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4 TEOREMAS SOBRE LAS
TRANSFORMACIONES DE CIRCUITOS
4 TEOREMAS SOBRE LAS TRANSFORMACIONES DE
CIRCUITOS.......................................................................................127
4.1 INTRODUCCIÓN. ...............................................................129
4.2 TEOREMA SOBRE LA COMBINACIÓN EN SERIE DE
ELEMENTOS.................................................................................129
4.3 TEOREMA DE LA SUSTITUCIÓN DE UNA CORRIENTE
POR UNA FUENTE DE CORRIENTE. ........................................131
4.4 TEOREMA SOBRE LA COMBINACIÓN DE ELEMENTOS
EN PARALELO. ............................................................................133
4.5 TEOREMA SOBRE LA SUSTITUCIÓN DE UN VOLTAJE
POR UNA FUENTE DE VOLTAJE..............................................134
4.6 TEOREMA SOBRE EL SECCIONAMIENTO DE
CIRCUITOS. ..................................................................................136
4.7 TEOREMAS GENERALIZADOS DE THEVENIN Y
NORTON........................................................................................138
4.8 TEOREMAS SOBRE SIMETRÍA. ......................................141
4.9 TEOREMA DE LA DUALIDAD.........................................144
4.10 TEOREMA SOBRE EL PASO DE ELEMENTOS A
TRAVÉS DE UN NODO Y EL REPARTO DE ELEMENTOS EN
UNA MALLA.................................................................................147
4.11 EJEMPLOS...........................................................................152
4.11.1 EJEMPLO 1 ...................................................................152
4.11.2 EJEMPLO 2. ..................................................................154
4.12 RESUMEN. ..........................................................................158
4.13 MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA Y MÉTODO
DE LOS VOLTAJES DE NODO. ..................................................159
4.13.1 INTRODUCCIÓN .........................................................159
4.13.2 CONCEPTO ELEMENTAL DE CORRIENTES DE
MALLA .......................................................................................160
4.13.3 ECUACIÓN RESTRINGIDA:.......................................161
4.13.4 MODELO GENERAL DE LA ECUACIÓN PARA
CORRIENTES DE MALLA. ......................................................162
4.13.5 ESCOGENCIA DE LAS MALLAS: .............................163
127
4.13.6 CONCEPTO ELEMENTAL DE LOS VOLTAJES DE
NODO.............................................................................................164
4.13.7MODELO GENERAL DE LAS ECUACIONES DE NODO.
.....................................................................................................166
4.14 EJEMPLOS...........................................................................167
4.14.1 EJEMPLO DEL MÉTODO DE CORRIENTES DE
MALLA. ......................................................................................167
4.14.2 EJEMPLO DEL MÉTODO DE VOLTAJES DE NODO170
128
4.1 INTRODUCCIÓN.
En el capítulo anterior nos dedicamos a estudiar que datos se
requerían para resolver un circuito, entendiendo por
“resolverlo” encontrar las “incógnitas” en función de los
“datos”. Pero resulta que muchos circuitos pueden
transformarse en otros más sencillos, utilizando algunas
técnicas muy generales. Estas técnicas son las que
estudiaremos ahora. Las presentamos como teoremas sólo por
fines didácticos y, como se verá en el desarrollo
correspondiente, las demostraciones consisten simplemente
en constatar que las transformaciones del enunciado no
alteran las ecuaciones de Kirchhoff, ni la información
adicional de las funciones de los elementos conocidos.
Insistimos en que los métodos de estudio de estos temas
deben centrarse en la comprensión del sentido del enunciado
y en su aplicación a circuitos bien simples. En ninguna forma
debe pretenderse que estos teoremas se “aprendan” en forma
diferente de la práctica, es decir, como herramientas de
trabajo. Su estudio riguroso puede quedar para personas que
deseen profundizar la teoría pura de lo circuitos.
4.2 TEOREMA SOBRE LA COMBINACIÓN EN
SERIE DE ELEMENTOS.
Dos elementos en serie pueden combinarse en uno solo, cuya
corriente sea la que posea más información (esté más
definida) y cuyo voltaje corresponda, en información, al
voltaje menos definido.
Figura 4.2.1.Teorema sobre la combinación de elementos en serie.
129
Figura 4.2.2.Teorema sobre la combinación de elementos en serie.
DEMOSTRACIÓN
Para que no cambien las ecuaciones de Kirchhoff, las
corrientes deben ser iguales, y los voltajes se deben sumar
para dar el voltaje total que llevará el elemento final. Por lo
tanto, toda la información que se tenga sobre una de la
corriente pasa a la otra; en cambio, al sumarse los voltajes, lo
que se ignore de uno de ellos, pasa al voltaje resultante.
130
Aunque lo anterior parece incomprensible, obsérvese que
algunos de los casos posibles mostrados en la figura 4.2.2, son
completamente comprensibles y aclaran todo lo dicho. Como
siempre, se utilizan mayúsculas para los datos, y minúsculas
para las incógnitas. Por ejemplo, en el caso 1, tenemos una
corriente conocida y lo demás desconocido; el elemento
resultante tendrá la corriente conocida y el voltaje incógnito.
En el caso 2, se conoce una corriente y un voltaje; elemento
resultante tendrá la corriente conocida, pero el voltaje
seguirá desconocido. El caso 7, ya es conocido, pues se trató
en el capítulo anterior.
4.3 TEOREMA DE LA SUSTITUCIÓN DE UNA
CORRIENTE POR UNA FUENTE DE
CORRIENTE.
Un circuito no se altera (tiene una solución igual), si se
sustituye un conductor que lleva una corriente por una fuente
de corriente de igual valor, pero cuyo voltaje es cero (0).
DEMOSTRACIÓN
Basta recalcar que el procedimiento no altera las ecuaciones
de Kirchhoff de los nodos del conductor (la corriente no
cambia), ni las ecuaciones de malla de las cuales hace parte
el voltaje del conductor (que es nulo).
131
Figura 4.3.1.Teorema sobre la sustitución de una corriente por una fuente de
corriente.
En la figura 4.3.1.a, se ilustra el caso general; en la b, y la c,
se ilustra una combinación de esta técnica con la empleada
en el teorema anterior. En ambos casos b y c, se reemplazan
dos elementos por una fuente de corriente.
132
4.4 TEOREMA SOBRE LA COMBINACIÓN DE
ELEMENTOS EN PARALELO.
Figura 4.4.1.Teorema sobre la combinación de elementos en paralelo.
Figura 4.4.2.Teorema sobre la combinación de elementos en paralelo.
Dos elementos en paralelo pueden combinarse, sin alterar el
circuito, en un sólo elemento cuyo voltaje corresponde al que
posee más información (voltaje más definido) y cuya corriente
corresponda a la corriente de los elementos que esté menos
definida.
133
DEMOSTRACIÓN
Como los voltajes son iguales en la conexión en paralelo la
información que se tenga sobre uno de ellos pasa
inmediatamente al otro. En cambio, como las corrientes se
suman, lo que se ignore de una de ellas pasa a la corriente
total. Se trata del mismo problema ya visto en relación al
circuito en serie. En la figura 4.4.1 ilustramos el caso
general, mientras en la figura 4.4.2 representamos los casos
particulares de mayor concurrencia.
4.5 TEOREMA SOBRE LA SUSTITUCIÓN DE UN
VOLTAJE POR UNA FUENTE DE VOLTAJE.
Se puede colocar una fuente de voltaje entre dos nodos de un
circuito sin alterarlo, si la fuente tiene un voltaje igual al que
existía entre los dos nodos y una corriente de valor cero (0).
DEMOSTRACIÓN
Como en el teorema correspondiente de la fuente de corriente,
basta con probar que no se alteran las ecuaciones de
Kirchhoff. En los nodos no hay cambio en la ecuación de
corrientes, por la condición que establece la corriente como
nula en la fuente añadida. Y aunque se crea una nueva
malla en el circuito, la ecuación correspondiente no es
independiente de las del circuito inicial, pues el voltaje de la
fuente es un valor ya establecido en el circuito. Lo único que
sucede es que se “divide” una ecuación de malla en dos
(Figura 4.5.1). En el caso ilustrado en la figura 4.5.2 la
ecuación:
V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 = 0
134
Figura 4.5.1.Teorema sobre la sustitución de un voltaje por una fuente de voltaje.
Figura 4.5.2.Teorema sobre la sustitución de un voltaje por una fuente de voltaje.
Se divide en las ecuaciones:
V1 + V2 + V3 + V4 = Vab
− V5 − V6 = Vab
Estas últimas son equivalentes completamente a la primera.
Muy interesante resultan los casos particulares mostrados en
la figura 4.5.3, pues son importantísimos para la
simplificación de circuitos.
135
Figura 4.5.3.Teorema sobre la sustitución de un voltaje por una fuente de voltaje.
4.6 TEOREMA SOBRE EL SECCIONAMIENTO DE
CIRCUITOS.
En toda unión de circuitos formada por dos conductores, se
puede seccionar uno de ellos, colocando una fuente de voltaje
igual al voltaje que existía entre los conductores, y cuya
corriente sea la que circulaba por los mismos conductores,
entre los extremos del conductor seccionado.
136
Figura 4.6.1.Teorema sobre el seccionamiento de circuitos.
DEMOSTRACIÓN
Se basa en el teorema anterior y en la comprobación que el
cambio en el circuito no altera las ecuaciones de Kirchhoff. El
proceso se ilustra, paso a paso, en la figura 4.6.1.
Aplicando sucesivamente este teorema, se puede seccionar
cualquier circuito en dos separados, tal como se ilustra en la
secuencia de la figura 4.6.2. El último conductor (Figura
4.6.2.d), se secciona por no llevar ninguna corriente.
137
Figura 4.6.2.Teorema sobre el seccionamiento de circuitos.
4.7 TEOREMAS GENERALIZADOS DE THEVENIN
Y NORTON.
Figura 4.7.1.Teoremas generalizados de Thevenin y Norton.
Estos teoremas llevan el nombre de quienes los propusieron
por primera vez.
Aquí los presentamos en una forma más general que la usual,
basándonos en el teorema anterior. Partamos de un circuito
que se puede dividir en dos circuitos unidos por dos
conductores (Figura 4.7.1.a). Como se vio en el teorema
anterior, este circuito se puede seccionar en dos (Figura
4.7.1.b). Ahora, para solucionar estos circuitos resultantes
deben
solucionarse
las
ecuaciones
de
ambos
138
simultáneamente. Pero entre las muchas posibilidades que
existen, nos interesa la que corresponde a una solución del
tipo:
Vab = función de las fuentes del circuito A + función de la corriente i.
Es decir, a la posibilidad que, mediante las leyes de los
circuitos logremos expresar el voltaje Vab, en esa forma.
Esta solución se puede interpretar como:
Vab = Vab(cuando se hace i = 0) + Vab(cuando se hacen las
fuentes del circuito A iguales a cero, pero circula la
corriente i).
El primer término corresponde al voltaje que aparece entre
los terminales del circuito en circuito abierto (i = 0); y el
segundo, el voltaje entre estos terminales cuando circula la
corriente i y todas las fuentes del circuito quedan anuladas.
La fuente Vab se puede, entonces, representar por una fuente
de voltaje en serie con el circuito A con todas sus fuentes
anuladas (Figura 4.7.2). Este resultado es la base del
teorema de Thevenín, que anunciaremos así: siempre que en
un circuito de dos terminales el voltaje pueda representarse
por una función de las fuentes internas del circuito mas una
función de la corriente por los terminales, tal circuito se
puede representar por una fuente de voltaje, igual al voltaje
entre los terminales en circuito abierto, en serie con el
circuito con sus fuentes anuladas.
139
Figura 4.7.2.Teoremas generalizados de Thevenin y Norton.
El teorema de Norton es exactamente el mismo, pero
refiriéndose a la corriente del circuito. Si se encuentra que la
corriente I en los circuitos seccionados anteriores, se puede
expresar como: i = función de las fuentes del circuito A + función de
Vab
= i (producida por las fuentes con Vab = 0) + i (producida por
Vab con las fuentes del circuito anuladas)
Entonces, la fuente que se usó para seccionar al circuito, se
puede representar por una fuente de corriente cuyo valor es
la corriente que circula por los terminales cuando estos están
en corto, en paralelo con el circuito con sus fuentes anuladas
(ver figura 4.7.3).
140
Estos teoremas son fundamentales en los circuitos lineales,
pero no se aplican exclusivamente a estos, como
generalmente se acepta. Inclusive se aplican también a
porciones lineales de circuitos no lineales.
Figura 4.7.3.Teoremas generalizados de Thevenin y Norton.
4.8 TEOREMAS SOBRE SIMETRÍA.
Estos teoremas resultan muy útiles para simplificar circuitos
que presentan alguna simetría. Sólo veremos dos, que
consideraremos básicos.
Si un circuito presenta simetría respecto a un plano que lo
corta, se puede dividir en dos circuitos completamente
independientes (y que deben resultar
idénticos por la
simetría), seccionando los conductores y elementos cortados
por el plano.
141
Figura 4.8.1.Teoremas sobre simetría.
DEMOSTRACIÓN
Sea (Figura 4.8.1) un circuito con un plano de simetría S
(vista de perfil en la figura). Este plano puede cortar
conductores, elementos y nodos del circuito. Cuando corte
elementos y nodos del circuito se procede a “partir” los
elementos y nodos cortados, tal como se ilustra en la figura
4.8.1. Al final el plano sólo cortará conductores. Al considerar
la corriente por dichos conductores cortados por el planos de
simetría, encontramos que la simetría establece que todo lo
que exista a un lado del plano debe existir y ser idéntico al
otro lado del plano, por lo cual la corriente que entra al
circuito de la derecha (Figura 4.8.1), i, debe se idéntica a su
correspondiente i´, que entra al circuito de la izquierda :
i = i , ( Por simetría )
142
Pero como son corrientes por el mismo conductor:
i = −i′ (Corrientes en sentidos opuestos )
∴ i = −i′ = −i ↔ i + i = 2i = 0
∴i = 0
Se deduce que todas las corrientes por los conductores
cortados por el plano de simetría deben ser cero (0) y pueden
reemplazarse, dichos conductores, por circuitos abiertos. El
proceso se ilustra en la figura 4.8.2. Evidentemente los dos
circuitos resultantes tienen que ser completamente idénticos.
El otro teorema es el recíproco del anterior. En circuitos con
un plano de simetría, los puntos correspondientes se pueden
unir sin cambiar el circuito. Para la demostración considérese
un circuito igual al propuesto, pero con los dos puntos
referidos unidos por un conductor. Al aplicar a este conductor
el argumento del teorema anterior, vemos que por este
conductor no circula corriente y se puede reemplazar por un
circuito abierto, sin modificar la solución del circuito. Se
concluye que el circuito con los nodos unidos ó separados es el
mismo en cuanto a su solución.
Figura 4.8.2.Teoremas sobre simetría.
143
4.9 TEOREMA DE LA DUALIDAD.
A todo el circuito puede hacérsele corresponder otro con las
siguientes correspondencias:
1. A todo nodo del primero y su correspondiente ecuación de
nodo corresponde una malla del otro circuito y su
correspondiente ecuación de malla.
2. A todo malla del primer circuito y a su correspondiente
ecuación de malla, le corresponde un nodo del segundo
circuito y su correspondiente ecuación de nodo.
3. A toda variable de voltaje del primero corresponde una
variable corriente en el segundo.
4. A toda variable corriente del primero corresponde una
variable voltaje en el segundo circuito.
5. A todo elemento del primero de ecuación f(v,i),
corresponde un elemento del segundo circuito de ecuación
f(i,v).
DEMOSTRACIÓN
Se basa en la consideración que dado un circuito cualesquiera
se puede siempre construir su “circuito dual”, como se llama
al que cumple las condiciones del enunciado. En efecto,
aunque un circuito puede ser tridimensional, siempre es
posible tomar uno de sus nodos y “aplanar” todos los
conductores que inciden en él, hasta confinarlos en un plano
(Figura 4.9.1.a). Una vez confinados los conductores en un
plano, se traza una malla de nuevos elementos, uno nuevo
por cada elemento que incide en el nodo, encerrando el nodo
tratado. Establecemos, por convención, la correspondencia en
dirección contraria a la de las agujas del reloj, que es la
usada en trigonometría para los ángulos positivos. En la
figura 4.9.1.b, mostramos, con una flecha que los une, la
correspondencia entre los elementos. Ahora por cada
corriente de los conductores del nodo asignaremos un voltaje
en el elemento correspondiente, utilizando la misma
convención para asignar las polaridades (Figura 4.9.2). Es
decir, giramos la flecha de la corriente en sentido contrario de
las agujas del reloj; con la dirección de la flecha girada
asignaremos el + de voltaje a la punta y el - a la cola de la
144
flecha. Así encontraremos la polaridad de v´1 y de v´2 (Figura
4.9.2)
Figura 4.9.1.Teorema de la dualidad.
De la misma forma asignaremos la variable corriente al
nuevo elemento; tomando el voltaje del elemento antiguo
representándolo con una flecha dirigida al + y haciéndola
girar en la dirección escogida (Figura 4.9.4). Por último si el
elemento antiguo estaba caracterizado por una ecuación:
f(v1,i1) = 0
El elemento nuevo queda caracterizado por una ecuación:
f(i´1,v´1)= 0
Figura 4.9.2.Teorema de la dualidad.
145
Figura 4.9.3.Teorema de la dualidad.
Es decir, por la misma ecuación pero cambiando i1, por v´1 y
v1 por i´1.
Figura 4.9.4.Teorema de la dualidad.
De esta forma la ecuación de corrientes del nodo encerrado
será idéntica a la ecuación de voltajes de la malla resultante:
Ecuación del nodo:
Ecuación de la malla:
- i2
+
- v´2
+
i3
v´3
+
+
i1 =
v´1 =
0
0
Una vez terminado el proceso con un nodo, se suprime éste
con todos sus elementos y se repite el procedimiento con otro
de los nodos (Figura 4, 9, 4). Se toman como base para
146
construir la nueva malla los elementos nuevos que ya fueron
construidos.
Al agotar los nodos del primer circuito, tendremos un nuevo
circuito que cumple enteramente las condiciones del
enunciado. Este y el que le dio origen se llaman “duales”;
tienen las mismas ecuaciones, pero con sus variables
intercambiadas y, por ende, las mismas soluciones. Entonces,
sí sabemos resolver un circuito, sabemos resolver su dual. Por
esta razón es que incluimos este teorema en este grupo
dedicado a técnicas de simplificación de circuitos.
4.10 TEOREMA SOBRE EL PASO DE ELEMENTOS
A TRAVÉS DE UN NODO Y EL REPARTO
DE ELEMENTOS EN UNA MALLA.
ENUNCIADO
Un elemento se puede pasar a través de un nodo sin
modificar la solución de un circuito, convirtiéndose en un
elemento similar en todos los conductores que inciden en el
nodo, excepto en el conductor donde se encontraba
inicialmente, cuyo voltaje sea igual al del elemento inicial y
cuya corriente, sea la corriente inicial de la rama donde el
nuevo elemento queda.
En el sitio de la rama donde estaba el elemento que se “paso”
a través del nodo queda un conductor sin voltaje (un
cortocircuito).
Si la corriente en el elemento que se pasa a través del nodo es
conocida, una de las corrientes desconocidas de las otras
ramas donde quedó el nuevo elemento debe transformarse en:
i x De una rama = I −
i x de las otras ramas
donde quedó el
nuevo elemento
Así se garantiza que siga cumpliéndose la ecuación de nodo.
(Figura 4. 10.1 literal d).
147
Figura 4.10.1.Teorema sobre el paso de elementos a través de un nodo y el reparto
de elementos en una malla.
DEMOSTRACIÓN
El enunciado establece las reglas para que al pasar el
elemento a través del nodo no se cambien las ecuaciones de
malla que involucran a los elementos incidentes en el nodo.
En efecto, al plantear una ecuación de malla no importa
donde está el voltaje del elemento, si antes ó después de un
nodo; lo que interesa es el valor de ese voltaje y su polaridad.
Así se ilustra en la figura 4.10.1.c; donde se muestra como la
ecuación de malla queda igual antes y después de pasar el
elemento de voltaje V2 a través del nodo 2.
En cuanto a la ecuación del nodo, se establece explícitamente
que la transformación la debe respetar.
Ilustremos ahora algunos casos particulares de esta
transformación, llevándola hasta el extremo de hacer
148
desaparecer completamente el conductor donde quedaba el
elemento (Figura 4.10.2).
Figura 4.10.2.Teorema sobre el paso de elementos a través de un nodo y el reparto
de elementos en una malla.
ENUNCIADO
Un elemento puede “repartirse” en varios elementos
similares (similares en cuanto a la función que los define) que
quedan en paralelo con todos los elementos de una de las
mallas que contengan el elemento inicial, sin modificar la
solución del circuito, si la corriente se mantiene igual en
todos los elementos a la corriente del elemento inicial, y si los
voltajes se hacen iguales a los voltajes de los elementos de la
malla.
DEMOSTRACIÓN
Al mantener la corriente igual, no se altera la ecuación de los
nodos en los que se conectan los nuevos elementos, pues la
misma corriente que se inyecta se saca por el otro elemento
149
añadido. Al hacer el “reparto” del elemento desaparece una
ecuación de malla del circuito; para mantenerla, basta tomar
el voltaje del último elemento como el voltaje del elemento
inicial menos el voltaje de los elementos añadidos. Al hacer lo
anterior, se preservan las ecuaciones de Kirchhoff, y el
circuito tendrá la misma solución siempre que se preserve la
función del elemento “repartido”.
Sea una malla como la mostrada en la figura 4.10.3.
“Repartamos” el elemento sombreado (Figura 4.10.3 literal
b). La ecuación de malla nos da:
V = V1 + V 2 + V3 + V 4
Si imaginamos el elemento a “repartir” dividido en cuatro,
cada uno con uno de los voltajes de la malla, vemos que entre
las parejas de nodos ( a, a , ), ( b, b , ) y ( c, c , ) no hay diferencia de
tensión y podemos y podemos unir estos terminales sin
alterar la solución del circuito. Cuando se unen estos pares de
nodos se complete la “repartición” del elemento (Figura
4.10.4)
Figura 4.10.3.Teorema sobre el paso de elementos a través de un nodo y el reparto
de elementos en una malla.
150
Figura 4.10.4.Teorema sobre el paso de elementos a través de un nodo y el reparto
de elementos en una malla.
Figura 4.10.5.Teorema sobre el paso de elementos a través de un nodo y el reparto
de elementos en una malla.
En la figura 4.10.5 ilustramos algunos casos particulares
importantes.
151
4.11 EJEMPLOS.
4.11.1 EJEMPLO 1
Plantear una ecuación diferencial para encontrar ix en el
circuito de la figura 4.11.1.1, usando los teoremas sobre
transformación de circuitos.
Figura 4.11.1.1.Ejemplos
Supóngase que:
ix (0) = Io
SOLUCIÓN
Usando los teoremas 4.2 y 4.4 para simplificar los bloques A
y B respectivamente, nos queda el circuito de la figura
4.11.1.2.
Figura 4.11.1.2.Ejemplos
152
El bloque C se puede simplificar usando el teorema 4.2 y el
bloque D, empleando las equivalencias de la sección 2.7, como
muestra la figura 4.11.1.3.
Figura 4.11.1.3.Ejemplos
El bloque E, puede simplificarse usando el teorema 4.4, como
muestra la figura 4.11.1.4.
Figura 4.11.1.4.Ejemplos
Como hay dos fuentes de voltaje en serie, usamos el teorema
4.2 (ver figura 4.11.1.5)
Figura 4.11.1.5.Ejemplos
153
Z eq = (2 + LD )
Z eq i x = V
(2 + LD)i x = 30
di x
+ 2i x = 30
dt
di x 2
30
+ ix =
dt L
L
L
Esta última es la ecuación diferencial pedida.
4.11.2 EJEMPLO 2.
El mismo problema 4.11.1, usando otros teoremas (Figura
4.11.2.1)
Figura 4.11.2.1.Ejemplos
Usando el teorema 4.10 (paso de elementos a través de un
nodo), ver figura 4.11.2.2.
154
Figura 4.11.2.2.Ejemplos
Usando el teorema 4.4 (combinación de elementos en
paralelo), ver figura 4.11.2.3.
Figura 4.11.2.3.Ejemplos
Usando el teorema 4.2, se simplifican las dos ramas serie de
c-a, como muestra la figura 4.11.2.4.
155
Figura 4.11.2.4.Ejemplos
Empleando nuevamente el teorema 4.10, obtenemos el
circuito de la figura 4.11.2.5.
Figura 4.11.2.5.Ejemplos
El bloque A se simplifica usando el teorema 4.4; el bloque B
se simplifica usando el teorema 4.2, quedando el circuito
como se muestra en la figura 4.11.2.6.
156
Figura 4.11.2.6.Ejemplos
Usando las equivalencias de la sección2.7, para pasar la
fuente de voltaje a una fuente de corriente, obtenemos el
circuito de la figura 4.11.2.7.
Figura 4.11.2.7.Ejemplos
Dos fuentes de corriente en paralelo equivalen a una sola, en
virtud del teorema 4.4, como se muestra en la figura 4.11.2.8.
157
Figura 4.11.2.8.Ejemplos
Usando otra vez las equivalencias vistas en la sección 2.7,
obtenemos el circuito de la figura 4.11.2.9.
Figura 4.11.2.9.Ejemplo
Usando la ley de voltajes en la malla, nos queda la siguiente
ecuación diferencial:
di
L x + i x R = 30
dt
di x 2
30
+ ix =
dt L
L
4.12 RESUMEN.
La primera parte de este capítulo se dedicó a estudiar las
transformaciones de los circuitos que no modifican la solución
de los mismos. Se cuidaba, entonces, de cambiar los circuitos
158
sin alterar las ecuaciones de Kirchhoff y las ecuaciones de los
elementos transformados.
El objetivo en último término es simplificar los circuitos, o
transformarlos en otros más fáciles de estudiar. La
importancia de estas transformaciones se irá poniendo de
manifiesto a medida que profundicemos en la solución de
circuitos; pero podemos adelantar que su utilidad principal se
presenta en el análisis de los circuitos de dos pares de
terminales, de los circuitos con inductancias mutuas y
transformadores, y de los circuitos polifásicos.
En el capítulo precedente habíamos hablado de las corrientes
de malla y de los voltajes de nodo, y vimos como las
ecuaciones planteadas con estas variables cumplían
automáticamente las ecuaciones de nodo y las ecuaciones de
malla respectivamente. Pero no habíamos intentado encarar
la solución completa de un circuito. Eso es lo que haremos a
continuación. Desarrollaremos los métodos conocidos como
“corrientes de malla” y “voltajes de nodo” para plantear las
ecuaciones completas de un circuito y poder hallar,
resolviéndolas, todas las incógnitas de voltaje y corriente de
ese circuito. No se trata, entonces, de simplificar el circuito
sino de resolverlo tal cual. Evidentemente, una comprobación
muy interesante de si un equivalente reemplaza o no a un
circuito más completo es lograr soluciones idénticas con el
circuito completo y con su equivalente, por eso estos los dos
temas, la transformación de circuitos y su solución completa,
se complementan y se incluyeron en el mismo capítulo.
4.13 MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA Y
MÉTODO DE LOS VOLTAJES DE NODO.
4.13.1 INTRODUCCIÓN
Por el “método de corrientes de malla” y el “método de
voltajes de nodo” se conocen dos poderosas herramientas para
159
el planteamiento de las ecuaciones que permiten resolver un
circuito. En este apéndice daremos los fundamentos
operativos de estos métodos.
4.13.2 CONCEPTO ELEMENTAL DE CORRIENTES DE
MALLA
En la figura 4.13.2.1.a se muestra un circuito cuyas
corrientes por los elementos (corrientes de rama) se conocen.
En la figura 4.13.2.1.b se muestra el mismo circuito, y se
observa como las corrientes de rama se pueden representar
por unas corrientes que circulan en “mallas”. La corriente por
una rama será la suma, con el signo adecuado, de las
corrientes de malla que circulan por esa rama. En la figura
4.13.2.1.c tendremos:
Figura 4.13.2.1.Concepto elemental de las corrientes de malla.
i = I1 + I 2 − I 3
Si el voltaje en un elemento se puede especificar como:
v = Zi
al reemplazar la corriente por el elemento en función de las
correspondientes corrientes de malla (asumiendo el elemento
de la figura 1.c), tendremos :
v = Z ( I1 + I 2 − I 3 )
160
De este modo podemos convertir las ecuaciones de malla de
Kirchhoff, en ecuaciones de corriente de malla. Veamos como
funciona ese procedimiento en el circuito de la figura 4.13.2.2
.
Figura 4.13.2.2.Concepto elemental de las corrientes de malla.
Ecuaciones de voltaje de Kirchhoff:
Malla 1:
V1 − Vx = I1 ( Z1 + Z3 ) − I 2 Z3
Malla 2:
Malla 3:
0 = I 2 ( Z2 + Z3 + Z4 ) − I1Z3 + I 3Z4
− Vx + V2 = I 3Z4 + I 2 Z4
(1)
(2)
(3)
4.13.3 ECUACIÓN RESTRINGIDA:
Notemos que en la fuente de corriente podemos plantear:
i = − I1 − I 3
(4)
Ahora, si V1 ,V2 , I , Z1 , Z2 , Z3
y
Z4 son conocidas, tendremos
un sistema de cuatro ecuaciones ((1), (2), (3), (4)) y cuatro
incógnitas ( Vx , I1 , I 2 , I 3 ). Este sistema puede resolverse y con
él, el circuito. Sin embargo, nótese que Vx puede cancelarse
restando las ecuaciones (1) y (3):
161
V1 − Vx + Vx − V2 = I1 ( Z1 + Z3 ) − I 2 Z3 − I 3 Z4 − I 2 Z4
Resolviendo:
V1 − V2 = I1 ( Z1 + Z3 ) − I 2 (Z3 + Z4 ) − I 3Z4
(5)
Las ecuaciones (2), (4) y (5), permitirían encontrar las
corrientes de malla.
4.13.4 MODELO GENERAL DE LA ECUACIÓN PARA
CORRIENTES DE MALLA.
Estas ecuaciones se pueden plantear así:
Suma de voltajes no expresables en función de las corrientes, o
sea de fuentes y voltajes incógnitos como los que se le asignan
a las fuentes de corriente, tomando positivos los que “tienden”
a hacer circular la corriente de malla y negativos los que se
oponen a ella, sumados en toda la malla = a la corriente
de malla de la ecuación multiplicada por la suma de las
impedancias que recorre + la suma de los productos de las
corrientes de malla que recorren las impedancias en el mismo
sentido de la corriente de la malla multiplicadas por la suma
de todas las impedancias recorridas en conjunto - la suma
de los productos de las otras corrientes de malla que recorren
las impedancias comunes en sentido contrario a la corriente
de malla por la suma de esas impedancias.
Además de estas ecuaciones, se plantean la llamadas
“ecuaciones restringidas” en aquellos elementos donde se
conoce la corriente:
Corriente conocida = la suma de las corrientes de malla que
pasan por el elemento de la corriente conocida en su mismo
sentido - la suma de las corrientes de malla que pasan por
ese elemento en sentido opuesto a la corriente conocida.
162
4.13.5 ESCOGENCIA DE LAS MALLAS:
En los circuitos “planares” la escogencia es obvia, se toman
los “huecos” formados por el circuito en el plano; en cambio,
en los no planares se debe proceder a formar un “árbol”. Un
árbol es el conjunto de todos los nodos del circuito (puntos de
unión de los elementos), unidos por las ramas suficientes
para unirlos a todos sin que se forme ni un circuito cerrado
(una malla). En la figura 3 se muestra un árbol para el
circuito que hemos estudiado.
Figura 4.13.5.1.Árbol del circuito.
Cualquier otro elemento que se añade debe formar una
malla. Precisamente, las corrientes de malla se definen
añadiendo las ramas que faltan y haciendo que por cada una
de ellas circule una de las corrientes de malla. El proceso se
ilustra en la figura 4.13.5.1.
Figura 4.13.5.1.Árbol y mallas del circuito.
Como criterio práctico se deben escoger las mallas tan
“pequeñas” como sea posible. Por último, si se desea sólo
tener ecuaciones que contengan las corrientes de malla, y no
163
tener en cuenta los voltajes desconocidos, como los asignados
a las fuentes de corriente, anule esos voltajes desconocidos
sumando ó restando las ecuaciones de malla donde
aparezcan.
4.13.6 CONCEPTO ELEMENTAL DE LOS
VOLTAJES DE NODO.
En la figura 4.13.6.1.a, se muestra un circuito cuyos voltajes
de rama (voltajes en los elementos) se conocen. Y en la figura
4.13.6.1.b, se muestra el mismo circuito, pero ahora a cada
nodo (punto donde se unen los elementos) se le ha asignado
un valor de voltaje con respecto a uno de los nodos, que se
escogió como referencia y al cual se le dio el valor de cero (0)
voltios como voltaje de nodo. Evidentemente, podemos
encontrar el voltaje en cada rama simplemente restando
apropiadamente los voltajes de los nodos extremos de esa
rama. Por ejemplo, para la rama Z2:
Figura 4.13.6.1 Concepto elemental de los voltajes de nodo.
v 2 = V3 − V5 = 5v − 0v = 5v
y para el voltaje en la fuente de corriente :
v6 = V1 − V5 = 3v − 0v = 3v
164
y en Z1 :
v1 = V1 − V2 = 3v − (−5v) = 8v
La corriente por una rama tal que permite la ecuación:
v rama = Zi rama
se pueda expresar en función de los voltajes de nodo de los
nodos extremos de la rama así :
v
V
− Vnodo 2
irama = rama = nodo1
(6)
Z
Z
Empleando las relaciones del tipo de
la ecuación (6),
podemos reescribir las ecuaciones de nodo de Kirchhoff de
modo que queden en función de los voltajes de nodo. Veamos
el ejemplo de la figura 4.13.6.2.
Figura 4.13.6.2.Concepto elemental de los voltajes de nodo, modelo general de
ecuación de nodo.
165
I + ix = i j − ik + ii
∴ I + ix =
(V − V ) − (V
i
j
− Vi ) (Vi − Vl )
+
Z ik
Z il
k
Z ij
Para facilitar la escritura de estas ecuaciones es más
conveniente emplear
“admitancias”, el inverso de las
impedancias:
1
Yij =
Z ij
∴ I + ix = Vi (Yij + Yik + Yil ) − V jYij − Vk Y jk − VlYil
4.13.7MODELO GENERAL DE LAS ECUACIONES DE
NODO.
La suma de las corrientes conocidas y desconocidas no
expresables en función de los voltajes de nodo, tomando
positivas las que entran al nodo y negativas las que salen del
nodo = al voltaje del nodo de la ecuación multiplicado por la
suma de las admitancias que inciden en el nodo - la suma de
los otros voltajes que comparten admitancias con el voltaje del
nodo de la ecuación multiplicados por la suma de las
admitancias compartidas por los dos nodos.
También se deben plantear las “ecuaciones restringidas”, que
se plantean en las ramas de voltaje conocido, simplemente
recordando que el voltaje de una rama es la resta de los
respectivos voltajes de nodo, tomando positivo el voltaje del
nodo del terminal positivo y negativo el voltaje del nodo
correspondiente al terminal negativo. Como en la fuente de
voltaje de la figura 4.13.6.2:
3volt = Vi − Vm
Para lograr unas ecuaciones donde las solas incógnitas sean
los voltajes de nodo, se deben suprimir las variables que
166
corresponden a las corrientes desconocidas,
(corrientes
desconocidas que no se pueden expresar en función de los
voltajes de nodo, como las que asignamos a las fuentes de
voltaje), sumando o restando las ecuaciones que contengan
esas corrientes incógnitas.
4.14 EJEMPLOS
4.14.1 EJEMPLO DEL MÉTODO DE CORRIENTES DE
MALLA.
Figura 4.14.1.1.Ejemplo del método de corrientes de malla.
Como el circuito es planar, las mallas se pueden escoger como
los “espacios” libres en el circuito. Las corrientes de malla se
pueden tomar de modo que circulen en el mismo sentido,
pero
colocaremos una con sentido contrario para más
generalidad. En las fuentes de corriente es común que se
considere desconocido el voltaje (aunque puede darse
perfectamente el caso de conocerse tanto la corriente como el
voltaje); para mostrar esa posibilidad colocamos el voltaje Vx
, en la fuente de corriente. Así, las ecuaciones de malla son:
167
Malla (1) → 10 = 2 + 0.1
d
1
+
dt 0.01
i1 −
1
0.01
1
1
i2 −
0.01
0.01
Malla (3) → 0 − V x = (1 + 2 + 3) i3 + 2 i1 + 3 i 2
Malla (2) → 0 − V x = 4 + 3 +
i 2 + 2 i3
i1 + 3 i3
Ecuación de restricción: 2 = −i2 − i3
Ahora introducimos el concepto de impedancia generalizada:
d
1
1
2 + 0 .1 +
i1 = 2 + 0.1D +
i1 = Z 11i1
dt 0.01
0.01D
Todo el operador que actúa sobre i1, lo llamaremos Z11. De la
misma forma:
1
i2 = Z 12 i 2
2 i3 = Z 13 i3
0.01
4+3+
1
i2 = Z 22 i2
0.01
3i3 = Z 23i3
1
i1 = Z 21 i1
0.01
(1 + 2 + 3)i3 = Z 33i3
2i1 = Z 31i1
3i 2 = Z 32 i2
Las ecuaciones quedan:
10 = Z11i1 − Z12i2 + Z13i3
− V x = Z 22 i2 − Z 21 i1 + Z 23 i3
(1)
(2)
− V x = Z 33 i3 + Z 31 i1 + Z 32 i 2
− 2 = i2 + i3
(3)
(4)
Restando (2) - (3), podemos cancelar Vx de las ecuaciones, de
modo que quedan:
10 = Z 11 i1 − Z 12 i2 + Z 13 i3
(1)´
0 = (Z 22 − Z 32 )i 2 − (Z 21 + Z 31 ) i1 + (Z 23 − Z 33 ) i3
(2)´
− 2 = i2 + i3
(3)´
168
Como de (3)´ podemos despejar i3 − 2 − i2 = i3 , la
reemplazamos en (1)´ y (2)´:
10 = Z 11 i1 − Z 12 i2 + Z 13 (−2 − i 2 )
(1)´´
0 = (Z 22 − Z 32 ) i 2 − (Z 21 + Z 31 ) i1 + (Z 23 − Z 33 )[− 2 − i2 ]
(2)´´
Entonces:
10 + 2 Z 13 = Z 11 i1 − (Z 12 + Z 13 )i 2
2(Z 23 − Z 33 ) = − (Z 21 + Z 31 ) i1 + (Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 )i2
De (1)´´
i2 =
(1)´´
(2)´´
Z 11 i1 − 10 − 2Z 13 −
( Z 12 + Z 13 )
Reemplazamos en (2)´´:
2(Z 23 − Z 33 ) = − (Z 21 + Z 31 ) i1 + (Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 )
2(Z 23 − Z 33 ) = (− Z 21 − Z 31 ) +
Z 11 i1 − 10 − 2Z 13
( Z 12 + Z 13 )
(Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 )Z11
Z 12 + Z 13
i1 −
( Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 )(10 + 2 Z 13 )
( Z 12 + Z 13
∴ i1 =
2( Z 23 − Z 33 )( Z 12 + Z 13 ) + ( Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 )(10 + Z 13 )
( Z 22 − Z 32 − Z 23 + Z 33 ) Z 11 − ( Z 21 + Z 32 )( Z 12 + Z 13 )
169
4.14.2 EJEMPLO DEL MÉTODO DE VOLTAJES DE
NODO
Figura 4.15.2.1.Ejemplo del método de voltajes de nodo.
Nodo (1) → ix = V1
Nodo (2) → −2 = V2
Nodo (3) → 2 = V3
Nodo (4) → 0 = V4
1
1
− V2
3
3
1
1
1
+
− V1
d
3
3
1
dt
1
1
− V4
d
d
2
2
dt
dt
1
1
1
+
− V3
d
d
2
2
2
dt
dt
Ecuación de restricción: V1 = 10 voltios
Como ix sólo aparece en la primera ecuación, basta con no
considerar esta ecuación para cancelar esa incógnita. En
efecto, si en un sistema de ecuaciones simultáneas una de
ellas contiene una incógnita que no tienen las demás esa
ecuación es independiente de las demás ecuaciones y estas se
pueden resolver por separado. Al final, después de resolver el
170
sistema formado por el resto de las ecuaciones, puede
utilizarse esta ecuación para hallar la incógnita que restaba.
Las ecuaciones serán:
− 2 = V2Y22 − V1Y21
(1)´
2 = V3Y33 − V4Y34
(2)´
0 = V4Y44 − V3Y43
(3)´
10 = V1
(4)´
La solución será:
V1 = 10 voltios
V2 =
V3 =
10Y21 − 2
Y22
Y44
V4
Y43
Y34 V4 = − 2 + Y33V3 = − 2 + Y33 (
Y44
V4 )
Y43
∴ V4 =
2Y43
Y44Y33 − Y34Y43
∴ V3 =
Y44
Y
2Y43
Y
2
V4 = 44
= 44
Y43
Y43 (Y44Y33 − Y34Y43 )
1 (Y44Y33 − Y34Y43 )
Reemplazado los valores de las admitancias:
171
− 2 + 10
V2 =
1
3
1 1
+
3 D
10
−2+
4
3 =
V2 =
D+3
D+3
3D
D
4D
∴ V2 =
D+3
Esta solución se interpreta así:
4D
∴ V2 =
D+3
( D + 3) V2 = D 4
dV2
d4
+ 3V 2 =
=0
dt
dt
La solución de esa ecuación diferencial es la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS: ver apéndice B.
172