Download 1 y 2 - Wiki de la asignatura de Trigonometría

Generalidades del curso:
Materia: Pensamiento Trigonométrico
Campo disciplinar: Matemáticas y Razonamiento
Complejo
Profr. Carlos Justino Arévalo García
Página web del curso:
trigocarlosjustino.wikispaces.com
Horario de trabajo de la materia:
Hora
9:40 – 10:30
10:30 – 11:20
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
R
2° C
2° C
E
C
E
11:50 – 12:40
12:40 – 13:30
13:30 – 14:20
14:20 – 15:10
2° A
2° A
2° B
2° B
2° C
2° C
S
2° B
2° B
2° A
2° A
O
Carga horaria: 4 horas semanales
Porcentaje mínimo de asistencias requerido: 80% (10
faltas como máximo).
Porcentajes para evaluación del curso:
Aspecto
Examen
Asistencia
Tareas y trabajos
Apuntes
Total
Valor porcentual
30%
30%
20%
20%
100%
+ Calificación extra
- Calificación negativa
Escala de evaluación para calificación extra o negativa en
revisiones aleatorias al final de clase:
 Clase de 2 horas: Desde +0.2 hasta -0.4
Materiales a emplear durante el curso:
1. Cuaderno de apuntes de cuadro chico o en su defecto
cuadro grande (50 hojas aproximadamente de tamaño
profesional). Colocar con plumón el nombre completo del
alumno de forma legible y visible en cualquiera de las caras
de la pasta frontal.
2. Estuche geométrico.
3. Calculadora científica (De preferencia marca Casio).
Reglamento para el trabajo dentro del aula:
1. Levantar toda la basura del área de trabajo y colocarla en el
bote antes de iniciar la clase.
2. Mantener el salón limpio durante la sesión.
3. Guardar silencio mientras el profesor tome la palabra o
algún alumno esté participando.
4. Evitar lanzar objetos durante la clase.
5. Se dará permiso de ir al baño a una persona a la vez.
6. El pase de lista se realizará a los 10 minutos de iniciada la
sesión. De no contar con asistencia está podrá ser
recuperada al final de la clase con el trabajo completo de la
misma, siendo responsabilidad del alumno pedirla.
7. Los permisos para salir a cualquier asunto se otorgarán
cuando el alumno termine el trabajo de la sesión.
8. Mantener el orden durante las explicaciones del profesor.
9. Evitar lanzar basura al cesto.
10. Evitar usar audífonos, teléfono o cualquier otro
dispositivo durante las explicaciones del profesor.
Cualquier reincidencia en la violación de este
reglamento se registrará como calificación negativa.
Escuela Preparatoria Anexa a la Normal de Tenancingo
CBT No. 1 Thomas Alva Edison, Tenango del Valle
Profesor: Carlos Justino Arévalo García
Página del curso:
Conceptos básicos de la materia:
¿Qué es la Trigonometría?
Es la rama de las matemáticas que trata de la medición de los
elementos que componen a los triángulos, así como del estudio
de las relaciones que existen entre estos. Dichos elementos son
principalmente sus tres lados y sus tres ángulos internos.
¿Qué es un ángulo?
Es la abertura formada entre dos rectas o segmentos de recta
unidos en un punto llamado vértice.
Ángulo positivo: es aquel que tiene su sentido de giro contrario a
las manecillas del reloj.
Ángulo negativo: es aquel que tiene su sentido de giro a favor de
las manecillas del reloj.
¿Qué es un ángulo central?
Es aquel que tiene su vértice en el centro de una circunferencia y
sus lados son dos radios de la misma.
¿Qué es un arco?
Es un segmento de circunferencia. En muchas ocasiones asociado
a un ángulo central.
Tarea: Investigar qué es un radián y un grado sexagesimal.
Unidades más utilizadas para la medición de ángulos
Grados sexagesimales
Es la magnitud de un ángulo central cuyos lados delimitan un
arco de longitud igual a
𝟏
𝟑𝟔𝟎
de la circunferencia completa. Su
símbolo es “ ° ”.
Existen dos formatos para expresar la medida de un ángulo en
grados sexagesimales:
 Formato decimal: 35.34° 120.97° 90.02° 11.4°
 Formato grados, minutos y segundos: un grado equivale a
60 minutos, los cuales se denotan por ’. Un minuto equivale
a 60 segundos, los cuales se denotan por ’’. En un grado
existen 3600 segundos. Ejemplos: 35° 42’ 27’’ 126° 11’
8° 36’’ .
Existen ciertas reglas para escribir un ángulo en este
formato:
1. El término de los segundos debe valer menos de 60, ya
que con 60 segundos tendríamos un minuto completo.
Si tenemos 60 o más segundos, estos se convierten a
tantos minutos enteros sea posible y se deja el resto
expresado en segundos. Los minutos generados se
agregan al término de los minutos. (1’ = 60’’)
2. El término de los minutos debe valer menos de 60, ya
que con 60 minutos tendríamos un grado completo. Si
tenemos 60 o más minutos, estos se convierten a tantos
grados enteros sea posible y se deja el resto expresado
en minutos. Los grados generados se agregan al término
de los grados. ( 1° = 60’ ) ( 1° = 3600’’).
3. El término de los grados puede tomar cualquier valor
entero. El único término que puede tener decimales es
el de los segundos.
Ejercicio 1.1 Corregir los siguientes ángulos
expresados en formato grados, minutos y segundos:
a) 200° 200’ 200’’
b) 120° 120’ 120’’
c) 57° 166’
d) 110° 400’’
e) 58’ 288’’
Respuestas:
a) 200° 200’ 200’’
200° 203’ 20’’
203° 23’ 20’’
b) 120° 120’ 120’’
120° 122’ 0’’
122° 2’ 0’’
c) 57° 166’
59° 46’
d) 110° 400’’
110° 6’ 40’’
e) 58’ 288’’
62’ 48’’
1° 2’ 48’’
Radianes
Se define un radián como la medida de un ángulo central que
delimita un arco cuya longitud es igual a la del radio de la
circunferencia asociada. Su símbolo es “rad”.
𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟑𝟔𝟎°
𝟑𝟔𝟎°
𝟏 𝒓𝒂𝒅 =
𝟐𝝅
𝟏 𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟓𝟕. 𝟐𝟗𝟔°
𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏𝟖𝟎°
𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏° ∗ 𝟏𝟖𝟎
𝝅
𝒓𝒂𝒅 = 𝟏°
𝟏𝟖𝟎
𝝅
𝟏° =
𝒓𝒂𝒅
𝟏𝟖𝟎
De lo anterior se concluye que un radián equivale a 57.296°
Ejercicio 1.2. Convertir los siguientes ángulos a
radianes o grados según corresponda:
a)
135°=
b)
c)
d)
e)
255.5°=
377°=
1.7 rad=
3.5 rad=
f)
𝟐
𝒓𝒂𝒅
𝟑
g)
h)
457°=
78.54°=
=
𝝅
𝒓𝒂𝒅 =
𝟒
𝟔
𝒓𝒂𝒅 =
𝟓
i)
j)
Respuestas:
a) 𝟏𝟑𝟓° =
𝟏𝟑𝟓
𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟐. 𝟑𝟔 𝒓𝒂𝒅
𝝅
𝟏𝟑𝟓° = 𝟏𝟑𝟓 ∗
𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟐. 𝟑𝟔 𝒓𝒂𝒅
𝟏𝟖𝟎
𝟐𝟓𝟓.𝟓
b) 𝟐𝟓𝟓. 𝟓° =
𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟒. 𝟒𝟔 𝒓𝒂𝒅
𝟓𝟕.𝟐𝟗𝟔
𝟓𝟕.𝟐𝟗𝟔
𝟐𝟓𝟓. 𝟓° = 𝟐𝟓𝟓. 𝟓 ∗
c) 𝟑𝟕𝟕° =
𝟑𝟕𝟕
𝟓𝟕.𝟐𝟗𝟔
𝟑𝟕𝟕° = 𝟑𝟕𝟕 ∗
𝝅
𝟏𝟖𝟎
𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟒. 𝟒𝟔 𝒓𝒂𝒅
𝒓𝒂𝒅 ≈ 𝟔. 𝟓𝟖 𝒓𝒂𝒅
𝝅
𝟏𝟖𝟎
𝒓𝒂𝒅−≈ 𝟔. 𝟓𝟖 𝒓𝒂𝒅
d) 𝟏. 𝟕 𝒓𝒂𝒅 = 𝟏. 𝟕 ∗ 𝟓𝟕. 𝟐𝟗𝟔° ≈ 𝟗𝟕. 𝟒𝟎°
e) 𝟑. 𝟓 𝒓𝒂𝒅 = 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟓𝟕. 𝟐𝟗𝟔° ≈ 𝟐𝟎𝟎. 𝟓𝟒°
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
f) 𝒓𝒂𝒅 = ∗ 𝟓𝟕. 𝟐𝟗𝟔° ≈ 𝟑𝟖. 𝟐𝟎°
Conversión entre los formatos decimal y grados, minutos
y segundos (𝒂° 𝒃’ 𝒄’’) de los grados sexagesimales
 De grados, minutos y segundos a decimal:
𝒃
𝒄
𝒂° 𝒃’ 𝒄’’ = (𝒂 +
+
)°
𝟔𝟎 𝟑𝟔𝟎𝟎
Ejemplo:
𝟑𝟐
𝟓𝟗
) ° ≈ 𝟐𝟓. 𝟓𝟓°
𝟐𝟓° 𝟑𝟐’ 𝟓𝟗’’ = (𝟐𝟓 +
+
𝟔𝟎 𝟑𝟔𝟎𝟎
 De decimal a grados, minutos y segundos:
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° (𝟎. 𝟑𝟐 ∗ 𝟔𝟎)’
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° 𝟏𝟗. 𝟐’
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° 𝟏𝟗’ (𝟎. 𝟐 ∗ 𝟔𝟎)’’
𝟔𝟓. 𝟑𝟐° = 𝟔𝟓° 𝟏𝟗’ 𝟏𝟐’’
Procedimiento:
1. El término de los grados es la parte entera de la
cantidad a convertir.
2. La parte decimal de dicha cantidad se multiplica por
60 para saber a cuantos minutos equivale, ya que 60
minutos hacen un grado; la parte entera de este
resultado será el término de los minutos.
3. La parte decimal del resultado de la multiplicación
anterior se vuelve a multiplicar por 60 para saber a
cuantos segundos equivale, ya que 60 segundos
hacen un minuto; este resultado será el término de
los segundos, expresado con parte decimal en caso
de existir.
Ejercicio
Realizar las operaciones que se indican a continuación:
a) Expresa en grados, minutos y segundos 127.7038°
b) Expresa sólo en grados 63° 42’ 36’’
c) Transforma 4° 100’ 220’’ a formato decimal
d) Escribe 16.65° a formato grados, minutos y segundos
e) Transforma 4° 58’’ a formato decimal
f) Convierte 123° a radianes
g) Convierte 2.76 radianes a grados
h) Convierte 274° a radianes
i) Convierte 9.12 radianes a grados
j) Convierte 7 radianes a grados
k) Convierte
𝟓𝝅
𝟔
radianes a grados
l) Suma 98° 26’ 56’’ con 16° 47’ 13’’
m) Resta 23° 34’ 22’’ de 57° 46’ 38’’
n) Resta 45° 57’ de 78° 15’ 34’’
Respuestas:
a) 127.7038°= 127° (0.7038 * 60)’
= 127° 42.228’
= 127° 42’ (0.228 * 60)’’
= 127° 42’ 13.68’’
b) 𝟔𝟑° 𝟒𝟐’ 𝟑𝟔’’ = (𝟔𝟑 +
𝟒𝟐
𝟔𝟎
+
𝟑𝟔
𝟑𝟔𝟎𝟎
) ° ≈ 𝟔𝟑. 𝟕𝟏°
c) 115° 14’ 9’’
d) 34° 12’ 16’’
e) 2.15 rad
f) 158.14°
g) 4.78 rad
h) 522.54°
i) 401.07°
j) 150°
Clasificación de ángulos de acuerdo a su medida
Ángulo agudo: es aquel que mide menos de 90°.
Ángulo recto: es aquel que mide exactamente 90°. Se
representa con un cuadrado en su vértice.
Ángulo obtuso: es aquel que mide más de 90° pero
menos de 180°.
Ángulo llano: es aquel que mide exactamente 180°.
Ángulo cóncavo: es aquel que mide más de 180° pero
menos de 360°.
Ángulo perígono: es aquel que mide exactamente
360°.
Ejercicio 1.3 Determinar de qué tipo es cada uno de los
siguientes ángulos de acuerdo a su medida. Realizar
esquemas representativos de cada uno con la ayuda de un
transportador.
a)
150°
b) 35.32°
c) 𝝅 𝒓𝒂𝒅
d) 172.34°
e)
360°
𝝅
𝟐
f)
𝒓𝒂𝒅
g) 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
h) 359.99°
i) 179.99°
j) 0.9 rad
𝝅
𝟒
k) 𝒓𝒂𝒅
Respuestas:
a)
150° - ángulo obtuso
b)
35.32° - ángulo agudo
c) 𝝅 𝒓𝒂𝒅 – ángulo llano
d)
172.34° - ángulo obtuso
e) 360° - ángulo perígono
𝝅
f)
𝟐
𝒓𝒂𝒅 – ángulo recto
g) 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 – ángulo perígono
h)
359.99° - ángulo cóncavo
i) 179.99° - ángulo obtuso
j) 0.9 rad – ángulo agudo
𝝅
k) 𝒓𝒂𝒅 – ángulo agudo
𝟒
Ángulos adyacentes: es un par de ángulos que poseen un
lado en común y los otros dos lados pertenecen a una
misma recta. Dos ángulos adyacentes siempre suman 180°.
Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos que se
encuentran uno frente al otro al cruzarse dos rectas en un
punto llamado vértice. Una pareja de estos ángulos
siempre mide lo mismo.
Ángulos congruentes: son aquellos que tienen la misma
magnitud o medida sin importar su posición.
Ángulos complementarios: son dos ángulos cuya suma
resulta exactamente 90°.
Ángulos suplementarios: son dos ángulos cuya suma
resulta exactamente 180°.
Ángulos conjugados: son dos ángulos cuya suma resulta
exactamente 360°.
Ejercicio 1.4
Hallar el ángulo complementario en cada caso expresado
en grados y radianes:
a) 1 rad
b)
51° 14’ 52’’
𝝅
c) 𝒓𝒂𝒅
𝟒
d)
𝟎. 𝟑𝟐 𝒓𝒂𝒅
e) 47.58°
Hallar el ángulo suplementario (grados y radianes):
f) 2.5 rad
g) 120.5°
h) 154° 50’ 15’’
𝝅
i) 𝒓𝒂𝒅
𝟖
j) 𝟏𝟔𝟓°
Hallar el ángulo conjugado:
k)
51.25°
l) 120° 55’ 15’’
m)
𝟑
𝝅
𝟒
n)
o)
𝟐𝟕𝟎°
300° 30’
𝒓𝒂𝒅
Respuestas:
Hallar el ángulo complementario:
a) 1 rad
32.70° ó 0.57rad
b)
51° 14’ 52’’
38° 45’ 8’’ ó 38.75° o 0.68 rad
𝝅
c) 𝒓𝒂𝒅
𝟒
45° o 0.79 rad
d)
𝟎. 𝟑𝟐 𝒓𝒂𝒅
71.67° o 1.25 rad
e) 47.58°
42.42° o 0.74 rad
Hallar el ángulo suplementario:
f) 2.5 rad
36.76° ó 0.64 rad
g) 120.5°
59.5° ó 1.04 rad
h)
154° 50’ 15’’
25° 9’ 45’’ ó 25.16° ó 0.44 rad
𝝅
i) 𝒓𝒂𝒅
157.5° ó 2.75 rad
j) 𝟏𝟔𝟓°
15° ó 0.26 rad
𝟖
Hallar el ángulo conjugado:
k) 51.25°
l) 120° 55’ 15’’
m)
𝟑
𝟒
𝝅 𝒓𝒂𝒅
308.75° ó 5.39 rad
239° 4’ 45’’ ó 239.08° o 4.17 rad
225° ó 3.93 rad
n)
𝟐𝟕𝟎°
o)
300° 30’
90° o
𝝅
𝟐
𝒓𝒂𝒅
59.5° ó 59° 30’ ó 1.04 rad
Actividad del libro 1.2
Leer las páginas 12 y 13 del libro y realizar un
resumen de las mismas; titularlo: Antecedentes
históricos de la trigonometría.
Ejercicio 1.5
Determinar el valor de los ángulos marcados con las letras
mayúsculas.
180°
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una
transversal
Al cruzar dos rectas paralelas con una recta trasversal se forman
8 ángulos, de los cuales 4 toman un mismo valor y los otros 4
otro mismo valor. Se observa también que cuatro ángulos son
internos y los otros cuatro son externos:
También podemos observar que existen parejas de ángulos que
no son iguales pero que juntos suman 180°:
1 y 7; 2 y 8; 3 y 5; 4 y 6
Además todas las parejas de ángulos adyacentes sabemos
que suman 180°:
1 y 2; 2 y 4; 3 y 4; 1 y 3; 5 y 6; 6 y 8; 7 y 8; 5 y 7
Ejercicio 1.6
Determinar el valor de “z” y “w” sabiendo que la recta l1 y
l2 son paralelas.
Solución
𝟑𝒛 + 𝟖 = 𝒘
𝟑𝒛 + 𝟖 + 𝟓𝒛 − 𝟑𝟔 = 𝟏𝟖𝟎
𝟖𝒛 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟖 + 𝟑𝟔
𝟖𝒛 = 𝟐𝟎𝟖
𝟐𝟎𝟖
𝒛=
= 𝟐𝟔
𝟖
De la primera ecuación:
𝟑(𝟐𝟔) + 𝟖 = 𝒘
𝟕𝟖 + 𝟖 = 𝒘
𝟖𝟔 = 𝒘
Ejemplos de ángulos formados por rectas paralelas y una
transversal:
La unión de los segmentos ̅̅̅̅
𝐴𝐵, ̅̅̅̅
𝐵𝐶 𝑦 ̅̅̅̅
𝐶𝐴 forman un
triángulo que se designa por ∆𝐴𝐵𝐶 si y solo si A, B y C
son puntos no colineales. Los segmentos antes
mencionados son los lados del triángulo, y los puntos
A, B y C son sus vértices. Los tres ángulos internos del
triángulo están definidos por la unión de dos de sus
lados en sus vértices.
De forma más sencilla se utilizarán letras mayúsculas
para hacer referencia a los ángulos y letras minúsculas
para nombrar a los lados del triángulo, utilizando la
misma letra para cada ángulo y su lado opuesto.
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de
sus lados
Triángulo equilátero: tiene sus tres lados de igual medida.
Triángulo Isóceles: tiene dos lados iguales y uno diferente.
Triángulo escaleno: tiene sus tres lados de diferente
medida.
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la magnitud de
sus ángulos
Triángulo rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto
(90°). A los lados que conforman a dicho ángulo se les
llama catetos y al lado que se encuentra frente a dicho
ángulo y que además es el más largo de los tres se le llama
hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: es aquel que no tiene ángulos
rectos (90°).
Los triángulos oblicuángulos se clasifican a su vez de la
siguiente forma:
 Triángulo obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo
obtuso (mayor de 90° pero menor de 180°).
 Triángulo acutángulo: es aquel que tiene sus tres
ángulos agudos (menores de 90°).
 Triángulo equiángulo: es aquel que tiene sus tres
ángulos iguales.
Ejercicio 1.7: Nombra de que tipo son los siguientes
triángulos tanto por la longitud de sus lados como por la
magnitud de sus ángulos.
Respuestas:
a) Escaleno. Rectángulo
b) Isóceles. Oblicuángulo. Obtusángulo.
c) Equilátero. Oblicuángulo. Equiángulo. Acutángulo.
d) Isóceles. Oblicuángulo. Acutángulo.
e) Escaleno. Oblicuángulo. Acutángulo.
f) Equilátero. Oblicuángulo. Acutángulo. Equiángulo.
g) Escaleno. Oblicuángulo. Acutángulo.
1. La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo
siempre resulta 180°.
2. El valor de cualquier ángulo exterior de un triángulo es
igual a la suma de los dos ángulos interiores no
adyacentes.
Ángulo exterior: se forma desde cualquier lado
del triángulo con la prolongación de otro. Un
triángulo tiene tres ángulos exteriores.
3. La suma de los tres ángulos exteriores de cualquier
triángulo siempre resulta 360°.
4. En cualquier triángulo a mayor lado se opone mayor
ángulo.
5. Si un triángulo tiene dos lados iguales entonces los
ángulos interiores opuestos a estos lados también son
iguales.
Se dice que dos segmentos son congruentes si sus medidas
son iguales. Dos ángulos son congruentes si sus
magnitudes son iguales.
Ahora, dos triángulos son congruentes si sus tres lados
y sus tres ángulos tienen la misma magnitud en ambos
triángulos sin importar si los triángulos tienen distinta
posición.
Es importante mencionar que no hace falta saber los 6
elementos de dos triángulos para determinar si son
congruentes, basta con saber alguno de los siguientes
conjuntos de 3 elementos:
1. Criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
A ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’
2. Criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el
ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’
3. Criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice
en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama
adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triángulo ABC ≡ triángulo A’B'C’
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y si
cada una de las tres parejas de lados homólogos guarda la misma
proporción.
C
C’
b
a
A’
A
c
a’
b’
B
c’
B’
 ABC   A’B’C’ (triángulo ABC es semejante al triángulo
A’B’C’ ) si y sólo si :
i)
 A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’
ii)
a
b
c
=
=
a' b' c'
Criterios de semejanza
1. Dos triángulos son sem ejante s si tienen dos ángulos iguales (AA)
2 Dos triángulos son sem ejantes si tienen los lados proporcionales (LLL)
3. Dos triángulos son sem ejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángul o com prendido
entre ellos igual (LAL).
Toda pareja de triángulos congruentes también son
semejantes, pero no toda pareja de triángulos semejantes
son congruentes.
La familia de los triángulos congruentes es una parte de la
familia de los triángulos semejantes.
Ejercicio 1.8 Resolver los siguientes problemas:
1. Un edificio de cierta altura proyecta una sombra de
11.7 m de longitud; al mismo tiempo que un poste de 6
m de largo proporciona una sombra de 3 m. Determina
la altura del edificio.
2. Juan desea medir el ancho de un río, para lo cual se
auxilia de una construcción como se muestra en la
figura. Considere que PR es perpendicular a PS y QS es
perpendicular a ST . Ayuda a Juan a calcular el ancho
del río a cambio de unos cuantos décimos.
Unidad II Resolución de triángulos
Este teorema únicamente es válido para triángulos rectángulos y
dice lo siguiente:
“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos”.
c
b
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
a
En otras palabras el área del cuadrado construido sobre la
hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos:
Ejercicio 2.1 Encontrar el valor del lado faltante de los siguientes
triángulos rectángulos:
5.6 m
x
7.5 m
𝑥 2 = 5.62 + 7.52
𝑥 = √5.62 + 7.52
𝑥 ≈ 9.36 𝑚
5.3 m
y
8.8 m
8.82 = 𝑦 2 + 5.32
8.82 − 5.32 = 𝑦 2
√8.82 − 5.32 = 𝑦
𝑦 ≈ 7.02 𝑚
12.3 m
a
14.9 m
d
4.82 cm
8.73 cm
Ejercicio 2.2 Resolver los siguientes problemas.
1. Un automóvil recorre 15 km hacia el norte;
dobla hacia la derecha en ángulo recto y continúa 5
km más; posteriormente dobla hacia el norte y
recorre otros 10 km, terminando con 14 km hacia
la izquierda en ángulo recto. ¿A qué distancia en
línea recta se encuentra ahora el automóvil del
punto de origen? ¿Qué distancia recorrió en total?
2. Determinar la altura de un triángulo equilátero
sabiendo que cada uno de sus lados mide 16.5 cm.
3. Calcular la altura de la siguiente pila de troncos
sabiendo que el radio de cada uno es de 1m.
En ocasiones se presentan problemas con triángulos
rectángulos donde únicamente se conoce uno de los lados;
por lo tanto no se puede emplear teorema de Pitágoras
para encontrar los faltantes. Sin embargo a veces se
conocen los ángulos agudos de dicho triángulo; con lo cual
se pueden emplear las razones trigonométricas para
encontrar los elementos faltantes del mismo.
Para calcular las razones trigonométricas es importante
identificar el nombre de cada lado del triángulo, y esto
depende de qué ángulo agudo se haya elegido para
calcularlas como se muestra a continuación:
Existen 6 formas de dividir los tres lados de un triángulo
rectángulo, por lo tanto hay 6 razones trigonométricas:
 Seno (sen)
 Coseno (cos)
 Tangente (tan, tg)
 Cosecante (csc)
 Secante (sec)
 Cotangentes (cot)
En una razón trigonométrica siempre hay presentes 3
elementos del triángulo. Por lo tanto para poder
emplearlas para calcular los elementos desconocidos
del triángulo sólo nos debe faltar un elemento de la
razón seleccionada.
Ejercicio 2.3 Encontrar los elementos faltantes de los
siguientes triángulos rectángulos:
a)
12m
40°
b)
58°
10.45m
c)
66°
14.3 m
d)
39.5°
2.75 m
e)
0.76 cm
63°
f)
18.5 cm
g)
5.2 m
2.6 m
8.7 cm
Ejercicio 2.4 Resolver los siguientes problemas de la
actividad 4 de la página 76 del libro del curso:
1) Una grúa necesita levantar un carro de ferrocarril a una
altura de 9 m. ¿Qué ángulo de elevación debe presentar la
pluma si su longitud es de 12 m?
2) Un niño vuela un papalote atado al extremo de una
cuerda de 60 m de longitud, que forma un ángulo de 55°
con respecto al suelo. Encuentre la altura a la que se
encuentra suspendido el papalote.
5) ¿Qué ángulo de elevación presentaba el sol en el
horizonte en 1990 cuando ocurrió el eclipse total de sol, si
en este momento la longitud de sombra de un árbol fue el
doble de su altura?
Ángulo en posición normal
Es aquel ángulo cuyo vértice coincide con el origen del plano
cartesiano y su lado inicial está posicionado sobre la región
positiva del eje “x”. El lado final se puede encontrar en cualquier
cuadrante del plano.
gg
Ejercicio 2.5 Encontrar el valor del seno, coseno y tangente
de los siguientes ángulos en posición normal conociendo un
punto del lado final de cada uno de ellos (graficarlos en
distintos planos):
𝒂) 𝑷(−𝟑, √𝟐𝟎)
𝒃) 𝑸(−𝟒, −𝟕)
𝒄) 𝑹(𝟐, −𝟓. 𝟓)
𝒅) 𝑺(√𝟑𝟎, 𝟑)
Para resolver triángulos oblicuángulos existen las
siguientes herramientas:
Ley de senos
𝒂
𝒃
𝒄
=
=
𝒔𝒆𝒏 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝑪
Para encontrar los elementos desconocidos de un triángulo
oblicuángulo utilizando esta ley debemos conocer tres
elementos de los cuatro implicados. Por ejemplo en las
siguientes situaciones:
 Cuando conocemos 2 lados y el ángulo opuesto a uno
de ellos.
49 m
48°
120 m
 Cuando conocemos 2 ángulos y cualquier lado.
56°
70°
6.8m
Ley de cosenos
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 𝒄𝒐𝒔𝑨
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝒃 = 𝒂 + 𝒄 − 𝟐𝒂𝒄 𝒄𝒐𝒔𝑩
𝒄 = 𝒂 + 𝒃 − 𝟐𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔𝑪
“El cuadrado de la longitud de cualquier lado
es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble producto de
las longitudes de esos mismos dos lados,
multiplicado por el coseno del ángulo
formado entre ellos”.
Es necesario utilizar la ley de cosenos en las siguientes
situaciones:
 Sólo conocemos 2 lados y el ángulo formado entre
ellos.
25m
40°
35m
 Sólo conocemos los tres lados.
60 m
25 m
80 m
115°
210m
110m
0.6 m
0.8 m
1.3 m
Ejercicio 2.6 Resolver de forma individual o en
equipos de 2 o 3 personas los problemas 1, 2 y 3
de la página 82 del libro; y los problemas 1 y 2 de
la página 84. Utilizar la libreta para realizar los
cálculos.
Todo ángulo central tiene asociado un arco (el que se
encuentra dentro del mismo) al cual llamaremos “s”.
Para calcular la longitud del mismo podemos usar la
siguiente fórmula:
Area de un sector circular
Para encontrar el área de la porción de un círculo que se
encuentra delimitada por un ángulo central (sector circular)
se puede emplear la siguiente fórmula: