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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
CONCEPTO: Dos polígonos son semejantes cuando tienen el mismo número de
lados, sus ángulos ordenadamente congruentes (iguales) y sus lados homólogos
proporcionales.
LADOS HOMÓLOGOS: Se llama lados homólogos a aquellos lados que forman
ángulos congruentes. La razón de semejanza entre dos polígonos es igual a la
razón geométrica existente entre dos lados homólogos
A continuación se enuncian varios teoremas fundamentales en la geometría.
TEOREMA DE THALES:
1. Si varias paralelas son cortadas por dos rectas, los segmentos
determinados son proporcionales.
A
B
C
𝐿1
HIPÓTESIS:
𝐿1 , 𝐿2 : 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠
𝐴𝐷// 𝐵𝐸 // 𝐶𝐹
TESIS:
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝐷𝐸
𝐸𝐹
D
E
F
𝐿2
1. Toda paralela a uno de los lados de un triángulo forma otro triángulo
semejante al primero
B
D
A
E
C
HIPÓTESIS: ABC
𝐷𝐸// 𝐵𝐶
TESIS:
ABC ~ ADE
∴
𝐴𝐵
𝐴𝐷
=
𝐴𝐶
𝐴𝐸
=
𝐵𝐶
𝐷𝐸
2. Toda bisectriz de uno de los ángulos interiores de un triángulo divide el
lado opuesto en partes proporcionales a los otros dos lados
B
D
1
A
HIPOTÉSIS
ABC
2
C
1=
2
TESIS:
𝐵𝐷
𝐷𝐶
=
𝐴𝐵
𝐴𝐶
EJEMPLOS:
1.
𝑴
𝑵
𝑸
𝑹
𝑷
En el gráfico anterior:
𝑀𝑄 // 𝑁𝑅 // 𝑃𝑆
𝑀𝑁 = 10 𝑐𝑚
𝑁𝑃 = 4𝑐𝑚
𝑄𝑆 = 16𝑐𝑚
Hallar 𝑄𝑅, 𝑅𝑆
Sea:
𝑄𝑅 = 𝑥
𝑅𝑆 = 16 − 𝑥
Aplicando el teorema de thales
𝑀𝑁
𝑁𝑃
=
𝑄𝑅
𝑅𝑆
Reemplazando:
𝑺
5
10
4
2
=
𝑥
16−𝑥
→ 5(16 − 𝑥 ) = 2𝑥
80 − 5𝑥 = 2𝑥 → 80 = 7𝑥
𝑄𝑅 =
𝟖𝟎
𝟕
Sustituyendo:
𝑅𝑆 = 16 −
80
𝟑𝟐
→ 𝑹𝑺 =
7
𝟕
2. En la siguiente gráfica:
B
D
E
𝐻
A
Datos:
𝐷𝐸// 𝐴𝐶
𝐴𝐵 = 40 𝐶𝑚
𝐵𝐷 = 25 𝐶𝑚
𝐸𝐶 = 12 𝐶𝑚
𝐵𝐻 = 20 𝐶𝑚
Solución:
I
C
Hallar: 𝐵𝐸, 𝐻𝐼 =
Sea:
𝐵𝐸 = 𝑥 → 𝐻𝐼 = 𝑥 + 12
Por ser 𝐷𝐸// 𝐴𝐶 , se cumple que:
5
𝐵𝐷 𝐵𝐸
25
𝑥
=
→
=
40 𝑥 + 12
𝐴𝐵 𝐵𝐶
8
8𝑥 = 5𝑥 + 60 → 𝒙 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎
Se cumple además que:
5
𝐵𝐷 𝐵𝐻
25
20
=
→
=
→ 5𝐵𝐼 = 160
40 𝐵𝐼
𝐴𝐵 𝐵𝐶
8
𝐵𝐼 =
160
= 𝟑𝟐 𝑪𝒎
5
Pero:
𝐻𝐼 = 𝐵𝐼 − 𝐵𝐻 → 𝑯𝑰 = 𝟑𝟐 − 𝟐𝟎 = 𝟏𝟐 𝑪𝒎
EJERCICIO PROPUESTO N°28
1. Los lados de un triángulo miden 15 cm, 20 cm y 25 cm. Si el lado mayor de un
triángulo semejante a este triángulo mide 30 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los
otros dos lados
2. Una persona que tiene una altura de 1.75 metros proyecta una sombra de 2.50
metros. Si se encuentra a una distancia de 3 metros de un edificio, ¿Cuál es la
altura del edificio?
3. Demuestre que si un triángulo ABC es semejante a otro triángulo DEF y la razón de
semejanza entre ABC y DEF es K , se cumple que:
𝑨(𝐴𝐵𝐶)
= 𝒌𝟐
𝑨(𝐷𝐸𝐹)
Donde: A (ABC)= área del triángulo ABC, A (DEF)= Área del triángulo DEF
4. Los lados de un triángulo miden 20 cm, 28 cm y 35 cm. Si se traza la bisectriz del
ángulo menor. Encuentre las medidas de los segmentos en que se divide el lado
menor.
5. En la gráfica: 𝐿1 //𝐿2 //𝐿3 //𝐿4
𝑨
𝑩
𝑪
L3
𝑺
L4
DATOS:
𝐴𝑆 = 40 𝐶𝑚
𝐷𝐸 = 25 𝐶𝑚
𝐸𝐹 = 12 𝐶𝑚
𝐹𝑇 = 20 𝐶𝑚
Hallar: 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝑆,
𝑫
L1
L2
𝑬
𝑭
𝑻