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Matemática básica (ing.)
Modulo 23
Título:
Funciones trigonométricas inversas.
Bibliografía: Sección 4.7 Pág. 414 – 424.
Objetivos específicos:
Terminado el proceso de aprendizaje vinculado a este módulo, los estudiantes deben ser capaces de:
1. Definir las funciones trigonométricas inversas (arcoseno, arcocoseno y arcotangente),
describiendo claramente sus dominios y rangos.
2. Graficar las funciones trigonométricas inversa a partir de la simetría con la recta y = x.
3. Componer las funciones trigonométricas f  f 1 x ; f 1  f x  e identifica en cada caso
cuando la operación es x y cuando no.
4. Componer funciones trigonométricas con sen-1 x y reduce la función compuesta a una
expresión que no depende las funciones trigonométricas.

 

Diseño Instruccional
El término función inversa presupone, que la función que se estudie sea uno a uno, en el caso de las
seis funciones trigonométricas que hemos estudiado no cumplen con esta propiedad, debido a que
son periódicas y como sabemos el criterio de la recta horizontal no se cumple para ninguno de los
1
casos; sin embargo, si queremos determinar el valor de x en radianes para la cual, el sen x  , hay
2
que despejar la variable x, es por ello que se requiere estudiar en estas funciones sus
comportamientos inversos.
Objetivo 1:
Se presenta la función y = sen x, vemos que no es uno a uno, por lo tanto si despejamos la variable
x, obtenemos x = sen y y como vemos esta relación no representa una función, escogemos el
  
intervalo  ;  , donde la función seno es creciente y por lo tanto es uno a uno, el rango de la
 2 2
función en ese dominio es de  1; 1 .
Definimos la función arcoseno tal cual aparece en el rectángulo celeste de la página 414 y
  
especificamos que el único ángulo y en el intervalo  ;  tal que el sen y = x es el seno inverso
 2 2
  
(o arcoseno) de x, el cual se denota por sen-1x o arcsenx. El dominio  1; 1 y el rango  ;  .
 2 2
Resaltar los siguientes puntos:
1
1. La notación de inversa, no debe confundirse con
.
sen x
2. Dado que el dominio del arcoseno es el intervalo  1; 1 , entonces ¿Tendría sentido preguntar
el valor del arcsen(2)?
3. Los valores de la sen-1x siempre se encontrarán en el lado derecho del círculo trigonométrico,
es decir, la parte que queda comprendida entre los ángulos - π/2 y π/2.
4. Analizar si la inversa es acotada, creciente y simétrica.
1
Desarrollar el ejemplo 1 de la página 415, discutir los incisos c y e, porque no tiene sentido el
primero y que pasa con el segundo.
Objetivo 2:
Graficar la función y = sen-1x a partir de la gráfica del seno, es conveniente escoger una escala
apropiada en el eje de las x, para que se visualice bien el efecto de la simetría. Señalar en esta
gráfica las características de la función arcsen(x).
Para la función arcocoseno proponer una metodología similar, aunque más dinámica, dejando
claro el dominio, rango y la gráfica de la función arcocoseno, en este caso preocuparse por la
escala que seleccionemos para ilustrar la simetría. Guiarse por el libro en las Pág. 416 – 417
Lo mismo para la función arcotangente, retome las características de la función tangente, discutir
el dominio, los ceros y el rango, ¿por qué cuando se acercan los valores de x a π/2, el
comportamiento de la función toma cada vez valores más grandes?, esto permitirá definir después
el rango de la función arctan(x).
Se construye con ellos la grafica de la función tangente y se estudia el tema de la clase de hoy,
precisando donde es inyectiva, qué relación hay entre el dominio y el rango y las graficas de la
tan(x) y la arctan(x).
Resaltar los siguientes puntos:
a) Que los valores de la función y = arctan x siempre van a estar en el lado derecho del círculo
trigonométrico, es decir, la parte que queda comprendida entre los ángulos - π/2 y π/2.
b) Discutir los comportamientos en los extremos.
Objetivo 3:
Es común que los estudiantes generalicen, en ocasiones cometiendo errores de concepto, sería
interesante preguntarles si las siguientes igualdades siempre se cumplen arcsen(sen x)  x y
sen(arcsen x)  x . Use la referencia que ya vimos en los ejemplos c y e de la Pág. 415, el
cuidado que hay que tener en este tema. Por ejemplo sería interesante discutir con los alumnos
las siguientes igualdades:

 5   5
1. sen arcsen    
, preguntar si se cumple o no, el porqué y que diferencia hay cuando
 3  3

  5   5
evaluamos arcsen  sen   
, así como por qué ambos resultados son incorrectos.
3
3




Entonces preguntarse ¿para qué valores de x tiene sentido las siguientes identidades?. Llegar
con ellos a la conclusión, de que senarcsen x  x tiene sentido solo para aquellos valores
de x que pertenecen al dominio del arcoseno, en el segundo caso arcsen senx  x solo
tiene sentido en el dominio restringido del seno.
2. cosarc cosx  x y que diferencia hay cuando evaluamos arc coscosx  x .
3. tan arc tan x  x y que diferencia hay cuando evaluamos arc tan tan x  x y sacar
conclusiones. En las páginas 418 y 419 del libro la explicación de este hecho es muy escueta.
Resuelva los siguientes ejercicios: 2, 10, 26, 32 y 34 Pág. 421 – 422.
Objetivo 4:
Otro fenómeno que vale la pena discutir y que se utiliza mucho en cálculo de una variable es el
hecho de componer funciones trigonométricas inversas de un tipo con funciones trigonométricas
de otro tipo. Ejemplo sen(tan-1x) y como esta expresión se reduce a una expresión algebraica. Ver
el desarrollo del ejemplo cinco (Pág. 419) y resolver otros similares.
2
Ejercicios para trabajar en clase: Habilidad: Encontrar una expresión algebraica equivalente a la
expresión dada: 48, 50, 52, Pág. 422.
Tarea N°:
Mymathlab:
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