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CAPÍTULO V
INDUCCIÓN MAGNÉTICA
A.- LA LEY DE FARADAY
5.1.- Ley de Faraday.El 17 de octubre de 1831, Michael Faraday, extraordinario experimentador
inglés, describía con gran precisión en su cuaderno de laboratorio la ley que lleva su
nombre y la cual, años después, James C. Maxwell formuló matemáticamente.
Fig. 5.1 a
Supongamos tener un imán como el que se ve en la figura 5.1a, moviéndose
hacia adelante y hacia atrás, en las cercanías de una espira cerrada, conectada a un
galvanómetro G.
Cuando el imán se acerca, el galvanómetro marca el paso de corriente en un
sentido, y cuando el imán se aleja, en el otro sentido, tal como se ve en la espira de la
figura. 5.1a.
Cuanto más rápido es el movimiento del imán, mayor será el desvío de la
aguja del galvanómetro. Es decir que se genera una fuerza electromotriz inducida por
el movimiento del imán, y que aumenta con la rapidez del mismo. La fig. 5.1b
muestra una variante de la misma experiencia anterior: ahora se mueve el polo sur
hacia delante y hacia atrás, observándose que ha cambiado el sentido de la corriente.
Después de hacer experimentos cuantitativos, es posible concluir que:
V A 1
e = -
dB
dt
(5.1)
donde B y e son, respectivamente:


 B =  B  d

 
e=  Ed l
C
Por el momento, no hemos de hacer comentarios respecto del sentido de la
corriente inducida ni tampoco del signo menos. Ello será discutido detalladamente en
el próximo párrafo, ya que constituye otra ley conocida como “la ley de Lenz”
.
Las unidades en (5.1) son:
volt =
weber
segundo
Wb = V.s
También es importante aclarar que un resultado similar se obtiene dejando fijo
el imán y moviendo la espira hacia adelante y hacia atrás. Es decir que lo importante
es el movimiento relativo entre la espira y el imán, y por lo tanto la variación del flujo
concatenado por la espira.
Fig. 5.1 b
Si en lugar de tener una sola espira, se hubiera dispuesto de un bobinado de N
vueltas o espiras (extremadamente próximas de modo que reciban igual flujo), la
fuerza electromotriz inducida aparece multiplicada por N. Es decir que en la
expresión (5.1) se debe escribir:
V A 2
e=-
d(N B )
d( B )
-N
dt
dt
Volvamos a la ecuación (5.1). Si ahora hacemos los reemplazos
correspondientes tenemos:
 E  d l   ddt  B d 



(5.2)

C
que es válida para una sola espira. (Para N
espiras bastaría multiplicar en el segundo
miembro por N). Si se aplica el teorema de
Stokes en el primer miembro, y en el segundo
miembro el mismo procedimiento utilizado para
obtener la ecuación (3.24), resulta:

Fig. 5.1 c


 
B 
rot E  d =  d
t

(5.3)

Esta ecuación constituye una versión más general de la (5.1), y es también una
ecuación integral de Maxwell. Esta es la última de todas estas ecuaciones, que son
cuatro en total. Su significado físico es el mismo que el de (5.1), pero en esta
expresión está escrito en forma más explícita el comportamiento de los campos
eléctricos y magnéticos. Si ahora en (5.3), escribimos ambos miembros todo bajo el
mismo signo integral, quedará igualado a cero. Para que esto se cumpla para
cualquier superficie arbitraria, el integrando debe ser cero. Quedará entonces:


 B
rot E =  E =t
(5.4)
que es otra ecuación de Maxwell, que por ser diferencial constituye un postulado pues
su verificación experimental no es posible, y cuyo significado físico es: “si en un
punto existe un campo magnético que varía con el tiempo, se genera un campo
eléctrico rotacional”.
Las cuatro ecuaciones integrales de Maxwell (EIM) son: la (1.35), la (4.8), la
(4.15) y la (5.3). Las cuatro ecuaciones diferenciales de Maxwell (EDM) son: la
(1.36), la (4.9), la (4.16) y la (5.4).
Dejaremos para el capítulo VIII el estudio más detallado de estas ecuaciones y
su solución para un caso particular como es el vacío, tal como lo hiciera Maxwell.
V A 3
5.2.- La ley de Lenz.En la expresión (5.1) de la ley de Faraday se escribió un signo menos cuyo
significado no fue explicado, porque en realidad constituye otra ley que fue dada por
Lenz, sobre el sentido de la corriente inducida.
Dicha ley dice: “la fuerza electromotriz inducida tiene un sentido tal, que se
opone a la causa que la produce”.
Veamos su significado. En la figura 5.2a se ha dibujado un imán acercándose
a la espira. A través
 de la superficie  de la misma, a medida que el imán se acerca, el
flujo del vector B irá aumentando. Ésta es la causa que produce
la fem inducida e. El

sentido de la misma deberá oponerse al aumento del vector B . Es decir deberá tratar
Fig. 5.2

de hacerlo disminuir. Como la corriente inducida tiene su propio campo B , éste
deberá oponerse al campo inductor. Y es así que la corriente tiene el sentido dibujado
en la espira de la figura 5.2a, de acuerdo a la regla de la mano derecha de Ampère.
De la misma forma, se explica el sentido que la corriente tiene en la figura
5.2b, cuando el imán se está alejando. La causa de la generación de una fem inducida
es la disminución del flujo del vector B . Pero ahora la corriente tendrá un sentido tal
que se oponga a esa disminución del flujo del vector B . Por ello tenderá a reforzar
dicho flujo y el sentido es el dibujado en 5.2b.
V A 4
Si una corriente eléctrica
genera un campo magnético, es
fácil comprender que la ley de
Faraday también se puede verificar
mediante el dispositivo de la figura
5.3.
En la misma se pueden
apreciar dos espiras muy próximas
entre sí a una distancia que debe
permanecer fija en todas las
observaciones que relatamos a
continuación.
Fig. 5.3
La espira 1 de la izquierda, tiene una fem incorporada, y una resistencia
variable, que permite variar la corriente i1 que por ella circula. Al variar esta
corriente, genera un campo magnético variable. La espira 2 no tiene fem incorporada
en su circuito, sólo tiene un galvanómetro G. En esta espira se observará el paso de
corriente en un sentido (que el lector puede analizar a modo de ejercicio) cuando
aumenta el campo magnético generado por la corriente variable en la espira 1, y que
tiene el sentido opuesto, cuando disminuye el campo magnético generado por la
corriente variable en la espira 1. En la figura hemos dibujado las corrientes inductora
e inducida, cuando la primera aumenta.
También usando dos espiras 1 y 2 como se ve en la figura 5.4 se puede
verificar la ley de Faraday, pero
ahora la 1 con una corriente fija, y la
2 igual que en el caso de la figura
5.3. Solo que la primera espira debe
acercarse y alejarse, como lo
hacíamos con el imán de la figura
5.1.
En forma completamente
similar y con las mismas dos espiras
de la figura 5.4 se puede verificar la
ley de Faraday, pero ahora dejando
fija la espira 1 y moviendo hacia
adelante y hacia atrás la espira 2. Se
Fig. 5.4
deduce de esto último, que sólo
importa el movimiento relativo entre las espiras 1 y 2. Dejamos al lector ejercitarse
con el sentido de las corrientes en este caso.
V A 5
5.3.- La inductancia mutua.Si en los circuitos que hemos
visto en el párrafo precedente, en
lugar de tener una sola espira,
disponemos de más espiras, N, por
ejemplo, los efectos magnéticos
aumentarán en forma proporcional,
tal como se dijo. Es por ello que en la
práctica, se usa ese tipo de
arrollamiento denominado bobina,
como se puede ver en la figura 5.5.
En lo que sigue usaremos esta idea.
Fig. 5.5
Supongamos tener dos circuitos próximos entre sí, el 1 y el 2, dispuestos con
una geometría que se mantendrá constante en las experiencias que se realizarán, como
se esquematizan en la figura 5.5, con sus respectivas bobinas de N1 vueltas en el 1, y
de N2 vueltas, en el 2.
En el circuito 1, además de la bobina de N1 vueltas, hay una fem e y una
resistencia variable, que permite variar la corriente que circula por 1. En el circuito 2,
además de la bobina de N2 vueltas, hay un galvanómetro G, que permite registrar el
paso de la corriente inducida, en un sentido o en el opuesto.
Si producimos una brusca variación de la corriente i1 en el circuito 1, se
producirá un flujo de campo magnético en la bobina 2, proveniente de la 1, y
generado por la corriente i1. Al flujo lo llamaremos 21 , y será proporcional a la
corriente i1. Podremos escribir entonces:
21 = K i1
(5.5)
donde K es una constante de proporcionalidad.
En la bobina 2, se generará entonces una fem inducida, que estará dada por:
e2 = -N 2
d 21
di
di
= -N 2 K 1 = -M 21 1
dt
dt
dt
(5.6)
dónde hemos usado la expresión (5.5), y M21 es el coeficiente de inducción mutua.
Al flujo 21 se lo denomina el flujo enlazante. Como se puede observar, es la
relación entre la fem inducida en la bobina 2 y la variación temporal de la corriente
en la bobina 1. A la bobina 2 la llamaremos de ahora en más inducido, y a la 1,
inductor.
V A 6
Las unidades de M21 son:
[ M 21 ] =
[ e2 ]
V
=
=  s = henry = H
di1
A
[ ]
dt
s
Si ahora en la expresión (5.5), tomamos:
N2
d 21
di
= M 21 1
dt
dt
y la integramos, nos queda:
N2 21 = M21 i1 + cte
y sabiendo que como en t = 0, es i1 = 0, y por lo tanto 21 = 0, la constante de
integración deberá ser nula. Podemos así escribir:
M 21 =
N 2  21
i1
(5.7)
De la misma forma, invirtiendo el razonamiento con las bobinas, suponemos
ahora que la bobina 2 es la inductora, y la 1 la inducida, y manteniendo la misma
geometría inicial, se puede escribir:
M 12 =
N 1 12
i2
(5.8)
Mediante la fórmula de Neumann (que no daremos aquí por brevedad) es
posible poner en evidencia que:
M12  M21  M
En definitiva, diremos que “la inductancia mutua es la razón (o cociente) entre
el flujo enlazante o ligado que actúa sobre una de las bobinas, generado por la otra, y
la corriente que circula por ésta última bobina”.
5.4.- Autoinducción o inductancia.Supongamos tener ahora la bobina de N vueltas, como se muestra en la figura
5.6, en un circuito en el cual hay también una fem y una resistencia variable.
V A 7
Si variamos en forma brusca la resistencia, se genera una variación de la
corriente i. También variará proporcionalmente el flujo B del campo magnético.
Es decir que:
B  i
y si a la constante de proporcionalidad la llamamos
K, escribimos:
B = K i
(5.9)
Usando (5.1):
e =- N
dB
di
di
= - NK =- L
dt
dt
dt
Fig. 5.6
(5.10)
dónde L se denomina el coeficiente de autoinducción o de inductancia, o inductancia
solamente. Es decir que de la (5.10), observamos que se genera una fem que se opone
al aumento de la corriente. Si ésta disminuyera, la fem se opondría a su disminución,
y proporcionaría una corriente inducida en el mismo sentido que i.
De la (5.10) podemos escribir:
N
d B
di
= L
dt
dt
e integrando de la misma forma que para la (5.7):
N = Li + cte
y la constante de integración también será nula,
como en el caso anterior debido a que cuando i es
nula, también lo es . Ello nos permite escribir
entonces:
L=
N
i
Fig. 5.7
(5.11)
es decir, que la inductancia es la razón entre el flujo enlazante en la bobina y la
corriente que circula por ella.
Las bobinas se simbolizan como se puede ver en la figura 5.7, que en
definitiva significa lo mismo que la figura 5.6. A las bobinas en general, se las suele
llamar inductores, y a la propiedad que acabamos de estudiar la inductancia.
V A 8
La inductancia de un inductor es función de la geometría y del material.
(Obsérvese que se trata del material que va dentro de la bobina, y que está afectado
por el campo magnético, y no del material conductor con que está hecha la bobina).
5.5.- Coeficiente de acoplamiento.En la figura 5.8 simbolizamos dos
bobinas que están muy próximas, con sus
respectivos circuitos.
Las inductancias de las respectivas
bobinas son:
L1 =
N 1 1
i1
y
L2 =
N22
i2
Fig. 5.8
Denominaremos 1 y 2 a los flujos
propios de cada bobina, y 12 y 21 a los
flujos enlazantes de la bobina 2 sobre la bobina
1, y viceversa, al de la bobina 1 sobre la 2, respectivamente. Suponiendo que las
geometrías de cada una de las bobinas se mantenga rígida y estacionaria, y también la
geometría entre ambas, así como la permeabilidad del medio, podremos escribir:
12 k 22 y 21 k 11
Puesto que
12   2
y  21  1
el máximo valor posible de k es la unidad. Ahora podremos escribir:
M 21 =
N 2 21 N 2 k11
=
y
i1
i1
M12 =
N112 N1k 2 2
=
i2
i2
y si ahora hacemos el producto de ambas y reemplazamos por las inductancias de las
bobinas, y
k  k1k 2
obtenemos:
M = k L1 L2
V A 9
(5.12)
donde k es el denominado coeficiente de acoplamiento y nos informa de cómo están
devanadas las bobinas 1 y 2 entre sí. En efecto, será k = 1 cuando los flujos
enlazantes entre las bobinas sean iguales a los propios de las respectivas bobinas, y
esto sucede cuando ambos devanados están superpuestos y las áreas de cada una de
ellas coinciden perfectamente.
Esto no significa que deban tener el mismo número de espiras ambas bobinas.
Cuando los devanados no están exactamente superpuestos, los valores de k están
entre 0 y 1. En general entonces, se cumplirá que:
0k1
5.6.- Inductancia de un toroide.A modo de ejemplo, veremos la
inductancia de un elemento de geometría
sencilla, como es el caso del toroide. Se
denomina así a un anillo hueco sobre el cual
hay un bobinado de N espiras. Por el conductor
del devanado, circula la corriente i (ver figura
5.9).
En el interior del toroide hay
simplemente aire, por lo cual su permeabilidad
magnética será 0. Esta geometría es la única
que confina completamente un campo
Fig. 5.9
magnético, siempre y cuando el devanado esté
hecho de modo que las espiras se toquen una con otra. Caso contrario, saldrán, entre
los espacios vacíos que quedan entre ellas, líneas de campo al exterior, y por lo tanto
el campo no estaría completamente confinado.
Llamaremos a la longitud del toroide l = 2  R, donde R es el radio medio del
anillo (supondremos que la sección  del mismo, tiene un radio r << R). Entonces,
aplicando la ley de Ampère, el campo magnético dentro del toroide, será:
B = 0
Ni
l
Calculemos ahora la inductancia del toroide aplicando la (5.11):
L 
N NB
N2 

 0
i
i
l
(5.13)
expresión que sólo depende del material del medio, en este caso el vacío (o el aire,
cuya permeabilidad magnética es prácticamente la misma), y de la geometría, tal
como dijimos antes.
V A 10
Quiere decir que los tres elementos pasivos de un circuito, R, L y C,
dependen de la geometría y del material. Recalcamos que el material en la resistencia,
es el del conductor mismo; en el capacitor, es el que se encuentra entre las armaduras
y en el inductor, el que está dentro de la bobina.
5.7.- Acoplamiento de inductancias.Veremos primero el acoplamiento serie que se esquematiza en la figura 5.10a.
Es fácil ver que la inductancia
equivalente se obtendrá a partir de:
Vab  Vac  Vcb
L
Fig. 5.10 a
di
di
di
= - L1
- L2
dt
dt
dt
es decir:
L
N
L =
j
(5.14)
j1
donde se ha supuesto que no hay interacción entre las bobinas del tipo que se estudió
en el parágrafo 5.5. Si lo hubiere, es decir que las bobinas interactúan, escribiremos:
L
di
di
di
di
= - L1
- L2
 2M
dt
dt
dt
dt
donde M, inductancia mutua, aparece dos veces debido a que se induce en cada
bobina una tensión por los cambios de corriente en la otra.
Fig. 5.10 b
V A 11
El signo  se debe a que el flujo propio se puede sumar o restar al de las
inductancias de cada bobina. El signo más se utiliza cuando el devanado de las dos
bobinas está hecho de modo que el flujo que atraviesa cada una debido a la corriente
que circula por la otra tiene la misma dirección que el flujo debido a la corriente de la
propia bobina. El signo menos, en cambio, se usa cuando una de las bobinas está con
su devanado invertido, de modo que el flujo que atraviesa cada una debido a la
corriente que circula por la otra tiene sentido opuesto al flujo de la propia bobina. La
figura 5.10b muestra esta situación. Queda entonces:
L  L1  L2  2 M
(5.15)
En el caso del acoplamiento
paralelo (sin interacción) que se
esquematiza en la figura 5.10c,
resultará:
di 1
di 2
di
=
+
dt
dt
dt
y reemplazando por la expresión
(5.10), se tiene:
Fig. 5.10 c
1 N 1
=
L j1 L j
(5.16)
En el caso en que se considere la interacción entre las bobinas, para la
conexión de la figura 5.10c, suponiendo despreciables las resistencias propias de las
bobinas, se puede escribir:
di1
di
M 2
dt
dt
di 2
di1
e  L2
M
dt
dt
e  L1
Si ahora despejamos de este sistema de dos ecuaciones
sumamos, obtendremos:
L1L2  M 2 di
e
L1  L2  2 M dt
V A 12
di1 di 2
y
y las
dt
dt
y la inductancia equivalente de los dos inductores conectados en paralelo resultará:
L1L 2  M 2
L
L1  L 2  2M
donde nuevamente el signo de M dependerá de la forma en que se conecten los
inductores.
5.8.- Energía asociada a una inductancia.Supongamos tener el circuito de la
figura 5.11. En el caso en que se cierra la
llave “a”, la corriente aumenta, y por lo
tanto se cumple que:
V12 = V13 + V32 = Ri + L
di
dt
y la potencia P entregada por la fuente, en
el instante en que la corriente es i, resulta
ser:
Fig. 5.11
P = i V12 = Ri2 + Li
di
dt
donde en el segundo miembro están las potencias consumidas por la resistencia por
efecto Joule, y por la inductancia. Es decir mientras la corriente está aumentando, la
inductancia L, está almacenando energía magnética.
Este proceso concluye cuando la corriente alcanza su máximo valor final
estacionario i, o sea cuando ( di / dt ) = 0. El valor de dicha energía se obtiene
haciendo:
P = Li
di
dt
d U = L i di
y si ahora integramos, obtenemos:
I
1
U=  Lidi = LI2
2
0
V A 13
(5.17)
expresión que es similar a la de la energía almacenada en un capacitor dada por la
(3.5).
Analicemos ahora lo que sucede cuando se abre el interruptor a. La energía
magnética almacenada en el inductor, es devuelta al circuito, desapareciendo el
campo magnético. Esta energía se puede observar en los circuitos porque aparece
como una chispa en los interruptores.
5.9.- Densidad de energía magnética en un inductor.Calcularemos la densidad de energía magnética para el caso de un toroide,
como se ilustra en la figura 5.12. Suponemos que la sección del anillo de radio r es
 =  r2 , que el radio del anillo es R, ( R>>r ) de modo que 2 R = l, longitud del
toroide, y que tiene N vueltas, arrolladas de modo que las espiras están “pegadas”
unas a otras, (y por lo tanto no hay líneas de campo que salgan fuera del toroide).
El medio interior del toroide lo
supondremos
homogéneo,
de
permeabilidad magnética .
En la figura 5.12 se ve que la
corriente i que circula cuando se cierra
la llave a, está alimentada por una fem
V. Hay además una resistencia R1.
Cuando la corriente llega a su valor
estacionario, se ha almacenado un
máximo de energía magnética. Ahora
cortocircuitamos entre 1 y 2. El flujo
magnético, proveniente de la energía
almacenada, tiende a disminuir, pero
aparecerá un flujo inducido que por la
Fig. 5.12
ley de Lenz, tenderá a impedir que
disminuya. Habrá una corriente que circulará por un tiempo, debido a la fem
inducida. Esta fem es:
e = -
d
d(N B)
= dt
dt
Si ahora aplicamos la ley de Ampère sobre el camino l, tendremos H l = N i,
es decir:
Hl
i=
N
El producto (e i) nos dará la potencia puesta en juego en un instante dado:
V A 14
e i =(-N
dB H l
dB
)( ) =- lH
dt N
dt
Si ahora integramos en el tiempo, obtendremos la energía:
t
U =
 e i dt =
o
B

- l H.dB = 
0
B
 H dB
o
donde  es el volumen del toroide. Finalmente:
B
um
U
=
=

 H dB
(5.18)
0
que es la expresión de la densidad de energía magnética almacenada. Téngase en
cuenta que la permeabilidad magnética puede cambiar con los valores de H, por lo
cual se debe hacer la integración teniendo en cuenta esta situación. En el caso en que
sea  = constante, se puede hacer el siguiente cálculo:
B
um
1
=


B dB =
B2
HB
=
2
2
0
y dado que los campos se pueden expresar como vectores, podremos escribir, para
situaciones más complejas:
1  
um = HB
2
(5.19)
que es la expresión
de la densidad de energía magnética almacenada, cuando los

vectores H y B son constantes en todo el volumen . Obsérvese además que es
similar a la expresión (3.6), que daba la densidad de energía eléctrica.

En el caso en que tanto el vector intensidad de campo magnético H , como el
vector inducción magnética B varíen en todo punto del volumen , entonces la
expresión de la energía almacenada en todo el volumen es:
Um =
1  
H  Bd
2


expresión que es similar a la encontrada para el campo eléctrico (3.7).
V A 15
(5.20)
5.10.- El circuito RL.Sea el circuito de la figura 5.13. La llave permite conectar y desconectar
rápidamente la fem V0. Un cambio rápido en la tensión del circuito, será seguido por
un cambio más lento en la corriente del mismo, produciendo un régimen transitorio.
Si la llave está conectada en la
posición 1, la fem V0 está conectada y se
cumple que:
Vac  Vab  Vbc  V0
V0  iR  L
di
dt
(5.21)
V0
L di
i 
R
R dt
dt
di

L / R V0 / R   i
Fig. 5.13
t
V

  ln  0  i   C
L/R
R

(5.22)
y la constante C’ se determina a partir de las condiciones iniciales: en t = 0 es i = 0, es
decir que:
C  ln
V0
R
por lo que llevando a (5.22):
t
V0 / R
 ln
L/R
V0 / R  i
(5.23)
En esta ecuación hacemos I0 = V0/R, valor máximo de la corriente, y L/R = ,
constante de tiempo del circuito (La unidad de  es el segundo). Escribimos entonces:

i  I 0 1  e t / 

(5.24)
que sigue una función exponencial creciente, tal como se ha representado en la figura
5.14a.
V A 16
Fig. 5.14 a
Fig. 5.14 b
Se propone al lector calcular la diferencia de potencial entre los bornes de la
inductancia, en el transitorio.
Supongamos ahora que la corriente se interrumpe, pasando la llave del
circuito de la figura 5.13 a la posición 2. El voltaje es ahora cero y se obtiene:
0 = Vab + Vbc
0  iR  L
0 i
di
dt
(5.25)
di
dt
e integrando:

t
 ln i  C

La constante C’’ es posible obtenerla a partir de las condiciones iniciales: en
t = 0 es i = I0 = V0/R, por lo que:
C   ln

V0
R
t
i
 ln

V0 / R
o sea finalmente:
V A 17
(5.26)
t
i
V0  
e
R
(5.27)
y se puede ver que la corriente decae exponencialmente, cuando la fem V se
desconecta. El gráfico de i se puede ver en la figura 5.14b. Se debe aclarar que la
corriente i se comportará de esta forma siempre que el circuito haya sido conectado al
punto 2.
De las ecuaciones (5.24) y (5.27) resulta claro que los valores finales de las
corrientes se alcanzan en t = . Para toda aplicación práctica ello se toma como 5,
en general.
En la fig. 5.14c se puede ver el comportamiento de las diferentes variables en
este tipo de circuito, de la misma forma que lo hicimos para el circuito RC.
Suponemos que mediante la llave en la posición 1 la tensión suministrada por la
fuente está conectada, y en la posición 2 desconectada. La suma de la tensión Vab
entre los bornes de la resistencia y la tensión Vbc entre los bornes de la inductancia,
debe dar V0, que es la tensión entregada por la fuente, y cero en el caso en que la
llave estuviera en la posición 2. También se muestra la variación de la corriente i en
el circuito.
Fig. 5.14 c
V A 18
5.11.- Oscilaciones LC.Consideremos un circuito formado por un capacitor C y una inductancia L,
como en la fig. 5.15. El capacitor se encuentra inicialmente cargado, es decir la llave
está en la posición 1. La energía almacenada en él es:
1 q2
2 C
La energía inicial almacenada en la inductancia es cero ya que, en ese instante,
i = 0. Cuando se pasa la llave a la posición 2, la fuente no está más conectada y el
capacitor comienza a descargarse a través de la inductancia, es decir, existiendo en el
circuito una corriente eléctrica suministrada por el capacitor. Mientras la carga del
capacitor disminuye, también disminuye la energía almacenada en el campo eléctrico
en el capacitor.
Esta energía es entonces transferida a la
inductancia y se almacena en el campo magnético
que se crea alrededor de ella. Este proceso continua
hasta que el campo eléctrico en el capacitor es cero,
y por lo tanto la energía inicial almacenada en él,
pasó por completo al campo magnético establecido
en la inductancia. Sin embargo en ese instante
(cuando la carga en el capacitor es cero) la corriente
eléctrica no es cero, y esto determina que el
capacitor comience a cargarse nuevamente.
Finalmente la energía regresa al capacitor.
Fig. 5.15
Es decir se alcanza una situación similar a la inicial
(un análisis completo permite concluir que el capacitor queda con igual carga que la
inicial pero en sentido contrario) reiniciándose el proceso.
Este intercambio energético entre el campo eléctrico en el capacitor y el
campo magnético en la inductancia continua indefinidamente, de tal manera que una
vez iniciadas las “oscilaciones LC” no tienen fin. Es importante hacer notar que esto
sólo tiene lugar en el caso de considerar que la resistencia en el circuito es cero, que
constituye una situación ideal.
Cuando la corriente eléctrica en la inductancia es i, la energía almacenada en
ella es:
UL 
1 2
Li
2
y la energía total que existe en ese instante es:
V A 19
U  UC  U L 
1 q2 1 2
 Li
2C 2
Como no hay resistencia en el circuito, no hay efecto Joule y por lo tanto la
dU
energía se conserva, cumpliéndose que:
 0 . De esta manera se verifica:
dt
dU
1 d 2
1 d
q dq
di

q   L  i2  
 Li  0

dt 2C d t
2 dt
C dt
dt
La intensidad de corriente eléctrica y la carga no son variables independientes
ya que se encuentran relacionadas a través de i = dq / dt, por lo tanto:
q
d 2q
i  Li 2  0
C
dt
d 2q q
L 2  0
dt
C
(5.28)
Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden lineal y
homogénea con coeficientes constantes cuya solución es:
q  q 0 cos  0 t   
(5.29)
La intensidad de corriente eléctrica es:
i
dq
 q 00 sen  0t  
dt
y si hacemos que I 0 0q 0 , resulta:
i  I0 sen 0 t   
Si escribimos la (5.28) en la forma:
d 2q
q
0
2 
dt
LC
se puede establecer que la frecuencia de oscilación es:
V A 20
(5.30)
f0 
0
1

2  2  LC
(5.31)
Se propone al lector que a partir de (5.29) y (5.30) verifique que U es
constante para todo t.
5.12.- Oscilaciones RLC.Supongamos ahora que consideramos un circuito LC como el anterior pero
incluyendo la resistencia R en serie con ambos, que representará la posibilidad de
pérdida de energía del sistema, como se aprecia en la fig. 5.16. La energía U no se
conserva, es decir se cumplirá que:
dU
  Ri 2
dt
La ecuación diferencial es:
q
d 2q
i  Li 2   Ri 2
C
dt
que se puede escribir:
d 2 q R dq
q

0
2 
dt
L dt LC
(5.32)
ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
lineal completa que gobierna el fenómeno. La
solución general de esta ecuación permite
reconocer tres tipos de oscilaciones:

cuando R 
4L
es el caso denominado sobreamortiguado;
C

cuando R 
4L
es el caso críticamente amortiguado, y
C

cuando R 
4L
es el caso subamortiguado.
C
Fig. 5.16
Precisamente la solución más interesante resulta ser la también llamada
oscilación amortiguada:
q  q 0 e  t /  cos ' t   
V A 21
(5.33)
donde:

2L
R
(5.34)
y
1 R
1
    20  2
LC  2 L 

2
'
(5.35)
De la (5.35) se desprende que será '   0 si se cumple:
1
0 
es decir

2
1
4L
R 
   o sea R 2 
LC
C
 2L 
éste sería, entonces, el caso para R despreciable.
5.13.- Fuerza atractiva de un imán.Resulta de interés práctico calcular la
fuerza atractiva de un imán. Para ello supongamos
tener el polo N de un imán que atrae una pieza de
hierro de polo opuesto y cuya superficie es , y su
espesor l. En consecuencia, esta pieza se mueve
hacia arriba (figura 5.17) y una distancia que
inicialmente era d1 ahora será d2. Esto requiere un
trabajo:
T = F (d1 - d2) = F.l
(5.36)
Esta energía fue tomada del campo
Fig. 5.17
magnético, y ha cambiado sólo en el volumen
 = .l. La energía de la ecuación de arriba deberá
ser igual a la diferencia de energía antes y después del movimiento a través del
volumen . Usando la ecuación:

B
U   HdB
0
podremos calcular:
V A 22
B
B
0
0
U i  U f  U   H aire .dB   H hierro dB
U 

0

B
0
BdB 

h

B
0
(5.37)
BdB
y usando h=0 rh
 B2 
1 
1 

U 

0 2 
 rh 
y como rh >> 1 podemos escribir:
 2 lB 2
U 
B 
2 0
2 0
(5.38)
ahora bien, según la expresión (5.36):
B2
2 0
(5.39)
2B
F
20
(5.40)
F
y en función de B:
que implica que B debe mantenerse constante en el proceso de atracción, dentro de
las condiciones aquí planteadas, lo que no siempre sucede.
Siempre debe tenerse en cuenta la geometría del imán, es decir observar si la
fuerza de atracción se debe a ambos entrehierros, o bien a uno solo como lo expresa
la fórmula (5.40).
V A 23