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La Importancia de las Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol.
Kepler sabía de la existencia de 6 planetas: Tierra, Venus, Mercurio, Marte, Júpiter
y Saturno.
Todos ellos (incluso la
Luna) se mueven muy
cercanamente al mismo
plano (sección #2 de
"Astrónomos"). El sistema
solar es ¡plano como una
tortilla!. La Tierra está
sobre la tortilla también, de
La órbita de la Tierra alrededor del Sol.
manera que vemos al
Esta es una vista en perspectiva, la forma
sistema completo de perfilverdadera de la órbita es muy cercana a un círculo.
-la tortilla completa ocupa
una línea (o tal vez una
banda pequeña) haciendo un corte en el cielo, conocido como la eclíptica. Cada
planeta, la Luna y el Sol también, se mueven a lo largo o cercano a la eclíptica. Si
observa un montón de estrellas brillantes unidas en una línea alrededor del cielo--y
la línea tal vez contenga también a la Luna, (cuya órbita están también cercana a esa
"tortilla"), o el lugar en el horizonte por donde el Sol se acaba de ocultar--es
probable que esté viendo planetas.
Los antiguos astrónomos creían que la Tierra era el centro del Universo--las
estrellas estaban sobre una esfera rotando alrededor de ella (ahora sabemos, que
la Tierra es la que en realidad gira) y los planetas se movían en sus propias "esferas
de cristal" en maneras graciosas. Normalmente se movían en la misma dirección,
pero algunas veces su movimiento se invertía por un mes o dos, y nadie sabía por
qué.
Un clérigo Polaco llamado NicolásCopérnico observó alrededor de 1543 que
dichos movimientos tenían sentido si los planetas se movían alrededor del Sol, si la
Tierra era uno de ellos, y si los más distantes se movían más lentamente--de
manera que algunas veces la tierra los rebasaba, y eso hacía parecerles que se
retrasaban por un tiempo. Las órbitas de Venus y Mercurio estaban dentro de la de
la Tierra, de manera que ellos nunca se mueven muy lejos del Sol. Razón por la cual
usted ¡nunca ve a Venus a medianoche!
Espero que usted, al describirle esas características--la "tortilla de la eclíptica, el
movimiento hacia atrás ("retrógrado"), Venus siempre cerca del Sol--a sus
estudiantes, ellos obtengan una apreciación de la apariencia de los planetas en el
cielo, como estrellas brillantes que se mueven a lo largo del mismo camino que el
Sol y la Luna. Las 12 constelaciones a lo largo de esa línea son conocidas como el
zodíaco, un nombre que debe ser familiar a quienes siguen la astrología. Venus, el
planeta más brillante, oscila hacia atrás y adelante a lo largo de la posición del Sol, y
Mercurio también--pero debido a que está mucho más cercano al Sol, tan solo lo
puede ver al estar lo más retirado del Sol, y por corto tiempo despues del ocaso o
antes del amanecer.
Los estudiantes probablemente habrán escuchado o leído que el Papa y la
Iglesia pelearon contra la idea de Copérnico. Debido a que en uno de los Salmos (los
cuales son en realidad oraciones-poemas), la Biblia dice que Dios, "puso la Tierra
para que no se moviera" (esa fue una traducción: una más correcta es "no se
colapsará"). Galileo, un Italiano contemporáneo de Kepler, quien apoyó las ideas de
Copérnico, fue juzgado por la Iglesia por desobediencia y fue sentenciado a arresto
domiciliario por el resto de su vida.
Fue esta una época en la cual la gente con frecuencia seguía a los antiguos autores
(como el Griego Aristóteles), en lugar de verificar con sus propios ojos, lo que la
Naturaleza estaba haciendo en realidad. Cuando la gente comenzó a verificar,
observar, experimentar y calcular, eso se convirtió en la revolución científica.
Nuestra tecnología moderna es el resultado final, y las leyes de Kepler (junto con el
trabajo de Galielo, y el de William Gilbert sobre el magnetismo) son importantes,
debido a que ellas comenzaron la revolución.
Kepler trabajó con Tycho Brahe, un noble Danés que llevó la
astronomía pre-telescópica a su mayor precisión, midiendo las
posiciones de los planetas de una manera tan exacta como el ojo lo
permite (Brahe murió en 1602 en Praga, ahora la capital Checa; los
telescopios comenzaron con Galileo alrededor de 1609). Si quiere
leer al respecto, le recomiendo "Tycho and Kepler" por Kitty
Ferguson, revisado en
http://www.phy6.org/outreach/books/Tycho.htm, o por lo menos,
lea la crítica. Permítame citar de él:
Johannes
Kepler
La Intolerancia Religiosa estaba muy extendida--de hecho, los eventos se
estaban encaminando hacia la guerra de los 30 años (1618-48), la batalla religiosa
más destructora de Europa, reflejada por la guerra civil en Bretaña. Kepler fue
forzado a salir de Graz, entre otros empleados de colegios Protestantes en la
ciudad, después de que el gobernante archiduque decretó que deberían dejar la
ciudad al caer la noche, ese mismo día. Era también una era en que la madre de
Kepler fue arrestada por brujería, cuando la mayoría de sus numerosos hijos
habían muerto en la niñez, y cuando el matrimonio de Tycho, el cual era visto
como de segunda clase, con hijos de una mujer no casada, debido a que su esposa
no era de la nobleza.
Intente hacer ver eso a sus alumnos también. En 1620 fue cuando los "peregrinos"
tocaron tierra en Plymouth Rock, huyendo del comienzo de la guerra religiosa que
después devastó a Europa. Es muy probable que fue el recuerdo de dichas guerras
que condujo a los Estados Unidos, tiempo después, a decretar la separación de la
Iglesia y el Estado. Explique cómo el desarrollo de la ciencia y la sociedad casi
siempre están muy relacionadas.
Primera Ley de Kepler
(1) Los planetas se mueven alrededor del Sol en elipses, con el Sol en un
foco
Primero explique lo que es una elipse: una de
las formas de las "secciones cónicas,"
obtenidas mediante el cortar un cono con una
superficie plana. Una linterna crea un cono de
luz: diríjala a una pared plana y obtiene una
sección cónica.
Dirija el haz a la pared de forma perpendicular. La
pared corta al cono de manera perpendicular al
eje y así obtiene un círculo de luz.
Ponga el cono en ángulo relativo a la pared: una elipse. Entre mayor
sea el ángulo, más lejos se cierra la elipse.
Finalmente, si el eje del
cono está paralelo a la
pared, la curva nunca
se cierra: se obtiene
una parábola. Las
leyes de Kepler (así las
conocemos ahora)
forman todas
secciones cónicas, y las
parábolas son muy
parecidas a las órbitas
de los cometas no
periódicos, los cuales
comienzan sus
movimientos muy
lejos.
las curvas generadas como
"secciones cónicas" cuando planos
rectos son cortados a lo largo de un cono.
(Incline aún más y
obtendrá hipérbolas-no solo las trayectorias
no se cierran, sino la direcciones de ir y venir forman un ángulo
definido).
Las elipses tienen otras propiedades--tienen dos puntos especiales "foco", y si toma
cualesquiera de dos puntos sobre la elipse, la suma de las distancias (r1 + r2) desde
los dos focos es siempre la misma (para esa elipse). Al final de la sección #11 hay
también una agradable historia "susurros en el Capitolio de los EU", respecto a
cómo una elipsoide--la superficie creada al torcer una elipse alrededor de su eje-puede enfocar ondas de sonido. --------------------------------------
Hay más, mucho más... pero tan solo déjeme traer a colación dos puntos.
Son buenos puntos para participar en clase, porque unen el trabajo de Kepler
de alrededor de 1610 con los últimos descubrimientos científicos del siglo 21.
Primero que nada, una elipse muy famosa se muestra abajo. Su historia
es narrada en al sección #S7-a
http://www.phy6.org/stargaze/Mblkhole.htm
Probablemente todos sepan que nuestro Sol es parte de una inmensa
colección de estrellas en forma de disco--aproximadamente 100,000 millones
de acuerdo al último conteo--llamada galaxia. Es un disco plano, una tortilla
como el sistema solar--y en este caso también, vemos a esa tortilla de lado, de
manera que también reduce nuestro campo de visión a una pequeña tira. En
esa tira vemos una banda de estrellas débiles corriendo alrededor de la esfera
celestial, la "Vía Láctea".
¿Qué mantiene unida a nuestra galaxia (y a las más distantes)? Se creyó por
mucho tiempo que había un inmenso agujero negro en el centro, pero ese
centro estaba oscurecido por nubes de polvo y por lo tanto no era fácil de
observar. Recientemente fueron construídos telescopios de alta resolución,
sensibles a la luz infraroja, los cuales pueden ver a través del polvo, y han
mostrado una gran concentración de estrellas moviéndose rápidamente cerca
del centro de la galaxia, en órbitas que obedecen las leyes de Kepler. Este sitio
de la red muestra la elipse de una estrella orbitando al centro una vez cada
15.2 años, y los cálculos deducen una masa de aproximadamente 3.7 millones
de soles, más menos 1.5 millones.
[Solo para astrónomos: la masa central ayuda a mantener la galaxia
unida, pero hay algo más que masa involucrada, porque la rotación de las
partes más retiradas de las galaxias no obedecen la tercera ley de kepler. De
hecho, sus partes principales parecen rotar como discos sólidos, lo cual es
difícil de explicar a menos que asumamos que las galaxias contienen,
además de estrellas brillantes, mucha "materia oscura", que afecta la
gravedad pero es invisible. Vea la nota al final del artículo #20]
En segundo lugar, dijimos que la Tierra orbita al Sol (y por cierto, las
mismas leyes también aplican para los satélites artificiales que orbitan la
Tierra). Pero imagine que pudiera hacer gradualmente que la Tierra fuera cada
vez más pesada, y al mismo tiempo el Sol fuera cada vez más ligero.
¿Entonces qué? Al llegar al punto en donde la Tierra y el Sol pesaran lo
mismo--¿quién orbita a quién?
Aproximadamente 50 años después de Kepler, Isaac Newton explicó las
leyes de Kepler (y al hacerlo, estableció con firmeza la "revolución científica"
a partir de ese momento). Esto es lo que él hizo:
--- Primero obtuvo las leyes del movimiento--conocidas a partir de
entonces como las "3 leyes de Newton del movimiento", y es problable
que usted las imparta en clase, también.
---Segundo, nos dió la ley de la gravitación universal--mostrando
que la misma fuerza que ocasiona que las manzanas y las piedras
caigan, también mantiene a la Luna en su órbita-- y por lo tanto,
probablemente, creó todas las órbitas del sistema solar.
(Para ver más relativo a esto (inclusive de esa manzana), vea la
sección #20 http://www.phy6.org/stargaze/Mgravity.htm)
--Y tercero, él probó que si los dos puntos anteriores eran válidos, la
leyes de Kepler podían ser derivadas matemáticamente...
... pero con un pequeño cambio: los planetas no orbitan alrededor del Sol,
sino alrededor de un centro común de gravedad. Mientras que la Tierra
recorre un gran circuito cada año, el Sol también realiza uno, uno muy
pequeño, alrededor del centro de gravedad del Sol-tierra.
(En realidad, el Sol también es movido por Júpiter, Saturno, etc, y el patrón
resultante es complicado).
¿Porqué es esto importante? Porque nos ayuda a descubrir ¡si otras
estrellas tienen planetas!. No podemos ver aquellos planetas--demasiado
tenues--pero si la estrella presenta un vaivén de una forma complicada, puede
ser que sea un planeta el que la mueva así.
¿Funciona esto? Sí y no (vea el fin del artículo #11a). Muchos planetas han
sido descubiertos de esta forma, pero la mayoría de ellos están demasiado
cerca a las estrellas (se mueven en una escala de tiempo de semanas) y son
muy grandes. El descubrir planetas similares a la Tierra es difícil--el vaivén
es más pequeño y necesitamos observarlo durante muchos años para obtener
una periodicidad del orden de un año. Pero manténgase conectado, los
astrónomos están trabajando en ello.
------------------
Segunda Ley de Kepler
(2) La línea que conecta el Sol con un planeta barre
áreas iguales en tiempos iguales.
(Esa línea a veces es llamada "radio vector").
Una elipse es un óvalo elongado simétrico,
con dos focos localizados simétricamente
hacia las orillas más "agudas"--un foco
contiene al Sol, y el otro está vacío. (Dibuje
dicha elipse). Si acercamos los focos cada vez
más, la elipse se parece cada vez más a un
círculo, y cuando se traslapan, finalmente
tenemos un círculo.
Ilustrando la 2da. ley de Kepler:
A los segmentos AB y CD les lleva el
[La órbita de la Tierra, así como la
mismo tiempo el recorrerlo.
mayoría de las órbitas planetarias, se
aproximan mucho a un círculo. Si le
mostrara la órbita de la Tierra sin el Sol en un foco, es probable que no pudiera
distinguirla de un círculo. Con el Sol incluído, sin embargo, podrá notar que está
ligeramente fuera de centro].
La clave de la 2da. ley de Kepler es que, aunque la órbita es simétrica, el
movimiento no lo es. Un planeta se acelera al acercarse al Sol, obtiene su máxima
velocidad al pasar en su máxima aproximación, y luego se desacelera.
(La estrella S2 se acelera hasta un 2% de la velocidad de la luz al acercarse al
agujero negro que está en el centro de nuestra galaxia).
Lo que ocurre se entiende mejor en términos de energía. Conforme se retira el
planeta del Sol (o el satélite de la Tierra), este pierde energía al sobreponerse de la
atracción gravitacional, y se desacelera, como una piedra tirada hacia arriba. Y al
igual que la piedra, vuelve a ganar su energía (completamente--no hay resistencia al
aire en el espacio) al regresar.
Hay un ejercicio fácil aquí, el cual está también en la sección #12A .
http://www.phy6.org/stargaze/Mkepl2A.htm
Suponga que tiene un planeta cuyas distancias más pequeña/grande desde el
centro son (r1, r2)--son llamados perihelio y efelio si el centro es el Sol, o (perigeo,
apogeo) si el centro es la Tierra. (Las distancias siempre se miden desde el centro
de los cuerpos, o desde los centros de gravedad).
Digamos que es un planeta que está orbitando el Sol. Entonces--la velocidad V1
en perihelio es la más rápida de la órbita. Es por lo tanto, la distancia cubierta en un
segundo en perihelio. La velocidad V2 en afelio es la más lenta de la órbita. Es por
lo tanto la distancia cubierta en un segundo en afelio.
El área barrida por el "radio vector" r durante un segundo después del perihelio es
un triángulo rectángulo de base V1, de manera que su área es 0.5 r1 V1
El área barrida por el "radio vecto" r durante un segundo después del afelio es un
triángulo rectángulo de base V2, de manera que su área es 0.5 r2 V2
De acuerdo a la ley de la áreas, ambas áreas son iguales, de manera que
r1 V1 = r2 V2
Divida ambos lados entre r1V2
y obtenga
V1:V2 = r2:r1
Si el afelio r2 es 3 veces la distancia del perihelio, la velocidad V2 en ese lugar es
3 veces más lenta. (Note: esta relación solo es válida en estos dos puntos de la
órbita. En cualquier otro punto, la velocidad y el radio no son perpendiculares).
---------------¿Estamos lo más cerca del Sol? Aproximadamente el 4 de Enero, en un 1.5%,
no lo suficiente como para que el Sol se aprecie distinto.
Esta es una forma rápida para demostrar esta asimetría (aunque probablemente no
tenga tiempo para cubrirla en clase). Dibuje una elipse, con el eje largo y una línea
perpendicular a dicho eje a través del Sol)
.Entonces ocurre (pura casualidad) que el equinoccio de primavera y el de otoño,
cuando el día y la noche son iguales, típicamente el 21 de Marzo, Septiembre 22 ó
23, caen muy cercanos a esta línea perpendicular.
Observe la vista esquemática de la órbita de la Tierra en la sección #3. El eje largo
(como se definió arriba) es la línea conectando Diciembre-Junio en ese dibujo, y la
línea perpendicular es la que conecta Marzo-Septiembre.
¿Si la órbita fuera exactamente un círculo? (en cuyo caso, lo que llamamos
"eje largo", sería completamente arbitrario, un diámetro igual que cualquier otro),
entonces, de acuerdo a la segunda ley de Kepler, la Tierra se movería a una
velocidad constante y pasaría el mismo tiempo en el verano que en el otoño. ¡De
hecho, pasa aproximadamente dos días menos en la parte del invierno! (Tome
un calendario y cuente los días de un equinoccio al otro). Eso puede significar que


La parte del invierno es más corta, o
La Tierra se mueve más rápido en la parte del invierno
En realidad, ambas condiciones son ciertas, si la Tierra está lo más cercana a Sol
alrededor de Enero 4. La "mitad" de la elipse (determinada por la línea
perpendicular definida arriba) que está más cercana al Sol es más pequeña
(demuéstrelo con un dibujo de una elipse que sea notoriamente ovalada), y de
acuerdo a la segunda ley de Kepler, la Tierra se mueve más rápida al estar más cerca
del Sol.
------------------------El hecho de que el hemisferio norte esté más cerca del Sol a mediados de
invierno y lo más retirado a mediados del verano, hace que se moderen las
estaciones, haciéndolas más suaves.
En el hemisferio sur, los haría más crudos, aunque los grandes océanos ayudan a
moderar su efecto.
Pero el eje de la Tierra se mueva alrededor de un cono, con un ciclo de 26000
años. En 13000 años, estaremos lo más cerca del Sol a mediados del verano, y el
clima se hará más extremo. De acuerdo a lo descrito en la sección 7, esto puede ser
un efecto ligado a los orígenes de la edad de hielo, pero no tenemos tiempo para los
detalles.
Tercera ley de Kepler
(3) El cuadrado del período orbital de un planeta es
proporcional al cubo de la distancia media desde el Sol.
(O en otras palabras--del "eje semimayor" de la elipse, la
mitad de la suma de la distancia más grande y la más
pequeña desde el Sol).
Esta es una ley matemática, y sus estudiantes necesitan calculadoras con raíces
cuadradas, también potencias a la 3/2 y 2/3 (y tal vez también raíces cúbicas o
potencias a la 1/3 que es lo mismo)...
Si dos planetas (o dos satélites de la Tierra---funciona igual) tienen períodos
orbitales T1 y T1 de días o años, y distancias medias desde el Sol (o ejes
semimayores) A1 y A2, entonces la fórmula expresando la tercera ley es
(T1 / T2)2 = (A1 / A2)3
Los estudiantes preguntarán de inmediato--podemos contar días para obtener el
período orbital T (aunque puede ser complicado, necesitamos restar el movimiento
de la Tierra alrededor del Sol)--pero ¿Cómo conocemos las distancia A?
En realidad, no la conocemos, pero observamos que solo se necesitan las
proporciones de las distancias, y las unidades no afectan a las proporciones. Por
ejemplo, suponga que "Planeta 2" es la Tierra, y todos los tiempos están en años.
Entonces T2=1 (año) y podemos medir todas las distancias en unidades
astronómicas (UA), la distancia media Sol-Tierra, de manera que A2 =1 (UA). La
ley entonces aplica, para cualquier planeta,
(T1)2 = (A1)3
Esto puede ser verificado, y en la sección 10 encontrará los resultados en una tabla:
3ra Ley de Kepler
T en años, a en unidades astronómicas; entonces T2 = a3
Las discrepancias son debido a la exactitud limitada
Planeta
Mercurio
Periodo T Dist. a del Sol
0.241
0.387
T2
a3</SUP< i>
0.05808 0.05796
Venus
0.616
0.723
0.37946 0.37793
Tierra
1
1
1
1
Marte
1.88
1.524
3.5344
3.5396
Júpiter
11.9
5.203
141.61
140.85
Saturno
29.5
9.539
870.25
867.98
Urano
84.0
19.191
7056
7068
Neptuno
165.0
30.071
27225
27192
Plutón
248.0
39.457
61504
61429
Usted puede observar que, aún con nuestra limitada exactitud, la ley se mantiene
muy bien. También muestra que, entre más grande la distancia, el movimiento es
más lento, lo que conduce a rebasar a los planetas exteriores por la Tierra, haciendo
(por un tiempo) que se muevan hacia atrás de una manera relativa a las estrellas fijas
en el cielo. Puede verificar todo esto matemáticamente para las órbitas circulares
utilizando la leyes de Newton (vea la sección #21), pero, de nuevo, me voy a saltar
eso.
En kilómetros, la unidad astronómica es de aproximadamente 150,000,000 km,
400 veces la distancia a la Luna. Todo tipo de intentos fueron realizados para
obetener este valor, comenzando con el Griego Aristarco (sección #9a) y dichos
intentos son discutidos en la sección 10a. Fue realizado por porimerz vez con alguna
precisión en 1672, y la emoción sobre el reciente "Tránsito de Venus" frente al Sol
fue motivado por una propuesta hecha entonces por Halley (del famoso cometa)
para utilizar dichos tránsitos escasos (el último fue en 2004, el siguiente en 2012, y
después hay que esparar más de un siglo) para medir la UA. El cálculo, que no es
pequeño, están en la secciones 12c a 12e de "Astrónomos". (Algunos otros
"métodos" fueron expuestos en la red, involucrando el tránsito de Venus pero no su
duración, y ellos son falsos).
Se puede resolver todo tipo de problemas con la tercera ley de Kepler. Aquí están
unos cuantos:
1. ¿Cuánto tiempo toma llegar a Marte, con la órbita más eficiente? Esto se llama la
"Órbita de Transferencia de hohmann" (Wolfgang Hohmann, 1925). La nave
espacial primero debe liberarse de la Tierra (aún así orbitará el Sol junto con la
Tierra, a 30 km/s, a una distancia de 1 UA), entonces se agrega velocidad de
manera que su afelio (en su órbita alrededor del Sol) tan solo se acerque a la órbita
de Marte, A=1.524 UA (ignorando elipcicidad).
2.
Para la órbita de Hohmann,
la distancia más pequeña es
1.00 UA (Tierra), la mayor es
1.524 UA (Marte), de manera
que el eje semimayor es
3. A = 0.5(1.00 + 1.524) = 1.262 UA
4. A3 = 2.00992 = T2
5.
El período es la raíz cuadrada de T
= 1.412 años
Para llegar a Marte, se requiere
tan solo la mitad de la órbita, o
T/2 = 0.7088 años
La órbita de Transferencia de Hohmann
Esto equivale aproximadamente a
8.5 meses; más detalles se
encuentran en la sección #21b..
6. ¿Cuánto tiempo le tomaría a una nave llegar de la Tierra al Sol?
¡El Sol es el objeto más difícil de alcanzar del sistema solar! Es más fácil de escapar
al espacio interestelar (sí, aquella gente que habla de enviar los desperdicios
nucleares al Sol necesita estudiar astronomía).
Para llegar al Sol directamente desde la Tierra, necesitamos impulsar la
nave espacial para liberarla de la Tierra. Aún orbita al Sol con la Tierra, a 30
km/s (la órbita baja de la Tierra es a solo 8km/s), de manera que necesitamos
darle un impulso opuesto, agregándole (-30km/s) a su velocidad. Entonces,
así caería directamente hacia el Sol.
Esa órbita también es una elipse, aunque una muy delgada. Su longitud
total es de 1 (UA), de manera que el eje semimayor es A = 0.5 UA. De
acuerdo a la tercera ley, A3 = 0.125 = T2, y obteniendo la raíz cuadrada,
T=0.35355 años. Necesitamos dividir esto entre 2 (es un viaje sencillo) y
multiplicarlo por 365.25 para obtener días. Multiplicando:
T/2 = (0.5) 0.35355 (365.25) = 64.6 días
7. ¿Qué tan lejos (del centro de la Tierra) orbitan los satélites síncronos? Estos son
(en su mayoría) satélites de comunicación y tienen un período de 24 horas, lo cual
favorece a que se mantengan sobre el mismo punto. La Luna se encuentra a 60 RT
(Radios de la Tierra) y tiene un período de T = 27.3217 días (vea la sección 20
relativa a la gravedad). La órbita síncrona es circular, de manera que A es también
su radio R. Obtenemos
(R/ 60)3 = R3 / 216,000 = (1 / 27.3217 días)2
= 1/ (27.3217 días)2 = 1 / 746.5753
de manera que
R3 = 216,00/746.5753 = 289.32
Este número está entre 63 = 216 y 73 = 343, de manera que la calculadora nos
da un valor de R = 6.614 RT. Ahora sabe que obtuvo ese valor de manera
correcta.
8. ¿Qué tan lejos se va el cometa Halley?
Su período es de aproximadamente 75 años, y 752 = 5625. Sáquele la raíz
cúbica: A = 17.784 UA. Eso, sin embargo, es el eje semimayor. La longitud
de la elipse orbital es 2A = 35.57 UA. El perihelio está dentro de la órbita de
la Tierra, a menos de 1 UA del Sol, de manera que el afelio es de aprox35
UA del Sol--como lo muestra la tabla, en algún punto entre las órbita de
Neptuno y Plutón.
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Si usted es un maestro intentando cubrir las leyes de Kepler, espero que este repaso
general le haya dado un amplio rango de herramientas y detalles que puedan ser
útiles en el salón de clase.