Download Bloque I Ley de la Gravitación Universal y campo gravitacional

Unidad-4-: Ley de la Gravitación Universal
Modelo Geocéntrico: propuesto por el astrónomo Claudio Ptolomeo (s. II d.C.)
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La Tierra ocupa el centro del universo. Todos los planetas, incluidos el Sol giran en
torno a ella.
Para explicar el movimiento retrógrado de los planetas (en ocasiones parece que
dan marcha atrás en su movimiento, visto desde la Tierra), supuso que el planeta
giraba en torno a una circunferencia (epiciclo) cuyo centro se movía sobre otra
circunferencia (deferente) con centro en la Tierra.
Para ajustar las observaciones a su modelo supuso que el Sol y la Luna giran en
una esfera cuyo centro no está en el planeta Tierra, sino con una cierta
excentricidad.
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Modelo Heliocéntrico: propuesto por el monje polaco Nicolás Copérnico (1473-1543)
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El Sol se encuentra inmóvil en el centro del Sistema solar
Todos los planetas giran en torno al Sol en órbitas circulares
La Tierra tiene además un movimiento de rotación en torno a su eje.
Las leyes de Kepler: astrónomo alemán (1571-1630)
Primera Ley de Kepler: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que está en uno de sus focos.
Se llama afelio al punto más alejado del Sol
-Semieje menor: b
Se llama perihelio al punto más cercano al Sol
-Semieje mayor: a
Segunda ley de Kepler: El vector que une al Sol y a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
Si el tiempo que transcurre de t1 a t2 es el mismo que transcurre de t3 a t4, entonces el área de las secciones A
y B son iguales: → Área (A) = Área (B)
velocidadareolar = ΔA/Δt= cte, donde la velocidad del planeta en el perihelio es mayor que la velocidad del planeta cuando pasa
por el afelio
Tercera ley de Kepler: El cuadrado del periodo (T) de revolución de un planeta alrededor del Sol es directamente
proporcional al cubo del semieje mayor (a): T2=ka3
La Ley de la Gravitación Universa: La fuerza gravitatoria es una fuerza atractiva en la dirección que une los dos cuerpos, y que es
directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que les
separa. Donde G es la constante de la gravitación universal, calculada por Cavendish en 1798, y cuyo valor es de
6’67·10-11 N·m2/kg2
El signo negativo, es debido al criterio de signos establecido, es decir, las fuerzas de atracción, por convenio utilizan el signo negativo, y
las de repulsión utilizan el signo positivo. Como las fuerzas gravitatorias son todas de atracción el signo será negativo.
Si un cuerpos de masa m se encuentra a una altura h sobre la superficie terrestre, se hallará sometido a:
F G
mmT
(rT  h) 2
Intensidad del campo gravitatorio
El campo gravitatorio se visualiza a través de unas líneas imaginarias que se llaman líneas de fuerza. Son la trayectoria que seguiría la
unidad de masa dejada en libertad dentro del campo gravitatorio.
La intensidad del campo gravitatorio,

g , en un punto del espacio es la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa situada en ese punto. Su unidad es N/kg .
Frecuentemente se usa el término campo gravitatorio para designar la Intensidad de campo gravitatorio.
  G Mm u
r
 F
M 
r2
g 
 G 2 ur
m
m
r
Momento angular: Momento cinético o angular de una partícula de masa m, que se mueve con velocidad
respecto a un punto O es el producto vectorial de su posición,
Derivando la ecuación anterior se obtiene:
⃑
𝑑𝐿
𝑑𝑡

r
por su cantidad de movimiento,




  dv    
dL dr

xmv  r xm  r xma  r xF  M
dt dt
dt

p

v , con
⃑⃑ A esta expresión se le conoce como Principio de conservación del momento angular: “ La variación del momento
=𝑀
angular de una partícula con respecto a un punto en la unidad de tiempo, es igual al momento resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula con respecto a
dicho punto.”
Energía potencial en un campo gravitatorio: Es el trabajo que se realiza para llevar la masa m del pto A al B dentro del campo gravitatorio.
Sabemos que W = - ΔEp= EpA-EpB
B 
B
B
B
rB

Mm
Mm
1
1 1
WAB   F ·dr   F ·dr ·cos180    F ·dr    G 2 dr    G r dr  GMm( ) rrBA  GMm(  )
A
A
A
A
r
A
r
r
r
rA rB
EpA-EpB=
GMm(
1
1
 ) Es la variación de la Ep que ha sufrido el cuerpo cuando ha pasado del punto A al B
rA rB
Para obtener la Ep relativa a un punto del campo hay que fijar un sistema de referencia que asigne 0 al valor de la Ep. Se
elige el ∞. Si llevo B al infinito rB = ∞  1/rB = 0
EpA=
_ GMm Trabajo que hay que realizar para llevar la masa desde A al ∞ y al revés ( desde ∞ al punto A).
rA
Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una partícula de un punto A a uno B depende del punto inicial y
final y no del camino seguido.
Potencial en el campo gravitatorio: Los campos de fuerza conservativos se pueden caracterizar además de por su intensidad por una magnitud escalar, el
potencial. El potencial gravitatorio se define como la energía potencial por unidad de masa colocada en un punto.
VA 
E pA
m
 G
Se identifica con el trabajo que es preciso realizar contra las fuerzas del campo, para trasladar una masa de 1 kg desde A hasta el infinito.
M
rA
En un punto B sería VB =  G M y por tanto VA – VB =
 GM (
rB
1
1
 ) Diferencia de potencial entre dos puntos . Es igual al trabajo que
rA rB
hay que realizar para llevar la unidad de masa de un punto a otro.
Teorema de las fuerzas vivas (Teorema de la energía cinética)
Sea cual sea la naturaleza de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, el trabajo total realizado al trasladarlo entre dos
puntos es igual a la variación de la energía cinética. W = ΔEc.
Principio de conservación de la energía mecánica
Si sólo hay fuerzas conservativas, las suma de la energía cinética y potencial permanece constante.
Por un lado se debe tener en cuenta que la segunda ley de Newton:
Por otro lado la energía potencial:
Fc  mac  m
v2
r
en donde
y su energía cinética:
y la energía total será:
Velocidad orbital de un satélite
Supongamos que hay una partícula de masa m con trayectoria alrededor de la tierra circular de radio r.
Fc  mac  m
v2
r
La fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra es 
F  G
2
puntos de vista distintos.
G
M
MT m = m v ; 2
v  G T y por tanto v 
r
r
r2
G
M T m Es la misma fuerza vista desde dos
r2
MT
r
Velocidad de escape: es la velocidad que hay que comunicar a un cuerpo de masa m situado sobre la superficie del planeta
para que pueda escapar del campo gravitatorio e irse al ∞. En el ∞ la EM= 0 ya que hemos dicho que la Ep= 0 y la velocidad con
la que llega es 0, por tanto Ec + Ep = 0.
Por tanto 1 mv 2  G M T m  0  1 mv 2
e
e
2
RT
2
G
Tipo de órbitas
ET  

1
Mm
G
r
2
1
Mm
G
 ET  0
r
2
𝑀𝑇
MT m  2
M
ve  2G T 𝑣𝑒 = √2𝐺 𝑅𝑇
RT
RT