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03 – Variables aleatorias y
distribuciones de probabilidad
Contenido
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Diego Andrés Alvarez Marín
Profesor Asistente
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
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Variables aleatorias discretas: función de probabilidad y
de distribución
Variables aleatorias continuas: función de densidad y de
distribución
Características de las variables aleatorias: valor esperado,
varianza
Aplicación práctica, representaciones
1
Variable aleatoria
Sea Ω un espacio muestral. Una función
2
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●
se conoce como variable aleatoria
Nota: la definición real es en verdad algo más complicada. Ver:
http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable#Formal_definition
La variable aleatoria transforma los resultados
del espacio muestral en cantidades numéricas.
La letra mayúscula X denota la función (la
variable aleatoria).
La letra minúscula x denota el valor que toma
la variable aleatoria, es decir, x=X(ω)
Lanzamientos de dos dados
X denota la suma de los resultados de las dos caras
Valor de la
variable
aleatoria
Resultado (ω)
(1,1)
(1,2),
(1,3),
(1,4),
(1,5),
(1,6),
(2,6),
(3,6),
(4,6),
(5,6),
(6,6)
(2,1)
(2,2),
(2,3),
(2,4),
(2,5),
(3,5),
(4,5),
(5,5),
(6,5)
(3,1)
(3,2),
(3,3),
(3,4),
(4,4),
(5,4),
(6,4)
(4,1)
(4,2), (5,1)
(4,3), (5,2), (6,1)
(5,3), (6,2)
(6,3)
Número de
x := X(ω) ocurrencias Probabilidad
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
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Una variable aleatoria X es discreta si D tiene
una cardinalidad finita o infinita contable (es
decir si los elementos de D se pueden poner en
una correspondencia uno a uno con los
números naturales)
Una variable aleatoria X es continua si D tiene
una cardinalidad infinita no contable, es decir si
D está formado por intervalos de la recta real
∑=1
Descripción probabilista de las
variables aleatorias
●
●
Las variables aleatorias discretas se describen
mediante:
–
Función de Masa de Probabilidades (FMP)
–
Función de Distribución de Acumulada (FDA)
Las variables aleatorias continuas se
describen mediante:
–
Función de Densidad de Probabilidades (FDP)
–
Función de Distribución de Acumulada (FDA)
Función de Masa de Probabilidades
Definición matemática
Función de Masa de Probabilidades
Graficando FMPs en MATLAB
Una función de masa de probabilidades (FMP)
es una funcion que dice la probabilidad que una
variable aleatoria discreta tome exactamente un
valor.
Una FMP. Observe que todos los
valores de esta función son nonegativos y suman 1.
Una FMP de un dado equilibrado.
Todos los números en el dado
tienen igual probabilidad de
aparecer.
Propiedades de la FMP
Las FMP deben satisfacer las siguientes
propiedades:
La función Delta de Dirac
Representación de una FMP
utilizando Deltas de Dirac
Ejemplo
Para verificar la calidad de un lote de cilindros de
concreto, un ingeniero extrae al azar 3 muestras.
Suponiendo que la probabilidad que el cilindro no
cumpla las especificaciones es del 10%, cual es la
probabilidad que:
●
a) los tres cilindros cumplan con las especificaciones
●
b) sólo dos cilindros cumplan con las espeficicaciones
●
c) sólo un cilindro cumpla con las espeficicaciones
●
s – cilindro que cumple con las especificaciones
d) ninguno de los cilindros cumpla con las
especificaciones
En el caso del ejemplo p = 0.90, siendo la FMP:
n – cilindro que NO las cumple
P(s) = p
P(n) = 1-p
P[0 OK] = (n,n,n) = (1-p)(1-p)(1-p) = (1-p)
3
P[1 OK] = (n,n,s)+(n,s,n)+(s,n,n) = 3(1-p)2p
P[2 OK] = (n,s,s)+(s,s,n)+(s,n,s) = 3p2(1-p)
P[3 OK] = (s,s,s) = p3
P[0 OK] = (1-p)3 = (0.1)3 = 0.001
P[1 OK] = 3(1-p)2p = 3 (0.1)2 x 0.9 = 0.027
P[2 OK] = 3p2(1-p) = 3 (0.9)2 x 0.1 = 0.243
P[3 OK] = p3 = (0.9)3 = 0.729
Ejemplo lanzamiento de una
moneda
En la práctica de control de calidad, el ingeniero
debe tomar la decisión acerca de si el material
se encuentra dentro de las especificaciones o no
basado en una observación de dos muestras
malas en una muestra de tamaño tres.
Suponiendo que el material es satisfactorio, la
probabilidad de tal suceso es muy pequeña
(2,7%), y por lo tanto, el ingeniero decidirá
usualmente que el material no cumple con las
especificaciones.
Función de Densidad de
Probabilidades (FDP)
Motivación
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●
Las FDPs se pueden entender como el límite
de un histograma cuando el ancho de cada
subintervalo tiende a cero.
Cuando la altura de una persona es 172 cm, es
lógico entender como [171.5 cm, 172.5 cm]; por
lo tanto, en el caso continuo es más lógico
visualizar las probabilidades de intervalos que
de un punto en particular.
Interpretación de la FDP
●
●
●
La FDP fX del caso continuo se debe entender
de forma diferente a la FMP pX del caso
discreto.
Con las FMPs, la probabilidad que x tome un
valor específico puede ser diferente de cero.
Con las FDPs, la probabilidad que x tome un
valor específico x es cero.
Ejemplo 1 de FDPs
Interpretación de la FDP
●
●
Por lo tanto, la FDP no representa la
probabilidad que X=x. Mas bien proporciona un
medio para determinar la probabilidad de un
intervalo a≤X≤b.
El valor de fX(x) solo es una medida de la
densidad o intensidad de la probabilidad en el
punto.
Ejemplo 2 de FDPs
Variables aleatorias mixtas
Función de Distribución de
Acumulada (FDA)
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http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap2/cap_2_pag_5.html
●
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/obras_publicas/208/pdfs/tema3.pdf
FDA de una función de
masa de probabilidades
(FMP)
FDA de una función de
densidad de
probabilidades continua
FDA de una función de
densidad de
probabilidades que tiene
un componente continuo
y una parte discreta.
Función de Distribución de
Acumulada (FDA)
Continuidad por la derecha y por la
izquierda
Función continua por
la derecha
Función de Distribución de
Acumulada (FDA)
Función continua por
la izquierda
FMP vs FDA
Gráfico 1 de la FDA discreta
Gráfico 2 de la FDA discreta
Propiedades de la FDA discreta
Ejemplo 1 FDA discreta
Ejemplo 2 FDA discreta
FDP vs FDA
Gráfico 2 de la FDA continua
Propiedades de la FDA continua
Ejemplo 1 FDA continua
Ejemplo 2 FDA continua
FDP de una función g(X)
Valor esperado de una variable
aleatoria
Valor esperado de una variable aleatoria
El valor promedio de una variable aleatoria
después de un número grande de experimentos
es su valor esperado.
Valor esperado de una variable aleatoria
Propiedades del valor esperado
Ver:
–
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann-Stieltjes_Integration
–
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution
Valor esperado de una función g(X)
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http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value
●
●
El valor esperado se puede asociar al centro de
gravedad de la FDP.
●
●
●
Otra propiedad del valor esperado es:
Valor esperado de una función g(X)
●
Tenga en cuenta que
●
Otra propiedad del valor esperado es:
Ejemplo 1 valor esperado
Importancia práctica del valor
esperado
En un problema físico, en que un fenómeno tiene
como modelo una variable aleatoria,
generalmente el número más significativo que el
ingeniero puede obtener es el valor medio de esa
variable; es una medida de la tendencia central
de la variable y muchas veces, si se van a hacer
observaciones repetidas del fenómeno, del valor
alrededor del cual se pude esperar la dispersión.
La media muestral de muchas de tales
observaciones estará con alta probabilidad muy
cerca a la media de la variables aleatoria
fundamental.
Ejemplo 2 valor esperado
FDP condicional
●
●
Esperanza condicional
Suponga que estamos interesados en la
distribución de la demanda o carga X dado que
sea mayor que algún valor de umbral x0.
HACER GRAFICO FDP truncada
Ejemplo 1 esperanza condicional
Ejemplo 2 esperanza condicional
Momentos de una variable aleatoria
Momentos no centrales
Los momentos de una variable aleatoria X son los
valores esperados de ciertas funciones de X.
Estas forman una colección de medidas
descriptivas que pueden emplearse para
caracterizar la distribución de probabilidad de X y
especificarla si todos los momentos de X son
conocidos. A pesar de que los momentos de X
pueden definirse alrededor de cualquier punto de
referencia, generalmente se definen alrededor del
cero (momentos no centrales) o del valor
esperado de X (momentos centrales).
Momentos centrales
Algunos momentos centrales
Media en MATLAB y MS EXCEL
●
●
Tenga en cuenta que todas las proposiciones
anteriores con respecto a los momentos se
encuentra sujetas a la existencia de las sumas
o integrales que las definan.
El uso de los momentos de una variable
aleatoria para caracterizar a la FDA es útil
especialmente en un medio en el que el
experimentador conozca la FDA.
Varianza
●
La varianza es una medida de la dispersión de
una variable aleatoria.
Propiedades de la varianza
Varianza en MATLAB y MS EXCEL
Coeficiente de variación (C.O.V.)
●
Se utiliza en control de calidad
●
No confundir con la covarianza
Coeficiente de asimetría (skewness)
G1 < 0 distribución asimétrica
negativamente
G1 > 0 distribución asimétrica
positivamente
Tercer coeficiente de asimetría en
MATLAB y MS EXCEL
Coeficiente de apuntalamiento
(curtosis)
Coeficiente de apuntalamiento en
MATLAB y MS EXCEL
Otras medidas de tendencia central
y dispersión
●
La media de una variable aleatoria es
generalmente la medida preferida de tendencia
central. Sin embargo, en algunas situaciones la
mediana y en menor grado la moda, pueden
ser mediadas de tendencia central mucho más
apropiadas. Por ejemplo, en distribuciones
unimodales cuya asimetría es grande, el valor
esperado de la variable aleatoria puede verse
afectado por los valores extremos de la
distribución, mientras que la mediana no lo
estará.
●
Para distribuciones unimodales se tiene que:
reaches its peak. For small or middle-sized
samples the outcome of this procedure is
sensitive to the choice of interval width if chosen
Desigualdad
de Chebyshev
too narrow
or too wide; typically
one should have
a sizable fraction of the data concentrated in a
relatively small number of intervals (5 to 10), while
the fraction of the data falling outside these
intervals is also sizable. An alternate approach is
kernel density estimation, which essentially blurs
point samples to produce a continuous estimate
of the probability density function which can
provide an estimate of the mode.
●
# However, if there is an arbitrary monotonic
transformation, only the median follows; for
example, if X is replaced by exp(X), the median
changes from m to exp(m) but the mean and
mode won't.
●
Mediana de una CDF... ver notas
# ExceptModa
for extremely
small
samples, the mode
de una
FMP/FDP
is insensitive to "outliers" (such as occasional,
rare, false experimental readings). The median is
also very robust in the presence of outliers, while
the mean is rather sensitive.
●
# In continuous unimodal distributions the
median lies, as a rule of thumb, between the
mean and the mode, about one third of the way
going from mean to mode. In a formula, median ≈
(2 × mean + mode)/3. This rule, due to Karl
Pearson, is however not always true and the three
statistics can appear in any order.[
●
http://en.wikipedia.org/wiki/Median
●
76
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FDA empírica
●
77
Hay una función en MATLAB...
78
Quantiles
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http://en.wikipedia.org/wiki/Quantile
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En MATLAB quantile
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http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_varian
ce
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79
80