Download Expresión Algebraica es una colección de variables y números reales.

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
Guía Clase 3 (Introducción Expresiones Algebraicas)
SERGIO MARTÍNEZ VÉLEZ
OPERACIONES EN REALES
En el conjunto R, de los números reales extendemos las operaciones suma y producto
al postular1 las siguientes propiedades:
Postulados para la suma
S - 1 :Clausurativa: si a, b R, entonces a + bR.
S - 2 : Conmutativa: si a, b R, entonces a + b = b + a
S – 3 :Asociativa: si a, b R, entonces a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
S -4: Modulativa: existe un elemento 0 R tal que a + 0 = a  a, a R
S -5 : Invertiva: para todo real aR, existe otro, denotado por – a, tal que
a + (-a) = 0
Postulados para elproducto
P – 1: Clausurativa: si a, b R, entonces a + bR.
P – 2: Conmutativa: si a, b R, entoncesab = ba
P – 3: Asociativa: si a, b R, entoncesa (bc) = (ab) c = abc
P – 4: Modulativa: existe un numero real, 1 tal que a x 1 = a  a, a R
P – 5: Invertida si a 0, aR, entonces existe otro, denotado por a -1, enR, tal que aa -1
=1
Postulado para suma y producto
1
Postular significa pedir sea admitido sin demostración. Un postulado es una verdad
que se pide sea admitida sin demostración.
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Distributiva respecto a la suma:
Si a, b cR, entonces a (b + c) = ab + ac
Diferencia y cociente
a). Si a y b son reales, la diferencia de los mismos se define mediante:
a – b = a ( - b).
b). Si a y b son reales y b  0, entonces el cociente entre a y b, denota por a/b ó a  b,
se define: a/b = a  b = ab – 1
Ejemplo
Calculemos 4 – 0,75
Solución:
4 – 0,75 = 4 + ( - 0,75) (definición de diferencia)
 75  400  75 
 4  
 


 100  100  100 
(amplificando)
Multiplicación por cero

400  75 325

 3,25 , que es la
100
100
solución
Para todo número real a, a x 0 = 0a. 0 = 0 . a = 0,  a R
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Regla de los signos
Para toda pareja de números reales a y b, se cumple que:
( - a) b = a ( - b) = - (ab) y ( -a) ( -b) = ab
( -a) b = a ( -b) = - ab
( -a) ( -b) = ab
Esta propiedad establece que menos multiplicando por más
da como resultado menos; más multiplicando por menos da
como resultado menos; y menos multiplicado por menos da
como resultado más.
Ejemplo
Destruyamos paréntesis en (a + b) (c + d)
Solución
Si llamamos x = a + b, se tiene:
(a + b) (c + d) = x (c + d)
= xc + xd, (propiedad distributiva)
= (a + b) c + (a + b) d
= ac+ bc + ad + bd (distributiva)
luego, (a + b) (c + d) = ac + bc + ad + bd, es la solución.
Propiedad involutiva
a). Si a R, entonces: - (-a) = a
b). Si a  0, entonces: (a – 1) – 1 = a
- (-a) = a,  a R
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Actividad de exploración 2.
1. Indicar cuales de los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:}
a. ____ Todo número racional es número irracional
b. ____ Todo número irracional es un número real
c. ____ Todo número real es un número racional
d. ____
3
343 es un número irracional
e. ____ 99 es un número irracional
f. ____ 2 .2 es un número irracional
g. ____ 2 + (- 2) es un número racional
h. ____ El producto de dos números irracionales siempre es un número irracional
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i. ____ A todo punto sobre la recta le corresponde un número irracional
j.
____ A todo número irracional le corresponde un punto sobre la recta
k. ___Si a R+, entonces – a R-.
l.
____ El conjunto R completa la recta numérica
2. Indicar los postulados que se aplican para obtener los resultados en los ejercicios
del 2 al 10.
2. 3x + 0 = 3x
3. 5 – 5 = 0
4. – 2x + 0 = -2x
5. 5x – 2x = 3x
6. (4ª) a – 1= 4
7. 3. (2a) a-1 = 6
8. 4/3  8/9 = 3/2
9. (- a) . 1 = - a
10. – (a + b) = - a – b
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3. Representa en la recta numérica las siguientes desigualdades
a. x  5
f. x 
5
4
b. x  3
g. x  
12
3
c. x 
1
2
d. x  12
e. x  
3
5
h. x  0
4. Escribe dos números que cumplan con la condición dada:
a. Reales no enteros
b. Reales irracionales
c. Reales no irracionales negativos
d. Reales racionales, periódicos
e. Reales racionales, no periódicos
Actividades complementarias
1. Resuelva los siguientes ejercicios
[x + 4(y – 2x) – 3 (x – y)] + 2x
2 2
1
 
 3b
 
 a   b  3a   4b    2a 
3 3
4
2
 

–2 [3y – 4 (a – 2y + (a – 3y)) – 4a]
1  3
2  4 
 33
  a  b   b  a  b
2
8
7
3 
 4 4
– {4x + 2(x – b) – [4 (3b – 2x) – (4x – 2b)]}
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Sobre ellas se pueden aplicar sumas, divisiones, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción
de raíces.
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Algunos Ejemplos de expresiones Algebraicas son:
3
2 xy   
6
 x
x  5x 
y 1 o
x
3
n
x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma ax , en donde a
es un numero real y n es un entero no negativo. Un binomio es la suma de dos monomios y un
Si
trinomio la suma de tres monomios
monomio
binomio
5x
5x  2
trinomio
x  x 1
2
Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio
tres términos.
Polinomios: Un polinomio en
Definición: Un polinomio en
x es la suma de cualquier numero de monomios.
x es una suma de la forma:
a x  a x  ...  a x  a
n 1
n
n 1
n
Donde
1
0
n es un entero no negativo y cada coeficiente de a
k
es un numero real. Si es diferente de
cero, se dice que el polinomio es de grado
a de la potencia mas alta de x es el coeficiente principal del polinomio.
El coeficiente
Ejemplos de polinomios:
Ejemplo
Coeficiente principal
Grado
3 x  5 x  (7) x  4
3
4
x  9 x  (2) x
1
8
4
8
3
2
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5 x  1
-5
2
8
8
0
7x  2
7
1
2
Ejemplos de expresiones que no son polinomios:
a)
1
 3x
x
x 5
x  2 c) 3x  x  2
2
b)
2
x es negativo contradiciendo la definición de polinomio, de
igual forma con el ejemplo c donde el exponente de x no es entero.
En el primer ejemplo el exponente de
En el ejemplo b tenemos una expresión racional o fraccionaria con un polinomio en el numerador y
otro en el denominador. El criterio que utilizaremos es el siguiente si el polinomio del denominador
no es el constante o de grado cero, la expresión no es un polinomio. Recuerde que los exponentes
deben ser enteros positivos.
Operaciones con Polinomios:
Suma: Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y
exponentes sean iguales. Los pasos para hacer las sumas son:
Paso 1: Elimine los paréntesis
Paso 2. Agrupe términos semejantes
Paso 3. Sume y reste los términos semejantes.
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Ejemplo: Halla la suma de:
( x  2 x  5 x  7)  (4 x  5 x  3)
3
2
3
2
( x  2 x  5 x  7)  (4 x  5 x  3) =
3
2
3
2
x  2 x  5x  7  4 x  5x  3
3
2
3
( x  4 x )  (2 x  5 x )  5 x  (7  3)
3
=
2
3
2
2
(5 x )  (3x )  5 x  (10)
=
3
2
5 x  3x  5 x  10
3
=
2
Resta: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes del los
paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.
Ejemplo: Resta los siguientes polinomios:
( x  2 x  5 x  7)  (4 x  5 x  3)
3
2
3
2
Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto o detrás un signo negativo, afecte los signos dentro del
paréntesis cambiándolos por el opuesto y reemplaza el signo negativo que se encuentra antes del
paréntesis por uno positivo.
(4 x  5 x  3)  (4 x  5 x  3)
3
2
3
2
Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo solo escriba los términos que están dentro del los
paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + que entre los dos paréntesis.
Paso 3: Agrupe los términos semejantes es decir los términos con iguales variables e iguales
exponentes.
Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.
Así que aplicando este concepto a la expresión entera tendríamos:
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( x  2 x  5 x  7)  (4 x  5 x  3) =
3
2
3
2
( x  2 x  5 x  7)  (4 x  5 x  3)
3
2
3
2
=
x  2 x  5x  7  4 x  5x  3
=
x  4 x  5x  2 x  5x  7  3
3
2
3
3
3
= 3 x
3
2
2
2
 7 x  5x  4
2
Multiplicación:
Ejemplo 1. Multiplicación de monomio por monomio:
Multiplicamos las constantes o números y las variables
5 x (2 x  3x  1) = (5 x )(2 x )  (5 x )(3 x)  (5 x )(1)
2
3
= 10 x
5
2
 15 x  5 x
3
3
2
2
2
Ejemplo 2. Multiplicación de monomio por polinomio:
(3x  1)(2 x  x  1) = 3x(2 x  x  1)  1(2 x  x  1)
2
2
2
=
(3x)(2 x )  (3 x)( x)  (3 x)(1)  (1)(2 x )  (1)( x)  (1)(1)
=
6 x  3x  3x  2 x  x  1
=
6 x  3x  2 x  3x  x  1
=
6 x  x  2 x  1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
2
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Método vertical
2x  x  1
2
3x  1
6 x  3x  3x
3
2
2x  x  1
2
6 x  x  2 x  1
3
2
Tomado de: http://quiz.uprm.edu/tutorials/ea/ea_home.html