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CIRCUITOS ACOPLADOS
CIRCUITOS ACOPLADOS
5.1
Autoinductancia
Si tomamos una bobina de “N” espiras, y por la misma hacemos circular una corriente “i”,
variable en el tiempo, tal cual se muestra en la figura 5.1, en bornes de la misma, aparece una
tensión, cuyo valor depende de la velocidad con que varía dicha corriente. La expresión que los
relaciona es la siguiente:
di
dt
u L
Donde:
i: corriente variable en el tiempo que atraviesa la bobina [A]
u: Tensión que aparece en bornes de la bobina [V]
L: Autoinductancia ó inductancia [H] (Henrio)
i
+
N
u
Φ
Figura 5.1 Bobina por la que circula una corriente variable en el tiempo
La corriente variable en el tiempo, produce en la bobina un campo magnético, también
variable en el tiempo, y de acuerdo a la Ley de Faraday:
u N
d
dt
Φ: Flujo magnético originado por la corriente
N: Número de espiras de la bobina
Φ
De acuerdo a la Ley de Hopkinson:
Si derivamos con respecto al tiempo:
u N
d
dt
d
dt
N 2 di
dt
Fmm
N di
dt
L
di
dt
N i
Fuerza magnetomot riz
Reluctancia
Reemplazando:
L
N2
: Reluctancia que depende del material del núcleo de la bobina
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CIRCUITOS ACOPLADOS
5.2
Energía almacenada en una bobina
La potencia está dada por la siguiente expresión:
p = u. i [W]
Reemplazando:
di
dt
La energía almacenada en un inductor en forma de campo magnético es:
p
dw
Li
p.dt
Li
di
dt
dt
L.i.di
Si integramos, teniendo en cuenta que la energía tiene un valor cero para corriente cero,
nos queda:
1 2
w
L.i
2
5.3
Inductancia mutua
Cuando dos bobinas se encuentran a una cierta distancia, tal que el flujo magnético
originado en una de ellas, es concatenado en una cierta proporción por la otra, en esta última se
inducirá una fuerza electromotriz, debido a la corriente que circula por la primera.
La inductancia mutua es el parámetro que relaciona la tensión inducida en una bobina por
la corriente que circula por la otra.
Por ejemplo, tomemos el caso de dos bobinas acopladas magnéticamente en un medio
cuya permeabilidad sea constante tal cual se muestra en la figura 5.2.
Φ21
N1
i1
N2
+
u1
+
Φ11
Φ11
u2
-
Φ21
Figura 5.2 Bobinas acopladas con energía en la “1”
Si energizamos la bobina “1” de N1 espiras con una corriente variable en el tiempo, la
misma origina un flujo, del cual una parte es concatenado por la bobina “2” que llamaremos Φ21 y
otra parte que solamente atraviesa las espiras de la “1”, que llamaremos Φ11.
Φ1 = Φ11 + Φ21
El sentido de los flujos está originado por el sentido de arrollamiento de la bobina y el
sentido de la corriente para el instante analizado.
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CIRCUITOS ACOPLADOS
De acuerdo a este esquema tenemos que la tensión que aparece en bornes de la bobina 1,
de acuerdo a la Ley de Faraday:
u1
N1
dΦ1
dt
L1
N1
dΦ1
di1
N1
dΦ1 di1
dt di1
N1
dΦ1 di1
di1 dt
L1
di1
dt
Inductancia de la bobina 1 [H]
La tensión que aparece en la bobina “2”, debido al flujo que la atraviesa es:
u2
M 21
N2
dΦ 21
dt
N2
N2
dΦ 21
di1
dΦ 21 di1
dt di1
dΦ 21 di1
di1 dt
N2
M 21
di1
dt
Inductancia mutua de la bobina 2 con respecto a la 1 [H]
En forma similar si ahora energizamos la bobina “2”, de acuerdo a la figura 5.3.
Φ12
N1
N2
i2
+
+
u1
Φ22
Φ22
-
u2
-
Φ12
Figura 5.3 Bobinas acopladas con energía en la “2”
En forma similar obtenemos:
Φ2 = Φ22 + Φ12
u2
N2
dΦ 2
dt
L2
N2
dΦ 2
di 2
N2
dΦ 2 di 2
dt di 2
N2
dΦ 2 di 2
di 2 dt
L2
di 2
dt
Inductancia de la bobina 2 [H]
La tensión que aparece en la bobina “1”, debido al flujo que la atraviesa es:
u1
M12
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N1
dΦ12
dt
N1
dΦ12
di 2
N1
dΦ12 di 2
dt di 2
N1
dΦ12 di 2
di 2 dt
M12
di 2
dt
Inductancia mutua de la bobina 1 con respecto a la 2 [H]
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CIRCUITOS ACOPLADOS
Si energizamos las dos bobinas, de acuerdo a la figura 5.4.
Φ21
N1
i1
N2
Φ12
+
+
Φ11
u1
Φ11
-
Φ22
Φ22
u2
-
Φ12
Φ21
Figura 5.4 Bobinas acopladas con energía en ambas
Sumando ambos efectos nos va a quedar:
Φ1 = Φ11 + Φ21 ± Φ12
Φ2 = Φ22 + Φ12 ± Φ21
El signo del último término va a depender de los sentidos de las corrientes del sentido de
arrollamiento de las bobinas.
Para la bobina “1”, la tensión que vamos a tener por efecto de ambas corrientes va a ser:
u1
dΦ1
dt
N1
N1
dΦ12
dt
N1
u1
dΦ1 di1
dt di1
L1
di1
dt
dΦ12 di 2
dt di 2
N1
M12
N1
dΦ1 di1
di1 dt
dΦ12 di 2
di 2 dt
L1
di1
dt
M12
di 2
dt
di 2
dt
En forma análoga para la bobina “2”
u2
N2
dΦ 21
dΦ 21
N2
dt
dt
u2
5.4
N2
dΦ 2 di 2
dt di 2
L2
di 2
dt
N2
M 21
dΦ 21 di1
dt di1
N2
dΦ 2 di 2
di 2 dt
dΦ12 di1
di1 dt
L2
di 2
dt
M 21
di1
dt
di1
dt
Energía almacenada en el acoplamiento
La potencia en juego en el sistema de la figura 5.4 es:
p1 = u1. i1
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p2 = u2. i2
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CIRCUITOS ACOPLADOS
p1
L 1 i1
p2
L 2 i2
di1
dt
M12 i1 .
di 2
dt
di 2
dt
M 21 i 2 .
di1
dt
La energía está dada por: dw = p. dt
dw 1
L 1 i1 di1 M12 i1 .di 2
dw 2
L 2 i 2 di 2 M21 i 2 .di1
Superponiendo efectos:
Aumentando la corriente i1 desde cero hasta I1, manteniendo la i2 = 0
I1
W1A
1
L I2
2 1 1
L1 i1 di1
0
Mantenemos i1 = I1 constante y aumentamos la corriente i2 desde cero hasta I2
I2
W1B
M12 I1 di2
M12 I1 I2
0
I2
W2A
L2 i2 di2
0
1
L I2
2 2 2
La energía total es:
W
1
1
L I2
L I2 M I I
2 1 1 2 2 2 12 1 2
Si en cambio, aumentamos la corriente i2 desde cero hasta I2, manteniendo i1 = 0, y luego
mantenemos i2 = I2 constante y aumentamos la corriente i1 desde cero hasta I1, nos queda la
siguiente expresión:
W
1
1
L I2
L I2 M21 I1 I2
2 1 1 2 2 2
Debido a que la energía almacenada debe ser la misma, se debe cumplir que
M12 = M21 = M
5.5
Coeficiente de acoplamiento
La energía almacenada en las bobinas, no puede ser negativa, ya que las mismas son
elementos pasivos, por lo tanto
W
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1
1
L I2
L I2 M I1 I2
2 1 1 2 2 2
0
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CIRCUITOS ACOPLADOS
Podemos reemplazar:
1
L1 I1
2
1
1
L I2
L I2
2 1 1 2 2 2
1
L1 I1
2
L2 I2
2
L2 I2
2
L1 L2 I1 I2
L1 L2 I1 I2 M I1 I2
Con lo cual nos queda:
0
Dado que el primer término está elevado al cuadrado su valor no puede ser menor que
cero, por lo tanto se debe cumplir que:
L1 L2 I1 I2 M I1 I2
L1 L2
0
M
Donde k debe estar comprendida entre cero y uno
M k L1 L2
El valor de k se denomina coeficiente de acoplamiento.
5.6
Bornes homólogos
A los efectos de no tener que determinar la forma de los arrollamientos de las bobinas, se
identifican los mismos mediante un punto colocado en cada bobina. Estos puntos indican que
ambos son simultáneamente “positivos” o “negativos”.
La convención entonces es:
Si la corriente entra por el terminal punteado de una bobina, la polaridad de la tensión
inducida en la segunda bobina es positiva en su terminal punteado.
Si la corriente sale por el terminal punteado de una bobina, la polaridad de la tensión
inducida en la segunda bobina es negativa en su terminal punteado.
Tomemos el siguiente ejemplo de la figura 5.5, en el cual la corriente i2 es saliente del
terminal punteado.
i1
M
R1
R2
i2
+
+
u1
u2
L1 L2
-
-
Figura 5.5 Circuito con i2 saliente
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u1
R 1 i1 L 1
di1
dt
u2
R 2 i2
L2
M
di 2
dt
di 2
dt
M
di1
dt
85
CIRCUITOS ACOPLADOS
Tomemos ahora el ejemplo de la figura 5.6, en el cual la corriente i2 es entrante del
terminal punteado.
i1
M
R1
R2
i2
+
+
u1
u2
L1 L2
-
-
Figura 5.6 Circuito con i2 entrante
u1
R 1 i1 L 1
u2
R 2 i2
di1
dt
L2
di 2
dt
M
di 2
dt
M
di1
dt
Determinación de los bornes homólogos
Para determinar los bornes homólogos se puede realizar el siguiente ensayo, realizando la
conexión de acuerdo a la figura 5.7.
U3
U2
U1
A
B
Figura 5.7 Esquema para determinar los bornes homólogos
Se alimenta con una fuente variable en el tiempo una de las dos bobinas, se unen los
puntos “A” y “B”, de las mismas y mediante tres voltímetros se procede a la medición de las
tensiones, según se muestra en la figura.
En el esquema las tensiones U1 y U2, tienen el sentido indicado por las flechas, ya que los
bornes homólogos son ambos positivos.
La indicación del voltímetro “3”, nos va a dar un valor que es la diferencia de tensiones, o
sea que:
U 3 = U1 – U 2
Si en cambio, los bornes homólogos son los indicados en la figura 5.8, la indicación será:
U 3 = U1 + U2
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CIRCUITOS ACOPLADOS
U3
U2
U1
A
B
Figura 5.8 Medición con los bornes homólogos cambiados
Por lo tanto cualquiera sea la indicación del voltímetro “3”, podemos determinar cual borne
es homólogo del otro.
5.7
Circuitos con acoplamiento magnético, alimentados con fuentes de
variación senoidal
Analicemos el siguiente circuito con una fuente de tensión alterna:
j ωM =j 2 Ω
R1 = 5 Ω
U = 50
0º [V]
+
~
-
R2 = 8 Ω
I2
I1
j ωL1 = j 5 Ω
-j
j ωL2 = j 7 Ω
1
=-j3Ω
ωC
De acuerdo a los bornes homólogos y al sentido de circulación de las corrientes,
aplicaremos en cada malla la segunda ley de Kirchhoff, circulando en sentido horario en cada una.
Malla 1
- U + R I1 + j ω L1 I1 – j ω M I2
(El signo negativo se debe a que la corriente I2, es saliente del borne punteado, lo cual
hace que el borne punteado de la bobina 1, sea negativo, y en el recorrido realizado se entra con
ese signo.
- 50
Malla 2:
0º + 5. I1 + j 5. I1 – j 2. I2 = 0
j ω L2 I2
+
R2 I2 - j
1
- j ω M I1 = 0
ωC
En este caso, como la corriente I1, es entrante al borne punteado, el borne punteado de la
bobina 2, es positivo, con lo cual a realizar el recorrido a dicha bobina se entra por el negativo.
j 7 I2 + 8. I2 – j 3 I2 – j 2 I1 = 0
Resolviendo las dos ecuaciones se obtiene:
I1 = 6,92
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41,63º [A]
I2 = 1,55
21,8º [A]
87
CIRCUITOS ACOPLADOS
5.8
Transformadores lineales
El transformador es un elemento, que generalmente tiene cuatro terminales, que tiene
dos bobinas acopladas magnéticamente, una de ellas se denomina primario y se conecta al mismo
a una fuente de tensión alterna, siendo la otra la bobina secundaria, la cual se conecta a la carga.
Para el análisis adoptaremos que el núcleo es de un material magnéticamente lineal.
Transformador ideal
Este transformador, no presenta ningún tipo de pérdidas, lo cual implica que la potencia
que ingresa por el primario, es igual a la potencia que egresa por el secundario.
Un esquema de un transformador es el que se observa en la figura 5.2, y su
representación circuital es el de la figura 5.9.
M
I1
I2
+
U1
+
~
-
ZC
L2
L1
_
Figura 5.9 Representación circuital de un transformador ideal
El factor de acoplamiento es k = 1, ya que se adopta que todo el flujo originado por la
bobina “1” atraviesa la bobina “2”.
En los transformadores se denomina relación de transformación a la relación de espiras de
ambos bobinados, o sea:
a
N1
N2
L1
L2
(La inductancia de una bobina es proporcional al cuadrado de su número
de espiras)
Aplicando mallas al primario y secundario del transformador nos queda:
Malla 1
Malla 2
U1 = j ω L1 I1 – j ω M I2
0 = j ω L2 I2 – j ω M I1 + ZC. I2
Despejando de la segunda ecuación:
I2
j ω M
I1
j ω L2 ZC
Que reemplazando en la primera:
U1
j ω L 1 I1
j ω M
I1
j ω L2 ZC
Siendo la impedancia de entrada: Z E
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j ω M
U1
I1
j ω L1
j ω M
j ω M
j ω L2 ZC
88
CIRCUITOS ACOPLADOS
L1
L2
Reemplazando por: a 2
y
2
M = L1. L2
Nos queda:
ZE
ZE
j ω L2 a2
- ω 2 L22 a 2
j ω L2 a2 j ω L2 ZC
j ω L2 ZC
ω 2 a 2 L22
j ω L2 ZC
j ω L2 a2 ZC
j ω L2 ZC
ω 2 a 2 L22
ω 2 a 2 L22
j ω L2 a2 ZC
j ω L2 ZC
Dividiendo por L2
2
ZE
j ω a ZC
j ω
Si las inductancias tienden a un valor infinito:
ZC
L2
2
ZE = a ZC
O sea que la impedancia conectada en el secundario del transformador, se ve desde el
primaria modificada por la relación de transformación al cuadrado.
De la ecuación de la segunda malla, haciendo la relación de corrientes;
I2
I1
j ω M
j ω L2 ZC
j ω
j ω
L1 L 2
j ω L2
a2 L2 L2
j ω L2
ZC
ZC
j ω a L2
j ω L2 ZC
Haciendo tender L2 a infinito:
I2
I1
a
De aquí:
N1 I1 = N2 I2
Como estamos analizando un transformador ideal, se debe cumplir que las potencias de
un lado y del otro del transformador sean iguales, lo que nos lleva a:
U1 I1 = U2 I2
→
U1
U2
U1 I1 = U2. a. I1
a
Transformador con resistencia en sus bobinados
Si tenemos en cuenta la resistencia del conductor de los bobinados el circuito que nos
queda es el de la figura 5.10
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89
CIRCUITOS ACOPLADOS
I1
M
R1
I2
R2
+
U1
+
~
-
ZC
L2
L1
_
Figura 5.10 Transformador con resistencia en sus bobinados
Las ecuaciones de malla ahora son las siguientes:
U1 = (R1 + j ω L1) I1 – j ω M I2
Malla 1
0 = (R2 I2 + j ω L2) I2 – j ω M I1 + ZC. I2
Malla 2
Trabajando sobre las ecuaciones se llega a:
ZE
j ω L1
R1
ω 2 M2
j ω L2
R2
ZC
Cuadripolos equivalentes
Analicemos nuevamente el circuito de la figura 5.10, trabajando con las corrientes
instantáneas, con lo cual las ecuaciones de malla serán:
u1
R 1 i1
u2
R 2 i2
L1
di1
dt
L2
M
di 2
dt
di 2
dt
M
di1
dt
La primera ecuación la podemos plantear de la siguiente forma:
u1
R 1 i1
L1
di1
dt
M
di1
dt
M
di1
dt
M
di 2
dt
R 1 i1
(L1 M)
di1
dt
M(
di1
dt
di 2
)
dt
En forma análoga:
u2
R 2 i2
L2
di 2
dt
M
di 2
dt
M
di 2
dt
M
di1
dt
R 2 i2
(L 2 M)
di 2
dt
M(
di 2
dt
di1
)
dt
Un circuito equivalente que responde a estas dos ecuaciones es el representado en la
figura 5.11, que recibe el nombre de circuito equivalente en “T”
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90
1S
CIRCUITOS ACOPLADOS
i1
L1 - M
R1
L2 - M
i2
R2
+
+
u1
u2
M
-
Figura 5.11 Circuito equivalente en “T” de un transformador
A partir de este circuito podemos mediante las transformaciones correspondientes llegar a
un circuito equivalente en “π”, como se muestra en la figura 5.12.
i1
R1
L1 L 2 M2
M
R2
i2
+
+
u1
L1 L 2 M2
L2 M
L1 L 2 M2
L1 M
u2
-
Figura 5.12 Circuito equivalente en “π” de un transformador
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