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Geometría básica
PENTÁGONOS
XXI Olimpiada Matemática Asturiana
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El problema que se propone a continuación es relativamente sencillo; puede ser apropiado para
alumnos a partir de 2º de ESO. Para su resolución se necesita conocer las siguientes cuestiones:
1. La suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
2.Valor de cada ángulo cuando el polígono es regular.
3. Relación entre el número de lados de un polígono regular y el valor de cada ángulo.
Y lo imprescindible, como siempre, deseo de resolver el problema.
Problema
Ramón tiene piezas de plástico iguales, con la forma de un pentágono regular. Las va disponiendo
en círculo, como en la figura. ¿Cuántas piezas necesita para cerrar el círculo?
Solución:
Los lados más próximos al centro de la circunferencia forman un
polígono regular.
El ángulo interior de ese polígono mide 144º. (En cada vértice se unen
dos ángulos de pentágonos, cada uno de ellos de 108º, con el ángulo del
polígono generado, que debe medir 144º.
Por tanto, la cuestión está en determinar cuántos lados debe tener un
polígono regular para que sus ángulos interiores midan 144º.
Ahora se presentan dos opciones:
1) Deducir con paciencia cuántos deben ser esos lados.
– Triángulo equilátero (3 lados) → sus ángulos miden 60º:
– Cuadrado (4 lados) → sus ángulos miden 90º:
– Pentágono regular (5 lados) → sus ángulos miden 108º:
– Hexágono regular (6 lados) → sus ángulos miden 120º:
– Heptágono regular (7 lados) → sus ángulos miden 128,57º:
– Octógono regular (8 lados) → sus ángulos miden 135º:
– Eneágono regular (9 lados) → sus ángulos miden 140º:
– Decágono regular (10 lados) → sus ángulos miden 144º:
Ya hemos llegado. El polígono buscado debe tener 10 lados.
180º : 3 = 60º.
360º : 4 = 90º.
540º : 5 = 108º
720º : 6 = 120º
900º : 7 = 128,57º
1080º : 8 = 135º
1260º : 9 = 140º
1440º : 10 = 144º
2) Conocer la relación entre el número de lados de un polígono regular y la medida de su ángulo
interior.
180·( n − 2 )
Esta relación es: α =
, siendo n el número de lados del polígono..
n
180·( n − 2 )
En este caso, como α = 144º ⇒ 144=
⇒ 144n= 180n − 360 ⇒ 36n= 360 ⇒ n= 10
n
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José María Martínez Mediano
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Geometría básica
Observación:
La fórmula anterior puede deducirse fácilmente. Basta con volver a la relación dada en el punto 1),
reescribiéndola como sigue:
180º : 3 = 60º.
360º : 4 = 90º.
540º : 5 = 108º
720º : 6 = 120º
…
1080º : 8 = 135º
1260º : 9 = 140º
1440º : 10 = 144º
Suma de los ángulos Número de lados Medida del ángulo
1 · 180º
3
(180 · 1)/3 = 60º
2 · 180º
4
(180 · 2)/4 = 90º
3 · 180º
5
(180 · 3)/ 5 = 108º
4 · 180º
6
(180 · 4)/6 = 120º
…
…
…
(n – 2) ·180
n
180·( n − 2 )
α=
n
De otra forma:
Los lados de los pentágonos que están en contacto deben ser
perpendiculares a la circunferencia. Por tanto su prolongación pasa por
el centro de dicha circunferencia. Midiendo lo que vale cada uno de los
ángulos centrales que se forman se deducirá (dividiendo 360 entre ese
valor) el número de pentágonos necesario.
Cada uno de esos ángulos centrales mide 36º, pues se forman
cuadriláteros con tres ángulos iguales, de 108º cada uno, y un cuarto
ángulo, el central, de 36º grados.
Por tanto, como 360 : 36 = 10, se necesitarán 10 pentágono regulares
para cerrar el círculo.
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José María Martínez Mediano