Download Suma de números enteros

CUESTIONARIO DE MATEMÁTICAS
PARA BACHILLERATO “PRIMERO, SEGUNDO Y TERCERO
DE BACHILLERATO O LO QUE SE CONOCIA COMO
4TO, 5TO Y 6TO CURSO”
MATERIA
Números enteros, Operaciones y Aplicaciones
Operaciones con números enteros
Suma de números enteros
1. Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman los valores
absolutos y al resultado se le coloca el signo común.
3+5=8
(−3) + (−5) = − 8
2. Si números enteros son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al
mayor le restamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del número de
mayor valor absoluto.
−3+5=2
3 + (−5) = − 2
Resta de números enteros
La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el
opuesto del sustraendo, es decir, es una suma de números enteros de distinto
signo.
a - b = a + (-b)
7−5=2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene
como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que
se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
División de números enteros
La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene
como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que
se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = − 2
(−10) : 5 = − 2
Eliminación de Signos de agrupación
Signos de agrupación
()
paréntesis
[]
Corchetes
{}
llaves
Las cantidades encerradas en los signos de agrupación deben considerarse
como un todo, es decir, como una sola cantidad.
Varios signos de agrupación pueden estar presentes en una sola expresión.
Ejemplo:
4 – {10 + 25 – [4 – 1 – (8 – 15 – 19)+ 12]–5}
Como se observa, en la expresión anterior, se acostumbra escribir paréntesis
dentro de corchetes, y corchetes dentro de llaves.
ELIMINACIÓN O SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Son dos las reglas generales para suprimir signos de agrupación.
1. Si un signo de agrupación está precedido por un signo positivo, se
elimina el signo de agrupación y se escriben los elementos que se
encontraban dentro de él sin cambiarles su signo. Ejemplo:
+ [- 25 + 3 + 6 – 8 + 9]
- 25 + 3 + 6 – 8 +9
Si un signo de agrupación está precedido por un signo negativo, se elimina el
signo de agrupación y se escriben los elementos que se encontraban dentro de
él cambiándoles el signo a cada uno. Ejemplo:
− {- 3 + 6 – 5 + 3 – 2 – 5 + 1}
+3–6+5–3+2+5–1
CUESTIONARIO
Operaciones algébricas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
18) x3 + x2 =
factor común
x3 + x2 = x2 (x + 1)
19) x2 – 4 =
diferencia de cuadrados
x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)
20) 9 + 6x + x2 =
trinomio cuadrado perfecto
21) 2x(a+1)-3y(a+1) =
factor común
2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y)
22) ax+bx-ay-by =
factor común por agrupación
ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by)
= x(a+b) - y(a+b)
= (a+b)(x-y)
23) (a+1)2+2(a+1)(2a-3)+(2a-3)2 =
trinomio cuadrado perfecto
(a+1)2+2(a+1)(2a-3)+(2a-3)2 = [(a+1)+(2a-3)]2
= [ a+1 + 2 a-3 ]2
= [3a-2]2
24) 4x2 – 9y2 =
diferencia de cuadrados
4x2 – 9y2 = (2x + 3y) (2x – 3y)
25) (a+b)2 – c2=
diferencia de cuadrados
(a+b)2 – c2= [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c]
26) x2 + 5x + 6 = +
x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
Trinomio de la forma x2 + bx + c
27) 10 x2– 9 x + 2 =
Trinomio de la Forma ax2 + bx + c
10 x2– 9 x + 2 = (5x – 2) (2x – 1)
5x
2x
-2 = -4x
-1 = -5x .
-9x
28) x3 + y3 =
suma de cubos
x3 + y3 = (x + y)(x2– xy + y2)
29) x3 + (x – 1)3 =
suma de cubos
x3 + (x – 1)3 = [x + (x - 1)][x2 – x(x-1) + (x-1)2]
= (x + x - 1)(x2 –x2 +x + x2 –2x + 1)
=(2x - 1)(x2 – x +1)
30) x5 – 1 =
Diferencia de dos Potencias Iguales
x5 – 1 = (x - 1)(x4+ x3 + x2 + x + 1)
Operaciones algébricas
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
RESUELVA:
1)
8a - 4b + 16c + 12d
FACTOR COMÚN
(Hay factor común entre los números)
4. (2a - b + 4c + 3d)
El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los
números.
2) 7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8
Hay factor común entre las letras
x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que
aparece.
3) 4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5
2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)
El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del
denominador, y la x a la menor potencia
4) 4a
+
4b
+
xa
+
xb
FACTOR COMÚN EN GRUPOS
4.(a + b)
+
x.(a + b) =
(a + b).(4 + x)
Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común
"x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a +
b). Luego, saco como factor común a (a + b).
5) x2 + 6x + 9
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
x2 + 6x + 9 =(x + 3)2
x
3
2.3.x
6x
Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces
"bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto
del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio
es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de
las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2
6) 1- x8
DIFERENCIA DE CUADRADOS
(1+x4)(1-x4)
Tienen dos términos el signo que los separa siempre es menos
Las potencias de letras están elevadas con números pares 2, 4, 6…
Tiene raíz cuadrada exacta el primer término
Tiene raíz cuadrada exacta el segundo término
7) x2 – 9
(x + 3).(x - 3)
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza
multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".
8) x2 - y2
(x + y).(x - y)
Las dos bases son letras
9) x2 + 3x + 2
(x + 1).(x + 2)
a=1
b=3
c=2
x1,2 =
x1 =
(con la suma)
x2 =
(con la resta)
x1 = -1
x2 = -2
a.(x - x1).(x - x2)
1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)
Es un "trinomio", pero no es "cuadrado perfecto". Se puede factorizar buscando las
"raíces" con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza así: a.(x
- x1).(x - x2). En este ejemplo "a" es igual 1, entonces no lo ponemos. También hay
otro método para factorizarlo, pero no se puede aplicar en cualquier ejemplo.
10) 36x4 - 48x6 - 72x3 + 60x5
12x3. (3x - 16x3 - 6 + 5x2)
Entre números grandes es más difícil hallar el MCD.
11) 4a
-
4b
4.(a - b)
+
+
xa
-
xb
x.(a - b) =
(a - b).(4 + x)
Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.
12) 4x2a
4x2a
+
+
3y
+
12ax
+
3y
+
12ax
+
4ax.(x + 3)
+
y.(3 + x) =
4ax.(x + 3)
+
y.(x + 3) =
yx
yx =
(x + 3).(4ax + y)
No siempre podemos agrupar en el orden en que viene el ejercicio. Tiene que haber Factor
Común entre los que agrupamos, y el "resultado" debe dar igual (o desordenado u opuesto,
como se ve en los ejemplo anteriores).
En este caso tuve que agrupar primero con tercero y segundo con cuarto.
13) 9x2 + 30x + 25
9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2
3x
5
2.5.3x
30x
Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 dá 9x2. En este caso hay un número acompañando a la
letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese
número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).
14) 36x2 - a6b4
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)
6x
a3b2
Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número.
Pero todos deben ser cuadrados.
RECUERDE UN POCO OPERACIONES CON FRACCIONES
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS
Paso 1: se suman o restan los numeradores (los números de arriba).
Paso 2: los denominadores (números de abajo) se dejan igual.
Paso 3: se simplifica la fracción (si es necesario).
EJEMPLOS:
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DIFERENTE HETEROGÉNEAS
1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponiendo en factores los
denominadores hasta llegar a uno con todos los denominadores y multiplicamos los
valores divisibles que encontramos.
3 9 17 2
+ −
+
7 5 9 3
7
7
7
7
1
5
5
5
1
1
9
3
1
1
1
3
1
1
1
1
3
3
5
7
m.c.m =3.3.5.7
=9.5.7
=45.7
=315
2º Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y
lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador.
3 9 17 2 45(3) + 63(9) − 35(17) + 105(2)
+ −
+ =
7 5 9 3
315
315 ÷ 7 = 45
315 ÷ 5 = 63
315 ÷ 9 = 35
315 ÷ 3 = 105
3º Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o
restamos
los numeradores y dejamos el mismo denominador.
135 + 567 − 595 + 210 1507
=
315
315
4º Si podemos simplificamos.
1507
𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟
315
Resuelva con su respectivo procedimiento: