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UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES
CONCEPTOS BASICOS DE LA TRIGONOMETRIA
ING. MARCO ANTONIO GALLEGOS VAZQUEZ
FUNDAMENTOS DE LAS MATEMATICAS
Radianes
Los ángulos se pueden medir en grados o radianes.
Un radián son 180/π grados, aproximadamente 57.296°
Un radián es:
El ángulo que se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el círculo:
Radián
Unidad de medida para ángulos. Un radián se define como la
medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco igual en
longitud al radio en la circunferencia del círculo. Ya que la longitud
de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida
de este ángulo es un radián.
1 radián = (180/ )° = 57.296°
La ventaja de los radianes sobre los grados es solamente que
ayudan a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.
CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir
ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de
180o equivale a π radianes (recordemos que el número π =
3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos
se muestran en las siguientes tres figuras:
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Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que
180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y
resolvemos.
EJEMPLO A: Convertir 38o a
radianes.
EJEMPLO B: Convertir 2.4
radianes a grados.
Primero planteamos la regla de
tres. Nótese que la x va arriba,
en la posición de los radianes.
Primero planteamos la regla de
tres. Nótese que la x va abajo, en
la posición de los grados.
Despejamos x, también
simplificamos.
Despejamos x.
Por último obtenemos el
equivalente decimal con
calculadora:
Por último obtenemos el
equivalente decimal con
calculadora:
x = 137.5099o
x = 0.6632 radianes
EJERCICIOS:
1) Convertir 82o a radianes.
2) Convertir 1.84 radianes a grados.
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3) Convertir 247o a radianes.
4) Convertir 4.06 radianes a grados.
CUÁNTOS RADIANES TIENE UNA CIRCUNFERENCIA?
Sabemos que la longitud de la circunferencia viene dada `por la
fórmula:
Sabemos también que un radián es un ángulo central cuya longitud de
arco equivale al radio.
Si una circunferencia tiene una longitud de
y cada radián tiene una
longitud de r (radio), el cociente:
será igual al número de radianes
que tiene una circunferencia.Simplificando
obtengo:
Conocida esta equivalencia podemos resolver fácilmente los problemas
de conversiones entre radianes y grados y entregrados y radianes:
Supongamos que queremos saber cuántos radianes son 25º:
Con una simple regla de tres:
A 180º corresponden
(3,1416)radianes
a 25º corresponderán x “
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En la figura vemos que el ángulo de 25º equivale a 0,436 radianes.
Vamos a suponer que tenemos 0,8 radianes y necesitamos saber a
cuantos grados corresponden.
Por medio de la regla de tres:
3,1416 ( ) radianes …………..180º
0,8
“
………….. xº
15. 141 ¿A cuántos radianes equivalen 135º?
Respuesta: 2,36 radianes
15.142 ¿Cuántos grados son 1,05 radianes?
Respuesta: 60º
15.143 ¿Cuántos grados son 0,52 radianes?
Respuesta: 30º
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Símbolos en geometría
Símbolos que se usan con frecuencia en geometría
Los símbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y espacio cuando escribimos. Aquí tienes los símbolos
geométricos más comunes:
Símbolo
Significado
Ejemplo
En palabras
Triángulo
ABC tiene 3
lados iguales
El triángulo ABC tiene tres
lados iguales
Ángulo
ABC mide 45°
CD
La línea AB es perpendicular a
la línea CD
Paralela
EF GH
La línea EF is paralela a la línea
GH
Grados
360° es un círculo
completo
Perpendicular
Ángulo recto (90°)
AB
mide 90°
Segmento de línea "AB"
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El ángulo formado por ABC
mide 45 grados.
AB
Un ángulo recto mide 90 grados
La línea entre A y B
Línea "AB"
La línea infinita que pasa por A
yB
Rayo "AB"
La línea que empieza en A, pasa
por B y continúa
Congruente (mismo tamaño
y forma)
ABC
DEF
El triángulo ABC es congruente
con el triángulo DEF
Similar (misma forma,
distinto tamaño)
DEF
MNO
El triángulo DEF es similar al
triángulo MNO
Por tanto
a=b
b=a
a es igual que b, por tanto b es
igual que a