Download Velocidad de entrada para salir tocando C 1

E3. Un electrón entra en el campo entre dos placas paralelas en una
trayectoria paralela a ellas y a la mitad de distancia que las separa. La
longitud de las placas que ha de atravesar el electrón es de 10 cm. y la
distancia entre ellas de 1 mm. El campo entre ellas vale ⃗⃗⃗⃗
𝑬𝟎 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝒋̂ (𝑵⁄𝑪).
a. ¿A qué velocidad deberá entrar en las placas para que salga apenas
tocando el extremo derecho de la placa inferior?
b. Si a 1 m de distancia de los extremos derechos de las placas hubiera
una pantalla colocada perpendicularmente a las mismas, ¿en qué
punto de ella chocará?
c. Si la velocidad con que entrara fuera la mitad de la calculada antes, en
qué punto de la placa inferior chocaría?
d. Suponga que en lugar de un electrón la partícula entrante fuera un
protón y se quisiera que en su salida apenas tocara la placa superior,
¿cuál debería será su velocidad de entrada?
a.
Velocidad de entrada
para salir tocando C1
L
⃗⃗⃗⃗
𝒗𝒐
⃗⃗⃗⃗
𝑬𝟎
d
DATOS:
L = 10 cm
d = 1 mm
e = 1.602*10-19 C
me = 9.11*10-37 Kg
⃗⃗⃗⃗
𝐸0 = 2 ∗ 105 𝑗̂ (𝑁⁄𝐶 ).
C1
CLAVE
El problema es similar al de una bomba lanzada desde un avión a un blanco: sigue
una trayectoria parabólica pues está sometida a una aceleración vertical: han de
aplicarse las ecuaciones características de este movimiento y obtener la aceleración
(equivalente a la ‘g’ en el caso habitual) que impulsa verticalmente al electrón

Coordenadas de C1.
De la figura se puede ver fácilmente que: (𝑥, 𝑦)𝐶1 = (𝐿, − 𝑑⁄2)

Ecuaciones de posición para el movimiento del electrón
Estamos, evidentemente, ante un movimiento parabólico: un ‘objeto’ entra con
velocidad no vertical en una zona del espacio en la que sufre una fuerza vertical (es
ahora un caso similar al de la bomba lanzada desde un avión: lleva una velocidad
inicial horizontal y en su movimiento sufre una fuerza vertical, la de su peso)
 Movimiento horizontal (de velocidad constante)
𝑥(𝑡) = 𝑣0𝑥 𝑡
⇒
𝐿 = 𝑣0 𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 (1)
Aplicada esta ecuación a C1:

𝑥𝐶1 = 𝐿 ,

lo cual se produce en el momento en que el electrón accede a ese punto: t = t vuelo
Por otro lado: 𝑣0𝑥 = 𝑣0 , pues la entrada del electrón es paralela a las placas
 Movimiento vertical (de aceleración constante, hacia abajo)
1
𝑑
1
2
2
2
𝑦(𝑡) = 𝑣0𝑦 𝑡 − 𝑎𝑡 2 ⟹ − = − 𝑎𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 2

(2)
Obtención de la velocidad inicial
 Del mov. parabólico, haciendo despejes convenientes en (1) y (2):
𝐿
𝐷𝑒 (1): 𝑣0 = 𝑡
𝑣
𝑎
1 } ⟹ 𝑣0 = 𝐿√
(3)
𝑑
𝑑 2
(2):
𝑦 𝑑𝑒
𝑡𝑣 = (𝑎)
 De la ley de la Dinámica aplicada a la fuerza electrostática sobre el electrón:
𝑎=
𝑒𝐸0
𝑚𝑒
(4)
 Combinando (3) y (4) :
𝑒 𝐸0
𝑣0 = 𝐿√𝑚
𝑒
𝑑
= 59.3 ∗ 106 𝑚/𝑠
b. Punto de choque en la pantalla P
CLAVE
El ángulo de salida es el formado por
la tangente a la trayectoria y la
horizontal: ése es el ángulo que forma
con la horizontal el vector tangente,
esto es: el vector velocidad
d/2
D

C2
El ángulo de salida proporciona el
dato que se necesita para ubicar después, en la
pantalla, el punto C2 al que llega a chocar el
electrón. La información de la figura ampliada
nos permite fácilmente establecer la igualdad
para calcularlo:
tan 𝜽(𝒕𝒗 ) =
|𝒗𝒚 (𝒕𝒗 )|
⁄
|𝒗𝒙 (𝒕𝒗 )|
𝑒
tan 𝜽(𝒕𝒗 ) =
𝒗𝒙 (𝒕𝒗 )
𝑑
𝐿
𝜽(𝒕𝒗 )
|𝒗𝟎𝒚 −𝒂𝒕𝒗 |
𝒗𝟎
=
√𝑑𝑚 𝐸0
𝑒
𝑒 𝐸0
𝐿√
𝑚𝑒 𝑑
⟹ 𝜽(𝒕𝒗 ) = 0.057º
⃗ (𝒕𝒗 )
𝒗
𝒗𝒚 (𝒕𝒗 )
Debido a que:
1) 𝒗𝟎𝒚 = 𝟎: el e− entra horizontal
2) 𝑎 =
𝑒𝐸0
𝑚𝑒
de (4) (inciso a.)
1
3) 𝑡𝑣 = (𝑑⁄𝑎)2 de (2) (inciso a.)
=

Cálculo de la ubicación de C2, en base al ángulo de salida
D
𝜽(𝒕𝒗 )
C2
Coordenadas de C2
Como ya no existe ninguna fuerza
sobre el electrón, éste no variará su
d/2
velocidad ni en magnitud ni en
dirección: el ángulo 𝜽(𝒕𝒗 ) se
mantiene fijo hasta llegar a P.
El análisis sencillo del triángulo de
𝑫 𝐭𝐚𝐧 𝜽(𝒕𝒗 )
línea discontinua verde nos lleva a
concluir que:
(𝑥, 𝑦)𝐶2 = (𝐿 + 𝐷, − 𝑑⁄2 − 𝐷 tan 𝜃(𝑡𝑣 )
Como ya conocemos tan 𝜃(𝑡𝑣 ) , escribimos finalmente:
Del cálculo inmediatamente
anterior: tan 𝜽(𝒕𝒗 ) = 𝑑 ⁄𝐿
(𝑥, 𝑦)𝐶2 = (𝐿 + 𝐷, − 𝑑⁄2 − (𝐷⁄𝐿)𝑑) = (1.1𝑚, 0.015𝑚)
c. Punto de choque en la placa inferior con una velocidad de entrada mitad
de la obtenida en inciso a.
Ubicación de C3
La figura nos muestra con claridad que:
L
(𝒙, 𝒚)𝑪𝟑 = (𝒙𝑪𝟑 , − 𝒅⁄𝟐)
𝟏
⃗⃗⃗⃗
𝒗
𝟐 𝒐
⃗⃗⃗⃗
𝑬𝟎
C3
Despejar 𝑡 ′ 𝑣 en la segunda
ecuación y sustituir en la primera
d
Combinando
las
ecuaciones
del
movimiento parabólico para este caso
con las del inciso a. llegamos a lo que
sigue:
1
𝐷𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝐶3 :
{
𝑥𝐶3 = 2 𝑣0 𝑡 ′ 𝑣
𝑑
−2 =
1
2
− 2 𝑎𝑡𝑣′
𝑑
} ⟹ 𝑥𝐶3 = 0.5𝑣0 √𝑎
⟹
𝐿 = 𝑥𝐶2 = 𝑣0 𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜
1
𝐷𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑎. : {
𝑡𝑣 =
𝑑 2
(𝑎 )
𝑑
} ⟹ 𝑥𝐶2 = 𝑣0 √𝑎
}
1
1
𝑥𝐶3 = 𝑥𝐶2 = 𝐿 = 5 𝑐𝑚
2
2
d. Velocidad de entrada para un protón de modo que salga apenas tocando
el extremo derecho de la placa superior
Obsérvese que haber colocado el eje Y
hacia abajo nos devuelve a una
situación completamente similar a la del
inciso a. Si hay alguna duda, basta
invertir la figura: veríamos una
trayectoria hacia abajo y el eje Y
marcando hacia arriba. La única
diferencia aparece en la aceleración: el
protón al ser mucho más masivo que el
electrón se acelerará menos: en este
caso, de la Ley de la Dinámica:
L
C4
𝒑
𝒗𝟎
⃗⃗⃗⃗
𝑬𝟎
d
𝑚𝑝 𝑎𝑝 = 𝑒𝐸0 ⟹ 𝒂𝒑 =
𝒆𝑬𝟎
𝒎𝒑
Como el inciso a. llegamos a que:
𝑣0 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛 = 𝐿√𝑚
𝑒
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛
simplemente cambiamos y:
𝑣0 𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑛 = 𝐿√𝑚
𝑒
𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑛
𝐸0
𝑑
𝐸0
𝑑
,
ahora
. Como ambas fórmulas son muy similares
podemos valernos de una e introducirla en la otra:
𝑒
𝐸0 𝑚𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛
𝑣0 𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑛 = 𝐿√
√
𝑚𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛 𝑑 𝑚𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑛
⟹
𝑚𝑒
𝑣0 𝑝 = 𝑣0 𝑒 √
= 1.39 ∗ 106 𝑚/𝑠
𝑚𝑝
Observación: Quizá se piensa que aumentando más y más el campo entre placas se
podrían conseguir velocidades inimaginablemente grandes. No es así: conforme nos
acercamos a potencias de 108 m/s, la Ley de la Dinámica, mediante la cual obtuvimos
la aceleración, ha de reescribirse para hacerse acorde a la Teoría de la Relatividad; lo
cual conduce finalmente a un límite para cualquier velocidad física, la velocidad de la
luz, 3*108 m/s