∙ 1𝑚 ∙ 𝑐𝑜𝑠0º → 𝑤 = 202,56 𝐽
Nota: el ángulo del plano inclinado (30º) es α; el ángulo que forma el desplazamiento y la fuerza (0º) es β.
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2.- No nos dan la masa de agua del depósito, pero sí tenemos su volumen y
densidad, por tanto podemos calcular la masa de agua:
V = 5 x 4 x 2  V = 40 m3
d = m /V  m = dV  m = 40 m3 · 1000 kg /m3  m = 40000 kg
Puesto que es un movimiento vertical
(variación de la altura), podemos relacionar el
trabajo, con la variación de energía
mecánica.
𝑊 = ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝
Puesto que no hay cambio de velocidad, la
variación de energía cinética es cero. Por
tanto resulta:
𝑊 = ∆𝐸𝑝 = 𝑚𝑔∆ℎ →
𝑚
𝑊 = 40000𝑘𝑔 ∙ 9,8 2 ∙ 50 𝑚 →
𝑠
𝑊 = 19600000 𝐽
3.36
𝑘𝑚 1000 𝑚 1 ℎ
∙
∙
= 10 𝑚⁄𝑠
ℎ
1 𝑘𝑚 3600 𝑠
a) En este movimiento, la energía mecánica se conserva. Por tanto la
energía mecánica durante la carrera (1), es igual a la energía mecánica
en el punto más alto (2), e igual a la energía mecánica de la caída (3).
1
𝐸𝑚1 = 𝐸𝑚2 → 𝐸𝑝1 + 𝐸𝑐1 = 𝐸𝑝2 + 𝐸𝑐2 → 0 + ∙ 𝑚𝑣 2 = 𝑚𝑔ℎ + 0
2
Despejando la altura:
𝑚
(10 𝑠 )2
𝑣2
ℎ=
→ℎ=
→ ℎ = 5,1 𝑚
2∙𝑔
2 ∙ 9,8
b) Para calcular la energía mecánica, la calculamos en cualquiera de las
posiciones. Por ejemplo en el punto de máxima altura:
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Em = Ec + Ep (puesto que el punto más alto no hay velocidad, tan solo existe,
energía potencial)
Em = mgh  Em = 70 kg·9,8 m /s2··5,1 m  Em = 3500 m.
c) En la posición 3: Em = Ep + Ec. Puesto que no hay altura, no hay
energía potencial, toda la energía mecánica el cinética:
𝐸𝑚 =
1
2 ∙ 𝐸𝑚
2 ∙ 3500𝐽
∙ 𝑚 ∙ 𝑣2 → 𝑣 = √
→𝑣= √
→ 𝑣 = 10 𝑚/𝑠
2
𝑚
70 𝑘𝑔
4.90
𝑘𝑚 1000 𝑚 1 ℎ
∙
∙
= 25 𝑚⁄𝑠
ℎ
1 𝑘𝑚 3600 𝑠
Un cuerpo que lleva una cierta velocidad, ve un obstáculo y frena hasta
detenerse (velocidad 0).
Podemos relacionar el trabajo con la variación de energía mecánica (que será
toda cinética):
𝑊 = ∆𝐸𝑚 = ∆𝐸𝑝 + ∆𝐸𝑐 → 𝑊 = ∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐2 − 𝐸𝑐1
1
1
𝑊 = [( 𝑚𝑣22 ) − ( 𝑚𝑣12 )]
2
2
La velocidad 2, puesto que frena totalmente es cero, luego el trabajo es:
W = -(1/2·500kg·(25 m/s)2)  W = - 156250 J
Una vez calculado el trabajo, podemos relacionarlo con la fuerza, con la
siguiente expresión:
𝑊 = 𝐹 ∙ ∆𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
Para calcular la fuerza de rozamiento, despejamos de la expresión, resultando:
𝐹𝑟𝑜𝑧 =
𝑊𝑟𝑜𝑧
− 156250 𝐽
→ 𝐹𝑟𝑜𝑧 =
→ 𝐹𝑟𝑜𝑧 = 1250 𝑁
∆𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
125 𝑚 ∙ cos 180
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5.a) Sin rozamiento, podemos calcular la altura a la que sube el bloque,
considerando que la energía mecánica se conserva:
1
𝐸𝑚1 = 𝐸𝑚2 → 𝐸𝑝1 + 𝐸𝑐1 = 𝐸𝑝2 + 𝐸𝑐2 → 0 + ∙ 𝑚𝑣 2 = 𝑚𝑔ℎ + 0
2
𝑚
(10 𝑠 )2
𝑣2
ℎ=
→ℎ=
→ ℎ = 5,1 𝑚
2∙𝑔
2 ∙ 9,8
No nos pide la altura, sino el desplazamiento en el plano:
Utilizando razones trigonométricas,
calcular el desplazamiento:
podemos
Sen 30º = 5,1/Δx  Δx = 5,1 /sen30º 
 Δx = 10,2 m
b) Si hay rozamiento, no podemos utilizar la conservación de la energía
mecánica, pero sí que el trabajo es la variación de energía mecánica:
𝑊 = ∆𝐸𝑚 → 𝑊 = ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝
Desarrollando la expresión:
𝐹∆𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽 = [(𝐸𝑐2 − 𝐸𝑐1 ) + (𝐸𝑝2 − 𝐸𝑝1 )]
La energía cinética 2 y la energía potencial 1 son cero, luego la expresión
anterior resulta:
𝐹∆𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽 = [(𝐸𝑝2 − 𝐸𝑐1 )]
Desarrollando la expresión:
1
𝐹∆𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽 = (𝑚𝑔ℎ) − ( 𝑚𝑣 2 )
2
Por un lado la fuerza, es la de rozamiento: Froz = µN = µPy  Froz = µmgcosα
por otro lado la altura la podemos indicar como: senα=h/Δx  h = Δxsenα
Nota: α es el ángulo del plano inclinado, y β es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.
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Introduciendo todo esto en la fórmula, resulta que:
1
𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ ∆𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 = (𝑚𝑔 ∙ ∆𝑥𝑠𝑒𝑛𝛼) − ( 𝑚𝑣 2 )
2
Sustituyendo por aquellas cosas que conocemos:
1
(0,2 ∙ 1𝑘𝑔 ∙ 9,8 ∙ 𝑐𝑜𝑠30) ∙ ∆𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠180 = (1 𝑘𝑔 ∙ 9,8 ∙ ∆𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛30)- ( ∙ 1𝑘𝑔 ∙ (10 )2
2
− 1,687∆𝑥 = 4,9∆𝑥 − 50
Es una ecuación con una incógnita, la cual despejamos:
−1,687 ∆𝑥 − 4,9∆𝑥 = −50 → −6,587∆𝑥 = −50 → ∆𝑥 =
−50
−6,587
→ ∆𝑥 = 7,59 𝑚
Comprobamos, que con rozamiento, describe un menor desplazamiento que
sin rozamiento (apartado a).
6.- Veamos el dibujo del movimiento:
a) El desplazamiento es sobre el eje x, y por tanto vamos a calcular el valor
de la componente x (horizontal) de la fuerza:
𝐹𝑥 = 𝐹 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 → 𝐹𝑥 = 35𝑁 ∙ cos 60 → 𝐹𝑥 = 17,5𝑁
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Sabemos que la potencia, es el cociente entre el trabajo y el tiempo que se
aplica, por tanto tendremos que calcular previamente el trabajo.
𝑊 = 𝐹∆𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽 → 𝑊 = 17,5 𝑁 ∙ 1,5 𝑚 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 → 𝑊 = 26,25𝐽
Nota: el ángulo beta, es el que forma el desplazamiento con la fuerza x aplicada.
Ya podemos calcular la potencia:
𝑃=
𝑊
26,25 𝐽
→𝑃=
→ 𝑃 = 4,38𝑤.
𝑡
6𝑠
Expresamos la potencia en caballos de vapor (C.V)
4,38 𝑤 ∙
1 𝐶𝑉
→ 𝑃 = 0,0059 𝐶. 𝑉.
736𝑤
b) La relación entre potencia y velocidad es la siguiente:
𝑃=
𝑊 𝐹 ∙ ∆𝑥
=
→ 𝑃 = 𝐹𝑣
𝑡
𝑡
Despejando la velocidad:
v = P/F  v = 4,38w / 17,5N  v = 0,25 m/s.