Download Examen de Álgebra

I.E.S. EL ESCORIAL
28280 EL ESCORIAL
CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN, JUVENTUD Y DEPORTE
Comunidad de Madrid
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Examen de Álgebra - 2º BACHILLERATO
22-XI-16
Nombre:__________________________________________________Curso:____
ACLARACIONES PREVIAS


No se permite el uso de calculadoras que representen gráficas.
Para obtener la puntuación máxima del ejercicio hay que hacer y desarrollar debidamente explicadas todas las
soluciones.
1. a) Utiliza las propiedades de los determinantes para desarrollar el siguiente, y enuncia las
propiedades que has utilizado.
𝑥 2𝑥 + 1 3𝑥 + 2
(1 punto)
|𝑥 2𝑥 + 3 3𝑥 + 4|
𝑥 2𝑥 + 5 3𝑥 + 6
1 3
1 2
𝜆
b) Se consideran las matrices 𝐴 = (
) 𝑦 𝐵 = (𝜆 0), donde  es un número real.
1 −1 −1
0 2
Encuentra los valores de 𝜆 para los que la matriz AB es invertible.
(1 punto)
2. a)Enunciar el teorema de Rouché - Frobenius.
b)Discute, en función de los parámetros  y , el sistema:
(𝜆 + 1)𝑥 + 3𝑦 + 𝜆𝑧 = 1
{3𝑥 + (𝜆 + 1)𝑦 + 2𝑧 = 𝜇 − 1
𝜆𝑥 + 2𝑦 + 𝜆𝑧 = 2
(1 punto)
(2 puntos)
3. Calcula las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad
de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de
10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento
y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años.
a)Escribe razonadamente un sistema de ecuaciones.
(0,75 puntos)
b)Resuelve el sistema.
(1,25 puntos)
4. A) Un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas Ax=b tiene al menos tres soluciones que
son:
0
1
0
𝑥 = (1) , (2) 𝑦 (0).
3
2
1
Explica por qué los coeficientes de la matriz A y del vector b han de ser de la forma:
𝛼
0 −𝛼 𝛼
𝐴 = (0 −𝛽 𝛽 ) 𝑦 𝑏 = (𝛽 )
𝛾
0 −𝛾 𝛾
donde α, β y γ son tres constantes cualesquiera.
(2 puntos)
1
b) Supongamos ahora que (0) es también solución del sistema. ¿Cuánto pueden valer las
0
constantes α, β y γ?
(1 punto)