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Triángulo rectángulo
Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto,
es decir, mide 90º (grados sexagesimales) o π/2 radianes.
Nombre de sus lados
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.
Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.
Relaciones métricas en un triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo:
La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su
proyección sobre ella.
, también se cumple:
La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina
sobre la hipotenusa.
La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de
Pitágoras:
donde es medida de la hipotenusa.
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
El un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo
son:
con vértice en A,
El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,
La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
Área de un triángulo rectángulo
Se puede considerar el área de un triángulo como la mitad del área de un rectángulo
partido por su diagonal.
donde y son las medidas de los catetos que coinciden con los dos lados y las
correspondientes alturas del rectángulo citado.
Además, los catetos coinciden con dos de las tres alturas del propio triángulo.
Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras, fue descubierto por uno de los discípulos de Pitágoras,
llamado Hipaso de Metaponto, según la tradición. Es uno de los más conocidos y
estudiados. Lleva el nombre de Pitágoras porque se atribuye el descubrimiento a la
escuela pitagórica. Establece lo siguiente: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la
hipotenusa es , se establece que:
Demostraciones
El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de
demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de
esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el
grado de Magíster matheseos.
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el
matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro
de 1927 The Pitagoream Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos:
las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas,
en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades
de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
China: el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei
Suan Ching, 500-200 a. C.
El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida, aunque se acepta
mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no
conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en
torno al año 250 a. C.
El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se
parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que
el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de
lado a y lado b. Es decir:
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando
la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede
observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el
área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
Ya que
.
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro
triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:
Con lo cual queda demostrado el teorema.
Aplicaciones de estos teoremas para calcular distancias
Calcular la altura de un punto a cuyo pie no se puede llegar ( inaccesible )
Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles
Polígono
Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos
rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Así, el hexágono es un polígono de
seis lados.
La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polygōnon), de πολύς,
"muchos" y γωνία, "ángulo". BUA Ya que un polígono P es una región cerrada y
limitada, la frontera de P es un ciclo de aristas, donde dos aristas de tal ciclo
comparten un vértice.
Polígono simple.
Un polígono se denomina simple si dos de sus aristas no consecutivas no se
intersecan. Además figuran los polígonos ortogonales, también conocidos como
isotéticos o rectilíneos, que son aquellos que poseen los mismos elementos que
conforman los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la
singular característica de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes
cartesianos X e Y.
Suponiendo que n es el número de lados, el número de diagonales trazadas en el
interior de un polígono serán n(n − 3) / 2.
Existe también la posibilidad de configurar polígonos utilizando más de tres
dimensiones. Así, para tres dimensiones se denominan poliedros, en cuatro
dimensiones, polícoros, y en n dimensiones politopos
Clases de polígonos.
Los polígonos se clasifican según tres criterios:
Por la igualdad o desigualdad de lados:
o
o
Polígonos regulares — cuando todos los lados son de igual extensión;
Polígonos irregulares — cuando por lo menos alguno de los lados es de
extensión distinta.
Por la cantidad de lados, aunque por referencia a la igual cantidad de
ángulos:
o
o
o
o
Triángulos — los que tienen 3 lados y 3 ángulos.
Cuadriláteros — los que tienen 4 lados y 4 ángulos.
Pentágonos (del griego: penta: cinco) — los que tienen 5 lados y 5
ángulos.
Exágonos (del griego: exa: seis) — los que tienen 6 lados y 6 ángulos.
o
o
o
o
o
Heptágonos (del griego: hepta: siete) — los que tienen 7 lados y 7
ángulos.
Octógonos — los que tienen 8 lados y 8 ángulos.
Encágonos — los que tienen 9 lados y 9 ángulos.
Decágonos — los que tienen 10 lados y 10 ángulos.
Undecágonos — los que tienen 11 lados y 11 ángulos.
Polígono
no existe
Número
de lados
1
no existe
2
triángulo
3
cuadrilátero
4
pentágono
5
hexágono
6
heptágono
7
octágono
8
eneágono
9
decágono
10
endecágono
11
dodecágono
12
tridecágono
13
tetradecágono
14
Nombre
pentadecágono 15
hexadecágono 16
heptadecágono 17
octodecágono
18
eneadecágono 19
isodecágono
20
triacontágono
30
tetracontágono 40
pentacontágono 50
hexacontágono 60
heptacontágono 70
octacontágono 80
eneacontágono 90
hectágono
100
chiliágono
1.000
miriágono
10.000
megágono
1.000.000
cuadriáteros
Son cuadriáteros todos los polígonos delimitados por cuatro lados; y que en
consecuencia contienen cuatro ángulos, con sus respectivos vértices.
Clases de cuadriláteros.
Los cuadriláteros se clasifican en consideración a la posición que ocupan sus lados,
en:



Paralelogramos — cuando los dos pares de sus lados son paralelos entre sí.
Trapecios — cuando solamente dos de sus lados son paralelos entre sí.
Trapezoides — cuando ninguno de sus lados es paralelo a otro.
Los paralelogramos son:



El cuadrado — cuyos cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos son rectos.
El rectángulo — que tiene iguales dos lados, y los otros dos distintos pero
iguales entre ellos (por lo cual es usual decir que son iguales dos a dos) y
cuyos cuatro ángulos son rectos.
El rombo — cuyos cuatro lados son iguales pero tiene dos ángulos agudos
iguales y dos ángulos obtusos iguales.
El romboide — que tiene sus lados iguales dos a dos, pero tiene dos ángulos agudos
iguales y dos ángulos obtusos iguales.