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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Act. J. Javier Segura R.
NATURALES:
N = {1, 2, 3, ... , 50, ... , 800, ... }
Son los números enteros positivos.
ENTEROS:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Son los números enteros positivos y negativos, incluyendo el cero.
RACIONALES:
Q = { 𝑎𝑏 , con a y b números enteros, b≠ 0 }
Q = {..., -600, -3/4, -1.03, 0, 5/8, 4.16̄, 0. 3̄...}
Se pueden representar en forma de razón entre dos enteros. Son los números
enteros, fracciones, decimales finitos, decimales infinitos periódicos.
IRRACIONALES:
I = {..., √2, √13, e2, e, л, ... }
No se pueden representar en forma de razón entre dos enteros. Son los
números decimales infinitos no periódicos.
REALES:
R=
𝑄∪𝐼
Es la unión de los números racionales con los irracionales.
COMPLEJOS:
C = { a + bi , con a, b números reales,
𝑖2
= -1}
C = {..., -30, 0, 3.2, 5+2i, -3+10i, √−16 , 8i, ...}
Son los números reales y los que se pueden representar como la suma de
una parte real(a) más una parte imaginaria (bi).
PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS.
NÚMEROS NATURALES.
Cerradura de la suma y la multiplicación: si sumamos o multiplicamos dos números
naturales, el resultado es un número natural.
5 + 13 = 18.
𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑁, para 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁
12 * 6 = 72.
𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑁 , para 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁
La suma y la multiplicación son conmutativas: si intercambiamos el orden de los
sumandos, el resultado es el mismo; si intercambiamos el orden de los factores, el
resultado es el mismo.
7 + 14 = 14 + 7 = 21.
a + b = b + a , para 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁
15 * 4 = 4 * 15 = 60.
a * b = b * a , para 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁
La suma y la multiplicación son asociativas: podemos sumar varios números
agrupándolos de diversas maneras y el resultado es el mismo; podemos multiplicar
varios números agrupándolos de diversas maneras y el resultado es el mismo.
12 + 4 + 9 = (12 + 4 ) + 9 = 16 + 9 = 25.
a+b+c=(a+b)+c
6 * 4 * 2 = 6* ( 4 * 2 ) = 6 * 8 = 48.
a*b*c=a*(b*c)
para 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁
Elemento Idéntico para la multiplicación: existe el número 1 tal que cualquier número
natural multiplicado por 1 es igual al mismo número natural.
3*1=3
a*1=a
1 * 307 = 307
para 𝑎, 1 ∈ 𝑁
Propiedad Distributiva: un producto se distribuye sobre la suma.
5 ( 8 + 12 ) = (5 * 8) + (5 * 12)
a (b + c ) = ab + ac
(3 + 15) 6 = (3 * 6) + (15 * 6)
(a + b) c = ac + bc
para 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁
Observaciones:
La resta ni la división son cerradas en los naturales: 5 – 8 = – 3 , el resultado no es un
número natural. 5 / 2 = 2 . 5 , el resultado no es un número natural.
Se cumple la Ley de Tricotomía: si a y b son números naturales, entonces se cumple una
y sólo una de las relaciones siguientes: a < b, a = b, a > b.
Se cumple la Ley Transitiva: si a < b y b < c , entonces a < c .
NÚMEROS ENTEROS.
Todas las propiedades de los números naturales son válidas para los números enteros. Se
adicionan las siguientes:
Elemento Idéntico Aditivo: existe el número 0 tal que cualquier número entero sumado
con 0 da como resultado el mismo número entero.
14 + 0 = 14
a+0=a
0 – 28 = – 28
para 𝑎, 0 ∈ 𝑍
Elemento Inverso Aditivo: para todo número entero a, existe un número – a, tal que
sumados dan como resultado el número 0. Todo número entero más su simétrico es 0.
89 + (– 89) = 0
a + (– a ) = 0
– 30 + [ – ( – 30) ] = 0
para 𝑎, 0 ∈ 𝑍
La Resta se define: a – b = a + ( – b ) , la suma de un número más el inverso aditivo de
otro. Por eso: – 7 – 7 = – 7 + ( – 7) = – 14 . La suma de dos negativos es negativa.
Multiplicación por cero: todo número entero multiplicado por cero da como resultado
cero.
42 * 0 = 0
a*0=0
0 * (– 16 ) = 0
para 𝑎, 0 ∈ 𝑍
División entre cero: la división entre cero no está permitida, porque no hay solución o
está indeterminada.
Sabemos que 21 / 3 = 7 porque 3 * 7 = 21. Pero si 21 / 0 = r , se tendría 0 * r = 21,
lo cual no se cumple porque 0 * r = 0.
Para el caso 0 / 0 = r , se tendría 0 * r = 0 , y el resultado no sería único.
Orden: a > b si y sólo si a – b > 0 , para 𝑎, 𝑏, 0 ∈ 𝑍
– 4 > – 13 porque – 4 – ( – 13 ) = – 4 + 13 = 9 > 0.
Observaciones:
Ya se puede hacer la operación 8 – 12 = – 4 , que es un número entero (no se podía
hacer en los naturales, por no resultar un número natural).
En los naturales no hay inversos aditivos porque no hay números negativos.
Ley Aditiva de la desigualdad: Si a < b y 𝑐 ∈ 𝑍 , entonces a + c < b + c.
Ley de Producto de la desigualdad: Si a < b y 0 < c , entonces ac < bc.
Si a < b y c < 0 , entonces ac > bc.
La división no es cerrada en los enteros: – 18 / 4 = – 4. 5 , que no es entero.
NÚMEROS RACIONALES.
Todas las propiedades de los números enteros son válidas para los racionales. Se
adiciona la siguiente:
Elemento Inverso Multiplicativo: para todo número racional 𝑎 ≠ 0, existe un número
1
1
tal que a * 𝑎= 1. Todo número racional por su recíproco es igual a 1.
𝑎
1
3
1
6 * 6= 1
∗ =1
4 (3)
4
1
1
– 12 * −12= 1
La División se define:
otro.
2.05 ∗ 2.05 = 1
𝑎
𝑏
1
= 𝑎 ∗ , b ≠ 0 . El producto de un número por el recíproco del
𝑏
−8
1
= −8 ∗ = 2. 6̄
3
3
Operaciones:
Suma:
Resta:
Multiplicación:
División:
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑐
+𝑑 =
𝑐
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑
𝑎
𝑏
𝑎𝑐
∗ 𝑑 = 𝑏𝑑
𝑐
−𝑑 =
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑏𝑑
𝑎 𝑐
𝑎𝑑
𝑏 𝑑
𝑏𝑐
⁄ =
Observaciones:
Los números naturales y los enteros son racionales, porque se pueden representar como
9
0
−52
una razón: 9 = 1, 0 = 1 , −52 = 1 .
También los decimales finitos:
3085
−267
3.085 = 1000, −0.0267 = 10000
16
Y los decimales infinitos periódicos: 1. 7̄ = 9 , −17. 3̄ =
−52
3
.
Hay números como √2, √13, е , л , que no se pueden representar en forma de razón
entre dos enteros, por lo que son números irracionales.
3π / 2 no es racional , porque la definición señala que numerador y denominador deben
ser enteros, y 3π no es entero.
NÚMEROS IRRACIONALES.
Son válidas algunas propiedades: la suma y la resta son cerradas. La suma y la
multiplicación son conmutativas. No existe el 0 ni el 1 (son racionales). Las propiedades
de las desigualdades son válidas.
√2 = 1. 4142135...
л = 3. 1415926...
е = 2. 7182818...
-23. 01001000100001...
El producto no es cerrado: √2 y √2 son irracionales, pero √2 (√2) = 2, que es entero
(racional).
La división no es cerrada: √2 / √2 = 1, que es entero (racional).
NÚMEROS REALES
Al unirse el conjunto de los números racionales con los números irracionales, son
válidas las propiedades de ambos conjuntos, considerados como números reales.
√2 (√2) = 2 , el producto de dos números reales es un número real.
√5
√5
= 1, el cociente de dos números reales es un número real.
No se permite la división entre cero. Raíces pares de números negativos no tienen
solución en los números reales.
2
√−16 =?
La solución no es 4 ni – 4 ,
porque:
4 (4) = 16
-4 (-4) = 16
4
√−81 =?
La solución no es 3 ni – 3 ,
porque:
3 (3) (3) (3) = 81
-3 (-3) (-3) (-3) = 81
Potencias pares de números negativos regresan números positivos. De ahí que no haya
solución para ecuaciones del tipo: x2 + 1 = 0. Cualquier número real elevado al
cuadrado es positivo o cero, y sumado con 1 nunca dará cero.
Para tener solución a estas operaciones y ecuaciones, se crearon los números complejos.
NÚMEROS COMPLEJOS
Son válidas las propiedades de los números reales. Se adiciona la siguiente: i2 = – 1.
La división entre cero sigue sin estar definida. Al ser de la forma a + bi , con a,b
números reales , todos los números reales son números complejos, porque se pueden
representar así:
6 = 6 + 0i
– 15 = – 15 + 0i
3
7
3
= 7 + 0i
– 3.25 = – 3.25 + 0i
3
3
√5 = √5 + 0i
Hay solución para las operaciones que no se podían hacer en los reales:
√−9 = ± 3i
porque
(3i) (3i) = 9i2 = 9( – 1 ) = – 9
(-3i) (-3i) = 9i2 = 9( – 1 ) = – 9
x2 + 81 = 0
x2 = – 81
no hay solución en los reales.
x = √−81
x = ± 9i
sí hay solución en los complejos.
2
Porque (9i) + 81 = – 81 + 81 = 0.
(-9i)2 + 81 = – 81 + 81 = 0.
EJERCICIOS
A. Determina el conjunto numérico al que pertenece cada conjunto siguiente. Observa el
ejemplo:
7
1. A = { 500, -21.03, 9, -18 }
7
500 es entero positivo, -21.03 es decimal finito, 9 es fracción común, -18 es entero
negativo. El conjunto numérico que incluye a estos números, es Q (Racionales).
Nota: En la teoría de Conjuntos, se dice que “el conjunto A es subconjunto de Q” y se
escribe: 𝐴 ⊂ 𝑄 , porque cada elemento de A pertenece también a Q.
−8
2. B = { 13 , √17, 31.04, -407 }
3. C = { 1, 4, 9, 16, 25, 36 }
3𝜋
4. D = { 5√3, e2 , 2 , √23}
B. Identifica la propiedad que está ejemplificada en cada inciso siguiente. Todas las
letras representan números reales. Observa el ejemplo:
1. 4y + 2x = 2x + 4y
2.
3.
4.
5.
3x – 4z + 4z = 3x + 0
5x – 2x + 7z = (5x – 2x) + 7z
-3z ( 8 – 4z ) = -3z (8) – 3z (- 4z)
1
9(9)+x=1+x
Propiedad Conmutativa, porque
a+b=b+a