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UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES CONCEPTOS BASICOS DE LA TRIGONOMETRIA ING. MARCO ANTONIO GALLEGOS VAZQUEZ FUNDAMENTOS DE LAS MATEMATICAS Radianes Los ángulos se pueden medir en grados o radianes. Un radián son 180/π grados, aproximadamente 57.296° Un radián es: El ángulo que se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el círculo: Radián Unidad de medida para ángulos. Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco igual en longitud al radio en la circunferencia del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián. 1 radián = (180/ )° = 57.296° La ventaja de los radianes sobre los grados es solamente que ayudan a simplificar muchas fórmulas trigonométricas. CONVERSIONES ENTRE GRADOS Y RADIANES Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras: pág. 1 UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES CONCEPTOS BASICOS DE LA TRIGONOMETRIA ING. MARCO ANTONIO GALLEGOS VAZQUEZ FUNDAMENTOS DE LAS MATEMATICAS Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos. EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes. EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados. Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes. Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados. Despejamos x, también simplificamos. Despejamos x. Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora: Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora: x = 137.5099o x = 0.6632 radianes EJERCICIOS: 1) Convertir 82o a radianes. 2) Convertir 1.84 radianes a grados. pág. 2 UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES CONCEPTOS BASICOS DE LA TRIGONOMETRIA ING. MARCO ANTONIO GALLEGOS VAZQUEZ FUNDAMENTOS DE LAS MATEMATICAS 3) Convertir 247o a radianes. 4) Convertir 4.06 radianes a grados. CUÁNTOS RADIANES TIENE UNA CIRCUNFERENCIA? Sabemos que la longitud de la circunferencia viene dada `por la fórmula: Sabemos también que un radián es un ángulo central cuya longitud de arco equivale al radio. Si una circunferencia tiene una longitud de y cada radián tiene una longitud de r (radio), el cociente: será igual al número de radianes que tiene una circunferencia.Simplificando obtengo: Conocida esta equivalencia podemos resolver fácilmente los problemas de conversiones entre radianes y grados y entregrados y radianes: Supongamos que queremos saber cuántos radianes son 25º: Con una simple regla de tres: A 180º corresponden (3,1416)radianes a 25º corresponderán x “ pág. 3 UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES CONCEPTOS BASICOS DE LA TRIGONOMETRIA ING. MARCO ANTONIO GALLEGOS VAZQUEZ FUNDAMENTOS DE LAS MATEMATICAS En la figura vemos que el ángulo de 25º equivale a 0,436 radianes. Vamos a suponer que tenemos 0,8 radianes y necesitamos saber a cuantos grados corresponden. Por medio de la regla de tres: 3,1416 ( ) radianes …………..180º 0,8 “ ………….. xº 15. 141 ¿A cuántos radianes equivalen 135º? Respuesta: 2,36 radianes 15.142 ¿Cuántos grados son 1,05 radianes? Respuesta: 60º 15.143 ¿Cuántos grados son 0,52 radianes? Respuesta: 30º pág. 4 UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES CONCEPTOS BASICOS DE LA TRIGONOMETRIA ING. MARCO ANTONIO GALLEGOS VAZQUEZ FUNDAMENTOS DE LAS MATEMATICAS Símbolos en geometría Símbolos que se usan con frecuencia en geometría Los símbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y espacio cuando escribimos. Aquí tienes los símbolos geométricos más comunes: Símbolo Significado Ejemplo En palabras Triángulo ABC tiene 3 lados iguales El triángulo ABC tiene tres lados iguales Ángulo ABC mide 45° CD La línea AB es perpendicular a la línea CD Paralela EF GH La línea EF is paralela a la línea GH Grados 360° es un círculo completo Perpendicular Ángulo recto (90°) AB mide 90° Segmento de línea "AB" pág. 5 El ángulo formado por ABC mide 45 grados. AB Un ángulo recto mide 90 grados La línea entre A y B Línea "AB" La línea infinita que pasa por A yB Rayo "AB" La línea que empieza en A, pasa por B y continúa Congruente (mismo tamaño y forma) ABC DEF El triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF Similar (misma forma, distinto tamaño) DEF MNO El triángulo DEF es similar al triángulo MNO Por tanto a=b b=a a es igual que b, por tanto b es igual que a