Download teoremas fundamentales de circuitos eléctricos josé ricardo gallego

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
JOSÉ RICARDO GALLEGO VÁSQUEZ
COD. 10032068
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA,
FÍSICA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
PEREIRA
2008
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
JOSÉ RICARDO GALLEGO VÁSQUEZ
COD. 10032068
Monografía
Director
M. Sc. ÁLVARO ÁNGEL OROZCO GUTIÉRREZ
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA,
FÍSICA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
PEREIRA
2008
4
Nota de aceptación:
Firma del presidente del jurado
Firma del jurado
Firma del jurado
Pereira, noviembre del 2008
5
AGRADECIMIENTOS
Hay personas de una estatura tal que trascienden los espacios y la historia de los
que comparten a su alrededor, esas personas son escasas y por ende muy
valiosas, es por eso que mis más sinceros agradecimientos y mí mas infinita
gratitud es para el ingeniero Jorge Eduardo Calle Trujillo; quien con su
colaboración, dedicación y esmero hizo posible la realización de este proyecto.
6
CONTENIDO
pág.
INTRODUCCIÓN
….………………………………………………………………
13
1. GENERALIDADES …………………………………………………………….
17
1.1 ¿Qué es la teoría de circuitos eléctricos? ………………………………….
17
1.2 ¿Qué es un circuito eléctrico? ………………………………………………
17
1.3 ¿Cómo se describe un circuito eléctrico? …………………………………
18
1.4 Teoremas (definición) ………………………………………………………..
18
1.5 ¿Por qué usar los teoremas para resolver los circuitos eléctricos? …….
21
2. LOS TEOREMAS BÁSICOS …………………………………………………
23
2.1 Teorema de sustitución ……………………………………………………...
23
2.1.1 Enunciado …………………………………………………………………..
24
2.1.2 Demostración ………………………………………………………………
24
2.1.3 Ejemplo de aplicación ……………………………………………………..
25
2.1.4 Ejercicios resueltos ………………………………………………………..
31
2.1.5 Ejercicios propuestos ……………………………………………………..
38
7
2.2 Teorema de superposición …………………………………………………
40
2.2.1 Enunciado ………………………………………………………………….
40
2.2.2 Por qué no se requiere de una demostración ………………………….
41
2.2.3 Ejemplo de aplicación ………………………………………………........
42
2.2.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………….
49
2.2.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………….
61
2.3 Teorema de Thèvenin ………………………………………………………
63
2.3.1 Enunciado …………………………………………………………………
63
2.3.2 Demostración ……………………………………………………………..
64
2.3.2.1 Teorema unificado de Thévenin ………………………………………
65
2.3.3 Ejemplo de aplicación ……………………………………………………
68
2.3.4 Ejercicios resueltos ………………………………………………………
76
2.3.5 Ejercicios propuestos ……………………………………………………
89
2.4 Teorema de Norton …………………………………………………………
94
2.4.1 Enunciado …………………………………………………………………
95
2.4.2 Demostración …………………………………………………………….
95
2.4.3 Ejemplo de aplicación ……………………………………………………
97
2.4.4 Ejercicios resueltos ………………………………………………………
99
2.4.5 Ejercicios propuestos ……………………………………………………
105
8
2.5 Teorema de reciprocidad ………………………………………………..
110
2.5.1 El principio de reciprocidad …………………………………………...
110
2.5.2 El teorema como una consecuencia del principio ………………….
111
2.5.3 Enunciado ………………………………………………………………
112
2.5.4 Demostración …………………………………………………………..
113
2.5.5 Ejemplo de aplicación …………………………………………………
117
2.5.6 Ejercicios resueltos ……………………………………………………
119
2.5.7 Ejercicios propuestos …………………………………………………
126
3. OTROS TEOREMAS …………………………………………………….
131
3.1 Teoremas de Tellegen I y II ……………………………………………
131
3.1.1 Enunciados …………………………………………………………….
131
3.1.2 Demostración ………………………………………………………….
132
3.1.3 Ejemplo de aplicación ………………………………………………..
136
3.1.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………
143
3.1.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………
151
3.2 Teorema de Millman …………………………………………………….
153
3.2.1 Enunciado ………………………………………………………………
153
3.2.2 Demostración ………………………………………………………….
154
9
3.2.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………
156
3.2.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………
158
3.2.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………
161
3.3 Teorema de Kennelly (Rosen) …………………………………………
163
3.3.1 Enunciado ………………………………………………………………
164
3.3.2 Demostración …………………………………………………………..
165
3.3.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………
170
3.3.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………
172
3.3.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………
179
3.4 Teorema de máxima transferencia de potencia ……………………..
180
3.4.1 Enunciado ………………………………………………………………
181
3.4.2 Demostración …………………………………………………………..
181
3.4.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………
184
3.4.4 Ejercicios resueltos …………………………………………………….
187
3.4.5 Ejercicios propuestos ………………………………………………….
192
3.5 Teorema de Miller …………………………………………………………
194
3.5.1 Enunciado ……………………………………………………………….
194
3.5.2 Demostración ……………………………………………………………
195
3.5.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………..
199
10
3.5.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………..
201
3.5.5 Ejercicios propuestos ………………………………………………….
206
3.6 Teorema de compensación ………………………………………………
207
3.6.1 Enunciado ………………………………………………………………..
207
3.6.2 Demostración ……………………………………………………………
208
3.6.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………..
210
3.6.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………...
211
3.6.5 Ejercicios propuestos ……………………………………………………
217
3.7 Teorema de bisección de Bartlett ……………………………………….
221
3.7.1 Enunciado ……………………………………………………………….
222
3.7.2 Demostración ……………………………………………………………
223
3.7.3 Ejemplo de aplicación ………………………………………………….
226
3.7.4 Ejercicio resuelto ……………………………………………………….
229
3.7.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………..
231
4. CONCLUSIONES ……………………………………………………………
235
BIBLIOGRAFÍA
237
ANEXOS
……………………………………………………………
Biografías ……………………………………………………………
11
241
RESUMEN
Este documento se propone dar a conocer las aplicaciones de los diversos
teoremas que se emplean en la teoría de circuitos eléctricos, para así desarrollar
una solución más rápida en el momento de hallar la respuesta del circuito. De esta
forma con la explicación previa de cada teorema se llevará a cabo el
entendimiento y posterior desarrollo de cada uno de estos en el momento que este
se pueda y se deba aplicar.
12
INTRODUCCIÓN
Este trabajo pretende establecer un manual de fácil consulta acerca de los más
conocidos y utilizados teoremas de los circuitos eléctricos.
Para ello se aclararán, primero, conceptos de ¿Qué es la teoría de los circuitos
eléctricos?, ¿Qué es un circuito eléctrico?, ¿Cómo se describe un circuito
eléctrico?, ¿Qué es un teorema1? y ¿Cómo se usan los teoremas para describir
rápidamente los circuitos eléctricos?
Se presentarán luego uno a uno especificando en qué tipo de circuitos se pueden
usar, cómo se aplican (ejercicios y problemas resueltos) y se propondrán algunos
para la cabal comprensión. En lo posible los problemas cubrirán circuitos en el
dominio del tiempo, en términos de la transformada de Laplace y en régimen
permanente con excitación sinusoidal.
En la literatura existente los teoremas se enuncian, demuestran y usan cuando se
requieren, es decir, aparecen de repente, como una forma de salir de una
dificultad en el proceso del análisis de los circuitos eléctricos, es por esto que su
posterior aplicación, es difícil. Se debe buscar dentro de la literatura en extenso. Si
se hubiera planeado el hacer una presentación sistematizada de todos ellos,
bastaría buscar el apartado de teoremas dentro del conjunto y aplicarlo al caso
particular. Algo así como la forma en que se enseña en la Universidad la teoría de
circuitos eléctricos.
Es posible, pero no se hace así, explicar el funcionamiento de los diferentes
fenómenos físicos asociados con la carga eléctrica y su movimiento estableciendo
el modelo adecuado para su solución (circuito eléctrico) y detenerse luego a
explicar un método para resolver las ecuaciones que resultan (solucionar los
1
Para entender qué es un teorema se transcribirá un texto del libro MAGIA Y BELLEZA DE LAS
MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA del señor IVÁN OBREGÓN el cual está escrito en
primera persona, se respetará la redacción del original
13
circuitos eléctricos que aparecen en este caso particular). Lo mismo se haría con
todos los demás fenómenos. Es decir, se iniciaría explicando que fenómeno o
fenómenos físicos se asocian con una máquina eléctrica, con la generación de la
energía eléctrica, con su transmisión, con su uso, etc. y en cada uno de estos
casos se enseñaría cómo resolver el correspondiente circuito equivalente, tantas
veces cuantas sea necesario.
Más fácil, si se enseña a resolver, de forma genérica, los circuitos eléctricos en
general, de todo tipo. Posteriormente se explica, en cada asignatura, que
fenómeno o fenómenos se estudian,
se presenta el modelo correspondiente
(circuito equivalente) y se aplican los conocimientos adquiridos previamente para
resolverlo y continuar con el estudio de los resultados obtenidos.
Con los teoremas ocurre lo primero, cuando lo ideal sería adelantar un estudio de
ellos, en general, habilitando a quien se inicia en el estudio de los fenómenos
eléctricos y magnéticos para su posterior uso, de manera rápida, en cada caso.
Se precisarán, enunciarán y demostrarán los principales teoremas de circuitos, se
hará explícito su significado y su alcance dentro del rango válido para ello.
Los teoremas son de gran utilidad en las investigaciones que se hacen dentro del
campo de la ingeniería eléctrica, como por ejemplo el Teorema de Thévenin en el
análisis de los sistemas eléctricos de potencia.
Para cada uno de los teoremas que se mencionan más abajo, hay una forma de
entenderlos, analizarlos, comprenderlos y aplicarlos debidamente sistematizados:
Enunciado, demostración, ejemplo de aplicación, ejercicios resueltos y ejercicios
propuestos.
Los teoremas que se desarrollarán son: Teorema de sustitución, Teorema de
superposición, Teorema de Thévenin, Teorema de Norton, Principio de
reciprocidad, Teorema de reciprocidad, Teoremas de Tellegen I y II, Teorema de
Millman, Teorema de Rosen (Kennelly), Teorema de la máxima transferencia de
14
potencia, Teorema de Miller, Teorema de compensación y el Teorema de
bisección de Bartlett.
Se recopilará toda la información disponible y se realizará un documento de fácil
consulta y entendimiento que redundará en el beneficio de la academia y será una
herramienta muy útil en el análisis de los sistemas eléctricos de potencia.
15
16
1. GENERALIDADES
1.1 ¿Qué es la teoría de circuitos eléctricos?
El circuito eléctrico es uno de los modelos empleados para estudiar los fenómenos
físicos asociados con la carga eléctrica y con su movimiento. Es a su vez una
aproximación al otro modelo, la teoría electromagnética, que al basarse en el
estudio de los campos eléctrico y magnético, introduce funciones del tiempo y la
posición.
Esta dependencia del tiempo y la posición (x, y, z en coordenadas rectangulares;
r, z y ߠ en cilíndricas; etc.) hace que el manejo matemático sea pesado y exigente
en cuanto a su solución; es cierto que sus resultados son más exactos y que a
través de este tipo de análisis se logran soluciones que están cada vez más
cercanas a lo que realmente ocurre con los fenómenos estudiados, pero las
aproximaciones que se hacen para llegar a la teoría de los circuitos eléctricos
facilitan notablemente el procedimiento al eliminar la posición, y generan
afortunadamente resultados bastante precisos.
1.2 ¿Qué es un circuito eléctrico?
Un circuito eléctrico es la interconexión arbitraria de puertas que contienen al
menos una trayectoria cerrada o una que eventualmente se puede cerrar.
Una puerta es el resultado de concentrar los fenómenos de almacenamiento de
energía en los campos eléctrico y magnético, conversión de energía eléctrica en
calor, conversión de cualquier tipo de energía en energía eléctrica y la
transferencia de energía de un lugar a otro dentro del dispositivo o a su inmediata
vecindad mediante un campo magnético, entre otros.
17
Al concentrar los fenómenos la posición pierde todo interés, desaparecen las
variables que lo definen en dos o tres dimensiones.
1.3 ¿Cómo se describe un circuito eléctrico?
Para describir un circuito eléctrico se han empleado tradicionalmente los voltajes
de nodo y las corrientes de malla, la literatura está llena de ejercicios y
explicaciones de ambos métodos, pero el desarrollo en la sistematización de los
procesos y la computación han generado procedimientos lógicos basados en la
topología.
Aparecen así en la teoría de circuitos conceptos como NODO, GRÁFICO, ÁRBOL,
RAMA, ENLACE, etc. y procedimientos como la descripción de un circuito
arbitrario usando como incógnitas las corrientes de enlace o los voltajes de rama.
Estos dos últimos, unidos a los de mallas y nodos, permiten resolver de forma
sistemática los diferentes circuitos eléctricos.
Este trabajo empleará, al desarrollar los ejercicios, uno u otro, procurando un
equilibrio entre ellos.
1.4 Teoremas (definición)
Para aclarar los términos de teorema, axioma, postulado, demostración, etc. se
transcribe el No 1.01 y el No 1.02 del libro MAGIA Y BELLEZA DE LAS
MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA del señor IVÁN OBREGÓN 2, dice el
ingeniero Obregón:
“Veamos primero unas cuantas definiciones imprescindibles:
2
IVÁN OBREGÓN (Medellín, 1937) es ingeniero, matemático, actuario e investigador operacional. Ha sido
profesor en varias universidades colombianas.
18
Teorema: es una afirmación que debe ser demostrada.
Axioma: es una afirmación que está tan en la base de una ciencia, que
se parte de ella, aceptándola como cierta, sin demostración alguna.
Postulado: es casi sinónimo de axioma. Para nosotros serán
sinónimos.
Definición: es una descripción de un concepto, que incluya todo lo que
se quiere incluir, pero sólo eso.
Demostración: es la serie de pasos mediante los cuales se llega a
establecer la verdad de un teorema. Los matemáticos son muy
exigentes en cuanto que una demostración sólo puede invocar:
axiomas, postulados, definiciones, u otros teoremas previamente
demostrados.
Corolario: es una conclusión que se sigue inmediatamente de un
teorema o definición y, por lo tanto, no requiere demostración, o basta
una demostración mínima.
Lema: es un teorema auxiliar que se enuncia y demuestra, sólo como
preparación para la demostración de otro teorema.
¿CÓMO SE DEMUESTRA Y CÓMO NO SE DEMUESTRA UN
TEOREMA?
Miremos éste (tomado de la llamada Teoría de los Números):
“La suma de dos números impares da un número par.”
Naturalmente este teorema estaría precedido de definiciones: ¿qué es
un número par?, ¿qué es un número impar?. La siguiente es una
supuesta demostración: (3+5) da 8 que es par; (3+7) da 10 que es par;
(5+7) da 12 que es par…
19
La anterior no es una demostración; a lo sumo podemos llamarla una
verificación, pues ¿quién garantiza que (1.235 + 5.679) dé un número
par?
Una demostración debe dejar garantizada su verdad, más allá de
cualquier ejemplo en particular.
Existen las llamadas demostraciones directas, en las cuales se
construye una serie de pasos, que a partir de axiomas, definiciones o
teoremas anteriores, llevan finalmente a concluir la verdad del teorema
en cuestión. Existen otras llamadas demostraciones por reducción al
absurdo, en las cuales se empieza por suponer que lo que se quiere
demostrar es falso; a partir de esa suposición se construyen
conclusiones que de ellas se derivan: si se llega a alguna que
contradice la suposición original o contradice algún teorema ya
demostrado, o alguna definición, se concluye que la suposición era
falsa y por lo tanto el teorema es verdadero.
Voy a darles a continuación dos demostraciones del teorema: “la suma
de dos impares da par”. Supongo que está definido lo que es una suma
y lo que es una multiplicación, y que están demostradas todas las
propiedades que deben recordar de sus primeros años de bachillerato.
Definiciones previas: número par es aquel que resulta de multiplicar a
algún otro número por 2; los demás se llaman números impares.
Teorema previo (que supondremos ya demostrado): todo número impar
es igual a 1 más algún número par (incluyendo el cero como par).
Demostración directa.
Paso 1: Sean m y n dos números impares. Entonces, por el teorema
anterior,
20
݉ ൌ ݇ ൈ ʹ ൅ ͳǢ ݊ ൌ ‫ ݎ‬ൈ ʹ ൅ ͳ donde k y r son otros números.
Paso 2: ݉ ൅ ݊ ൌ ݇ ൈ ʹ ൅ ͳ ൅ ‫ ݎ‬ൈ ʹ ൅ ͳ que por propiedades de la suma
y de la multiplicación es igual a ሺ݇ ൅ ‫ݎ‬ሻ ൈ ʹ ൅ ͳ ൅ ͳ ൌ ሺ݇ ൅ ‫ݎ‬ሻ ൈ ʹ ൅ ʹ ൌ
ሺ݇ ൅ ‫ ݎ‬൅ ͳሻ ൈ ʹ.
Paso 3: pero ݇ ൅ ‫ ݎ‬൅ ͳ es otro número, llamémoslo s: entonces
݉ ൅ ݊ ൌ ‫ ݏ‬ൈ ʹ. Por lo tanto, ݉ ൅ ݊ es par.
Demostración por reducción al absurdo.
Paso 1: Supongamos que ݉ ൅ ݊ es impar.
Paso 2: Repitiendo los pasos 1 a 3 de la demostración directa,
llegamos a que ݉ ൅ ݊ ൌ ‫ ݏ‬ൈ ʹ, lo cual implicaría que un número impar
es igual a un número par, contradiciendo las definiciones de par e
impar. Por lo tanto, la suposición es falsa y el teorema queda
demostrado. ” 3
1.5 ¿Por qué usar los teoremas para resolver los circuitos eléctricos?
Puesto que un circuito eléctrico se resuelve empleando las ecuaciones primitivas
de cada uno de los elementos pasivos que lo conforman, las ecuaciones de las
fuentes y las ecuaciones de red (primera y segunda ley de Kirchhoff); su solución
se hará más corta si el número de ellas se reduce, Teorema de Thévenin, o se
sistematiza el procedimiento, Teorema de Millman, para lograr el resultado más
fácil.
Lo anterior llevó a enunciar cada vez un mayor número de teoremas que en la
literatura se encuentran dispersos y algunas veces con enunciados difíciles de
comprender.
3
IVÁN OBREGÓN,”MAGIA Y BELLEZA DE LAS MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA”, págs. 31-34
21
Es por esto que una sistematización y aclaración de los enunciados y usos es
imprescindible para quienes se iniciaron en el campo de la electricidad,
procurando que el tema sea tratado de tal forma que el iniciado pueda usarlo
adecuadamente.
22
2. LOS TEOREMAS BÁSICOS
Se presentan algunos teoremas, los más difundidos y empleados de la teoría de
circuitos. Para cada uno de ellos se da el enunciado (resultado de la adecuación
de los que aparecen en la bibliografía) se explica en qué casos y a qué tipo de
circuitos se aplica, sus ventajas, la demostración y al menos un ejemplo de
aplicación. Se resuelven algunos ejemplos típicos y se proponen otros para el
cabal entendimiento.
2.1 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN
Sus aplicaciones se dan especialmente en la investigación asociada con los
circuitos eléctricos. Se usa bastante en las demostraciones de otros teoremas y en
el análisis de los sistemas de potencia.
Se aplica a cualquier circuito sin limitaciones, lineal o no, variante o invariante con
el tiempo, bilateral o no, cuyo estado energético inicial sea nulo o no. Permite
incluso, convertir un circuito no lineal por la presencia de un solo elemento no
lineal en uno lineal, al sustituirlo por una fuente de corriente o voltaje.
Este teorema es de gran utilidad cuando se analizan circuitos complejos formados
por diversas redes pasivas, puesto que permite simplificar el esquema inicial del
circuito, el uso más común de este teorema es para reemplazar un elemento de
impedancia4 por una fuente de corriente o voltaje, y viceversa.
4
Se llamará elemento tipo impedancia a una resistencia, una inductancia, una capacitancia o cualquier
interconexión de ellos.
23
2.1.1 ENUNCIADO
“Si el n-ésimo elemento de un circuito de una red arbitraria (Figura 1a) no está
mutuamente acoplado, es decir, no es una fuente dependiente ni un inductor
acoplado, se puede reemplazar por una fuente independiente de voltaje ݁‫ ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ
‫ ݊ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ (Figura 1d) igual al que se produce a través de él en el circuito original,
siempre y cuando ambos circuitos tengan solución única. De la misma forma, si a
través del elemento en consideración circula una corriente ݅݊ ሺ‫ݐ‬ሻ se puede sustituir
por una fuente independiente de corriente ݅‫ ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݅݊ ሺ‫ݐ‬ሻ (Figura 2d).” 5
Si en vez de reemplazar un elemento del circuito se sustituye un elemento del
gráfico que no contenga fuentes dependientes, ni inductores acoplados, el
teorema sigue siendo válido.
2.1.2 DEMOSTRACIÓN
Figura 1. Caso de la fuente de voltaje
5
Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS”, 1987.
24
Figura 2. Caso de la fuente de corriente
En las figuras 1 y 2 se puede ver paso a paso la justificación del teorema, se
observa que cuando se conectan los nodos b y c en la figura 1c no circula
corriente a través de la fuente, se unen dos nodos a igual potencial, y además por
el elemento continúa circulando la misma corriente que en el circuito original,
puesto que el voltaje entre sus bornes sigue siendo ‫ ݊ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݁‫ ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ.El n-ésimo
elemento en paralelo con una fuente independiente de voltaje (figura 1c) se
convierte en un elemento redundante6 y por lo tanto se puede retirar del circuito.
De igual forma el voltaje a través de la fuente de independiente de corriente en
cortocircuito (figura 2b) es nulo, la fuente opera en vacío, y el elemento en serie
con esta fuente es también redundante.
2.1.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
En términos de la transformada de Laplace.
6
Un elemento redundante es cualquiera que está conectado en paralelo con una fuente de voltaje o en
serie con una fuente de corriente, dependiente o independiente.
25
Determinar ܸܾܽ ሺ‫ݏ‬ሻen el circuito1 de la figura 3 e ‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻen ambos. El valor de ܸሺ‫ݏ‬ሻ
es el obtenido ሾܸܾܽ ሺ‫ݏ‬ሻሿ.
Figura 3. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
Para el circuito 1: Se obtienen las ecuaciones aplicando corrientes de enlace
26
Figura 4. Gráfico orientado para el circuito 1
El unir los nodos inferiores para formar uno solo no altera el resultado y garantiza
que el gráfico está conectado.
Las incógnitas son: ‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ e ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ
Las ecuaciones primitivas son:
൤
ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ
ܵ
൨ൌቂ
ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻ
ܵ
ܸͶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܵ ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
൨
ቃ൤
ʹܵ ‫ ͵ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ͳ
‫ ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ܵ Ͷ
ܸͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ
La ecuación de la fuente de voltaje es:
ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ͳ
ܵ
Aplicando sumatorio de voltajes a los anillos formados por los enlaces 4 y 5 se
tiene:
ܸͶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳሺͳሻ
ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳሺʹሻ
27
Reemplazando las ecuaciones primitivas en (1) y (2):
ͳ
ͳ
൬ ൰ ‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ሾܵ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܵ‫ ͵ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻሿ ൌ ܵ
ܵ
ሾܵ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ʹܵ‫ ͵ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻሿ ൅ ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ
Expresando ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ e ‫ ͵ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ en función de las corrientes de enlace:
Aplicando sumatorio de corrientes a los cortes 1 y 2 y despejando:
‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ
‫ ͵ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ
Reemplazando en 3:
ͳ
ͳ
൬ ൰ ‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܵ‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܵ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܵ
ܵ
ܵ‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ʹܵ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ
ܸܾܽ ሺ‫ݏ‬ሻ se obtendrá del hecho de que :
ܸܾܽ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ െܸͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ െሺͳሻ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ
Despejando ‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ:
‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ͳൗ െ ܵ‫ ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ͳ
ܵʹ
ͷ
ܵ
ൌ ʹ
െ
‫ ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ͳൗ ൅ ܵ
ܵ ൅ ͳ ܵʹ ൅ ͳ ͷ
ܵ
Reemplazando la ecuación anterior para obtener el valor de ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ:
ܵʹ
ͳ
െ ʹ
‫ ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ቉ ൅ ሺͳ ൅ ʹܵሻ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ ֜
ܵቈ ʹ
ܵ ൅ͳ ܵ ൅ͳ ͷ
28
ሺ͵ሻ
‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
De donde:
ܵ͵
ܵ
ܵʹ ൅ ͳ
ܵʹ ൅ ͳ
െ ሺͳ ൅ ʹܵሻ
ൌ
ܵ͵
ܸܾܽ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܵ
ܵ
ൌ
ʹ
͵
ʹ
െ ሺͳ ൅ ʹܵሻሺܵ ൅ ͳሻ െܵ െ ܵ െ ʹܵ െ ͳ
ܵ
ܵ ͵ ൅ ܵ ʹ ൅ ʹܵ ൅ ͳ
La impedancia deͳȳ se reemplaza por la fuente ܸܾܽ ሺ‫ݏ‬ሻ, como se ve en el circuito
siguiente:
Figura 5. Circuito 2 con el valor de V(s) calculado
Ahora se calcula la corriente ‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ para ambos circuitos:
Circuito 1:
Despejando ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ de la siguiente ecuación: ܵ‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ʹܵ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ ֜
‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ െ
ܵ
‫ ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ሺͳ ൅ ʹܵሻ Ͷ
29
Reemplazando en la ecuación que se presenta a continuación:
‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ͳ
ܵ
ͳ
ܵ
ͳ
ൌ ൬ ൅ ܵ൰ ‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܵ ൤െ
‫ ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ൨
ܵ
ሺͳ ൅ ʹܵሻ Ͷ
ܵ
ܵʹ
ͳ
ܵ ൅ ܵ െ ሺͳ ൅ ʹܵሻ
Ǣ ‘”‰ƒ‹œƒ†‘‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܵ͵
ʹܵ ൅ ͳ
൅ ܵ ʹ ൅ ʹܵ ൅ ͳ
Circuito 2:
Figura 6. Corrientes de malla aplicadas al circuito 2
Tomando sumatorio de voltajes en las mallas:
ͳ
ͳ
ൌ ൬ ൅ ܵ൰ ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܵ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻሺͶሻ
ܵ
ܵ
ܵ͵
൅
ܵʹ
ܵ
ൌ ܵ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ʹܵ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻሺͷሻ
൅ ʹܵ ൅ ͳ
Dividiendo por S y despejando ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ de la ecuación 5:
‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ͳ
ͳ
൬ ͵
െ ‫ ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ൰
ʹ
ʹ ܵ ൅ ܵ ൅ ʹܵ ൅ ͳ ͳ
30
Reemplazando ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ en la ecuación 4 y despejando ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ:
Organizando:
‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
ൌ ൬ ൅ ܵ൰ ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܵ ቆ ൬ ͵
െ ‫ ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ൰ቇ
ܵ
ܵ
ʹ ܵ ൅ ܵ ʹ ൅ ʹܵ ൅ ͳ ͳ
ሺʹܵ ൅ ͳሻሺܵ ʹ ൅ ʹሻ
ʹܵ ൅ ͳ
ʹܵ ͵ ൅ ܵ ʹ ൅ Ͷܵ ൅ ʹ
ൌ
ൌ ͵
ʹ
͵
ʹ
ʹ
͵
ʹ
ሺܵ ൅ ʹሻሺܵ ൅ ܵ ൅ ʹܵ ൅ ͳሻ ሺܵ ൅ ʹሻሺܵ ൅ ܵ ൅ ʹܵ ൅ ͳሻ ܵ ൅ ܵ ʹ ൅ ʹܵ ൅ ͳ
‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ʹܵ ൅ ͳ
ܵ ͵ ൅ ܵ ʹ ൅ ʹܵ ൅ ͳ
Como se ve, las corrientes son iguales en los dos circuitos.
2.1.4 EJERCICIOS RESUELTOS
2.1.4.1 Aplicar el teorema de sustitución a la resistencia de ʹȳ del circuito de la
figura 7.
Figura 7. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
31
Empleando el teorema de sustitución se reemplaza la resistencia de ʹȳ, por una
fuente de voltaje, que equivale al voltaje en bornes de la resistencia:
ॽʹ ൌ ʹሺॴሻ ൌ ʹሺͲǡͺ͵‫ע‬െ͹ͳǡ͸Ͳ ሻ ൌ ሺͳǡ͸͸‫ע‬െ͹ͳǡ͸Ͳ ሻ, la corriente ha sido calculada
previamente y es un dato del problema.
Ahora se reemplaza la resistencia de ʹȳ por la fuente de voltaje ॽʹ :
Figura 8. Circuito donde se cambio la resistencia de ʹȳ por la fuente ॽʹ
En este nuevo circuito se quiere hallar la corriente ॴ:
Malla 1:
ॴʹ ൌ ॴ
ॽͳ ൌ ሺ͵ ൅ ݆Ͷሻॴͳ െ ݆ͷሺॴͳ െ ॴʹ ሻ
ሺ͵ െ ݆ሻॴͳ ൅ ሺ݆ͷሻॴʹ ൌ ͳͲሺ͸ሻ
Malla 2:
െॽʹ ൌ ሺͻǡͷ ൅ ݆ʹǡͷሻॴʹ െ ݆ͷሺॴʹ െ ॴͳ ሻ
ሺ݆ͷሻॴͳ ൅ ሺͻǡͷ െ ݆ʹǡͷሻॴʹ ൌ െሺͳǡ͸͸‫ע‬െ͹ͳǡ͸Ͳ ሻሺ͹ሻ
32
Despejando ॴͳ de la ecuación 6:
Reemplazando en la ecuación 7:
ሺ݆ͷሻ ൤
ॴͳ ൌ
ͳͲ െ ሺ݆ͷሻॴʹ
ሺ͵ െ ݆ሻ
ͳͲ െ ሺ݆ͷሻॴʹ
൨ ൅ ሺͻǡͷ െ ݆ʹǡͷሻॴʹ ൌ െሺͳǡ͸͸‫ע‬െ͹ͳǡ͸Ͳ ሻ
ሺ͵ െ ݆ሻ
Organizando y despejando ‫ ʹܫ‬se tiene:
ͳ͹ॴʹ ൌ െሺͳǡ͸͸‫ע‬െ͹ͳǡ͸Ͳ ሻ ൅ ͷ െ ݆ͳͷǢॴʹ ൌ ሺͲǡͺ͵‫ע‬െ͹ͳǡ͸Ͳ ሻ‫ܣ‬
El valor de ॴʹ es el mismo de la corriente ॴ del circuito de la figura 7, como se
puede ver la sustitución de la resistencia de ʹȳ, por la fuente de voltaje ॽʹ no
altera las respuestas del circuito.
2.1.4.2 Mediante el teorema de sustitución hallar el voltaje ܸͲ , de la figura 9.
Figura 9. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
33
La resistencia equivalente:ܴ݁‫ ݍ‬ൌ ሺͳ ൅ ͳሻ ‫ ʹ צ‬ൌ ͳπ
a la derecha de a-b es el
resultado del paralelo de una resistencia de ʹȳcon la serie de 2 resistencias de
ͳȳ.
Se reemplaza el valor de la resistencia equivalente y se obtiene el valor de ܸͳ en el
siguiente circuito:
Figura 10. Circuito equivalente para obtener el valor de ܸͳ
Haciendo de nuevo un paralelo entre las resistencias se obtiene el valor de Ͳǡͷȳ
y a este circuito se le aplica un divisor de tensión para hallar ܸͳ .
ܸͳ ൌ
͸ሺͲǡͷሻ
ൌ ʹܸ
ͳ ൅ Ͳǡͷ
Aplicando el teorema de sustitución se reemplaza la resistencia de ʹȳ del circuito
original por una fuente ideal de voltaje de valor ʹܸ como se muestra en la figura
11:
34
Figura 11. Circuito equivalente para obtener el valor de ܸͲ
Y aplicando de nuevo un divisor de tensión se obtiene el valor de ܸͲ , pedido
inicialmente.
ܸͲ ൌ
ʹሺͳሻ
ൌ ͳܸ
ͳ൅ͳ
Resultado que podría haberse obtenido usando voltajes de nodo, sin usar el
teorema de sustitución así:
Figura 12. Circuito aplicando voltajes de nodo
35
Nodo 2:
Nodo 3:
ܸͳ െ ͸ ܸͳ ܸͳ ܸͳ െ ܸͲ
൅ ൅ ൅
ൌ Ͳሺͺሻ
ͳ
ͳ
ʹ
ͳ
ܸͲ െ ܸͳ ܸͲ
൅ ൌ Ͳሺͻሻ
ͳ
ͳ
Despejando ܸͳ de la ecuación 9: ܸͳ ൌ ʹܸͲ y reemplazando en la ecuación 8:
͵ǡͷሺʹܸͲ ሻ െ ͸ െ ܸͲ ൌ Ͳ
ܸͲ ൌ ͳܸ
2.1.4.3 Aplicar el teorema de sustitución en la figura 13 para reemplazar la fuente
de voltaje de ͻǡʹܸ.
Figura 13. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Se reemplaza la fuente de voltaje, por una fuente de corriente aplicando el
teorema de sustitución:
Del circuito se puede ver que:
36
‫ ͵ܫ‬ൌ
ሺʹͲ െ ͻǡʹሻ
ൌ ͵ǡ͸‫ܣ‬Ǣ‫ ͳܫ‬ൌ ͳ‫ܣ‬
͵
‫ ʹܫ‬ൌ ‫ ͵ܫ‬൅ ‫ ͳܫ‬ൌ ‫ ͵ܫ‬൅ ͳ ൌ ͵ǡ͸ ൅ ͳ ൌ Ͷǡ͸‫ܣ‬
Este valor de ‫ ʹܫ‬, se reemplaza en el circuito original y se hallan los voltajes del
circuito de la figura14:
Figura 14. Circuito con la fuente de voltaje reemplazada por la fuente de corriente
ܸͳ ൌ ‫ ͳܫ‬ሺͳሻ ൌ ͳܸǢܸ͵ ൌ ‫ ͵ܫ‬ሺ͵ሻ ൌ ሺ͵ǡ͸ሻሺ͵ሻ ൌ ͳͲǡͺܸ
Aplicando voltajes de nodo, al nodo 2:
ͳ൅
ሺʹͲ െ ܸʹ ሻ
ൌ Ͷǡ͸Ǣܸʹ ൌ ͻǡʹܸ
͵
El valor de ܸʹ es el mismo del circuito de la figura 13, con lo que se demuestra la
validez del teorema de sustitución.
37
2.1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
2.1.5.1 Determine ܸͳ݊ ,ܸʹ݊ y ܸ͵݊ para cada uno de los circuitos 1 y 2 de la figura15.
Verifique el cumplimiento del teorema de sustitución7.
Figura 15. Ejercicio propuesto
7
Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS”, 1987.
38
2.1.5.2 a) En el circuito de la figura 16, reemplace la resistencia ܴܾܽ de ͵ͲͲȳ por
un generador con una resistencia interna de ͹ͷȳ de tal forma que el
resto del circuito no note el cambio.
b) Repetir el procedimiento anterior, haciendo que la resistencia interna del
generador sea de ͸ͲͲȳ.
Figura 16. Ejercicio propuesto
2.1.5.3 En el circuito de la figura 17:
a) Conectar una fuente ideal de voltaje entre los terminales a y b de valor
Ͳ
ॽܾܽ ൌ ͵͵ǡͺ݁ ݆ ͳͶ͹ǡʹ y hallar la corriente a través de ella
b) Conectar una fuente ideal de corriente en serie con la impedancia de
Ͳ
݆͸ȳ de valor ॴܾܿ ൌ ͳ͹ǡʹ͸݁ െ݆ ͻͶǡ͵ͳ y hallar el voltaje a través de ella
c) Para el circuito de la figura 17, hallar ॽܾܽ e ॴܾܿ
39
Figura 17. Ejercicio propuesto
2.2 TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN
Este teorema se aplica a circuitos lineales, variantes o invariantes con el tiempo y
cuyo estado energético8 inicial es nulo y permite reducir un circuito con varias
fuentes independientes a varios circuitos, cada uno con una sola fuente o con
fuentes del mismo tipo.
2.2.1 ENUNCIADO
“En un circuito lineal arbitrario que contiene dos o más fuentes independientes, el
voltaje a través de cualquier elemento o la corriente que fluye por cualquier
elemento de la red se puede calcular como la suma algebraica de los aportes
individuales de cada fuente independiente actuando por separado. Para encontrar
la respuesta debida a una fuente específica, todas las demás se deben
8
El estado energético es el conjunto de variables que permiten determinar la energía almacenada por el
‫ܥ‬
‫ܮ‬
circuito en un instante determinado. Como ܹ‫ ܥ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ቀ ቁ ܸ‫ ʹ ܥ‬ሺ‫ݐ‬ሻǢܹ‫ ܮ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ቀ ቁ ‫ ʹ ܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ›ܹ‫ ܯ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ
‫ܮ‬
ʹ
‫ܮ‬
ʹ
ቀ ͳ ቁ ‫ ʹ ͳܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ቀ ʹ ቁ ‫ ʹ ʹܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ േ ‫ ͳܮܫܯ‬ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ʹܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ , entonces el estado energético (ee) está conformado por los
ʹ
ʹ
voltajes en las capacitancias y las corrientes a través de las inductancias, para capacitancias e inductancias
invariantes con el tiempo.
40
reemplazar por circuitos abiertos si son de corriente o por cortocircuitos si son de
voltaje.”
Cuando se aplica el teorema de superposición a circuitos lineales que contengan
fuentes dependientes se debe tener en cuenta que estas fuentes nunca se
desactivan, a menos que su señal de control valga cero.
El circuito como se dijo, debe ser lineal, puede ser variante o invariante con el
tiempo y su estado energético inicial debe ser nulo9.
2.2.2 ¿POR QUÉ NO SE REQUIERE DE UNA DEMOSTRACIÓN?
Un sistema lineal es un sistema que obedece las propiedades de escalado
(homogeneidad) y de superposición (aditiva), mientras que un sistema no-lineal es
cualquier sistema que no obedece al menos una de estas propiedades.
Para demostrar que un sistema ‫ ܪ‬10 obedece la propiedad de escalado se debe
demostrar que:
‫ܪ‬൫݂݇ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ൌ ݇‫ܪ‬൫݂ሺ‫ݐ‬ሻ൯ሺͳͲሻ
9
Si el estado energético inicial no es nulo, se puede recurrir a desenergizar los elementos almacenadores de
energía reemplazando las inductancias por la misma inductancia desenergizada en paralelo con una fuente
independiente de corriente de valor iL(0+) ó iL(o-) y las capacitancias por la capacitancia desenergizada en
serie con una fuente independiente de voltaje de valor V c(0+) ó Vc(0-).Para los circuitos en términos de la
Transformada de Laplace, no hay problema, el proceso de transformación los desenergiza.
10
Donde H es un operador.
41
Figura 18. Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de escalado de linealidad
Para demostrar que un sistema H obedece la propiedad de superposición de
linealidad se debe mostrar que:
‫ܪ‬൫݂ͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ݂ʹ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ൌ ‫ܪ‬൫݂ͳ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ൅ ‫ܪ‬൫݂ʹ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ሺͳͳሻ
Figura 19. Diagrama de bloques demostrando la propiedad de superposición de
linealidad
Es posible verificar la linealidad de un sistema en un paso sencillo. Para hacer
esto simplemente se combinan los dos primeros pasos para obtener:
‫ܪ‬൫݇ͳ ݂ͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ݇ʹ ݂ʹ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ൌ ݇ͳ ‫ܪ‬൫݂ͳ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ ൅ ݇ʹ ‫ܪ‬൫݂ʹ ሺ‫ݐ‬ሻ൯ሺͳʹሻ
2.2.3 EJEMPLOS DE APLICACIÓN
42
1. En términos de la transformada de Laplace.
Hallar ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ usando superposición.
Figura 20. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸʹͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸʹʹ ሺ‫ݏ‬ሻሺͳ͵ሻ
Donde ܸʹͳ ሺ‫ݏ‬ሻ es el valor del voltaje que se obtiene con la fuente de corriente
independiente desactivada, y ܸʹʹ ሺ‫ݏ‬ሻ es el valor del voltaje con la fuente de voltaje
independiente ܸሺ‫ݏ‬ሻ desactivada.
Figura 21. Circuito con la fuente de corriente desactivada
43
Circuito A: Contribución de la fuente de voltaje, con la fuente de corriente
desactivada11. Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a la trayectoria cerrada a la
izquierda del circuito se obtiene la primera ecuación:
ܸሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ Ɋܸʹͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ͲሺͳͶሻ
Usando voltajes de nodo en la segunda parte del circuito se obtiene la segunda
ecuación:
െߙ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅
ܸʹͳ ሺ‫ݏ‬ሻ
ൌ Ͳሺͳͷሻ
ͳ
‫ܵܥ‬
Se despeja ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ de (14) y se reemplaza en la ec. (15):
‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ െ
Reemplazando:
ߙ
Ahora se despeja ܸʹͳ ሺ‫ݏ‬ሻ:
Ɋܸʹͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸሺ‫ݏ‬ሻ
ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ
Ɋܸʹͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸሺ‫ݏ‬ሻ
൅ ‫ ͳʹܸܵܥ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ
ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ
ܸሺ‫ݏ‬ሻ
െߙ ൬
ߙܸሺ‫ݏ‬ሻ
ܴ ൅ ‫ܵܮ‬൰
ܸʹͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ൌെ
ߙߤ
ߙߤ ൅ ‫ܵܥ‬ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ
‫ ܵܥ‬൅ ቀܴ ൅ ‫ܵܮ‬ቁ
Reemplazando los valores:
ͷ
െͲǡͶ ቀ
ቁ
ߙܸሺ‫ݏ‬ሻ
ܵ൅ͳ
ൌ
ܸʹͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ െ
ߙߤ ൅ ‫ܵܥ‬ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ ሺͲǡͶሻሺͲǡ͵ሻ ൅ ܱǡ ͷܵሺ͵ ൅ ʹܵሻ
ܸʹͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ െ
11
ʹ
ܵ ͵ ൅ ͵ǡͷܵ ʹ ൅ ͳǡ͸ʹܵ ൅ Ͳǡͳʹ
Obsérvese que las fuentes dependientes o controladas continúan operando.
44
Figura 22. Circuito con la fuente de voltaje desactivada
Circuito B: Contribución de la fuente de corriente, con la fuente de voltaje
desactivada. Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a la primera trayectoria cerrada del
circuito se obtiene la tercera ecuación:
ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ Ɋܸʹʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳሺͳ͸ሻ
Usando voltajes de nodo en la segunda parte del circuito se obtiene la cuarta
ecuación:
െߙ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅
ܸʹʹ ሺ‫ݏ‬ሻ
െ ‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳሺͳ͹ሻ
ͳ
‫ܵܥ‬
Se despeja ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ de (17) y se reemplaza en (16):
‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
Reemplazando ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ en (16):
ͳ
ሾ‫ ʹʹܸܵܥ‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ ‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻሿ
ߙ
ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ
ሾ‫ ʹʹܸܵܥ‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ ‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻሿ ൅ ߤܸʹʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ
ߙ
Ahora se despeja ܸʹʹ ሺ‫ݏ‬ሻ:
45
ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ
‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ߙ
ܸʹʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ൌ
‫ܵܥ‬
ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ ߙߤ ൅ ‫ܵܥ‬ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ
ߤ൅
ߙ
Reemplazando por los valores:
ʹ
ሺ͵ ൅ ʹܵሻ ቀ ቁ
ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ܵ
ܸʹʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ൌ
ሺͲǡͶሻሺͲǡ͵ሻ
൅ ܱǡ ͷܵሺ͵ ൅ ʹܵሻ
ߙߤ ൅ ‫ܵܥ‬ሺܴ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ
ܸʹʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܵ͵
Ͷܵ ൅ ͸
൅ ͳǡͷܵ ʹ ൅ Ͳǡͳʹܵ
Finalmente se suman los dos voltajes para obtener el resultado pedido
inicialmente:
ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸʹͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸʹʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ െ
ʹ
Ͷܵ ൅ ͸
൅
ܵ ͵ ൅ ͵ǡͷܵ ʹ ൅ ͳǡ͸ʹܵ ൅ Ͳǡͳʹ ܵ ͵ ൅ ͳǡͷܵ ʹ ൅ Ͳǡͳʹܵ
2. Circuito resistivo
En el circuito de la figura 23, calcular el voltaje ܸ aplicando el teorema de
superposición.
Figura 23. Circuito resistivo
46
SOLUCIÓN:
Se empieza por encontrar la componente de ܸ que resulta de la fuente de ͸Ͳܸ, el
circuito de la figura 24 muestra el circuito con la fuente de corriente desactivada,
convirtiendo esta parte en un circuito abierto como se puede ver.
Figura 24. Circuito con la fuente de corriente desactivada
Se deduce del circuito que:
‫ ܫ‬ൌ െ‫ ͳܫ‬Ǣ‫ ʹܫ‬ൌ ͲǡͶ‫ ܫ‬ൌ െͲǡͶ‫ͳܫ‬
Se obtiene la siguiente ecuación después de aplicar el análisis de mallas al
circuito:
Despejando ‫ ͳܫ‬:
ʹͲ‫ ͳܫ‬൅ ͳͲ‫ ͳܫ‬െ ͸Ͳ ൅ ͵Ͳሺ‫ ͳܫ‬െ ͲǡͶ‫ ͳܫ‬ሻ ൌ Ͳ
‫ ͳܫ‬ሺ͵Ͳ ൅ ͵Ͳ െ ͳʹሻ ൌ ͸Ͳ
‫ ͳܫ‬ൌ
Reemplazando ‫ ͳܫ‬en la ecuación:
͸Ͳ ͷ
ൌ ൌ ͳǡʹͷ‫ܣ‬
Ͷͺ Ͷ
47
ܸͳ ൌ ͵Ͳሺ‫ ͳܫ‬െ ͲǡͶ‫ ͳܫ‬ሻ ൌ ͵Ͳ൫ͳǡʹͷ െ ͲǡͶሺͳǡʹͷሻ൯
ܸͳ ൌ ʹʹǡͷܸ
Ahora se calcula la contribución de la fuente de corriente, para este análisis se
trabaja con el circuito de la figura 25 donde la fuente de voltaje se reemplaza por
un corto circuito.
Figura 25. Circuito con la fuente de voltaje desactivada
Del circuito se halla la corriente ݅ ‫׷‬
‫ ܫ‬ൌ
ܸ‫ܣ‬
ሺͳͺሻ
ʹͲ
Aplicando voltajes de nodo al circuito se obtienen las dos ecuaciones que se
presentan a continuación:
Nodo A:
Organizando:
െͶ ൅
ܸ‫ ܣܸ ܣ‬െ ܸʹ
൅
ൌ Ͳ
ʹͲ
ͳͲ
͵ܸ‫ ܣ‬െ ʹܸʹ ൌ ͺͲሺͳͻሻ
48
Nodo 2:
ܸʹ
ܸʹ െ ܸ‫ܣ‬
ܸʹ
ܸ‫ܣ‬
ܸʹ െ ܸ‫ܣ‬
െ ͲǡͶ‫ ܫ‬൅
ൌ ͲǢ ”‡‡’Žƒœƒ†‘‫ ܫ‬ൌ Ǣ െ ͲǡͶ ൤ ൨ ൅
ൌͲ
͵Ͳ
ͳͲ
ʹͲ
͵Ͳ
ʹͲ
ͳͲ
െ͹ǡʹܸ‫ ܣ‬൅ ͺܸʹ ൌ ͲሺʹͲሻ
Despejando ܸ‫ ܣ‬:
Reemplazando ܸ‫ ܣ‬en (19):
Finalmente:
ܸ‫ ܣ‬ൌ
ܸʹ
Ͳǡͻ
͵
ܸ െ ʹܸʹ ൌ ͺͲǢܸʹ ൌ ͸Ͳܸ
Ͳǡͻ ʹ
ܸ ൌ ܸͳ ൅ ܸʹ ൌ ʹʹǡͷ ൅ ͸Ͳ ൌ ͺʹǡͷܸ
2.2.4 EJERCICIOS RESUELTOS
2.2.4.1 Aplicando el teorema de superposición hallar el valor de la corriente ݅ሺ‫ݐ‬ሻ.
Figura 26. Ejercicio resuelto
49
SOLUCIÓN:
La solución total será:
ॴ ൌ ॴͳ ൅ ॴʹ ሺʹͳሻ
Cálculo de la corriente aportada por la fuente de corriente ॴͳ , con la fuente de
voltaje reemplazada por un corto circuito.
Figura 27. Circuito con la fuente de voltaje desactivada
El nodo b pasa a ser el que se muestra en la figura 27 por cuanto, al reemplazar la
fuente por un corto la corriente que circula por ܴ െ ݆ܹܿ se hace cero y los voltajes
en ellos también.
Aplicando un divisor de voltaje para hallar ॽܽ se obtiene: (Se reemplaza todo el
resto del circuito por una fuente de voltajes de valor V - Teorema de sustitución-)
ॽܾܽ ൌ ॽܽ ൌ
50
ॽ ൈ ሺ݆͵Ͳሻ
ሺʹʹሻ
ͷͲ ൅ ݆͵Ͳ
Aplicando voltajes de nodo en V:
െʹ‫ע‬Ͷ͸Ͳ ൅
Reemplazando ॽܾܽ en la ecuación 23:
െʹ‫ע‬Ͷ͸Ͳ ൅
ॽ
ॽ
൅ ൅ Ͳǡͳॽܾܽ ൌ Ͳሺʹ͵ሻ
ͷͲ ൅ ݆͵Ͳ ͺ
ሺॽ ൈ ݆͵Ͳሻ
ॽ
ॽ
൅ ൅ Ͳǡͳ
ൌͲ
ͷͲ ൅ ݆͵Ͳ
ͷͲ ൅ ݆͵Ͳ ͺ
ሺͲǡͳ͹‫ͳͳע‬ǡͻͻͲ )ൈ ॽ ൌ ሺʹ‫ע‬Ͷ͸Ͳ ሻ
ॴͳ ൌ
ॽ ൌ ሺͳͳǡ͹͸‫͵ע‬ͶǡͲͳͲ ሻሾܸሿ
ॽ ሺͳͳǡ͹͸‫͵ע‬ͶǡͲͳͲ ሻ
ൌ
ൌ ሺͳǡͶ͹‫͵ע‬ͶǡͲͳͲ ሻሾ‫ܣ‬ሿ
ͺ
ͺ
Cálculo de la corriente ॴʹ aportada por la fuente de voltaje, con la fuente de
corriente reemplazada por un circuito abierto.
Figura 28. Circuito con la fuente de corriente desactivada
51
ॴʹ ൌ
ॽܾܽ ൌ ॽܽ െ ॽܾ ൌ
ॽͳ െ ॽʹ
ሺʹͶሻ
ͺ
ሺॽͳ ‫Ͳ͵݆ כ‬ሻ ൫ॽʹ ‫ כ‬ሺെ݆ͳʹሻ൯
െ
ͳʹ
ͳͲ ൅ ݆ͳʹ
ͷͲ ൅ ݆͵Ͳ
ॽܾܽ ൌ ሺͲǡͷͳ‫ע‬ͷͻǡͲͶͲ ሻॽͳ െ ሺͲǡ͹͹‫ ע‬െ ͵ͻǡͺͲ ሻॽʹ ሺʹͷሻ
†‘†‡ॽʹ ൌ ሺͶʹ‫ ͲͲע‬ሻ’‘”Ž‘–ƒ–‘ॽܾܽ ൌ ሺͲǡͷͳ‫ע‬ͷͻǡͲͶͲ ሻॽͳ Ȅ ሺ͵ʹǡ͵Ͷ‫ ע‬െ ͵ͻǡͺͲ ሻ
Aplicando voltajes de nodo en V1:
ॽͳ െ ॽʹ
ॽͳ
൅
൅ Ͳǡͳॽܾܽ ൌ Ͳሺʹ͸ሻ
ͺ
ͷͲ ൅ ݆͵Ͳ
Reemplazando ॽܾܽ ›ॽʹ en la anterior ecuación se obtiene ॽͳ :
ሺͲǡͳ͹‫ͳͳע‬ǡͺͺͲ ሻॽͳ ൌ ሺͺ‫ ע‬െ ͳͶǡͻͺͲ ሻǢॽͳ ൌ ሺͶ͹ǡͲ͸‫ ע‬െ ʹ͸ǡͺ͸Ͳ ሻሾܸሿ
ॽͳ െ ॽʹ ሺͶ͹ǡͲ͸‫ ע‬െ ʹ͸ǡͺ͸Ͳ ሻ െ ሺͶʹ‫ ͲͲע‬ሻ
‘‘ॴʹ ൌ
ൌ
ൌ ሺʹǡ͸͸‫ ע‬െ ͻͲǡͲͷͲ ሻሾ‫ܣ‬ሿ
ͺ
ͺ
Entonces la respuesta será la suma de las dos corrientes:
ॴ ൌ ॴͳ ൅ ॴʹ ൌ ሺͳǡͶ͹‫͵ע‬ͶǡͲͳͲ ሻ ൅ ሺʹǡ͸͸‫ ע‬െ ͻͲǡͲͷͲ ሻ ൌ ሺʹǡʹͲ‫ ע‬െ ͷ͸ǡͷͲͲ ሻሾ‫ܣ‬ሿ
12
Para poder aplicar el divisor de voltajes es necesario usar previamente el teorema de sustitución. Ejemplo:
52
2.2.4.2 Calcular por medio del teorema de superposición la corriente ‫ Ͳܫ‬.
Figura 29. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Se empieza por encontrar la componente de I0 que resulta de la fuente de ͳʹܸ.El
circuito de la figura 30, muestra el circuito con la fuente de corriente desactivada,
convirtiendo esta parte en un circuito abierto como se puede ver.
53
Figura 30. Circuito con la fuente de corriente desactivada
Se puede ver en el circuito que hay relación entre las corrientes:
‫ ͳͲܫ‬ൌ ‫ ͵ܫ‬Ǣ‫ ͳܫ‬ൌ െ‫ݔܫ‬
Mediante un análisis de mallas se hallan las ecuaciones del circuito:
Malla 1:
Organizando:
ͺ‫ ͳܫ‬൅ ͳͲሺ‫ ͳܫ‬െ ‫ ʹܫ‬ሻ ൅ Ͷ‫ ͳܫ‬ൌ ͳʹ
ʹʹ‫ ͳܫ‬െ ͳͲ‫ ʹܫ‬ൌ ͳʹሺʹ͹ሻ
Supermalla 2 y 3:
Organizando:
ͳͲሺ‫ ʹܫ‬െ ‫ ͳܫ‬ሻ ൅ ʹ‫ ʹܫ‬൅ ͸‫ ͵ܫ‬ൌ Ͳ
െͳͲ‫ ͳܫ‬൅ ͳʹ‫ ʹܫ‬൅ ͸‫ ͵ܫ‬ൌ Ͳሺʹͺሻ
Haciendo sumatorio de corrientes en el nodo A:
54
෍ ‫ ܣܫ‬ൌ ͲǢ Ͳǡ͸‫ ݔܫ‬൅ ‫ ʹܫ‬ൌ ‫ ͳܫ‘‘… ͵ܫ‬ൌ െ‫ ݔܫ‬
Entonces:
Ͳǡ͸‫ ͳܫ‬െ ‫ ʹܫ‬൅ ‫ ͵ܫ‬ൌ Ͳሺʹͻሻ
Reemplazando (29) en (28) se obtiene ‫ ͳܫ‬en términos de ‫ ʹܫ‬:
‫ ͵ܫ‬ൌ ‫ ʹܫ‬െ Ͳǡ͸‫ͳܫ‬
െͳͲ‫ ͳܫ‬൅ ͳʹ‫ ʹܫ‬൅ ͸ሺ‫ ʹܫ‬െ Ͳǡ͸‫ ͳܫ‬ሻ ൌ Ͳ†‡•’‡Œƒ†‘‫ ͳܫ‬Ǣ‫ ͳܫ‬ൌ ൬
Ahora se reemplaza este valor de ‫ ͳܫ‬en (27) para encontrar ‫ ʹܫ‬:
Ͷͷ
൰‫ܫ‬
͵Ͷ ʹ
Ͷͷ
ʹͲͶ
ʹʹ ൬ ൰ ‫ ʹܫ‬െ ͳͲ‫ ʹܫ‬ൌ ͳʹ†‡†‘†‡‫ ʹܫ‬ൌ ൬
൰ ൌ Ͳǡ͸͵‫ܣ‬
͵Ͷ
͵ʹͷ
Con este valor se obtiene ‫ ͵ܫ‡ ͳܫ‬ǣ
‫ ͳܫ‬ൌ Ͳǡͺ͵‫ܣ‬Ǣ‫ ͵ܫ‬ൌ ‫ ͳͲܫ‬ൌ Ͳǡͳ͵‫ܣ‬
Ahora se calcula la contribución de la fuente de corriente, para este análisis se
trabaja con el circuito de la figura 31 donde la fuente de voltaje se reemplaza por
un corto circuito.
55
Figura 31. Circuito con la fuente de voltaje desactivada
Se puede deducir del circuito de la figura 31 que:
‫ ݔܫ‬ൌ
ܸͳ െ ܸʹ
ܸ͵
Ǣ‫ ʹͲܫ‬ൌ
Ͷ
͸
Aplicando voltajes de nodo al circuito de la figura 31 se hallan las siguientes
ecuaciones:
Nodo 1:
Organizando:
ܸͳ െ ܸ͵
ܸͳ െ ܸʹ
൅
െʹൌͲ
ͺ
Ͷ
͵
ͳ
ͳ
ܸͳ െ ܸʹ െ ܸ͵ ൌ ʹሺ͵Ͳሻ
ͺ
Ͷ
ͺ
Nodo 2:
ܸʹ
ܸʹ െ ܸ͵
ܸʹ െ ܸͳ
൅ ൅
ൌ Ͳ
ʹ
ͳͲ
Ͷ
56
ͳ
ͳ͹
ͳ
െ ܸͳ െ
ܸʹ െ
ܸ ൌ Ͳሺ͵ͳሻ
Ͷ
ʹͲ
ͳͲ ͵
Nodo 3:
ܸ͵
ܸͳ െ ܸʹ
ܸ͵ െ ܸʹ ܸ͵ െ ܸͳ
൅
൅ Ͳǡ͸‫ ݔܫ‬൅ ൌ ͲǢ ’‡”‘‫ šܫ‬ൌ
”‡‡’Žƒœƒ†‘ǣ
ͺ
͸
Ͷ
ͳͲ
Organizando:
ܸ͵ െ ܸʹ ܸ͵ െ ܸͳ
ܸͳ െ ܸʹ
ܸ͵
൅
൅ Ͳǡ͸ ൤
൨൅ ൌͲ
ͳͲ
ͺ
Ͷ
͸
െ
ͳͳ
ͳ
Ͷ͹
ܸͳ ൅ ܸʹ െ
ܸ ൌ Ͳሺ͵ʹሻ
ͶͲ
ʹͲ
ͳʹͲ ͵
Solucionando las tres ecuaciones resultantes se hallan: ܸͳ Ǣܸʹ Ǣܸ͵
ͳ
ͳ
͵
ܸͳ െ ܸʹ െ ܸ͵ ൌ ʹ
Ͷ
ͺ
ͺ
െ
ͳ
ͳ͹
ͳ
െ ܸͳ െ
ܸʹ െ
ܸ ൌ Ͳ
Ͷ
ʹͲ
ͳͲ ͵
ͳ
Ͷ͹
ͳͳ
ܸͳ ൅ ܸʹ െ
ܸ ൌ Ͳ
ʹͲ
ͳʹͲ ͵
ͶͲ
ܸͳ ൌ ͻǡͻͺܸܸʹ ൌ ͵ǡ͹ʹܸܸ͵ ൌ ͸ǡͷ͵ܸ
Finalmente se calcula ‫ Ͳܫ‬:
‘‘‫ ʹͲܫ‬ൌ
ܸ͵ ͸ǡͷ͵
ൌ
ൌ ͳǡͲͻ‫ܣ‬
͸
͸
‫ Ͳܫ‬ൌ ‫ ͳͲܫ‬൅ ‫ ʹͲܫ‬ൌ Ͳǡͳ͵ ൅ ͳǡͲͻ ൌ ͳǡʹʹ‫ܣ‬Ǣ‫ Ͳܫ‬ൌ ͳǡʹʹ‫ܣ‬
57
2.2.4.3 El circuito opera en estado estacionario. Determinar ‫ ݏݏܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ.
Figura 32. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Aporte de la fuente de corriente:
Figura 33. Circuito con la fuente de voltaje desactivada
58
El circuito cumple con las cinco condiciones de un circuito equivalente:
-
Circuito en estado estacionario
-
Resistencia no redundante
-
Excitación constante
-
No hay trayectorias cerradas, formadas sólo por fuentes de voltaje
independientes e inductancias
-
No hay cortes compuestos sólo por fuentes de corriente independientes y
capacitancias
Circuito equivalente:
Capacitancias cambiadas por un circuito abierto y las inductancias por un corto
circuito
Figura 34. Circuito equivalente
En este circuito se puede ver claramente que la corriente es cero:
‫ ݏݏʹܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ
59
Aporte de la fuente de voltaje:
Figura 35. Circuito con la fuente de corriente desactivada
‫ʹܮܫ‬
ॽ ൌ ͳͲ‫ ͲͲע‬
ሺͳͲ‫ ͲͲע‬ሻ
ൌ ሺͲǡ͸ͷ‫ע‬ͺͷǡͳ͵Ͳ ሻሾ‫ܣ‬ሿ
ൌ
ሺͳʹ െ ݆ͷͲሻ ‫ כ‬ሺെ݆ʹͷሻ
൅ ݆ͳǡ͸
ሺͳʹ െ ݆ͷͲሻ ൅ ሺെ݆ʹͷሻ
‫ ݏݏʹܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳǡ͸ͷ…‘•༌
ሺͶͲͲ‫ ݐ‬൅ ͺͷǡͳ͵Ͳ ሻ
‫ ݏݏܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ ݏݏͳܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ‫ ݏݏʹܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ ൅ Ͳǡ͸ͷ …‘•ሺͶͲͲ‫ ݐ‬൅ ͺͷǡͳ͵Ͳ ሻ ൌ Ͳǡ͸ͷ …‘•ሺͶͲͲ‫ ݐ‬൅ ͺͷǡͳ͵Ͳ ሻ
‫ ݏݏܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳǡ͸ͷ …‘•ሺͶͲͲ‫ ݐ‬൅ ͺͷǡͳ͵Ͳ ሻሾ‫ܣ‬ሿ
60
2.2.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
2.2.5.1 Calcular por medio del teorema de superposición, el voltaje ܸͲ de la red
que se muestra a continuación.
Figura 36. Ejercicio propuesto
2.2.5.2 En el circuito de la figura 37, determine ‫ ܿܫ‬usando el teorema de
superposición.
Figura 37. Ejercicio propuesto
61
2.2.5.3 Aplicar el principio de superposición, para hallar el valor de ܸͲ .
Figura 38. Ejercicio propuesto
2.2.5.4 El circuito de la figura 39 opera en estado estacionario
Determinar: ‫ ܵܵʹܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
Figura 39. Ejercicio propuesto
62
2.3 TEOREMA DE THÉVENIN
El conocido teorema de Thévenin
Helmholtz
14
13
fue estudiado a mediados del siglo XIX por
en forma más general, es decir para una red activa con N bornes
externos, dicho teorema permaneció casi que olvidado, hasta que fue
redescubierto por Thévenin en 1.883, dándose a conocer de nuevo bajo este
nombre actual, el famoso teorema de Thévenin.
Se aplica a circuitos lineales con una carga que puede ser lineal o no lineal,
variantes o invariantes con el tiempo y cuyo estado energético sea nulo o no.
Permite reemplazar un circuito de análisis complejo por uno equivalente de menos
tamaño que facilite el cálculo de los efectos externos (circuito equivalente), puede
usarse en sistemas de potencia para analizar partes de él reemplazando el resto
del sistema de esta forma.
2.3.1 ENUNCIADO
“Cualquier red lineal (Na) variante o invariante con el tiempo, compuesta por
elementos pasivos y activos (dependientes e independientes) conectada a otra red
(Nb) o carga que puede ser lineal o no, variante o invariante con el tiempo y su
estado energético nulo o no mediante dos terminales p y q (figura 40a), se puede
sustituir desde el punto de vista de sus terminales por un circuito equivalente que
contenga sólo una fuente de voltaje independiente en serie con una red Nao
(figura 40b) que se obtiene de Na haciendo todas las fuentes independientes
contenidas en ellas y el estado energético inicial iguales a cero, siempre y cuando
13
León Charles Thévenin (Meaux, 30 de marzo de 1857 - 21 de septiembre de 1926), fue un ingeniero en
telegrafía francés, que extendió el análisis de la Ley de Ohm a los circuitos eléctricos complejos. Su aporte
más importante fue el teorema que lleva su nombre.
14
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (Agosto 31, 1821 – Septiembre 8, 1894) físico alemán que
contribuyó con sus conocimientos en múltiples campos de la ciencia.
63
la interconexión entre la carga Nb y la red Na tengan solución única y no haya
ningún acoplamiento entre ellas.” 15
FIGURA 40. Circuito original y circuito equivalente de Thévenin
2.3.2 DEMOSTRACIÓN
FIGURA 41. Demostración del teorema de Thévenin
Aplicando el teorema de superposición al circuito de la figura 41a se puede ver
que la corriente ݅ሺ‫ݐ‬ሻ que pasa a través de la red pasiva Nb, se puede
descomponer en la corriente ݅ͳ ሺ‫ݐ‬ሻ que es generada por la acción de todas las
fuentes de la red Na de la figura 40a y la corriente ݅ʹ ሺ‫ݐ‬ሻ debida a la fuente de
voltaje ݁‫ ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ de la figura 41b. Por lo tanto:
15
݅ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݅ͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ݅ʹ ሺ‫ݐ‬ሻሺ͵͵ሻ
Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS”, 1987.
64
Cuando ݅ሺ‫ݐ‬ሻ es cero se puede reemplazar la red Nb en la figura 41a por un circuito
abierto (teorema de sustitución) en el cual la diferencia de potencial entre sus
terminales sea nula (la red Nb es pasiva y la corriente que la circula es cero), por
lo tanto al aplicar el teorema de superposición se obtiene que:
Ͳ ൌ ݁‫ ݄ݐ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ሾെ݁‫ ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻሿሺ͵Ͷሻ
Esto indica que para que la corriente a través de la red pasiva Nb sea nula ݁‫ ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
debe ser igual a ݄݁ܶ ሺ‫ݐ‬ሻ como se muestra en la figura 42. Si la polaridad
de
݁‫ ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݄݁ܶ ሺ‫ݐ‬ሻ, se inyecta una corriente ݅ͳ ሺ‫ݐ‬ሻ en la red pasiva Nb de la figura 40b.
FIGURA 42. Determinación del voltaje de Thévenin
2.3.2.1 TEOREMA UNIFICADO DE THÉVENIN
Ling-Ming Jin y Shin Park Chan en la revista IEEE TRANSACTIONS ON
EDUCATION de agosto de 1989 (Volumen 32 Número 3) presentaron el artículo
“A unified and Efficient Approach for Determining Thévenin (Norton) Equivalent
Circuits” donde muestran una forma unificada y eficiente de determinar el
equivalente
de
Thévenin,
método
que
permite
obtener
simultanea
y
sistemáticamente la impedancia (ܼ݄ܶ ) y la fuente de Thévenin (ܸ݄ܶ ).
Se basan en el hecho de que si ambos circuitos (el original y el de Thévenin) son
equivalentes, deben producir los mismos efectos externos, es decir, si se conecta
a ambos el mismo circuito externo, los resultados son idénticos.
65
En la figura 43 se muestran ambos circuitos, a los que se ha conectado una fuente
independiente de corriente como carga.
Figura 43. Teorema unificado de Thévenin
Al ser equivalente, ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ será el mismo en ambos
En la figura 43b, tomando sumatorio de voltajes en el anillo (malla) se tiene:
െܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ ฺ ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻሺ͵ͷሻ
Si se resuelve el circuito mostrado en la figura 43a y se despeja ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ se tendrá
una expresión de la forma:
ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌٞ ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ٝ ሺ͵͸ሻ
Por simple comparación el primer término ሺٞሻ es ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ y el segundo ሺٝሻ es
ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ .
Un ejemplo mostrará la facilidad del método, se hará uno de los ejemplos del
artículo como homenaje a los autores:
Determinar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b del circuito de la
figura 44:
66
Figura 44. Ejemplo del teorema unificado de Thévenin
SOLUCIÓN:
Primero se aplica una fuente de corriente de prueba ሺ‫ ݌ܫ‬ሻ entre los terminales a y b
de la figura 44:
Figura 45. Aplicación de una fuente de corriente de prueba entre a y b
67
Aplicando sumatorio de corrientes en los nodos 1, 2 y a se obtienen las siguientes
ecuaciones:
൫‫ ͳܩ‬൅ ͳൗ‫ ܵܮ‬൅ ‫ܵܥ‬൯
቎
Ͳ
െ‫ܵܥ‬
െ ͳൗ‫ܵܮ‬
‫ʹܩ‬
െ‫ʹܩ‬
Resolviendo paraܸܽ ሺ‫ݏ‬ሻ se obtiene:
Organizando:
ܸܽ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ
‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
െ‫ܵܥ‬
ܸ
ሺ‫ݏ‬ሻ
቏቎ ʹ ቏ ൌ ൥ Ͳ ൩
െ‫ʹܩ‬
‫ ܲܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ሺ‫ ʹܩ‬൅ ‫ ܵܥ‬൅ ‫ ͵ܩ‬ሻ ܸܽ ሺ‫ݏ‬ሻ
ሺܵ ʹ ‫ ܥܮ‬൅ ܵ‫ ܮ ͳܩ‬൅ ͳሻ‫ ܲܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܵ ʹ ‫ܫܥܮ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
οሺ‫ݏ‬ሻ
ܸܽ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ቈ
ܵ ʹ ‫ ܥܮ‬൅ ܵ‫ ܮ ͳܩ‬൅ ͳ
ܵ ʹ ‫ܥܮ‬
቉ ‫ ܲܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅
‫ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻሺ͵͹ሻ
οሺ‫ݏ‬ሻ
οሺ‫ݏ‬ሻ
Donde οሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܵ ʹ ‫ܮ‬ሺ‫ ܥ ͳܩ‬൅ ‫ ͵ܩ‬ሻ ൅ ܵ‫ ͵ܩܮ ͳܩ‬൅ ‫͵ܩ‬
De este modo se conocen ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ›ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ:
ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܵ ʹ ‫ ܥܮ‬൅ ܵ‫ ܮ ͳܩ‬൅ ͳ
οሺ‫ݏ‬ሻ
ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܵ ʹ ‫ܥܮ‬
οሺ‫ݏ‬ሻ
2.3.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
En términos de la transformada de Laplace. Determinar el equivalente de
Thévenin entre las terminales a y b del circuito de la figura 46.
68
Figura 46. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
Cálculo de ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻǣ
Figura 47. Cálculo de ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ
Del circuito anterior se puede ver que: ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸሺ‫ݏ‬ሻǢܸܺ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ
Aplicando voltajes de nodo al circuito:
Nodo 2:
69
ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸሺ‫ݏ‬ሻ ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ
൅
െ ͲǡͲ͵ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳሺ͵ͺሻ
ܴʹ
ܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬
Nodo a:
ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ
൅
ൌ Ͳሺ͵ͻሻ
ܴʹ
൫ͳൗ‫ܵܥ‬൯
Reemplazando los valores y despejando ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ de ec.(39) se obtiene:
ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ͷͲܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൤
Ahora se reemplaza ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ en la ec.(38):
ሾܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ͲǡͲͲͷܸ݄ܵܶ ሺ‫ݏ‬ሻሿ ൤
ǥ െ ͲǡͲ͵ܸ݄ܵܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܵ
ͳ
൅ Ͷ൨
ͷͲ ͳͲ
ͳ
ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ͲǡͲͲͷܸ݄ܵܶ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ
൨൅ቈ
቉ െǥ
ሺʹͲ ൅ ͲǡͲͳܵሻ
ͷͲ
ܸሺ‫ݏ‬ሻ
ሺʹͲ ൅ ͲǡͲͳܵሻ
Despejando ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ:
ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ሺͳ ൈ
ͳͲെ͸ ܵ ʹ ሻ
ܸሺ‫ݏ‬ሻ
൅ ሺͲǡͲͳ͸͹ܵሻ ൅ ͳͻǡͶ
Reemplazando el valor de ܸሺ‫ݏ‬ሻ se obtiene el ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻǣ
ܸሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ͳ
ͷ
ͷ
Ǣܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ൬
൰൬
൰
െ͸
ʹ
ܵ ൅ ͳ ሺͳ ൈ ͳͲ ܵ ሻ ൅ ሺͲǡͲͳ͸͹ܵሻ ൅ ͳͻǡͶ
ܵ൅ͳ
ሺͷ ൈ ͳͲെ͸ ሻ
ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ͵
ܵ ൅ ሺͳ͸ǡ͹ ൈ ͳͲ͵ ሻܵ ʹ ൅ ሺͳͻǡͶʹ ൈ ͳͲ͸ ሻܵ ൅ ሺͳͻǡͶ ൈ ͳͲ͸ ሻ
Cálculo de ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻǣ
70
Como se tienen fuentes dependientes es necesario calcular ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ inyectando una
fuente de corriente de prueba ‫ ܲܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ16 y obteniendo ܸܲ ሺ‫ݏ‬ሻ, la relación
ܸܲ ሺ‫ݏ‬ሻΤ‫ ܲܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻes la impedancia equivalente ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ , igual procedimiento se debe
hacer cuando se tengan inductancias mutuas, incluso este procedimiento funciona
cuando no se tienen elementos acoplados (fuentes dependientes o inductancias
mutuas) pero en este caso puede resultar más corto usar las equivalencias serie,
paralelo , Y-∆ o viceversa.
Figura 48. Cálculo de ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ
Mediante una fuente de corriente de prueba ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻse va a hallar un voltaje de
prueba ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ, para que la relación de ambos arroje el resultado de la ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻǣ
ܸܺ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻǢ ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
16
ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ ܸܺ ሺ‫ݏ‬ሻ
ൌ
‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
También puede aplicarse una fuente de voltaje ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ y calcular ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ para obtener la relación propuesta
ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ
‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ൌ ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ.
71
Nodo 1:
Nodo a:
ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ
൅
െ ͲǡͲ͵ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ͲሺͶͲሻ
ሺʹͲ ൅ ͲǡͲͳܵሻ
ͷͲ
Despejando ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ de (41):
ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ
െ ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ͲሺͶͳሻ
ͷͲ
ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ ͷͲ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
Reemplazando este valor en la ec.(40):
ൣܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ ͷͲ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ൧ ൣܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ ͷͲ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ൧
൅
െ ͲǡͲ͵ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ
ʹͲ ൅ ͲǡͲͳܵ
ͷͲ
Organizando la ecuación anterior se tiene:
ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ሺͲǡͲͳܵ ൅ ͹Ͳሻ
ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ൌ
‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ሺെͲǡ͵ ൈ ͳͲെ͵ ܵ ൅ ͲǡͶሻ
Figura 49. Equivalente de Thévenin
72
Ahora se resuelve el mismo ejercicio usando el teorema unificado de Thévenin:
Figura 50. Ejemplo aplicando el teorema unificado de Thévenin
Usando voltajes de rama: 17
ܸ‫ ݌‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻሺͶʹሻ
Figura 51. Gráfico orientado
Incógnitas: ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻǡ ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ y ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻ
17
No es problema, para describir el circuito usando como incógnitas los voltajes de rama, elegir las fuentes
de corriente como ramas (si la descripción fuera por corrientes de enlace es recomendable elegirlas como
enlace).
La dirección elegida para el elemento 3 es la indicada para determinar ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸܲ ሺ‫ݏ‬ሻ.
73
No hay inductancias acopladas
Fuentes de corriente: ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ͲǡͲ͵ܸ‫ ݔ‬ሺ‫ݏ‬ሻǢ‫ ͵ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ െ‫ ݌ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
Los demás elementos pasivos:
‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܸͶ ሺ‫ݏ‬ሻ
ܸͷ ሺ‫ݏ‬ሻ
ܸ͸ ሺ‫ݏ‬ሻ
Ǣ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
Ǣ‫ܫ‬͸ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ൌ ‫ܸܵܥ‬͸ ሺ‫ݏ‬ሻ
ͳൗ
ܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬
ܴʹ
‫ܵܥ‬
Sumatorio de corrientes en los nodos a los que no llegan fuentes de voltaje:
෍ ‫ܫ‬ሺʹሻ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳെ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ ‫ܫ‬Ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ͲሺͶ͵ሻ
෍ ‫ܫ‬ሺ͵ሻ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ‫ ͵ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ ‫ܫ‬ͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ‫ܫ‬͸ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ͲሺͶͶሻ
Ecuación de la fuente de voltaje:
Reemplazando:
ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸሺ‫ݏ‬ሻ ฺ ‡Ž‹‹ƒ—ƒ‹…׉‹–ƒ
െͲǡͲ͵ܸ‫ ݔ‬ሺ‫ݏ‬ሻ െ
Se conoce que: ܸܺ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸ͸ ሺ‫ݏ‬ሻ
ܸͷ ሺ‫ݏ‬ሻ
ܸͶ ሺ‫ݏ‬ሻ
൅
ൌ ͲሺͶͷሻ
ܴʹ
ܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬
ሾെ‫ ܲܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻሿ െ
ܸͷ ሺ‫ݏ‬ሻ
൅ ‫ܸܵܥ‬͸ ሺ‫ݏ‬ሻሺͶ͸ሻ
ܴʹ
Expresando Venlace en función de los de rama:
Sumatorio de voltajes en anillos:
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͶሻ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ͲܸͶ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ ฺ ܸͶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͷሻ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳܸͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ ฺ ܸͷ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ െܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻ
74
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺ͸ሻ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳܸ͸ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ ฺ ܸ͸ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻ
Reemplazando en las ecuaciones (45) y (46):
െͲǡͲ͵ሾܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻሿ െ
െ
ܸሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ሾെܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻሿ
൅
ൌ ͲሺͶ͹ሻ
ܴʹ
ܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬
ሾെܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ െ ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻሿ
൅ ‫ܵܥ‬ሾܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻሿ ൌ ‫ ܲܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻሺͶͺሻ
ܴʹ
Despejando ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻ que es ܸܲ ሺ‫ݏ‬ሻ:
De la ec.(47):
ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
Reemplazando en la ec.(48):
െ
ܸሺ‫ݏ‬ሻ
ͳ
െ ܸ͵ ሺ‫ݏ‬ሻ ቂͲǡͲ͵ ൅ ቃ
ܴʹ
ܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬
ͳ
ͳ
ቂܴ ൅
ܴ
൅
‫ܵܮ‬ቃ
ʹ
ͳ
ܸሺ‫ݏ‬ሻ
ͳ
ͳ െ ܴͳ ൅ ‫ ܵܮ‬െ ܸܲ ሺ‫ݏ‬ሻ ቂͲǡͲ͵ ൅ ܴʹ ቃ
൦
൪ ൅ ܸܲ ሺ‫ݏ‬ሻ ቂ‫ ܵܥ‬൅ ͳൗܴ ቃ ൌ ‫ ܲܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ͳ
ͳ
ʹ
ܴʹ
ቂܴ ൅ ܴ ൅ ‫ܵܮ‬ቃ
Despejando ܸܲ ሺ‫ݏ‬ሻ:
ʹ
ͳ
ͳ
ቀͲǡͲ͵ ൅ ͳൗܴ ቁ
ܸሺ‫ݏ‬ሻ
ܴ
ʹ
ʹ
൪ ൌ ‫ ܲܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅
ܸܲ ሺ‫ݏ‬ሻ ൦ቀ‫ ܵܥ‬൅ ͳൗܴ ቁ െ
ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
ʹ
ܴʹ ሺܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ ቀ ൅
൅
ቁ
ܴʹ ܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬
ܴʹ ܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬
75
ܸܲ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
൅
ͳ
ͲǡͲ͵ ൅ ͳൗܴ
ʹ
ͳ
‫ ܵܥ‬൅ ൗܴ െ
ͳ
ͳ
ʹ
ܴʹ ቂܴ ൅ ܴ ൅ ‫ܵܮ‬ቃ
ʹ
ͳ
ܴʹ ሺܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ ቀ
ܸሺ‫ݏ‬ሻ
‫ ܲܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ‫ڮ‬
ͳ
ͳ
൅
ቁ ൦‫ ܵܥ‬൅ ͳൗܴ െ
ܴʹ ܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬
ʹ
ͲǡͲ͵ ൅ ͳൗܴ
ʹ
൪
ͳ
ͳ
ܴʹ ቂ ൅ ܴ ൅ ‫ܵܮ‬ቃ
ܴʹ
ͳ
ܴ
ͳ ൅ ܴ ൅ʹ ‫ܵܮ‬
ͳ
ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ͳ
ܴʹ
ቀ‫ ܵܥ‬൅ ቁ ቀͳ ൅
ቁ െ ቀͲǡͲ͵ ൅ ͳൗܴ ቁ
ܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬
ܴʹ
ʹ
ܴʹ
ͳ൅
ܸሺ‫ݏ‬ሻ
ܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬
൦
൪
ܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ͳ
ͳ
ͳ
ܴʹ
ͳ
ܴʹ ሺܴͳ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ ቀܴ ൅ ܴ ൅ ‫ܵܮ‬ቁ ቀ‫ ܵܥ‬൅ ܴ ቁ ቀͳ ൅ ܴ ൅ ‫ܵܮ‬ቁ െ ቀͲǡͲ͵ ൅ ൗܴ ቁ
ʹ
ͳ
ʹ
ͳ
ʹ
2.3.4 EJERCICIOS RESUELTOS
2.3.4.1 Calcular el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b de la
figura 52.
76
Figura 52. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Primero se empieza por calcular el ܸ݄ܶ entre las terminales a y b.
Figura 53. Cálculo de ܸ݄ܶ
ܸ݄ܶ ൌ ͸‫ ͵ܫ‬Ǣ‫ ͳܫ‬ൌ ͷ‫ܣ‬Ǣܸܺ ൌ Ͷሺ‫ ͳܫ‬െ ‫ ͵ܫ‬ሻ ՜ ܸܺ ൌ ʹͲ െ Ͷ‫͵ܫ‬
Por medio de un análisis de mallas se obtiene la corriente ‫ ͵ܫ‬:
77
Malla 2:
ʹሺ‫ ʹܫ‬െ ‫ ͵ܫ‬ሻ ൌ ʹܸܺ Ǣ ”‡‡’Žƒœƒ†‘ܸܺ Ǣ ʹሺ‫ ʹܫ‬െ ‫ ͵ܫ‬ሻ ൌ ͶͲ െ ͺ‫ ͵ܫ‬
ʹ‫ ʹܫ‬൅ ͸‫ ͵ܫ‬ൌ ͶͲሺͶͻሻ
Malla 3:
ʹሺ‫ ͵ܫ‬െ ‫ ʹܫ‬ሻ ൅ ͸‫ ͵ܫ‬൅ Ͷሺ‫ ͵ܫ‬െ ‫ ͳܫ‬ሻ ൌ ͲǢ ‘”‰ƒ‹œƒ†‘Ǣെʹ‫ ʹܫ‬൅ ͳʹ‫ ͵ܫ‬ൌ ʹͲ
‫ ʹܫ‬ൌ ͸‫ ͵ܫ‬െ ͳͲሺͷͲሻ
Reemplazando ‫ ʹܫ‬en la ecuación (49) se puede hallar la corriente ‫͵ܫ‬
necesita para calcular el ܸ݄ܶ .
ʹሺ͸‫ ͵ܫ‬െ ͳͲሻ ൅ ͸‫ ͵ܫ‬ൌ ͶͲǢ †‡•’‡Œƒ†‘‫ ͵ܫ‬՜ ‫ ͵ܫ‬ൌ
ͳͲ
ܸ݄ܶ ൌ ͸‫ ͵ܫ‬ൌ ͸ ൬ ൰ ൌ ʹͲܸ
͵
que se
ͳͲ
͵
Para el cálculo de ܴ݄ܶ se conecta entre las terminales a y b una fuente de prueba
y se reemplaza la fuente de corriente independiente por un circuito abierto.
Figura 54. Cálculo de ܴ݄ܶ
78
Del circuito anterior se puede ver que:
ܴ݄ܶ ൌ
ܸ‫݌‬
ͳ
ൌ Ǣ݅‫ ݌‬ൌ െ݅͵ Ǣܸܺ ൌ െͶ‫ʹܫ‬
݅‫݌݅ ݌‬
A continuación se hace un análisis de mallas para obtener el valor de las
corrientes
Malla 1:
ʹሺ‫ ͳܫ‬െ ‫ ʹܫ‬ሻ ൌ ʹܸܺ Ǣ ”‡‡’Žƒœƒ†‘ܸܺ Ǣ ʹሺ‫ ͳܫ‬െ ‫ ʹܫ‬ሻ ൌ െͺ‫ʹܫ‬
‫ ͳܫ‬൅ ͵‫ ʹܫ‬ൌ Ͳሺͷͳሻ
Malla 2:
͸ሺ‫ ʹܫ‬െ ‫ ͵ܫ‬ሻ ൅ Ͷ‫ ʹܫ‬൅ ʹሺ‫ ʹܫ‬െ ‫ ͳܫ‬ሻ ൌ ͲǢ ‘”‰ƒ‹œƒ†‘
‫ ͳܫ‬െ ͸‫ ʹܫ‬൅ ͵‫ ͵ܫ‬ൌ Ͳሺͷʹሻ
Malla 3:
͸ሺ‫ ͵ܫ‬െ ‫ ʹܫ‬ሻ ൅ ʹ‫ ͵ܫ‬ൌ െͳǢ ‘”‰ƒ‹œƒ†‘
ͺ‫ ͵ܫ‬െ ͸‫ ʹܫ‬ൌ െͳሺͷ͵ሻ
Resolviendo las ecs.(51), (52) y (53) se obtienen los valores de las corrientes:
‫ ͳܫ‬ൌ Ͳǡͳ͸ͺ‫ܣ‬Ǣ‫ ʹܫ‬ൌ െͲǡͲͷͷ‫ܣ‬Ǣ‫ ͵ܫ‬ൌ െͲǡͳ͸͹‫ܣ‬
Finalmente se halla el ܴ݄ܶ :
ܴ݄ܶ ൌ
ͳ
ͳ
ͳ
ൌ
ൌ
ൌ ͸Ω
‫ ݌ܫ‬െ‫Ͳ ͵ܫ‬ǡͳ͸͹
79
Figura 55. Equivalente de Thévenin
2.3.4.2 Calcular el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b de la
figura 56.
Figura 56. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Para calcular ॽ݄ܶ se determina el voltaje en bornes a y b con los terminales
abiertos
80
Figura 57. Cálculo de ॽ݄ܶ
Como la corriente ॴʹ ൌ Ͳ, entonces ॽ݄ܶ ൌ ݆ͷͲॴͳ y mediante un análisis de mallas
se obtiene el valor de ॴͳ , necesario para obtener el ॽ݄ܶ .
Malla 1:
െͺͲ ൅ ͳͲͲॴͳ െ ݆ͳͲͲॴͳ ൅ ݆ͳͲͲॴͳ ൌ Ͳ†‡•’‡Œƒ†‘ͳͲͲॴͳ ൌ ͺͲǢॴͳ ൌ Ͳǡͺ‫ܣ‬
Reemplazando ॴͳ se halla ॽ݄ܶ ǣ
ॽ݄ܶ ൌ ݆ͷͲॴͳ ൌ ݆ͷͲሺͲǡͺሻ ൌ ݆ͶͲ
Mediante una fuente de prueba se halla laԺ݄ܶ .
Figura 58. Cálculo de Ժ݄ܶ
81
Ժ݄ܶ ൌ
Malla 1:
ॽܲ
ॴܲ
ሺͳͲͲ ൅ ݆ͳͲͲ െ ݆ͳͲͲሻॴ ൅ ݆ͷͲॴܲ ൌ Ͳ
Malla 2:
ॴ ൌ െ
݆ͷͲ
‫ ܫ‬ሺͷͶሻ
ͳͲͲ ܲ
െॽ‫ ݌‬൅ ݆ͷͲॴ‫ ݌‬൅ ݆ͷͲॴ ൌ Ͳሺͷͷሻ
Organizando:
”‡‡’Žƒœƒ†‘ॴǢॽ‫ ݌‬ൌ ݆ͷͲॴ‫ ݌‬൅ ݆ͷͲ ൤െ
ॽ‫ ݌‬ൌ ݆ͷͲॴ‫ ݌‬൅ ʹͷॴ‫ ݌‬ൌ ሺ݆ͷͲ ൅ ʹͷሻॴ‫݌‬
Ժ݄ܶ ൌ
ॽ‫݌‬
ൌ ሺʹͷ ൅ ݆ͷͲሻΩ
ॴ‫݌‬
Figura 59. Equivalente de Thévenin
82
݆ͷͲ
ॴ ൨
ͳͲͲ ‫݌‬
Ahora se resuelve por el mismo ejercicio por medio del teorema unificado de
Thévenin: ॽܲ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ժ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻॴܲ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ॽ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻሺͷ͸ሻ
Figura 60. Ejercicio resuelto por medio de Thévenin unificado
Malla de la izquierda:
Organizando:
െͺͲ ൅ ሺͳͲͲ െ ݆ͳͲͲሻॴ݉ ൅ ݆ͳͲͲॴ݉ ൅ ݆ͷͲॴܲ ൌ Ͳ
Malla de la derecha:
ॴ݉ ൌ Ͳǡͺ െ ݆Ͳǡͷॴܲ ሺͷ͹ሻ
െॽܲ ൅ ݆ͷͲॴܲ ൅ ݆ͷͲॴ݉ ൌ Ͳሺͷͺሻ
Reemplazando la ec.(57) en (58):
ॽܲ ൌ ݆ͷͲॴܲ ൅ ݆ͷͲሾͲǡͺ െ ݆Ͳǡͷॴܲ ሿ ൌ ሺʹͷ ൅ ݆ͷͲሻॴܲ ൅ ݆ͶͲ
Ժ݄ܶ ൌ ሺʹͷ ൅ ݆ͷͲሻ
83
ॽ݄ܶ ൌ ݆ͶͲ
2.3.4.3 En el circuito que se muestra a continuación, calcular el equivalente de
Thévenin entre las terminales a y b.
Figura 61. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Del circuito anterior se obtienen las siguientes ecuaciones.
‫ ݔܫ‬ൌ
ܸͳ
Ǣ ’‘”Ž‘–ƒ–‘ܸ‫ ݄ݐ‬ൌ ͺ‫ݔܫ‬
ͺ
84
Figura 62. Cálculo de ܸ‫݄ݐ‬
Aplicando voltajes de nodo al circuito se obtiene la ecuación necesaria para hallar
el valor de ܸ‫ ݄ݐ‬.
Nodo 1:
Reemplazando ‫ ݔܫ‬:
ܸͳ ൌ ܸ‫ ݄ݐ‬Ǣܸʹ ൌ ʹͶܸǢ‫ ݔܫ‬ൌ
ܸ‫݄ݐ‬
ͺ
ܸ‫݄ݐ‬
ܸ‫ ݄ݐ‬െ ʹͶ
൅ ͵‫ ݔܫ‬൅ Ͷ ൅
ൌ Ͳሺͷͻሻ
ͺ
ʹ
ܸ‫ ݄ݐ‬െ ʹͶ
ܸ‫݄ݐ‬
ܸ‫݄ݐ‬
൅ ͵൤ ൨൅ Ͷ ൅
ൌ Ͳ†‡•’‡Œƒ†‘Ǣܸ‫ ݄ݐ‬ൌ ͺܸ
ʹ
ͺ
ͺ
Para obtener el valor de la ܴ‫ ݄ݐ‬se pone una fuente de prueba entre las terminales
a y b del circuito, y se reemplazan la fuente independiente de corriente por un
circuito abierto y la fuente independiente de voltaje por un corto circuito.
85
Figura 63. Cálculo de ܴ‫݄ݐ‬
Del circuito se puede ver que:
‫ ݔܫ‬ൌ
Nodo 1:
Reemplazando ‫ ݔܫ‬:
ܸ‫݌‬
ܸ‫݌‬
Ǣܴ‫ ݄ݐ‬ൌ ͺ
‫݌ܫ‬
ܸ‫݌ܸ ݌‬
൅ െ ‫ ݌ܫ‬൅ ͵‫ ݔܫ‬ൌ Ͳሺ͸Ͳሻ
ͺ
ʹ
ܸ‫݌ܸ ݌‬
ܸ‫݌‬
ܸ‫݌‬
൅ െ ‫ ݌ܫ‬൅ ͵ ൤ ൨ ൌ ͲǢ ൌ ͳΩ
ͺ
ʹ
ͺ
‫݌ܫ‬
ܴ‫ ݄ݐ‬ൌ
ܸ‫݌‬
ൌ ͳΩ
‫݌ܫ‬
86
Figura 64. Equivalente de Thévenin
2.3.4.4 Hallar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b de la figura 65.
Figura 65. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Haciendo una transformación de fuentes se obtiene el siguiente circuito donde se
han puesto en cortocircuito las terminales a y b:
87
Figura 66. Circuito con transformación de fuentes
Del circuito se puede ver que: ॽ ൌ ሺʹͲ‫ ͲͲע‬െ ͳͲॴܿܿ ሻ
Aplicando corrientes de malla al circuito anterior:
ሺʹͲ‫ ͲͲע‬ሻ ൌ ͳͲॴܿܿ െ ͵ሺॽሻ ൅ ሺ݆ͳͲሻॴܿܿ െ ሺ݆ͷሻॴܿܿ ሺ͸ͳሻ
ሺʹͲ‫ ͲͲע‬ሻ ൌ ͳͲॴܿܿ െ ሺ͸Ͳ‫ ͲͲע‬ሻ ൅ ͵Ͳॴܿܿ ൅ ሺ݆ͳͲሻॴܿܿ െ ሺ݆ͷሻॴܿܿ
ሺͺͲ‫ ͲͲע‬ሻ ൌ ሺͶͲ ൅ ݆ͷሻॴܿܿ
Donde ॴܿܿ es la ॴܰ‫ͳ ݊݋ݐݎ݋‬ͺ
ॴܿܿ ൌ
ሺͺͲ‫ ͲͲע‬ሻ
ൌ ሺͳǡͻͺ‫ע‬െ͹ǡͳʹͲ ሻ
ሺͶͲ ൅ ݆ͷሻ
Cálculo de ॽ݄ܶ ǣ
ॽ݄ܶ ൌ ॽܾܽ ൌ ሺെ݆ͳͲሻॴ ൅ ͵ሺʹͲ‫ ͲͲע‬െ ͳͲॴሻ െ ͳͲሺॴሻ ൅ ሺʹͲ‫ ͲͲע‬ሻ ൅ ሺ݆ͷሻॴሺ͸ʹሻ
En el circuito abierto la corriente es cero: ॴ ൌ Ͳ
18
El teorema de Norton se explica en el numeral 2.4
88
Por lo tanto:
ॽ݄ܶ ൌ ሺ͸Ͳ‫ ͲͲע‬ሻ ൅ ሺʹͲ‫ ͲͲע‬ሻ ൌ ͺͲܸ
Voltaje que se habría podido obtener más fácilmente del circuito original (figura 65)
puesto que si los terminales a y b están abiertos la corriente de valor ʹ‫ ͲͲע‬circula
a través de la resistencia de 10 Ω y por lo tanto
ॽ ൌ ʹ‫ Ͳͳ כ ͲͲע‬ൌ ʹͲܸ
Por lo tanto
Cálculo de Ժ݄ܶ ǣ
ॽ݄ܶ ൌ ॽ ൅ ͵ॽ ൌ ͺͲܸ
Ժ݄ܶ ൌ
ॽ݄ܶ
ॴܰ‫݊݋ݐݎ݋‬
ൌ
ॽ݄ܶ ͺͲሺͶͲ ൅ ݆ͷሻ
ൌ
ൌ ሺͶͲ ൅ ݆ͷሻΩ
ͺͲ
ॴܿܿ
Más adelante se mostrará que los equivalentes de Thévenin y de Norton son
equivalentes entre sí.
Figura 67. Equivalente de Thévenin
2.3.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
2.3.5.1 En el circuito de la figura 68, hallar el voltaje ܸͲ .
89
Figura 68. Ejercicio propuesto
2.3.5.2 Calcular el voltaje entre los terminales a y b en el circuito de la figura 69.
Figura 69. Ejercicio propuesto
2.3.5.3 En términos de la transformada de Laplace, determinar el equivalente de
Thévenin entre las terminales a y b del circuito de la figura 70.
90
Figura 70. Ejercicio propuesto
2.3.5.4 Determinar el equivalente de Thévenin a la izquierda de a y b, en términos
de la transformada de Laplace
Figura 71. Ejercicio propuesto
2.3.5.5 a) Transformar el circuito ilustrado y obtener la red equivalente de
Thévenin entre los terminales a y b ሾܸ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ y ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻሿ
91
b) Repetir el ejercicio usando el teorema unificado de Thévenin
Figura 72. Ejercicio propuesto
2.3.5.6 Determinar ܼ݄ܶ ሺ‫ݏ‬ሻ entre a y b para la red de la figura 73
Figura 73. Ejercicio propuesto
92
2.3.5.7 Para el circuito de la figura 74 hallar ܼܾܽ ሺ‫ݏ‬ሻ
Figura 74. Ejercicio propuesto
2.3.5.8 Determinar el equivalente de Thévenin a la izquierda de a y b en términos
de la transformada de Laplace
Figura 75. Ejercicio propuesto
93
2.3.5.9 El circuito de la figura 76 es un cubo de lado 3m, cada lado tiene una
resistencia de ߛ ൌ ͳȳȀ݉. Determinar ܴ݄ܶ entre 1 y 1´
Figura 76. Ejercicio propuesto
2.4 TEOREMA DE NORTON
El teorema de Norton19 se puede considerar el dual del teorema de Thévenin ya
que permite reemplazar parte de la red por un circuito equivalente constituido por
la misma red Nao en paralelo con una fuente independiente de corriente.
Debieron transcurrir casi cuarenta años para que una versión del de Thévenin, que
no es más que el uso de la transformación de una fuente de voltaje en una de
corriente, se enunciara como otro teorema.
19
Edward Lawry Norton (Rockland, Maine, 28 de julio de 1898 - Chatham, Nueva Jersey, 28 de enero de
1983) fue un ingeniero y científico empleado de los Laboratorios Bell. Es conocido principalmente por
enunciar el teorema que lleva su nombre. Sirvió como operador de radio en el U.S Marina entre 1917 y
1919, asistió a la Universidad de Maine durante un año antes y un año después de su servicio durante la
guerra, luego fue trasladado al M.I.T.
94
2.4.1 ENUNCIADO
“Cualquier red lineal (Na) variante o invariante con el tiempo, compuesta por
elementos pasivos y activos (dependientes e independientes) conectada a otra red
(Nb) o carga que puede ser lineal o no, variante o invariante con el tiempo y su
estado energético nulo o no mediante dos terminales p y q (figura 77a) , se puede
sustituir desde el punto de vista de sus terminales por un circuito equivalente que
contenga sólo una fuente de corriente independiente en paralelo con una red Nao
(Figura 77b) que se obtiene de Na haciendo todas las fuentes independientes
contenidas en ella y el estado energético inicial iguales a cero, siempre y cuando
la interconexión entre la carga Nb y la red Na tengan solución única y no haya
ningún acoplamiento entre ellas.” 20
Figura 77. Circuito original y Circuito equivalente de Norton
2.4.2 DEMOSTRACIÓN
20
Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS” , 1987.
95
Figura 78. Demostración del teorema de Norton
Aplicando el teorema de superposición al circuito de la figura 78a se puede ver
que el voltaje ܸሺ‫ݐ‬ሻ a través de la red pasiva Nb, se compone del voltaje ܸͳ ሺ‫ݐ‬ሻ que
es generado por la acción de todas las fuentes en la red Na de la figura 77a y el
voltaje ܸʹ ሺ‫ݐ‬ሻ debido a la fuente de corriente ‫ ݔܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ de la figura 78b. Por lo tanto:
ܸሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܸͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ܸʹ ሺ‫ݐ‬ሻሺ͸͵ሻ
Cuando ܸሺ‫ݐ‬ሻ es cero se puede reemplazar la red pasiva Nb en la figura 78a por un
corto circuito a través del cual no circula ninguna corriente, por lo tanto al aplicar el
teorema de superposición se obtiene que:
Ͳ ൌ ‫ ݊ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ሾെ‫ ݔܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻሿሺ͸Ͷሻ
Esto indica que para que el voltaje a través de la red pasiva Nb sea nulo, ‫ ݔܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
debe ser igual a ‫ ݊ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ como se muestra en la figura 79. Si la dirección de ‫ ݔܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ
‫ ݊ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ, se produce una caída de tensión ܸͳ ሺ‫ݐ‬ሻ en la red pasiva Nb de la figura 77b.
Figura 79. Determinación de la corriente de Norton
96
2.4.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
En términos de la transformada de Laplace. Hallar el equivalente de Norton entre
los terminales a y b de la figura 80.
Figura 80. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
Cálculo de ܼͲ ǣ‡†ܰܽͲ
Figura 81. Cálculo de ܼͲ
97
ܼͲ ሺ‫ݏ‬ሻ ՜ ƒ”ƒŽ‡Ž‘†‡
ͳ
…‘Žƒ•‡”‹‡†‡ܴͳ ǡ ܴʹ ›‫ܵܮ‬
‫ܵܥ‬
ͳ
ܴͳ ܴʹ
‫ כ‬ሺܴͳ ൅ ܴʹ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ
‫ ܵܥ‬൅ ‫ܮܥ‬
ܴͳ ൅ ܴʹ ൅ ‫ܵܮ‬
‫ܵܥ‬
ܼͲ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ൌ
ൌ
ʹ
ͳ
ͳ
ሺܴͳ ൅ ܴʹ ൅ ‫ܵܮ‬ሻ ‫ ܵ ͳܴܥ‬൅ ‫ ܵ ʹܴܥ‬൅ ‫ ܵܮܥ‬൅ ͳ ܵ ʹ ൅ ሺܴͳ ‫ ܮ‬൅ ܴʹ ‫ܮ‬ሻܵ ൅
൅
‫ܮܥ‬
‫ܵܥ‬
ܼͲ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܵʹ
ܴͳ ܴʹ
ͳ
‫ ܵܥ‬൅ ‫ͳܭ‬
†‘†‡‫ ͳܭ‬ൌ
Ǣ‫ ʹܭ‬ൌ ሺܴͳ ‫ ܮ‬൅ ܴʹ ‫ܮ‬ሻǢ‫ ͵ܭ‬ൌ ‫ܮܥ‬
‫ܮܥ‬
൅ ‫ ܵ ʹܭ‬൅ ‫͵ܭ‬
Figura 82. Cálculo de ‫ ܰܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻǣ
Se halla la impedancia equivalente entre ܴͳ ǡ ܴʹ ›‫ ܵܮ‬y se convierte la fuente de
voltaje en fuente de corriente:
Figura 83. Impedancia equivalente y conversión de las fuentes
98
‫ ܰܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ ݍ݁ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܸሺ‫ݏ‬ሻ
ܴͳ ൅ ܴʹ ൅ ‫ܵܮ‬
Figura 84. Equivalente de Norton:
‫ ܰܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ ݍ݁ܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
‫ ܵܥ‬൅ ‫ͳܭ‬
ܸሺ‫ݏ‬ሻ
ǢܼͲ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ʹ
ܵ ൅ ‫ ܵ ʹܭ‬൅ ‫͵ܭ‬
ܴͳ ൅ ܴʹ ൅ ‫ܵܮ‬
2.4.4 EJERCICIOS RESUELTOS
2.4.4.1 Encontrar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la
figura 85
Figura 85. Ejercicio resuelto
99
SOLUCIÓN:
Primero se determina la ‫ ܰܫ‬, para esto se ponen en cortocircuito las terminales a y
b de la figura 85. Como se ve ܸܾܽ ൌ Ͳcuando las terminales están en cortocircuito:
Figura 86. Cálculo de ‫ܰܫ‬
Entonces:
‫ܫ‬ൌ
ͷ
ൌ ͳͲ݉‫ܣ‬Ǣ ’‘”Ž‘–ƒ–‘‫ ܰܫ‬ൌ െͳͲ‫ ܫ‬ൌ െͳͲሺͳͲ݉‫ܣ‬ሻ ൌ െͲǡͳ‫ܣ‬
ͷͲͲ
Cálculo de RN:
Haciendo la ecuación de la corriente de malla en la parte izquierda del circuito de
la figura 86:
െͷ ൅ ͷͲͲ‫ ܫ‬൅ ܸܾܽ ൌ Ͳሺ͸ͷሻ
Ahora se hace la malla del lado derecho del circuito (sin el cortocircuito):
ܸܾܽ ൌ െʹͷሺͳͲ‫ܫ‬ሻ ൌ െʹͷͲ‫ܫ‬ሺ͸͸ሻ
†‡•’‡Œƒ†‘‫ ܫ‬ൌ
100
െܸܾܽ
ʹͷͲ
Al sustituir ‫ܫ‬en la ecuación (65) se obtiene ܸܾܽ :
െܸܾܽ
൰ ൅ ܸܾܽ ൌ ͷǢܸܾܽ ൌ െͷܸ
ͷͲͲ ൬
ʹͷͲ
Por lo tanto se procede a obtener la ܴܰ :
ܴܰ ൌ
ܸܾܽ
െͷ
ൌ
ൌ ͷͲΩ
െͲǡͳ
‫ܰܫ‬
Figura 87. Equivalente de Norton:
2.4.4.2 Hallar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la figura 88,
en régimen permanente sinusoidal (usando fasores).
Figura 88. Ejercicio resuelto
101
SOLUCIÓN:
Se halla un circuito equivalente y por medio de un divisor de corriente se obtiene el
valor de ॴܰ :
Figura 89. Cálculo de ॴܰ
Cálculo de Ժܰ ǣ
ॴܰ ൌ
ॴ ൌ ሺͳ‫ ͲͲͻע‬ሻ ൌ ݆
െሺ͵ ൅ ݆ሻ
ሺ݆ሻ ൌ ሺͲǡʹͶ‫ע‬െͳͲͶǡͲ͵Ͳ ሻ‫ܣ‬
ሺ͵ ൅ ݆ሻ ൅ ሺͺ ൅ ݆͸ሻ
Se elimina la fuente de corriente y se encuentra la impedancia equivalente del
circuito:
Figura 90. Cálculo de Ժܰ
102
Ժܰ ൌ ሺͳͳ ൅ ݆͹ሻΩ
Figura 91. Equivalente de Norton
2.4.4.3 Encontrar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la
figura 92.
Figura 92. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Cálculo de ܴܰ ǣ
103
La fuente de corriente se reemplaza por un circuito abierto y la fuente de voltaje se
reemplaza por un corto circuito:
Figura 93. Cálculo de ܴܰ
Cálculo de ‫ ܰܫ‬ǣ
ܴܰ ൌ ൫ͷ ‫ צ‬ሺͺ ൅ Ͷ ൅ ͺሻ൯ ൌ
ሺʹͲ ൈ ͷሻ
ൌ ͶΩ
ʹͲ ൅ ͷ
Se pone en cortocircuito las terminales a y b, de esta forma se halla la corriente de
Norton que circula por el circuito:
Figura 94. Cálculo de ‫ܰܫ‬
104
‫ ͳܫ‬ൌ ʹ‫ܣ‬Ǣ‫ ʹܫ‬ൌ ‫ܰܫ‬
Malla 2:
Organizando y despejando ‫ ʹܫ‬:
Ͷሺ‫ ʹܫ‬െ ‫ ͳܫ‬ሻ ൅ ͳ͸‫ ʹܫ‬െ ͳʹ ൌ Ͳሺ͸͹ሻ
‫ ܰܫ‬ൌ ‫ ʹܫ‬ൌ ͳ‫ܣ‬
Figura 95. Equivalente de Norton
2.4.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
2.4.5.1 Resolver todos los ejemplos de aplicación, ejercicios resueltos y los
propuestos de la parte anterior (teorema de Thévenin) usando el teorema
de Norton.
2.4.5.2 En el circuito de la figura 96, hallar el voltaje ܸͲ empleando el teorema de
Norton.
105
Figura 96. Ejercicio propuesto
2.4.5.3 Para el circuito de la figura 97, encontrar el voltaje ܸͲ , empleando el
teorema de Norton.
Figura 97. Ejercicio propuesto
2.4.5.4 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales a y b del circuito
de la figura 98, en términos de la transformada de Laplace.
106
Figura 98. Ejercicio propuesto
2.4.5.5 Transformar el circuito ilustrado y obtener la red equivalente de Norton
entre los terminales a y b, ሾ‫ ܰܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ›ܻܰ ሺ‫ݏ‬ሻሿ
Figura 99. Ejercicio propuesto
2.4.5.6 Determinar el circuito equivalente de Norton, en términos de la
transformada de Laplace
107
Figura 100. Ejercicio propuesto
2.4.5.7 Determinar la impedancia equivalente entre los terminales p y q
Figura 101. Ejercicio propuesto
2.4.5.8 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales a y b del circuito
de la figura 102, en términos de la transformada de Laplace
108
Figura 102. Ejercicio propuesto
2.4.5.9 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales p y q del circuito
de la figura 103, en términos de la transformada de Laplace
Figura 103. Ejercicio propuesto
109
2.4.5.10 Cuando el circuito ha alcanzado el estado estacionario con el interruptor
en la posición 1, este se pasa a la posición 2. Tomando este instante
como referencia (t=0) determinar la red equivalente de Norton en
términos de la Transformada de Laplace entre los terminales x – y
considerando como carga la inductancia L.
Determine ‫ ܮܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ‡‫ ܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ’ƒ”ƒ‫ ݐ‬൒ Ͳ
Figura 104. Ejercicio propuesto
2.5 TEOREMA DE RECIPROCIDAD
2.5.1 EL PRINCIPIO DE RECIPROCIDAD
Una de las propiedades más útiles para la solución de muchos problemas
prácticos e investigaciones en la teoría de los circuitos eléctricos LINEALES,
PASIVOS e INVARIANTES CON EL TIEMPO, es la de la reciprocidad. Su estudio
se basa en la comparación de dos circuitos constituidos alrededor de la misma red
F0 (que como se dijo debe ser lineal, pasiva e invariante con el tiempo, su estado
110
energético inicial debe ser nulo y no contener fuentes dependientes), una vez
hecho esto se relacionan las corrientes y voltajes ܸͳ ǡ ܸʹ ǡ ‫ ͳܫ‬ǡ ‫ܸ› ʹܫ‬෠ͳ ǡ ܸ෠ʹ ǡ ‫ܫ‬መͳ ǡ ‫ܫ‬መʹ ,
definidos como se muestra en la figura 105 de la siguiente forma21:
ܸͳ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ܸʹ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መʹ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܸ෠ͳ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ܸ෠ʹ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻሺ͸ͺሻ
Figura 105. Principio de reciprocidad
2.5.2 EL TEOREMA COMO UNA CONSECUENCIA DEL PRINCIPIO
Un caso particular del principio de reciprocidad es el Teorema de reciprocidad:
Figura 106. Teorema de reciprocidad
21
La demostración de este principio se basa en el teorema de Tellegen que se enuncia en el capítulo 3. Se
deja como ejercicio su demostración
111
Utilizando la ecuación (68) del principio de reciprocidad y reemplazando los
valores de la figura 106, se tiene:
ܸͳ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ܸʹ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መʹ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܸ෠ͳ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ܸ෠ʹ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ܸሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ Ͳ ൈ ‫ܫ‬መʹ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ ൈ ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ܸሺ‫ݐ‬ሻ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ܸሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܸሺ‫ݐ‬ሻ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ฺ ‫ܫ‬መͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
La lectura de los amperímetros es la misma, si se intercambian excitación y
medida
2.5.3 ENUNCIADO
“La relación entre la transformada de Laplace de una respuesta ya sea de
corriente o voltaje medida en un nodo de la red, y la excitación aplicada a otro
nodo, permanece invariante a un cambio de posiciones entre el nodo de
observación y el de excitación, siempre y cuando esta transformación no altere la
estructura topológica de la red”.
Es decir, la corriente en cualquier rama de una red, debida a una fuente simple de
tensión en cualquier otro punto de la red, será igual a la corriente que pasa por la
rama en la que se encontraba originalmente la fuente, si ésta se pusiera en la
rama en que se midió originalmente la corriente.” 22
Como se dijo, hay una serie de restricciones bajo las cuales el teorema se puede
aplicar:
-
Este teorema sólo es aplicable a redes de una sola fuente independiente; por
lo tanto no es un teorema que se emplee en el análisis de redes con fuentes
múltiples.
-
La red es lineal e invariante con el tiempo.
22
Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS”, 1987.
112
-
La red está inicialmente en reposo (estado energético inicial nulo).
-
La red no puede contener fuentes dependientes.
2.5.4 DEMOSTRACIÓN23
Figura 107. Redes auxiliares para demostrar el teorema de reciprocidad
Aplicando el teorema de Tellegen a las redes de la figura 107 se obtiene
‫ܤ‬
‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻܸ෠ͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻܸ෠ʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ෍ ‫ ܭܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻܸ෠‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ
݇ൌ͵
‫ܤ‬
ሺ͸ͻሻ
‫ܫ‬መͳ ሺ‫ݏ‬ሻܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ‫ܫ‬መʹ ሺ‫ݏ‬ሻܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ෍ ‫ܫ‬መ‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻܸ‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ
݇ൌ͵
Puesto que la matriz de la ecuación primitiva que relaciona los ܸ‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻ con los ‫ ܭܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
es la misma que relaciona los ܸ෠‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻ con los ‫ܫ‬መ‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻ, es decir:
23
Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS”, 1987.
113
ܼ‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ
ܸ‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ܸ෠‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ൌ
‫ ܭܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ‫ܫ‬መ‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ሬ෠Ԧ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ሾ‫ܮ‬ሿ‫ܫݏ‬Ԧመ ሺ‫ݏ‬ሻ
ሬԦ‫ ܮ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ሾ‫ܮ‬ሿ‫ܫݏ‬Ԧ‫ ܮ‬ሺ‫ݏ‬ሻܸ
ܸ
‫ܮ‬
‫ܮ‬
ܶ
ܶ
ሬ෠Ԧ ሺ‫ݏ‬ሻቃ ‫ܫ‬Ԧ ሺ‫ݏ‬ሻሺ͹Ͳሻ
ሬԦ‫ ܮ‬ሺ‫ݏ‬ሻ൧ ‫ܫ‬Ԧመ‫ ܮ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ቂܸ
ൣܸ
‫ܮ‬
‫ܮ‬
La ecuación (70) es una clara demostración de que si la red ‫ Ͳܨ‬es la misma en
ambos circuitos de la figura 107 entonces:
‫ܤ‬
‫ܤ‬
݇ൌ͵
݇ൌ͵
෍ ‫ ܭܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻܸ෠‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ෍ ‫ܫ‬መ‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻܸ‫ ܭ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
Igualando las ecuaciones de (69) se obtiene la definición más general de
reciprocidad:
‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻܸ෠ͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻܸ෠ʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ܫ‬መͳ ሺ‫ݏ‬ሻܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൅ ‫ܫ‬መʹ ሺ‫ݏ‬ሻܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻሺ͹ͳሻ
Se pueden considerar los siguientes casos:
Caso 1: Se reemplazan las redes A y D por fuentes de voltaje ܸ‫ ܣ‬ሺ‫ݏ‬ሻ y ܸ‫ ܦ‬ሺ‫ݏ‬ሻ, las
redes B y C por cortocircuitos a través de los cuales circulan corrientes
‫ ܤܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ e ‫ ܥܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻǡ respectivamente (figura 108). Es decir:
ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸ‫ ܣ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ܸ෠ʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸ‫ ܦ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻሺ͹ʹሻ
‫ܫ‬መͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ ܥܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸ෠ͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ
114
Figura 108. Intercambio de posiciones entre fuentes de voltaje y registradores de
corriente
Reemplazando la ec.(72) en (71) se obtiene:
‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ‫ ܥܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
‫ܫ‬መͳ ሺ‫ݏ‬ሻ
ൌ
ൌ
ൌ
ሺ͹͵ሻ
ܸͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ܸ‫ ܣ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ܸ‫ ܦ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ܸ෠ʹ ሺ‫ݏ‬ሻ
Caso 2: Se sustituyen las redes A y D por fuentes de corriente ‫ ܣܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ e ‫ ܦܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ y las
redes B y C por circuitos abiertos (figura 109) a través de los cuales
aparecen voltajes ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݏ‬ሻ y ܸ‫ ܥ‬ሺ‫ݏ‬ሻ, respectivamente. Es decir:
‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ ܣܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
‫ܫ‬መʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ ܦܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݏ‬ሻሺ͹Ͷሻ
ܸ෠ͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ܸ‫ ܥ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
‫ ʹܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ ‫ܫ‬መͳ ሺ‫ݏ‬ሻ ൌ Ͳ
115
Figura 109. Intercambio de posiciones entre fuente de corriente y registrador o
medidor de voltaje
Reemplazando la ec.(74) en (71) se obtiene:
ܸʹ ሺ‫ݏ‬ሻ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ܸ‫ ܥ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ܸ෠ͳ ሺ‫ݏ‬ሻ
ൌ
ൌ
ൌ
ሺ͹ͷሻ
‫ ܣܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ‫ ܦܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ ‫ܫ‬መʹ ሺ‫ݏ‬ሻ
‫ ͳܫ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
Debe enfatizarse que una fuente independiente de voltaje se toma como un corto
circuito ሾܸሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳሿ y una de corriente como un circuito abierto ሾ‫ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳሿ
generalizados. Por esta razón tanto en el punto de observación como en el de
excitación hay implícitas restricciones de corto circuito cuando la respuesta es una
corriente y la excitación una fuente independiente de voltaje. Similarmente, un
voltaje debido a una fuente de corriente implica restricciones de circuito abierto
tanto en el punto de observación como en el de excitación. Así, por ejemplo, la
figura 110 ilustra una situación en la que el teorema de reciprocidad se cumple ya
que en el punto de observación del primer circuito y en el de excitación del
segundo se mantiene la restricción de circuito abierto, mientras que en el punto de
excitación del primer circuito y de observación del segundo se mantiene la
restricción de corto circuito. En este mismo orden de ideas en la figura 111 no se
cumple el teorema de reciprocidad.
116
Figura 110. Situación en la que se aplica el teorema de reciprocidad
Figura 111. Situación en la que no se aplica el teorema de reciprocidad
2.5.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN
Demostrar que las corrientes medidas por los amperímetros son iguales en los dos
circuitos.
117
Figura 112. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
Circuito 1:
Se halla el equivalente de Thévenin en el circuito:
ॽ݄ܶ ൌ ͳͲ ൈ
Ժ݄ܶ ൌ
ሺെ݆ͷሻ
ൌ ሺͷ െ ݆ͳͷሻܸ
͵ ൅ ݆Ͷ െ ݆ͷ
ሺ͵ ൅ ݆Ͷሻሺെ݆ͷሻ
൅ ʹ ൌ ሺͻǡͷ െ ݆ʹǡͷሻȳ
͵ ൅ ݆Ͷ െ ݆ͷ
La corriente medida por el amperímetro será:
Circuito 2:
‫ ݌݉ܽܫ‬ൌ
ሺͷ െ ݆ͳͷሻ
ॽ݄ܶ
ൌ
ൌ ሺͲǡͺͺͳ െ ݆ͳǡ͵ͷሻ‫ܣ‬
Ժ݄ܶ ሺͻǡͷ െ ݆ʹǡͷሻ
Por medio de un divisor de corriente se obtiene ‫ ݌݉ܽܫ‬:
‫ ݌݉ܽܫ‬ൌ
ሺെ݆ͷሻ
ሺ݆ͷͲሻ
ͳͲ
ൈ
ൌെ
ൌ ሺͲǡͺͺͳ െ ݆ͳǡ͵ͷሻ‫ܣ‬
ሺ͵ ൅ ݆Ͷሻሺെ݆ͷሻ ͵ ൅ ݆Ͷ െ ݆ͷ
ሺʹ͸ െ ݆ͳ͹ሻ
ʹ൅
͵ ൅ ݆Ͷ െ ݆ͷ
118
2.5.6 EJERCICIOS RESUELTOS
2.5.6.1 Hallar el valor de las corrientes ‫ ͳܫ‬e ‫ ʹܫ‬para los circuitos de la figura 113.
Figura 113. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Circuito 1:
Se halla la corriente ‫ ͳܫ‬por medio de un divisor de corriente:
‫ ͳܫ‬ൌ
Circuito 2:
ͳͲͲ
ʹͲ
ൈ
ൌ ͲǡʹͻͶ‫ܣ‬
ሺͳ͸ͲሻሺʹͲሻ ʹͲ ൅ ͳ͸Ͳ
ʹͲ ൅
ͳ͸Ͳ ൅ ʹͲ
De la misma forma se obtiene la corriente ‫ ʹܫ‬:
‫ ʹܫ‬ൌ
ͳͲͲ
ʹͲ
ൈ
ൌ ͲǡʹͻͶ‫ܣ‬
ሺʹͲሻሺʹͲሻ ʹͲ ൅ ʹͲ
ͳ͸Ͳ ൅
ʹͲ ൅ ʹͲ
Como se puede ver las corrientes son iguales, con lo que se verifica el teorema de
reciprocidad.
119
2.5.6.2 Aplicar el teorema de reciprocidad para hallar el valor de las corrientes ‫ܽܫ‬
e ‫ ܾܫ‬para los circuitos de la figura 114.
Figura 114. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Figura 115. Aplicación del teorema de Reciprocidad
ܸͳ ‫ܫ‬መͳ ൅ ܸʹ ‫ܫ‬መʹ ൌ ܸ෠ͳ ‫ ͳܫ‬൅ ܸ෠ʹ ‫ ʹܫ‬ሺ͹͸ሻ
120
Del circuito 1 se conoce que: ܸͳ ൌ ͶܸǢܸʹ ൌ Ͳܸ
Para el circuito 2 se tiene: ܸ෠ͳ ൌ ͲܸǢܸ෠ʹ ൌ ͸ܸ
Aplicando la ec.(76) se tiene:
͵
Ͷ‫ܫ‬መͳ ൅ Ͳ‫ܫ‬መʹ ൌ Ͳ‫ ͳܫ‬൅ ͸‫ ʹܫ‬Ǣ‫ܫ‬መͳ ൌ ‫ʹܫ‬
ʹ
Del circuito 1 se obtiene ‫ ͳܫ‬:
‫ ͳܫ‬ൌ
Ͷ
ൌ ʹ‫ܣ‬
ሺʹ ൈ ʹሻ
ͳ൅ ʹ൅ʹ
Para hallar ‫ ܽܫ‬se realiza un divisor de corriente en el circuito 1 original:
Para hallar ‫ ܾܫ‬:
ʹ
ʹ
‫ ܽܫ‬ൌ ൬
൰ ‫ ͳܫ‬ൌ ൬
൰ ሺʹሻ ൌ ͳ‫ ܽܫܣ‬ൌ െ‫ʹܫ‬
ʹ൅ʹ
ʹ൅ʹ
Ͷ‫ܫ‬መͳ ൌ ͸‫ ʹܫ‬Ǣ‫ܫ‬መͳ ൌ
͵
͵
͵
‫ ʹܫ‬ൌ ൬ ൰ ሺെͳሻ ൌ െ
ʹ
ʹ
ʹ
͵
͵
‫ ܾܫ‬ൌ െ‫ܫ‬መͳ ൌ െ ൬െ ൰ ൌ ‫ܣ‬
ʹ
ʹ
2.5.6.3 Verificar el cumplimiento del Teorema de reciprocidad.
121
Figura 116. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
El teorema de reciprocidad establece que si se intercambian excitación y medida,
éste no se altera, se resolverán ambos circuitos para comprobar este hecho (‫ܫ‬
debe ser igual en ambos)
Circuito 1:
Usando voltajes de rama
Figura 117. Gráfico orientado
‫ ܫ‬ൌ ‫ ͳܫ‬ൌ
ܸͳ
‹…‘‰‹–ƒ•ǣͳ ǡ ʹ ǡ ܸ͵ ͷͲ
122
Ecuaciones de inductancias mutuas: NO HAY
Ecuaciones de fuentes de corriente: NO HAY
‫ ͳܫ‬ൌ
ܸͳ
ܸʹ
ܸͶ
ܸͷ
ܸ͸
‫ ʹܫ‬ൌ ‫ܫ‬Ͷ ൌ ‫ܫ‬ͷ ൌ ‫ܫ‬͸ ൌ
ͷͲ
ͳͲ
ͳͲ
ʹͷ
ͷͲ
෍ ‫‡–‡‹””‘…‡†•‡–‡—ˆƒ‰‡ŽŽ‘‡—“•‘Žƒ ݏ݋݀݋݊ܫ‬ǣ
෍ ‫ ܾܫ‬ൌ Ͳ‫ ʹܫ‬െ ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬ͷ ൌ Ͳሺ͹͹ሻ
Fuentes de voltaje:
෍ ‫ ܿܫ‬ൌ Ͳ‫ ͳܫ‬െ ‫ܫ‬ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ ൌ Ͳሺ͹ͺሻ
ܸ͵ ൌ ‫ → ܧ‬se elimina una incógnita
Reemplazando los valores de las corrientes en las ecs.(77) y (78):
ܸʹ ܸͶ ܸͷ
െ
൅
ൌ ͲǢ —Ž–‹’Ž‹…ƒ†‘’‘”ͷͲǣͷܸʹ െ ͷܸͶ ൅ ʹܸͷ ൌ Ͳሺ͹ͻሻ
ͳͲ ͳͲ ʹͷ
ܸͳ ܸͷ ܸ͸
െ
൅
ൌ ͲǢ —Ž–‹’Ž‹…ƒ†‘’‘”ͷͲǣܸͳ െ ʹܸͷ ൅ ܸ͸ ൌ ͲሺͺͲሻ
ͷͲ ʹͷ ͷͲ
Expresando los Venlace en función de los de rama:
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͶሻ ൌ ͲܸͶ ൅ ܸʹ െ ܸ͵ ൌ Ͳ ฺܸͶ ൌ ܸ͵ െ ܸʹ ൌ ‫ ܧ‬െ ܸʹ
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͷሻ ൌ Ͳܸͷ ൅ ܸͳ െ ܸʹ ൌ Ͳ ฺܸͷ ൌ െܸͳ ൅ ܸʹ
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺ͸ሻ ൌ Ͳܸ͸ െ ܸͳ ൌ Ͳ ฺܸ͸ ൌ ܸͳ
Reemplazando en las ecs.(79) y (80):
ͷܸʹ െ ͷሺ‫ ܧ‬െ ܸʹ ሻ ൅ ʹሺെܸͳ ൅ ܸʹ ሻ ൌ Ͳ ฺ െʹܸͳ ൅ ͳʹܸʹ ൌ ͷ‫ܧ‬ሺͺͳሻ
123
ܸͳ െ ʹሺെܸͳ ൅ ܸʹ ሻ ൅ ܸͳ ൌ Ͳ ฺ Ͷܸͳ െ ʹܸʹ ൌ Ͳ ฺ ܸʹ ൌ ʹܸͳ ሺͺʹሻ
Reemplazando (82) en (81):
െʹܸͳ ൅ ͳʹሺʹܸͳ ሻ ൌ ͷ‫ܧ‬Ǣ ʹʹܸͳ ൌ ͷ‫ ͳܸ ฺ ܧ‬ൌ
‫ ܫ‬ൌ ‫ ͳܫ‬ൌ
ͷ
‫ܧ‬
ܸͳ ቀ ൗʹʹቁ‫ܧ‬
ൌ
ൌ
ʹʹͲ
ͷͲ
ͷͲ
ͷ
‫ܧ‬
ʹʹ
Circuito 2:
Se respetan las direcciones dadas ሺ‫ ܾܿܫ‬ൌ ‫ܫ‬Ͷ ǡ ‫ ݁ܿܫ‬ൌ ‫ܫ‬ͷ ǡ‫ ܿ݀ܫ‬ൌ ‫ ͵ܫ‬ǡ‫ ܫ‬ൌ ‫ ͳܫ‬ሻ
Usando voltajes de rama:
Figura 118. Gráfico orientado
‫ ܫ‬ൌ ‫ ͳܫ‬ൌ
‫ ͳܫ‬ൌ
ܸͳ
‹…‘‰‹–ƒ•ǣͳ ǡ ʹ ǡ ܸ͵
ͳͲ
ܸͳ
ܸ͵
ܸͶ
ܸͷ
ܸ͸
‫ ͵ܫ‬ൌ ‫ܫ‬Ͷ ൌ ‫ܫ‬ͷ ൌ ‫ܫ‬͸ ൌ
ͳͲ
ͷͲ
ʹͷ
ͷͲ
ͳͲ
෍ ‫‡–‡‹””‘…‡†•‡–‡—ˆƒ‰‡ŽŽ‘‡—“•‘Žƒ ݏ݋݀݋݊ܫ‬ǣ
124
෍ ‫ ܾܫ‬ൌ Ͳ‫ ʹܫ‬െ ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ ൌ Ͳሺͺ͵ሻ
Fuentes de voltaje:
෍ ‫ ܿܫ‬ൌ Ͳ െ ‫ ͵ܫ‬െ ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬ͷ ൌ ͲሺͺͶሻ
ܸʹ ൌ ‫ → ܧ‬se elimina una incógnita
Reemplazando los valores de las corrientes en las ecs.(83) y (84):
ܸͳ ܸͶ ܸ͸
െ
൅
ൌ Ͳሺͺͷሻ
ͳͲ ʹͷ ͳͲ
െ
ܸ͵ ܸͶ ܸͷ
൅
൅
ൌ Ͳሺͺ͸ሻ
ͷͲ ʹͷ ͷͲ
Expresando los Venlace en función de los de rama:
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͶሻ ൌ ͲܸͶ ൅ ܸͳ െ ܸʹ ൅ ܸ͵ ൌ Ͳ ฺܸͶ ൌ െܸͳ ൅ ܸʹ െ ܸ͵ ൌ െܸͳ ൅ ‫ ܧ‬െ ܸ͵
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͷሻ ൌ Ͳܸͷ െ ܸʹ ൅ ܸ͵ ൌ Ͳ ฺܸͷ ൌ ܸʹ െ ܸ͵ ൌ ‫ ܧ‬െ ܸ͵
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺ͸ሻ ൌ Ͳܸ͸ െ ܸͳ ൌ Ͳ ฺܸ͸ ൌ ܸͳ
Reemplazando en las ecs.(85) y (86):
െ
ܸͳ
ܸͳ
Ȅ ܸͳ ൅ ‫ ܧ‬െ ܸ͵ ʹͷ ൅
ൌͲ
ͳͲ
ͳͲ
ܸ͵ ሺെܸͳ ൅ ‫ ܧ‬െ ܸ͵ ሻ ሺ‫ ܧ‬െ ܸ͵ ሻ
൅
൅
ൌͲ
ͷͲ
ʹͷ
ͷͲ
Multiplicando por 50 y reorganizando:
ͳʹܸͳ ൅ ʹܸ͵ ൌ ʹ‫ܧ‬ሺͺ͹ሻ
െʹܸͳ െ Ͷܸ͵ ൌ െ͵‫ܧ‬ሺͺͺሻ
Despejandoܸ͵ de la ec.(88) se tiene:
125
ܸ͵ ൌ
Reemplazando la ec.(88) en (87):
ሺ͵‫ ܧ‬െ ʹܸͳ ሻ
Ͷ
ሺ͵‫ ܧ‬െ ʹܸͳ ሻ
‫ܧ‬
቉ ൌ ʹ‫ ͳܸ ฺ ܧ‬ൌ
ͳʹܸͳ ൅ ʹ ቈ
ʹʹ
Ͷ
‫ܧ‬
ܸͳ ቀʹʹቁ
‫ܧ‬
‫ ܫ‬ൌ ‫ ͳܫ‬ൌ
ൌ
ൌ
ʹʹͲ
ͳͲ
ͳͲ
El resultado es igual al obtenido en el circuito anterior; con lo que se comprueba el
teorema de reciprocidad.
2.5.7 EJERCICIOS PROPUESTOS
2.5.7.1 Aplicar el teorema de reciprocidad a los circuitos de la figura 119 que se
presenta a continuación.
Figura 119. Ejercicio propuesto
126
2.5.7.2 Aplicar el teorema de Reciprocidad a los circuitos de la figura 120 que se
presenta a continuación.
Figura 120. Ejercicio propuesto
2.5.7.3 La red de la figura 121 está compuesta exclusivamente de resistencias
lineales de valor constante. La tabla corresponde a mediciones de voltaje
y corriente para dos valores definidos de ܴʹ y de la excitación.
Determine ܸʹ en el segundo caso
Figura 121. Ejercicio propuesto
127
2.5.7.4 Si se sabe que la red F es lineal, pasiva y recíproca. Determine ܸ‫ ܮ‬ሺ‫ݐ‬ሻ en
régimen permanente sinusoidal
Figura 122. Ejercicio propuesto
Para los circuitos se tomaron los siguientes datos en el laboratorio:
Tabla 1. Mediciones de laboratorio
‫݌ܫ‬
ܸ‫ݎ‬
ܸ‫ݍ‬
ƒ‰‹–—† ‰—Ž‘†‡ˆƒ•‡…‘”‡•’‡…–‘ƒʹ ሺ–ሻ
ͲͲ
ͳ݉‫ܣ‬
െͻͲͲ
͹ܸ
ͻͲͲ
ͳͲܸ
128
2.5.7.5 a) La figura 123 muestra una red lineal recíproca excitada por dos fuentes
de voltaje ܸͳ y ܸʹ . Cuando ܸͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͳͲܿ‫ݏ݋‬ሺ‫ݐݓ‬ሻǡ ܸʹ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ y el circuito
alcanza el estado estacionario, entonces‫ ͳܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ʹ …‘•ሺ‫ ݐݓ‬െ ߙሻǡ ߙ ൌ
‫ ݃ݐ‬െͳ ൫͵ൗͶ൯݁‫ ʹܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ʹǡͺʹ‫݊݁ݏ‬ሺ‫ ݐݓ‬൅ ͺǡͳͲ ሻ. Calcular ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ en régimen
permanente sinusoidal si ܸͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͳͲ‫݊݁ݏ‬ሺ‫ݐݓ‬ሻ‫ ʹܸݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͳͲܿ‫ݏ݋‬ሺ‫ݐݓ‬ሻ
b) Si la red de la figura 123 contiene únicamente resistencias y si se sabe
que ܸͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ʹͲ‫ ʹܸݕݐ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ producen corrientes ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͷ‫ ʹܫ݁ݐ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ
ʹ‫ݐ‬. Calcular ‫ ͳܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ cuando ܸͳ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͵Ͳ‫ ݐ‬൅ ͸Ͳ‫ ʹܸݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͸Ͳ‫ ݐ‬൅ ͳͷ
Figura 123. Ejercicio propuesto
2.5.7.6 La tabla adjunta muestra mediciones obtenidas en el laboratorio para dos
formas diferentes de excitación de la red mostrada en la figura 124.
a) Calcular el valor de ܴͷ
b) Si ‫ ͳܫ‬ൌ ‫ܫ‬ͷ ݁‫ ʹܫ‬ൌ ‫ܫܭ‬ͷ , para que valor de ‫ܭ‬ǡ ‫ܫ‬͸ ൌ Ͳǫ
c) Determinar el valor de ܴ͵ ‫ܴݕ‬Ͷ
d) Determinar el valor de ܴ͸
129
Figura 124. Ejercicio propuesto
130
3. OTROS TEOREMAS
3.1 TEOREMA DE TELLEGEN I Y II
Estos teoremas, son de gran utilidad en las investigaciones teóricas de los
circuitos eléctricos, no son más que una consecuencia directa del hecho de que
los circuitos eléctricos constituyen un sistema cerrado24, se aplican a todo tipo de
circuitos eléctricos, lineales o no, variantes o invariantes con el tiempo y cuyo
estado energético puede ser nulo o no.
Los teoremas de Tellegen25 establecen que las sumas de las potencias generadas
y consumidas por los elementos de un circuito deben ser nulas. Este teorema
permite comprobar los resultados obtenidos en el análisis del circuito y a veces es
llamado “balance de potencias”.
3.1.1 ENUNCIADO
TEOREMA I: “En cualquier red de parámetros concentrados en cualquier instante,
la suma algebraica de las potencias absorbidas o generadas por todos
los elementos de circuito es nula. Es decir, cuando todas las corrientes
se definen en el sentido de las caídas de potencial (o todas en el
sentido de las subidas de potencial).
‫ܤ‬
ܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
෍ ܸ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ݇ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͲǢܸ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ Ǥ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ ൌ ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ Ǥܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻሺͺͻሻ
݇ൌͳ
24
Que no intercambia energía con el medio
Bernard D.H. Tellegen (Winschoten, 24 Junio de 1900 - Eindhoven, 30 Agosto de 1990) ingeniero
electricista holandés. Ampliamente conocido en el mundo de la teoría de circuitos eléctricos por su gran
aporte el llamado Teorema de Tellegen.
25
131
TEOREMA II: Si se consideran dos circuitos independientes cuyos gráficos
sean idénticos e ‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ denota el vector de corrientes y
orientados
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ el de voltajes en el primer circuito y los del segundo, conocido
también con el nombre de circuito adjunto, se designan mediante
̰
̰
26
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ y ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ , respectivamente.”
‫ܤ‬
‫ܤ‬
݇ൌͳ
݇ൌͳ
̰
̰
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
෍ ܸ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ෍ ܸ෠݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ݇ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻܶ Ǥ‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ Ǥ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ͲሺͻͲሻ
3.1.2 DEMOSTRACIÓN
Para la demostración se hará uso de las matrices de incidencia, la de incidencia
de nodos se recuerda a continuación:
MATRIZ DE INCIDENCIA DE NODOS
ሾ‫ܣ‬ሿ ՜ ሼܰ ൈ ‫ܤ‬ሽdonde ܰ es el número de nodos menos 1 y ‫ ܤ‬el número de
elementos del circuito.
26
Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS”, 1987.
132
Figura 125. Matriz de incidencia de nodos
൅ͳ݈݁݁݉݁݊‫݆݈ܽ݁ܽ݁ݏ݊×݅ܿܿ݁ݎ݅݀ݑݏݕ݅݋ݐ݈݈݆݊݁݉݁݁ܽ݁݀݅ܿ݊݅݋ݐ‬
െͳ݈݁݁݉݁݊‫ܽܿݎ݁ܿܽ݁ݏ݊×݅ܿܿ݁ݎ݅݀ݑݏݕ݅݋ݐ݈݈݆݊݁݉݁݁ܽ݁݀݅ܿ݊݅݋ݐ‬
݆ܽ݅ ൌ ቐ
Ͳ݈݁݁݉݁݊‫݅݋ݐ݈݈݊݁݉݁݁ܽ݁݀݅ܿ݊݅݋݆݊݋ݐ‬
Ejemplo: Hallar la matriz de incidencia del siguiente gráfico
Figura 126. Gráfico orientado
El nodo 6 se elige arbitrariamente como referencia
133
Figura 127. Matriz de incidencia de nodos
Es fácil ver que: ሾ‫ܣ‬ሿ ൈ ‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ
Figura 128. Comprobación de las leyes de Kirchhoff
ሾ‫ܣ‬ሿ ൈ ‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ ՜ 1ª Ley de Kirchhoff
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሾ‫ܣ‬ሿܶ ൈ ܸ
ܰ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ՜ 2ª Ley de Kirchhoff
3.1.2.1 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE TELLEGEN I
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൈ
ܶ
‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
‫ܤ‬
ൌ ͲǢ ‡•†‡…‹” ෍ ܸ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ ‫ ݇ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ
‫ܭ‬ൌͳ
134
Cada elemento del gráfico se supone con la siguiente referencia (referencia
normal):
Usando la matriz de incidencia de nodos;
ܶ
ܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ ܶ ܶ ൌ ൛ܸ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻܶ ൌ ൛ሾ‫ܣ‬ሿܶ ൈ ܸ
ܰ ሺ‫ݐ‬ሻൟ ൌ ܸܰ ሺ‫ݐ‬ሻ ሾ‫ܣ‬ሿ
ܰ ሺ‫ݐ‬ሻ ሾ‫ܣ‬ሿൟ
ܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ ሬԦ
൛ܸ
ܰ ሺ‫ݐ‬ሻ ሾ‫ܣ‬ሿൟ ൈ ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܸܰ ሺ‫ݐ‬ሻ ൈ ൛ሾ‫ܣ‬ሿ ൈ ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻൟ ൌ ܸܰ ሺ‫ݐ‬ሻ ൈ Ͳ ൌ Ͳ ; por lo tanto:
ࢀ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ࢂ
࡮ ሺ࢚ሻ ൈ ࡵ࡮ ሺ࢚ሻ ൌ ૙ ฺ Tellegen I
3.1.2.2 DEMOSTRACIÓN DE TELLEGEN II
‫ܤ‬
‫ܤ‬
݇ൌͳ
݇ൌͳ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
෠
መ
෍ ܸ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ෍ ܸ෠݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ݇ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܸ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ Ǥ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ Ǥ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ
CIRCUITO 1
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
CIRCUITO ADJUNTO
መ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܸ෠‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
Ambos circuitos poseen el mismo gráfico orientado
ൣ‫ ݂ܤ‬൧ ൌ ൣ‫ܤ‬෠݂ ൧
Donde ൣ‫ ݂ܤ‬൧es la matriz fundamental de anillos de dimensiones {L X B} siendo L el
número de enlaces (que define, cada uno, un anillo –trayectoria formada por un
enlace y ramas del árbol-). El elemento genérico se define por :
135
൅ͳ݈݁݁݉݁݊‫ݏ݁݊݋݅ܿܿ݁ݎ݅݀ݏݑݏݕ݅݋ܿ݅ݏžܾ݋݈݈݈݅݊ܽܽ݁ܿ݁݊݁ݐݎ݁݌݆݋ݐ‬
ܿ‫݊݁݀݅ܿ݊݅݋‬
െͳ݈݁݁݉݁݊‫ݏ݁݊݋݅ܿܿ݁ݎ݅݀ݑݏݕ݅݋ܿ݅ݏžܾ݋݈݈݈݅݊ܽܽ݁ݏ݁݊݁ݐݎ݁݌݆݋ݐ‬
ܾ݆݅ ൌ
‫۔‬
݊‫݊݁݀݅ܿ݊݅݋ܿ݋‬
ۖ
‫݅݋ܿ݅ݏžܾ݋݈݈݈݅݊ܽܽ݁ܿ݁݊݁ݐݎ݁݌݋݆݊݋ݐ݈݊݁݉݁݁Ͳە‬
‫ۓ‬
ۖ
CIRCUITO 1
CIRCUITO ADJUNTO
ܸ෠‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳሺͻ͵ሻ
ൣ‫ ݂ܤ‬൧ ൈ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳሺͻͳሻൣ‫ ݂ܤ‬൧ ൈ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܶ
ܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
መ
መ
ൣ‫ ݂ܤ‬൧ ൈ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻሺͻʹሻൣ‫ ݂ܤ‬൧ ൈ ‫ ܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻሺͻͶሻ
Transponiendo la ecuación (92):
ܶ
ܶ
ܶ
ܶ
ܶ
ܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ
ൌ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻܶ ൈ ൣ‫ ݂ܤ‬൧ ൌ ‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ቄൣ‫ ݂ܤ‬൧ ൈ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻቅ ൌ ‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ Ǣ‫ ܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൈ ൣ‫ ݂ܤ‬൧
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
෠‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ :
Post multiplicando por ܸ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
෠
෠
൛‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܮ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൈ ൣ‫ ݂ܤ‬൧ൟ ൈ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൈ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦܶ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
෠
෠
෠
‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܮ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൈ ቄൣ‫ ݂ܤ‬൧ ൈ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻቅ ൌ ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൈ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ†‡Žƒ‡…—ƒ…‹×ሺͻ͵ሻൣ‫ ݂ܤ‬൧ ൈ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ
Por lo tanto:
ܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ܶ
ܶ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
෠‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ቄ‫ܫ‬ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
෠
෠
‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻܶ ൈ ܸ
‫ ܮܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻܶ ൈ Ͳ ൌ Ͳ ൌ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൈ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻቅ ൌ ‫ ܤܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൈ ܸ‫ ܤ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
෡ ࡮ ሺ࢚ሻࢀ ൌ ૙ ֜ Tellegen II
ࡵ࡮ ሺ࢚ሻ ൈ ࢂ
3.1.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
Verificar el Teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.
136
Figura 129. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
Circuito 1: Método de corrientes de enlace
Figura 130. Grafico orientado
Incógnitas: ‫ܫ‬Ͷ ǡ ‫ܫ‬ͷ ǡ ‫ܫ‬͸ ǡ ‫ܫ‬͹
Fuentes de voltaje: ܸͳ ൌ ͳܸ
ܸ݈݁݁݉݁݊‫ ݏ݋ݐ‬ൌ ݂ሺ‫ ݏ݋ݐ݈݊݁݉݁݁ܫ‬ሻ ‫׷‬
ܸʹ ൌ ͳ ൈ ‫ ʹܫ‬Ǣܸ͵ ൌ ͳ ൈ ‫ ͵ܫ‬ǢܸͶ ൌ ͳ ൈ ‫ܫ‬Ͷ Ǣܸͷ ൌ ͳ ൈ ‫ܫ‬ͷ Ǣܸ͸ ൌ ͳ ൈ ‫ܫ‬͸
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݏ݋‬ൌ ͲǢ ‡š…‡’–‘‡ƒ‹ŽŽ‘•…‘ˆ—‡–‡•†‡…‘””‹‡–‡
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͶሻ ൌ ͲܸͶ ൅ ܸ͵ െ ܸͳ ൌ Ͳ
137
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͷሻ ൌ Ͳܸͷ ൅ ܸʹ െ ܸͳ ൌ Ͳ
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺ͸ሻ ൌ Ͳܸ͸ ൅ ܸ͵ െ ܸʹ ൌ Ͳ
Ecuación de la fuente de corriente: ‫ܫ‬͹ ൌ ͳ‫ฺ ܣ‬elimina una incógnita
Reemplazando los voltajes en función de las corrientes:
‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ ͵ܫ‬െ ͳ ൌ Ͳሺͻͷሻ
‫ܫ‬ͷ ൅ ‫ ʹܫ‬െ ͳ ൌ Ͳሺͻ͸ሻ
‫ܫ‬͸ ൅ ‫ ͵ܫ‬െ ‫ ʹܫ‬ൌ Ͳሺͻ͹ሻ
Expresar ‫ ܽ݉ܽݎܫ‬ൌ ݂ሺ‫ ݈݁ܿܽ݊݁ܫ‬ሻ:
෍ ‫ܫ‬ሺ͵ሻ ൌ Ͳ‫ ͵ܫ‬െ ‫ܫ‬Ͷ െ ‫ܫ‬͸ ൌ Ͳ ฺ ‫ ͵ܫ‬ൌ ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸
෍ ‫ܫ‬ሺͳሻ ൌ Ͳ‫ ͳܫ‬൅ ‫ܫ‬ͷ ൅ ‫ܫ‬Ͷ ൌ Ͳ ฺ ‫ ͳܫ‬ൌ െ‫ܫ‬Ͷ െ ‫ܫ‬ͷ
෍ ‫ܫ‬ሺʹሻ ൌ Ͳ‫ ʹܫ‬െ ‫ܫ‬ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ െ ‫ܫ‬͹ ൌ Ͳ ฺ ‫ ʹܫ‬ൌ ‫ܫ‬ͷ െ ‫ܫ‬͸ ൅ ͳ
Reemplazando en las ecuaciones (95) (96) y (97):
‫ܫ‬Ͷ ൅ ሺ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ ሻ ൌ ͳ ฺ ʹ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ ൌ ͳሺͻͺሻ
‫ܫ‬ͷ ൅ ሺ‫ܫ‬ͷ െ ‫ܫ‬͸ ൅ ͳሻ ൌ ͳ ฺ ʹ‫ܫ‬ͷ െ ‫ܫ‬͸ ൌ Ͳሺͻͻሻ
‫ܫ‬͸ ൅ ሺ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ ሻ െ ሺ‫ܫ‬ͷ െ ‫ܫ‬͸ ൅ ͳሻ ൌ Ͳ ฺ ‫ܫ‬Ͷ െ ‫ܫ‬ͷ ൅ ͵‫ܫ‬͸ ൌ ͳሺͳͲͲሻ
ʹ Ͳ
ͳ ‫ܫ‬Ͷ
ͳ
൥Ͳ ʹ െͳ൩ ൥‫ܫ‬ͷ ൩ ൌ ൥Ͳ൩
ͳ െͳ ͵ ‫ܫ‬͸
ͳ
Resolviendo:
͵
ͳ
ͳ
‫ܫ‬Ͷ ൌ ‫ܣ‬Ǣ‫ܫ‬ͷ ൌ ‫ܣ‬Ǣ‫ܫ‬͸ ൌ ‫ܣ‬
ͺ
ͺ
Ͷ
ͳ
‫ ͳܫ‬ൌ െ‫ܫ‬Ͷ െ ‫ܫ‬ͷ ൌ െ ‫ܣ‬
ʹ
138
‫ ʹܫ‬ൌ ‫ܫ‬ͷ െ ‫ܫ‬͸ ൅ ͳ ൌ
ͷ
‫ ͵ܫ‬ൌ ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ ൌ ‫ܣ‬
ͺ
͹
‫ܣ‬
ͺ
‫ܫ‬͹ ൌ ͳ‫ܣ‬
Por lo tanto los voltajes serán:
͹
ͷ
͵
ͳ
ͳ
ܸͳ ൌ ͳܸǢ ܸʹ ൌ ܸǢܸ͵ ൌ ܸǢܸͶ ൌ ܸǢܸͷ ൌ ܸǢܸ͸ ൌ ܸ
ͺ
ͺ
ͺ
ͺ
Ͷ
͹
ܸ͹ ൅ ܸʹ ൌ Ͳ ฺ ܸ͹ ൌ െܸʹ ൌ െ ܸ
ͺ
Tabla 2. Comprobación de Tellegen Ž‡‡–‘
ܸሾܸሿ
2
͹ൗ
ͺ
ͷൗ
ͺ
͵ൗ
ͺ
ͳൗ
ͺ
ͳൗ
Ͷ
െ ͹ൗͺ
1
3
4
5
6
7
‫ܫ‬ሾ‫ܣ‬ሿ
ܲ ൌ ܸ‫ܫݔ‬
͹ൗ
ͺ
ͷൗ
ͺ
͵ൗ
ͺ
ͳൗ
ͺ
ͳൗ
Ͷ
Ͷͻൗ
͸Ͷ
ʹͷൗ
͸Ͷ
ͻൗ
͸Ͷ
ͳൗ
͸Ͷ
Ͷൗ
͸Ͷ
െ ͷ͸ൗ͸Ͷ
െ ͳൗʹ
ͳ
ͳ
െ ͵ʹൗ͸Ͷ
෍ ܸ݈݁݁݉ ൈ ‫ ݈݉݁݁ܫ‬ൌ Ͳ ֜ ‡ŽŽ‡‰‡
Circuito 2: Método de corrientes de enlace
139
Figura 131. Grafico orientado
Incógnitas: ॴͶ ǡ ॴͷ ǡ ॴ͸ ǡ ॴ͹
Fuentes de voltaje: ॽͶ ൌ െͷ‫ܸ ͲͲͻע‬
݆ͳͲ
ॽ
Inductancias mutuas: ൤ ͷ ൨ ൌ ൤
ॽʹ
݆ͷ
ܸ݈݁݁݉݁݊‫ ݏ݋ݐ‬ൌ ݂ሺ‫ ݏ݋ݐ݈݊݁݉݁݁ܫ‬ሻǣ
݆ͷ ॴͷ
൨൤ ൨
݆ͷ ॴʹ
ॽͳ ൌ ͳͲॴͳ Ǣॽ͵ ൌ ͷॴ͵ Ǣॽ͹ ൌ െ݆Ͷॴ͹ ෍ ॽ݈݈ܽ݊݅‫ ݏ݋‬ൌ ͲǢ ‡š…‡’–‘‡ƒ‹ŽŽ‘•…‘ˆ—‡–‡•†‡…‘””‹‡–‡
෍ ॽ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͶሻ ൌ ͲॽͶ ൅ ॽ͵ െ ॽͳ ൌ Ͳ
෍ ॽ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͷሻ ൌ Ͳॽͷ ൅ ॽʹ െ ॽͳ ൌ Ͳ
෍ ॽ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺ͹ሻ ൌ Ͳॽ͹ ൅ ॽʹ ൌ Ͳ
Ecuación de la fuente de corriente: ॴ͸ ൌ ͵ॴ݂ ൌ ͵ॴͶ Reemplazando los voltajes en función de las corrientes:
െͷ‫ ͲͲͻע‬൅ ͷॴ͵ െ ͳͲॴͳ ൌ ͲሺͳͲͳሻ
ሺ݆ͳͲॴͷ ൅ ݆ͷॴʹ ሻ ൅ ሺ݆ͷॴͷ ൅ ݆ͷॴʹ ሻ െ ͳͲॴͳ ൌ ͲሺͳͲʹሻ
െ݆Ͷॴ͹ ൅ ሺ݆ͷॴͷ ൅ ݆ͷॴʹ ሻ ൌ ͲሺͳͲ͵ሻ
140
Expresar ‫ ܽ݉ܽݎܫ‬ൌ ݂ሺ‫ ݈݁ܿܽ݊݁ܫ‬ሻ:
෍ ॴሺͳሻ ൌ Ͳॴͳ ൅ ॴͶ ൅ ॴͷ ൌ Ͳ ฺ ॴͳ ൌ െॴͶ െ ॴͷ
෍ ॴሺʹሻ ൌ Ͳॴʹ െ ॴͷ ൅ ॴ͸ െ ॴ͹ ൌ Ͳ ฺ ॴʹ ൌ ॴͷ െ ॴ͸ ൅ ॴ͹
෍ ॴሺ͵ሻ ൌ Ͳॴ͵ െ ॴͶ െ ॴ͸ ൌ Ͳ ฺ ॴ͵ ൌ ॴͶ ൅ ॴ͸
Reemplazando en las ecuaciones (101) (102) y (103):
ͷሺॴͶ ൅ ॴ͸ ሻ ൅ ͳͲሺॴͶ ൅ ॴͷ ሻ ൌ ͷ‫ ͲͲͻע‬ሺͳͲͶሻ
݆ͳͷॴͷ ൅ ݆ͳͲሺॴͷ െ ॴ͸ ൅ ॴ͹ ሻ ൅ ͳͲሺॴͶ ൅ ॴͷ ሻ ൌ ͲሺͳͲͷሻ
െ݆Ͷॴ͹ ൅ ݆ͷॴͷ ൅ ݆ͷሺॴͷ െ ॴ͸ ൅ ॴ͹ ሻ ൌ ͲሺͳͲ͸ሻ
Ecuación de la fuente de corriente:
ॴ͸ ൌ ͵ॴͶ ሺͳͲ͹ሻ
Reemplazando (107) en (104), (105) y (106):
͵ͲॴͶ ൅ ͳͲॴͷ ൌ ͷ‫ͲͲͻע‬
ሺͳͲ െ ݆͵ͲሻॴͶ ൅ ሺͳͲ ൅ ݆ʹͷሻॴͷ ൅ ݆ͳͲॴ͹ ൌ Ͳ
െ݆ͳͷॴͶ ൅ ݆ͳͲॴͷ ൅ ݆ॴ͹ ൌ Ͳ
Resolviendo:
͵Ͳ
ሺͳͲ
െ ݆͵Ͳሻ
൥
െ݆ͳͷ
ͳͲ
ሺͳͲ ൅ ݆ʹͷሻ
݆ͳͲ
Ͳ ॴͶ
ͷ‫ͲͲͻע‬
݆ͳͲ൩ ൥ॴͷ ൩ ൌ ൥ Ͳ ൩
ॴ͹
݆
Ͳ
ॴͶ ൌ ሺͲǡͳͳ‫ͻע‬Ͷǡʹ͹Ͳ ሻ‫ܣ‬Ǣॴͷ ൌ ሺͲǡͳ͹‫ע‬ͺͳǡͻͳͲ ሻ‫ܣ‬Ǣॴ͹ ൌ ሺͲǡ͵ͺ‫ע‬െͳ͸͸ǡ͸ͳͲ ሻ‫ܣ‬
ॴͳ ൌ െॴͶ െ ॴͷ ൌ ሺͲǡʹͺ‫ע‬െͻ͵ǡ͵͵Ͳ ሻ‫ܣ‬
ॴʹ ൌ ॴͷ െ ॴ͸ ൅ ॴ͹ ൌ ሺͲǡͶͲ‫ע‬െͳͶʹǡͺʹͲ ሻ‫ܣ‬
ॴ͵ ൌ ॴͶ ൅ ॴ͸ ൌ ሺͲǡͶͶ‫ͻע‬Ͷǡʹ͹Ͳ ሻ‫ܣ‬
ॴ͸ ൌ ͵ॴͶ ൌ ሺͲǡ͵͵‫ͻע‬Ͷǡʹ͹Ͳ ሻ‫ܣ‬
141
Por lo tanto los voltajes serán:
ॽͳ ൌ ͳͲॴͳ ൌ ሺʹǡͺ‫ע‬െͻ͵ǡ͵͵Ͳ ሻܸ
ॽʹ ൌ ݆ͷሺॴͷ ൅ ॴʹ ሻ ൌ ሺͳǡͷ‫ע‬െ͹͸ǡ͹ͳͲ ሻܸ
ॽ͵ ൌ ͷॴ͵ ൌ ሺʹǡʹ‫ͻע‬Ͷǡʹ͹Ͳ ሻܸ
ॽͶ ൌ ሺͷ‫ע‬െͻͲͲ ሻܸ
ॽͷ ൌ ॽͳ െ ॽʹ ൌ ሺͳǡͶͶ‫ע‬െͳͳͲǡͻͲ ሻܸ
ॽ͸ ൌ ॽʹ െ ॽ͵ ൌ ሺ͵ǡ͹‫ע‬െͺʹǡͲͶͲ ሻܸ
ॽ͹ ൌ െ݆Ͷॴ͹ ൌ ሺͳǡͷͳ‫͵Ͳͳע‬ǡͶͲ ሻܸ
Tabla 3. Comprobación de Tellegen Ž‡‡–‘
1
2
3
4
5
6
7
ॽሾܸሿ
ሺʹǡͺ‫ע‬െͻ͵ǡ͵͵Ͳ ሻ
ሺͳǡͷ‫ע‬െ͹͸ǡ͹ͳͲ ሻ
ॴ‫ כ‬ሾ‫ܣ‬ሿ
ሺͲǡʹͺ‫͵ͻע‬ǡ͵͵Ͳ ሻ
ሺͲǡ͸‫ע‬͸͸ǡͳͳͲ ሻ
ሺͲǡͳͳ‫ע‬െͻͶǡʹ͹Ͳ ሻ
ሺͲǡͷͷ‫ͳע‬͹ͷǡ͹͵Ͳ ሻ
ሺͲǡ͵͵‫ ע‬െ ͻͶǡʹ͹Ͳ ሻ
ሺͳǡʹʹ‫ע‬െͳ͹͸Ǥ͵ͳͲ ሻ
ሺͲǡͶͶ‫ע‬െͻͶǡʹ͹Ͳ ሻ
ሺͳǡͶͶ‫ע‬െͳͳͲǡͻͲ ሻ
ሺͲǡͳ͹‫ע‬െͺͳǡͻͳͲ ሻ
ሺ͵ǡ͹‫ע‬െͺʹǡͲͶͲ ሻ
ሺͳǡͷͳ‫͵Ͳͳע‬ǡͶͲ ሻ
ሺͲǡ͹ͺͶ‫ ͲͲע‬ሻ
ሺͲǡͶͲ‫ͳע‬ͶʹǡͺʹͲ ሻ
ሺʹǡʹ‫ͻע‬Ͷǡʹ͹Ͳ ሻ
ሺͷ‫ע‬െͻͲͲ ሻ
ܲ ൌ ॽ‫כॴݔ‬
ሺͲǡ͵ͺ‫ͳע‬͸͸ǡ͸ͳͲ ሻ
෍ ܸ݈݁݁݉ ൈ ‫ ݈݉݁݁ܫ‬ൌ Ͳ ֜ ‡ŽŽ‡‰‡
Tellegen II:
142
ሺͲǡͻ͹‫ ͲͲע‬ሻ
ሺͲǡʹͶ‫ͳע‬͸͹ǡͳͻͲ ሻ
ሺͲǡͷ͹‫ע‬െͻͲͲ ሻ
‫ܤ‬
‫ܤ‬
݇ൌͳ
݇ൌͳ
෍ ܸ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ෍ ܸ෠݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ݇ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
Tabla 4. Comprobación de Tellegen Ž‡‡–‘
1
2
3
4
5
6
7
‫ܤ‬
ܸ‫ܭ‬
ͳ
͹ൗ
ͺ
ͷൗ
ͺ
͵ൗ
ͺ
ͳൗ
ͺ
ͳൗ
Ͷ
͹
െ ൗͺ
‫ܭܫ‬
െ ͳൗʹ
͹ൗ
ͺ
ͷൗ
ͺ
͵ൗ
ͺ
ͳൗ
ͺ
ͳൗ
Ͷ
ͳ
‫ܤ‬
ܸ෠‫ܭ‬
ܸ‫ܫ ܭ‬መ‫ܭ‬
െʹǡͺ
െͲǡʹͺ
െͲǡʹͺ
ʹǡʹ
ͲǡͶͶ
Ͳǡʹ͹ͷ
െͳǡͷ
െͷ
െͳǡͶ
െ͵ǡ͹
ͳǡͷ
෍ ܸ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ෍ ܸ෠݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ݇ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ
݇ൌͳ
‫ܫ‬መ‫ܭ‬
݇ൌͳ
െͲǡͶ
ܸ෠‫ܭܫ ܭ‬
ͳǡͶͶͷ
െͲǡ͵ͷ
െͳǡ͵ͳʹͷ
Ͳǡͳͳ
ͲǡͲͶͳʹͷ
െͳǡͺ͵
Ͳǡ͵͵
ͲǡͲͺʹͷ
Ͳǡͳ͹
െͲǡ͵ͺ
ͳǡͶʹ
ͲǡͲʹͳʹͷ
െͲǡͳ͹ͷ
Ͳǡ͵͵ʹͷ
ͳǡͷ
െͲǡͻʹͷ
૙
૙
3.1.4 EJERCICIOS RESUELTOS
3.1.4.1 Verificar el teorema de Tellegen II, encontrando el voltaje que se produce
entre los terminales a y b del circuito 2 de la figura 132
27
27
.
Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
ELÉCTRICOS”, 1987.
143
Figura 132. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación del teorema de Tellegen:
‫ܤ‬
‫ܤ‬
݇ൌͳ
݇ൌͳ
෍ ܸ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ෍ ܸ෠݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ݇ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
ܸͳ ‫ܫ‬መͳ ൅ ܸʹ ‫ܫ‬መʹ ൌ ܸ෠ͳ ‫ ͳܫ‬൅ ܸ෠ʹ ‫ʹܫ‬
ܸ෠
Del circuito 2 se nota que: ‫ܫ‬መͳ ൌ െ ቆ ͳൗʹቇ
ʹͲ ቆെ
ܸ෠ͳ
ቇ ൌ ൫ܸ෠ͳ ൈ ͳͲ൯ ൅ ሺͳͲ ൈ ሺെʹሻሻ ฺ െͳͲܸ෠ͳ ൌ ͳͲܸ෠ͳ െ ʹͲ ฺ ܸ෠ͳ ൌ ͳܸ
ʹ
3.1.4.2 Verificar el teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.
144
Figura 133. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Circuito 1: Método de voltajes de rama
Figura 134. Grafico orientado
Incógnitas: ܸͳ ǡ ܸʹ ǡ ܸͷ ǡ ܸ͹ ‫ ݏ݋ݐ݈݊݁݉݁݁ܫ‬ൌ ݂ሺܸ݈݁݁݉݁݊‫ ݏ݋ݐ‬ሻǣ
‫ ʹܫ‬ൌ
ܸ͵
ܸͶ
ܸͷ
ܸ͸
ܸ͹
ܸʹ
Ǣ‫ ͵ܫ‬ൌ Ǣ‫ܫ‬Ͷ ൌ Ǣ‫ܫ‬ͷ ൌ Ǣ‫ܫ‬͸ ൌ Ǣ‫ܫ‬͹ ൌ ͳ
ʹ
Ͷ
ͳ
ͳ
ʹ
Sumatorio de corrientes en nodos donde no llegan fuentes de voltaje:
145
෍ ‫ ݋݀݋݊ܫ‬ሺͳሻ ൌ Ͳെ‫ ʹܫ‬൅ ‫ ͵ܫ‬൅ ‫ܫ‬Ͷ ൌ Ͳ
෍ ‫ ݋݀݋݊ܫ‬ሺʹሻ ൌ Ͳെ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬ͷ െ ‫ܫ‬͸ ൌ Ͳ
෍ ‫ ݋݀݋݊ܫ‬ሺ͵ሻ ൌ Ͳെ‫ ͵ܫ‬െ ‫ܫ‬ͷ ൅ ‫ܫ‬͹ ൌ Ͳ
Ecuación de la fuente de voltaje: ܸͳ ൌ ͳͲܸ ฺelimina una incógnita
Reemplazando las corrientes en función de los voltajes:
െ
ܸʹ
ܸͶ
൅ ܸ͵ ൅ ൌ ͲሺͳͲͺሻ
ʹ
ʹ
െ
Expresar ܸ݈݁݊ܽܿ݁ ൌ ݂ሺܸ‫ ܽ݉ܽݎ‬ሻ:
ܸͶ ܸͷ
൅ െ ܸ͸ ൌ ͲሺͳͲͻሻ
Ͷ
ʹ
െܸ͵ െ
ܸͷ
൅ ܸ͹ ൌ ͲሺͳͳͲሻ
Ͷ
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺ͵ሻ ൌ Ͳܸ͵ ൅ ܸ͹ െ ܸͳ ൅ ܸʹ ൌ Ͳ ฺ ܸ͵ ൌ ܸͳ െ ܸʹ െ ܸ͹
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͶሻ ൌ ͲܸͶ ൅ ܸͷ ൅ ܸ͹ െ ܸͳ ൅ ܸʹ ൌ Ͳ ฺ ܸͶ ൌ ܸͳ െ ܸʹ െ ܸͷ െ ܸ͹
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺ͸ሻ ൌ Ͳܸ͸ ൅ ܸͷ ൅ ܸ͹ ൌ Ͳ ฺ ܸ͸ ൌ െܸͷ െ ܸ͹
Reemplazando en las ecuaciones (108) (109) y (110):
െ
ܸʹ
ͳ
൅ ሺܸͳ െ ܸʹ െ ܸ͹ ሻ ൅ ሺܸͳ െ ܸʹ െ ܸͷ െ ܸ͹ ሻ ൌ Ͳ
ʹ
ʹ
ͳ
ܸͷ
െ ሺܸͳ െ ܸʹ െ ܸͷ െ ܸ͹ ሻ ൅ Ȅ ܸͷ െ ܸ͹ ൌ Ͳ
ʹ
Ͷ
െሺܸͳ െ ܸʹ െ ܸ͹ ሻ െ
Reorganizando:
ܸͷ
൅ ܸ͹ ൌ Ͳ
Ͷ
146
Ͷܸʹ ൅ ܸͷ ൅ ͵ܸ͹ ൌ ͵Ͳሺͳͳͳሻ
ʹܸʹ ൅ ͹ܸͷ ൅ ͸ܸ͹ ൌ ʹͲሺͳͳʹሻ
Ͷܸʹ െ ܸͷ ൅ ͺܸ͹ ൌ ͶͲሺͳͳ͵ሻ
Ͷ ͳ ͵ ܸʹ
͵Ͳ
൥ʹ ͹ ͸൩ ൥ܸͷ ൩ ൌ ൥ʹͲ൩
Ͷ െͳ ͺ ܸ͹
ͶͲ
Resolviendo:
ܸʹ ൌ ͸ǡʹ͸ܸǢܸͷ ൌ െͲǡͶͺܸǢܸ͹ ൌ ͳǡͺܸ
ܸͳ ൌ ͳͲܸ
ܸ͵ ൌ ܸͳ െ ܸʹ െ ܸ͹ ൌ ͳǡͻͶܸ
ܸͶ ൌ ܸͳ െ ܸʹ െ ܸͷ െ ܸ͹ ൌ ʹǡͶʹܸ
ܸ͸ ൌ െܸͷ െ ܸ͹ ൌ െͳǡ͵ʹܸ
Por lo tanto las corrientes serán:
‫ ͳܫ‬ൌ െ‫ ʹܫ‬ൌ െ͵ǡͳ͵‫ܣ‬
‫ ʹܫ‬ൌ
‫ܫ‬ͷ ൌ
ܸ͵
ܸͶ
ܸʹ
ൌ ͵ǡͳ͵‫ ͵ܫܣ‬ൌ
ൌ ͳǡͻͶ‫ܫܣ‬Ͷ ൌ ൌ ͳǡʹͳ‫ܣ‬
ͳ
ʹ
ʹ
ܸ͸
ܸ͹
ܸͷ
ൌ െͲǡͳʹ‫ܫܣ‬͸ ൌ
ൌ െͳǡ͵ʹ‫ܫܣ‬͹ ൌ
ൌ ͳǡͺ‫ܣ‬
ͳ
ͳ
Ͷ
Tabla 5. Comprobación de Tellegen Ž‡‡–‘
1
2
3
4
5
6
7
ܸሾܸሿ
ͳͲ
͸ǡʹ͸
ͳǡͻͶ
ʹǡͶʹ
െͲǡͶͺ
െͳǡ͵ʹ
ͳǡͺ
‫ܫ‬ሾ‫ܣ‬ሿ
147
െ͵ǡͳ͵
͵ǡͳ͵
ͳǡͻͶ
ͳǡʹͳ
െͲǡͳʹ
െͳǡ͵ʹ
ͳǡͺ
ܲ ൌ ܸ‫ܫݔ‬
െ͵ͳǡ͵
ͳͻǡ͸
͵ǡ͹͸
ʹǡͻʹ
ͲǡͲͷ͹
ͳǡ͹Ͷ
͵ǡʹͶ
෍ ܸ݈݁݁݉ ൈ ‫ ݈݉݁݁ܫ‬ൌ Ͳ ֜ ‡ŽŽ‡‰‡
Circuito 2: Método de corrientes de enlace
Figura 135. Grafico orientado
Incógnitas: ‫ ͵ܫ‬ǡ ‫ܫ‬Ͷ ǡ ‫ܫ‬͸ ܸ݈݁݁݉݁݊‫ ݏ݋ݐ‬ൌ ݂ሺ‫ ݏ݋ݐ݈݊݁݉݁݁ܫ‬ሻǣ
ͳ
ͳ
ܸͳ ൌ ͷܸǢܸʹ ൌ ‫ ʹܫ‬Ǣܸ͵ ൌ ͵‫ ͵ܫ‬ǢܸͶ ൌ ͳ ൈ ‫ܫ‬Ͷ Ǣܸͷ ൌ ʹ ൈ ‫ܫ‬ͷ Ǣܸ͹ ൌ ‫ܫ‬͹ ʹ
ʹ
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݏ݋‬ൌ ͲǢ ‡š…‡’–‘‡ƒ‹ŽŽ‘•…‘ˆ—‡–‡•†‡…‘””‹‡–‡
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺ͵ሻ ൌ Ͳܸ͵ ൅ ܸ͹ െ ܸͳ ൅ ܸʹ ൌ Ͳ
෍ ܸ݈݈ܽ݊݅‫ ݋‬ሺͶሻ ൌ ͲܸͶ ൅ ܸͷ ൅ ܸ͹ െ ܸͳ ൅ ܸʹ ൌ Ͳ
Ecuación de la fuente de corriente: ‫ܫ‬͸ ൌ ‫ ܫ‬ൌ ͳ‫ฺ ܣ‬elimina una incógnita
Reemplazando los voltajes en función de las corrientes:
͵‫ ͵ܫ‬൅
‫ܫ‬Ͷ ൅ ʹ‫ܫ‬ͷ ൅
148
‫ܫ‬͹
‫ʹܫ‬
െ ͷ ൅ ൌ ͲሺͳͳͶሻ
ʹ
ʹ
‫ʹܫ‬
‫ܫ‬͹
െ ͷ ൅ ൌ Ͳሺͳͳͷሻ
ʹ
ʹ
Expresar ‫ ܽ݉ܽݎܫ‬ൌ ݂ሺ‫ ݈݁ܿܽ݊݁ܫ‬ሻ:
෍ ‫ܫ‬ሺʹሻ ൌ Ͳ‫ ʹܫ‬െ ‫ ͵ܫ‬െ ‫ܫ‬Ͷ ൌ Ͳ ฺ ‫ ʹܫ‬ൌ ‫ ͵ܫ‬൅ ‫ܫ‬Ͷ
෍ ‫ܫ‬ሺͷሻ ൌ Ͳ‫ܫ‬ͷ െ ‫ܫ‬Ͷ െ ‫ܫ‬͸ ൌ Ͳ ฺ ‫ܫ‬ͷ ൌ ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸
෍ ‫ܫ‬ሺ͹ሻ ൌ Ͳ‫ܫ‬͹ െ ‫ ͵ܫ‬െ ‫ܫ‬Ͷ െ ‫ܫ‬͸ ൌ Ͳ ฺ ‫ܫ‬͹ ൌ ‫ ͵ܫ‬൅ ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸
Reemplazando en las ecuaciones (114) y (115):
ͳ
ͳ
͵‫ ͵ܫ‬൅ ሺ‫ ͵ܫ‬൅ ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ ሻ ൅ ሺ‫ ͵ܫ‬൅ ‫ܫ‬Ͷ ሻ ൌ ͷ
ʹ
ʹ
ͳ
ͳ
‫ܫ‬Ͷ ൅ ʹሺ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ ሻ ൅ ሺ‫ ͵ܫ‬൅ ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ ሻ ൅ ሺ‫ ͵ܫ‬൅ ‫ܫ‬Ͷ ሻ ൌ ͷ
ʹ
ʹ
Organizando:
ͻ
Ͷ‫ ͵ܫ‬൅ ‫ܫ‬Ͷ ൌ ሺͳͳ͸ሻ
ʹ
ͻൗ
Ͷ ͳ ‫͵ܫ‬
ቂ
ቃ ൤ ൨ ൌ ൥ ʹ൩
ͷൗ
ͳ Ͷ ‫ܫ‬Ͷ
ʹ
ͷ
‫ ͵ܫ‬൅ Ͷ‫ܫ‬Ͷ ൌ ሺͳͳ͹ሻ
ʹ
Resolviendo:
‫ ͵ܫ‬ൌ
͵ͳ
ͳͳ
‫ܣ‬Ǣ‫ܫ‬Ͷ ൌ
‫ܣ‬
͵Ͳ
͵Ͳ
‫ ͳܫ‬ൌ െ‫ ʹܫ‬ൌ െ
Ͷʹ
Ͷʹ
Ͷͳ
‫ܣ‬Ǣ‫ ʹܫ‬ൌ ‫ ͵ܫ‬൅ ‫ܫ‬Ͷ ൌ
‫ܣ‬Ǣ‫ܫ‬ͷ ൌ ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ ൌ
‫ܣ‬
͵Ͳ
͵Ͳ
͵Ͳ
‫ܫ‬͸ ൌ ͳ‫ܣ‬Ǣ‫ܫ‬͹ ൌ ‫ ͵ܫ‬൅ ‫ܫ‬Ͷ ൅ ‫ܫ‬͸ ൌ
Por lo tanto los voltajes serán:
͹ʹ
‫ܣ‬
͵Ͳ
ͳ
ʹͳ
ͻ͵
ͳͳ
ܸͳ ൌ ͷܸǢܸʹ ൌ ‫ ʹܫ‬ൌ
ܸǢܸ͵ ൌ ͵‫ ͵ܫ‬ൌ
ܸǢܸͶ ൌ ͳ ൈ ‫ܫ‬Ͷ ൌ
ܸ
ʹ
͵Ͳ
͵Ͳ
͵Ͳ
149
ܸͷ ൌ ʹ ൈ ‫ܫ‬ͷ ൌ
ͺʹ
ͳͳͺ
ͳ
͵͸
ܸǢܸ͸ ൌ െܸͷ െ ܸ͹ ൌ െ
ܸǢܸ͹ ൌ ‫ܫ‬͹ ൌ
ܸ
͵Ͳ
͵Ͳ
ʹ
͵Ͳ
Tabla 6. Comprobación de Tellegen ܸሾܸሿ
Ž‡‡–‘
‫ܫ‬ሾ‫ܣ‬ሿ
െͶʹൗ
͵Ͳ
Ͷʹൗ
͵Ͳ
͵ͳൗ
͵Ͳ
ͳͳൗ
͵Ͳ
Ͷͳൗ
͵Ͳ
ͳ
͹ʹൗ
͵Ͳ
ͷ
ʹͳൗ
͵Ͳ
ͻ͵ൗ
͵Ͳ
ͳͳൗ
͵Ͳ
ͺʹൗ
͵Ͳ
െͳͳͺൗ
͵Ͳ
͵͸ൗ
͵Ͳ
1
2
3
4
5
6
7
ܲ ൌ ܸ‫ܫݔ‬
െ͹
Ͷͻൗ
ͷͲ
ͻ͸ͳൗ
͵ͲͲ
ͳʹͳൗ
ͻͲͲ
ͳ͸ͺͳൗ
ͶͷͲ
െͷͻൗ
ͳͷ
͹ʹൗ
ʹͷ
෍ ܸ݈݁݁݉ ൈ ‫ ݈݉݁݁ܫ‬ൌ Ͳ ֜ ‡ŽŽ‡‰‡
Tellegen II:
‫ܤ‬
‫ܤ‬
݇ൌͳ
݇ൌͳ
෍ ܸ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ෍ ܸ෠݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ݇ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
150
Tabla 7. Comprobación de Tellegen Ž‡‡–‘
ܸ‫ܭ‬
ͳͲ
െ͵ǡͳ͵
ͳǡͻͶ
ͳǡͻͶ
1
͸ǡʹ͸
2
3
ʹǡͶʹ
4
5
6
7
‫ܭܫ‬
͵ǡͳ͵
ͳǡʹͳ
െͲǡͶͺ
െͲǡͳʹ
ͳǡͺ
ͳǡͺ
െͳǡ͵ʹ
‫ܤ‬
െͳǡ͵ʹ
‫ܤ‬
ܸ෠‫ܭ‬
ͷ
ʹͳൗ
͵Ͳ
ͻ͵ൗ
͵Ͳ
ͳͳൗ
͵Ͳ
ͺʹൗ
͵Ͳ
െͳͳͺൗ
͵Ͳ
͵͸ൗ
͵Ͳ
෍ ܸ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܫ‬መ݇ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ෍ ܸ෠݇ ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ݇ܫ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ
݇ൌͳ
݇ൌͳ
‫ܫ‬መ‫ܭ‬
െͶʹൗ
͵Ͳ
Ͷʹൗ
͵Ͳ
͵ͳൗ
͵Ͳ
ͳͳൗ
͵Ͳ
Ͷͳൗ
͵Ͳ
ͳ
͹ʹൗ
͵Ͳ
ܸ‫ܫ ܭ‬መ‫ܭ‬
ܸ෠‫ܭܫ ܭ‬
െͳͶ
െͳͷǡ͸ͷ
ʹ
͸ǡͲͳͶ
ͺǡ͹͸Ͷ
Ͳǡͺͺ͹
ʹǡͳͻͳ
ͲǡͶͶ͵
െͲǡ͸ͷ͸
െͲǡ͵ʹͺ
Ͷǡ͵ʹ
ʹǡͳ͸
െͳǡ͵ʹ
ͷǡͳͻʹ
૙
3.1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
3.1.5.1 Verificar el teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.
Figura 136. Ejercicio propuesto
151
૙
3.1.5.2 Verificar el teorema de Tellegen I para el circuito de la figura 137.
Figura 137. Ejercicio propuesto
3.1.5.3 Usando matrices de incidencia determinar las corrientes a través de y los
voltajes en bornes de todos los elementos del circuito dado. Verificar el
cumplimiento del teorema de Tellegen I
Figura 138. Ejercicio propuesto
152
3.2 TEOREMA DE MILLMAN
El Teorema de Millman se llamó así en honor al electrónico ruso Jacob Millman28,
y no es más que la aplicación rápida para configuración específica de las leyes de
Kirchhoff. De lo dicho se desprende que este teorema se puede aplicar a todos los
circuitos eléctricos que satisfagan las leyes de Kirchhoff y al ser estas el resultado
de las leyes de conversión de la masa y la energía, no tiene excepción. Se aplica
a cualquier circuito eléctrico, lineal o no, variante o invariante con el tiempo y cuyo
estado energético sea nulo o no, cabe aclarar que no se puede aplicar este
teorema cuando en el circuito existan impedancias acopladas.
3.2.1 ENUNCIADO
Cuando se conocen las impedancias que concurren en el nodo B y los voltajes
entre el nodo A y los extremos de dichas impedancias, se puede calcular el voltaje
que existe entre los nodos A y B ሺܸ‫ ܤܣ‬ሻ.
Jacob Millman (nació 1911 en Rusia , murió el 22 de Mayo 1991) fue profesor de Ingeniería Eléctrica
en la universidad de Columbia. Millman obtuvo un Ph.D. del MIT en 1935. Trabajó en la Universidad de
Columbia desde 1951, hasta su retiro en 1975. Desde 1941 hasta 1987, Millman escribió ocho libros
basados en electrónica.
28
153
Figura 139. Teorema de Millman
ܸ‫ܤܣ‬
σ݊݇ൌͳ ܻ݇ ܸ‫݇ܣ‬
ሺͳͳͺሻ
ൌ
σ݊݇ൌͳ ܻ݇
3.2.2 DEMOSTRACIÓN
Si se conocen los voltajes ܸ‫ ͳܣ‬ǡ ܸ‫ ʹܣ‬ǡ ǥ ǡ ܸ‫ ݊ܣ‬aunque se ignore la configuración de la
red entre A y los otros nodos, al aplicar sumatorio de corrientes en el nodo B,
tomando A como el nodo de referencia, se obtiene:
ሺܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܻ݊ ሻܸ‫ ܣܤ‬െ ܻͳ ܸͳ‫ ܣ‬െ ܻʹ ܸʹ‫ ܣ‬െ ‫ ڮ‬െ ܻ݊ ܸ݊‫ ܣ‬ൌ Ͳ
Organizando la ecuación anterior:
݊
݊
݇ൌͳ
݇ൌͳ
൭෍ ܻ݇ ൱ ܸ‫ ܣܤ‬െ ൭෍ ܻ݇ ൱ ܸ݇‫ ܣ‬ൌ Ͳ
Se tiene en cuenta que ܸ‫ ܣܤ‬ൌ െܸ‫ ܣܸ݇› ܤܣ‬ൌ െܸ‫ ݇ܣ‬se deduce que:
154
ܸ‫ ܤܣ‬ൌ
σ݊݇ൌͳ ܻ݇ ܸ‫݇ܣ‬
σ݊݇ൌͳ ܻ݇
Fórmula que constituye la expresión del teorema de Millman.29
El nodo A puede ser cualquiera en el circuito y, por lo tanto puede ser alguno de
los nodos 1, 2,…, n. En este caso será nulo el término correspondiente de:
݊
෍ ܻ݇ ܸ‫݇ܣ‬
݇ൌͳ
El caso de n fuentes de voltaje en paralelo (figura 140) es un caso particular en el
que se puede aplicar el teorema de Millman.
Figura 140. Caso particular donde se aplica el teorema de Millman
Aplicando el Teorema de Millman:
ܸ‫ܤܣ‬
29
݊
σ݊݇ൌͳ ܻ݇ ܸ݇
ൌ
Ǣܻ݁‫ ݍ‬ൌ ෍ ܻ݇
σ݊݇ൌͳ ܻ݇
݇ൌͳ
Como se ve, no es más que la aplicación inmediata de las 2 leyes de Kirchhoff para esta configuración.
155
3.2.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
Aplicar el teorema de Millman al circuito de la figura 141, para encontrar la
corriente que pasa por la resistencia de ͳͲͲȳ.
Figura 141. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación del teorema de Millman se obtiene:
ܸܾܽ ൌ
݊
ͳ
ͳ
σ݊݇ൌͳ ܻ݇ ܸ݇ ܸͳ ܻͳ ൅ ܸʹ ܻʹ ሺͶͲሻ൫ ൗͶ൯ ൅ ሺͷͲሻቀ ൗͷቁ ͶͲͲ
ൌ
ൌ
ൌ
ܸ
σ݊݇ൌͳ ܻ݇
ͻ
ܻͳ ൅ ܻʹ
൫ͳൗͶ൯ ൅ ቀͳൗͷቁ
ܻ݁‫ ݍ‬ൌ ෍ ܻ݇ ൌ ܻͳ ൅ ܻʹ ൌ ൫ͳൗͶ൯ ൅ ቀͳൗͷቁ ൌ
݇ൌͳ
ܼͳ ൌ ʹͲ ൅
ͳ
ͳ
ʹͲ
ͻ
Ǣܼ݁‫ ݍ‬ൌ
ൌ
ൌ
ȳ
ͻ
ܻ݁‫ݍ‬
ͻ
ʹͲ
ൗʹͲ
ሺͺͲሻሺͳͲͲሻ ͷͺͲ
ൌ
ȳ
ͺͲ ൅ ͳͲͲ
ͻ
Este valor se obtiene desconectando la “carga”
156
Figura 142. Circuito equivalente
‫ ܶܫ‬ൌ
ͶͲͲൗ
ʹ
ͻ
ൌ ‫ܣ‬
ቀͷͺͲൗͻ ൅ ʹͲൗͻቁ ͵
Por medio de un divisor de corriente, se halla la corriente que pasa por la
resistencia de ͳͲͲȳ:
Figura 143. Divisor de corriente
‫ܫ‬ൌ
ʹ
ͺͲ
ͺ
൬
൰ൌ
‫ܣ‬
͵ ͳͲͲ ൅ ͺͲ
ʹ͹
157
3.2.4 EJERCICIOS RESUELTOS
3.2.4.1 En el circuito de la figura 144, todas las tensiones están medidas respecto
a tierra.
a) Calcular la tensión del punto 1 respecto a tierra.
b) Si se conecta una resistencia R=5Ω, entre 1 y tierra, determinar el
potencial.
Figura 144. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
a) Aplicando el teorema de Millman
ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
σ݊݇ൌͳ ܻ݇ ܸ݇ െʹͲቀ ൗͷቁ െ ʹͲቀ ൗͷቁ െ ʹͲቀ ൗͷቁ െ ʹͲቀ ൗͷቁ
ܸͳͲ ൌ
ൌ
ൌ െʹͲܸ
σ݊݇ൌͳ ܻ݇
ቀͳൗͷቁ ൅ ቀͳൗͷቁ ൅ ቀͳൗͷቁ ൅ ቀͳൗͷቁ
b) Se halla la resistencia equivalente del circuito:
ܴ݁‫ ݍ‬ൌ
ͷ
ͳ
ൌ ȳ
ͳ
Ͷቀ ቁ Ͷ
ͷ
158
Figura 145. Divisor de voltaje
Mediante un divisor de voltaje se calcula ܸͲ ǣ
ͷ
ܸͲ ൌ െʹͲ ቌ
ቍ ൌ െͳ͸ܸ
ͷ ൅ ቀͷൗͶቁ
3.2.4.2 Aplicando el teorema de Millman, hallar el ܸܾܽ y la corriente ‫ܫ‬.
Figura 146. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Sin la carga:
ܸܾܽ ൌ
͸൫ͳൗͳͲ൯ ൅ ͸൫ͳൗʹͲ൯ ൅ ͸൫ͳൗ͵Ͳ൯
ൌ ͸ܸ
൫ͳൗͳͲ൯ ൅ ൫ͳൗʹͲ൯ ൅ ൫ͳൗ͵Ͳ൯
159
ܴ݁‫ ݍ‬ൌ
ͳ
͸Ͳ
ൌ
ȳ
ͳ
ͳ
ͳ
ቀͳͲቁ ൅ ቀ ቁ ൅ ቀ ቁ ͳͳ
ʹͲ
͵Ͳ
Figura 147. Cálculo de la corriente I
‫ܫ‬ൌെ
͸
ൌ െͲǡ͵ͻ‫ܣ‬
൫ͳͲ ൅ ͸Ͳൗͳͳ൯
3.2.4.3 En el circuito de la figura 148 determinar la potencia cedida o absorbida
por la fuente de corriente, aplicando el teorema de Millman.
Figura 148. Ejercicio resuelto
160
SOLUCIÓN:
Para aplicar el teorema de Millman hay que replantear el circuito:
Figura 149. Circuito replanteado
ܸͳʹ ൌ ܸͳͲ െ ܸʹͲ
Aplicando el teorema de Millman para hallar ܸͳͲ ›ܸʹͲ se obtiene:
σ݊݇ൌͳ ܻ݇ ܸ݇ ൫ͳ ൈ ͳൗͳ൯ ൅ ൫Ͳ ൈ ͳൗͳ൯ െ ͳ
ܸͳͲ ൌ
ൌ
ൌ Ͳܸ
ͳ ͳ
σ݊݇ൌͳ ܻ݇
൅
ͳ ͳ
ܸʹͲ
σ݊݇ൌͳ ܻ݇ ܸ݇ ൫ͳൗʹ ൈ ʹ൯ െ ൫ͳൗͳ ൈ ʹ൯ ൅ ൫ͳൗʹ ൈ Ͳ൯ ൅ ͳ
ൌ
ൌ Ͳܸ
ൌ
ͳ ͳ ͳ
σ݊݇ൌͳ ܻ݇
൅ ൅
ʹ ͳ ʹ
ܸͳʹ ൌ ܸͳͲ െ ܸʹͲ ൌ ͲܸǢ ܲ ൌ ܸ‫ ܫ‬ൌ ሺͲሻሺͳሻ ൌ Ͳܹ
3.2.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
161
3.2.5.1 Hallar el voltaje ܸܾܽ aplicando el teorema de Millman.
Figura 150. Ejercicio propuesto
3.2.5.2 Hallar el voltaje ܸܾܽ aplicando el teorema de Millman.
Figura 151. Ejercicio propuesto
3.2.5.3 Un generador trifásico a 400c.p.s opera a un voltaje entre líneas de 205 V,
cada fase de una carga conectada en Y tiene una impedancia equivalente
de Ժܻ ൌ ሺͳǡͷ ൅ ݆Ͳǡͷሻȳ
a 400c.p.s, cada una de las tres líneas que
conectan a la carga con el generador tiene una impedancia Ժ‫ ܮ‬ൌ ሺͲǡͲ͹Ͳ ൅
162
݆ͲǡͲͷʹ͸ሻȳ a 400c.p.s. Si se llama N el punto neutro del equivalente en Y
del generador, determinar ॽܰܰ Ԣ .
Repetir el mismo procedimiento si la impedancia de la línea pasa a valer
ሺͲǡͳ ൅ ݆ͲǡͲͷʹ͸ሻȳ
Figura 152. Ejercicio propuesto
3.3 TEOREMA DE ROSEN (KENNELLY)
El teorema de Rosen analiza las diferentes transformaciones de impedancias que
se pueden dar al momento de analizar un circuito, para que su estudio y
respectiva solución se haga más fácil.
El teorema de Kennelly30 es una parte del teorema general de Rosen, más
específicamente la transformación estrella –triángulo y viceversa.
1
Arthur Edwin Kennelly (Colaba, 17 de diciembre de 1861 - Boston, 18 de junio de 1939) fué un ingeniero
eléctrico americano. Desde 1902 hasta 1930 trabajó como profesor de ingeniería eléctrica en la Universidad
de Harvard y como adjunto en el Instituto de Tecnología de Massachusetts desde 1913 hasta 1924. A él se
debe la aplicación de la teoría de los números complejos al análisis de circuitos en alterna, así como las
ecuaciones de transformación de cargas en estrella y en triángulo (teorema que lleva su nombre).
163
De lo dicho se ve que se aplica a circuitos lineales, pasivos, variantes o invariantes
con el tiempo y cuyo estado energético es nulo.
3.3.1 ENUNCIADO
Un circuito pasivo constituido por n impedancias ܼͳ ǡ ܼʹ ǡ ǥ ǡ ܼ݊ conectadas en
estrella (figura 153), puede ser sustituido por otro circuito equivalente formado por
݊ ሺ݊െͳሻ
ʹ
impedancias ܼͳʹ ǡ ܼͳ͵ ǡ ǥ ǡ ܼͳ݊ ǡ ܼʹ͵ ǡ ǥ ǡ ܼʹ݊ ǡ ǥ ǡ ܼ݉݊
(figura 154).
Figura 153. Impedancias conectadas en estrella
164
conectadas en polígono
Figura 154. Impedancias conectadas en polígono
3.3.2 DEMOSTRACIÓN
Sean las conexiones:
Figura 155. Admitancias conectadas en estrella - Admitancias conectadas en
polígono
165
Aplicando el teorema de Millman al circuito en estrella:
ܸܵܰ
σ݊‫݌‬ൌͳ ܸ‫݌ܻ ܰ݌‬
ൌ
ሺͳͳͻሻ
σ݊‫݌‬ൌͳ ܻ‫݌‬
‫ ݍܫ‬ൌ ܸ‫ ݍܻ כ ܵݍ‬ൌ ൫ܸ‫ ܰݍ‬െ ܸܵܰ ൯ ‫ ݍܻ כ‬ൌ ܻ‫ܰݍܸ ݍ‬
σ݊‫݌‬ൌͳ ܸ‫݌ܻ ܰ݌‬
െ ܻ‫ݍ‬
σ݊‫݌‬ൌͳ ܻ‫݌‬
σ݊‫݌‬ൌͳ ܻܲ ܸ‫ ܰݍ‬െ σ݊‫݌‬ൌͳ ܸ‫݌ܻ ܰ݌‬
ܻ‫ ܰݍܸ ݍ‬σ݊‫݌‬ൌͳ ܻ‫ ݌‬െ ܻ‫ ݍ‬σ݊‫݌‬ൌͳ ܸ‫݌ܻ ܰ݌‬
‫ ݍܫ‬ൌ
ൌ ܻ‫ ݍ‬ቈ
቉
σ݊‫݌‬ൌͳ ܻ‫݌‬
σ݊‫݌‬ൌͳ ܻ‫݌‬
‫ ݍܫ‬ൌ
ܻ‫ݍ‬
σ݊‫݌‬ൌͳ ܻ‫݌‬
݊
቎෍ൣܻ‫ ܰݍܸ ݌‬െ ܻ‫ ܰ݌ܸ ݌‬൧቏ ൌ
‫݌‬ൌͳ
ܻ‫ݍ‬
σ݊‫݌‬ൌͳ ܻ‫݌‬
݊
൦෍ ܻ‫ ݌‬ൣܸ‫ ܰݍ‬െ ܸ‫ ܰ݌‬൧൪
‫݌‬ൌͳ
Cambiando p por k en el denominador:
En conexión estrella la ecuación será:
݊
‫ ݍܫ‬ൌ ෍ ቈ
‫݌‬ൌͳ
Del segundo circuito (Polígono):
ܻ‫݌ܻ ݍ‬
቉ ൫ܸ‫ ܰݍ‬െ ܸ‫ ܰ݌‬൯ ሺͳʹͲሻ
σ݊݇ൌͳ ܻ݇
݊
݊
‫݌‬ൌͳ
‫݌‬ൌͳ
‫ ݍܫ‬ൌ ܸ‫ ݍͳܻ ͳݍ‬൅ ܸ‫ ݍʹܻ ʹݍ‬൅ ‫ ڮ‬൅ ܸ‫ ݍ݌ܻ ݌ݍ‬൅ ‫ ڮ‬൅ ܸ‫ ݍܻ݊ ݊ݍ‬ൌ ෍ ܸ‫ ݍ݌ܻ ݌ݍ‬ൌ ෍ ܻ‫ ݍ݌‬൫ܸ‫ ܰݍ‬െ ܸ‫ ܰ݌‬൯
En conexión polígono la ecuación será:
݊
‫ ݍܫ‬ൌ ෍ ܻ‫ ݍ݌‬൫ܸ‫ ܰݍ‬െ ܸ‫ ܰ݌‬൯ ሺͳʹͳሻ
‫݌‬ൌͳ
Comparando las ecuaciones obtenidas en estrella y polígono, se encuentra la
relación general que representa el teorema de Rosen:
166
ܻ‫ ݍ݌‬ൌ
ܻ‫ݍܻ ݌‬
ሺͳʹʹሻ
σ݊݇ൌͳ ܻ݇
ͳ
ͳ
ͳ
ܼ‫ ݍ݌‬ൌ ܼ‫ ݍܼ ݌‬൬ܼ ൅ ܼ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܼ ൰ሺͳʹ͵ሻ
ʹ
݊
ͳ
Casos particulares como aplicación:
a) Cuando n=2: Admitancias en serie, en este caso el polígono estará formado
por:
ʹ ‫ כ‬ሺʹ െ ͳሻ
ൌ ͳƒ†‹–ƒ…‹ƒ
ʹ
Figura 156. Caso admitancias en serie
ܻͳʹ ൌ
ͳ
ͳ
ܻͳ ܻʹ
×ܼͳʹ ൌ ܼͳ ܼʹ ൬ ൅ ൰
ܻͳ ൅ ܻʹ
ܼͳ ܼʹ
b) Cuando n=3 (teorema de Kennelly) Estrella – Triángulo.
En este caso se tiene:
͵ ‫ כ‬ሺ͵ െ ͳሻ
ൌ ͵ƒ†‹–ƒ…‹ƒ•‡–”‹ž‰—Ž‘
ʹ
167
Figura 157. Transformación Estrella – Triángulo
ܻͳʹ ൌ
ܻͳ͵ ൌ
ܻʹ͵ ൌ
ͳ
ͳ
ͳ
ܻͳ ܻʹ
×ܼͳʹ ൌ ܼͳ ܼʹ ൬ ൅ ൅ ൰
ܼͳ ܼʹ ܼ͵
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵
ͳ
ͳ
ͳ
ܻͳ ܻ͵
×ܼͳ͵ ൌ ܼͳ ܼ͵ ൬ ൅ ൅ ൰
ܼͳ ܼʹ ܼ͵
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵
ܻʹ ܻ͵
ͳ
ͳ
ͳ
×ܼʹ͵ ൌ ܼʹ ܼ͵ ൬ ൅ ൅ ൰
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵
ܼͳ ܼʹ ܼ͵
De la misma forma se obtiene la transformación Triángulo –Estrella:
168
Figura 158. Transformación Triángulo – Estrella
ܼͳ ൌ
ܼͳʹ
ܼͳ͵ ܼͳʹ
ܼʹ͵ ܼͳʹ
ܼͳ͵ ܼʹ͵
Ǣܼʹ ൌ
Ǣܼ͵ ൌ
൅ ܼʹ͵ ൅ ܼͳ͵
ܼͳʹ ൅ ܼʹ͵ ൅ ܼͳ͵
ܼͳʹ ൅ ܼʹ͵ ൅ ܼͳ͵
c) Cuando n=4, En este caso se tiene:
Ͷ ‫ כ‬ሺͶ െ ͳሻ
ൌ ͸ƒ†‹–ƒ…‹ƒ•‡’‘ŽÀ‰‘‘
ʹ
Figura 159. Impedancias en polígono
169
ܻͳʹ ൌ
ܻͳ͵ ൌ
ܻͳͶ ൌ
ܻͳ ܻʹ
ܻʹ ܻ͵
ܻʹ͵ ൌ
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
ܻʹ ܻͶ
ܻͳ ܻ͵
ܻʹͶ ൌ
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
ܻ͵ ܻͶ
ܻͳ ܻͶ
ܻ͵Ͷ ൌ
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
Para n=4 se dispone de seis ecuaciones con cuatro incógnitas, por lo que el
sistema no se puede resolver, al menos que se impongan (arbitrariamente) otras
condiciones como, por ejemplo, que ܻͳʹ ܻ͵Ͷ ൌ ܻͳ͵ ܻʹͶ ൌ ܻͳͶ ܻʹ͵ que permitirá calcular
los elementos de la estrella equivalente.
3.3.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
Calcular la resistencia equivalente entre los terminales a y b de la figura 160.
Figura 160. Ejemplo de aplicación
170
SOLUCIÓN:
Aplicando la transformación (Triangulo – Estrella) al primer triangulo:
ܼͳ ൌ
ܼʹ ൌ
ܼ͵ ൌ
ͳͺ ൈ ͸
ܼͳ͵ ܼͳʹ
ൌ
ൌ ͵‫ܭ‬ȳ
ܼͳʹ ൅ ܼʹ͵ ൅ ܼͳ͵ ͳʹ ൅ ͳͺ ൅ ͸
ܼͳʹ
ܼͳʹ
ܼʹ͵ ܼͳʹ
ͳʹ ൈ ͸
ൌ
ൌ ʹ‫ܭ‬ȳ
൅ ܼʹ͵ ൅ ܼͳ͵ ͳʹ ൅ ͳͺ ൅ ͸
ͳͺ ൈ ͸
ܼͳ͵ ܼʹ͵
ൌ
ൌ ͸‫ܭ‬ȳ
൅ ܼʹ͵ ൅ ܼͳ͵ ͳʹ ൅ ͳͺ ൅ ͸
Figura 161. Circuito equivalente 1
ܼͳ ൌ ሺʹ ൅ ͺሻ ൌ ͳͲ‫ܭ‬ȳǢܼʹ ൌ ሺͳʹ ൅ ͸ሻ ൌ ͳͺ‫ܭ‬ȳ
ܼͳʹ ൌ ܼͳ ܼʹ
ሺͳͲ ൈ ͳͺሻ
ൌ
ൌ ͸ǡͶ͵‫ܭ‬ȳ
ܼͳ ൅ ܼʹ
ͳͲ ൅ ͳͺ
171
Figura 162. Circuito equivalente 2
ܼ݁‫ ݍ‬ൌ ሺͳͲ ൅ ͵ ൅ ͸ǡͶ͵ ൅ Ͷሻ ൌ ʹ͵ǡͶ͵‫ܭ‬ȳ
Figura 163. Circuito equivalente final
3.3.4 EJERCICIOS RESUELTOS
3.3.4.1 Calcular la impedancia equivalente entre los terminales a y b de la
figura 164.
172
Figura 164. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Transformando el triangulo d-c-e en una Y equivalente:
Ժܿܰ ൌ
Ժ݁ܰ ൌ
Ժ݀ܰ ൌ
Ժܿ݁
Ժܿ݁
Ժܿ݁
ሺ͸ െ ݆͸ሻሺͺ ൅ ݆Ͷሻ
Ժܿ݁ Ժܿ݀
ൌ
ൌ ሺ͵ǡͲ͸ͺ‫ ע‬െ ͶǡͶͲ ሻȳ
൅ Ժܿ݀ ൅ Ժ݀݁ ሺ͸ െ ݆͸ሻ ൅ ሺͺ ൅ ݆Ͷሻ ൅ ሺͳͲ െ ݆Ͷሻ
ሺ͸ െ ݆͸ሻሺͳͲ െ ݆Ͷሻ
Ժܿ݁ Ժ݀݁
ൌ
ൌ ሺ͵ǡ͸ͻ‫ ע‬െ ͷʹǡ͹͹Ͳ ሻȳ
൅ Ժܿ݀ ൅ Ժ݀݁ ሺ͸ െ ݆͸ሻ ൅ ሺͺ ൅ ݆Ͷሻ ൅ ሺͳͲ െ ݆Ͷሻ
ሺͺ ൅ ݆ͶሻሺͳͲ െ ݆Ͷሻ
Ժܿ݀ Ժ݀݁
ൌ
ൌ ሺ͵ǡͺͻ‫ͳע‬ͺǡ ͺͲ ሻȳ
൅ Ժܿ݀ ൅ Ժ݀݁ ሺ͸ െ ݆͸ሻ ൅ ሺͺ ൅ ݆Ͷሻ ൅ ሺͳͲ െ ݆Ͷሻ
173
Figura 165. Circuito equivalente 1
Ժͳ ൌ ሺ͵ǡͺͻ‫ͳע‬ͺǡ ͺͲ ൅ ͺ‫ ͲͲͻע‬ሻ ൌ ሺͻǡͻͷ‫ע‬͸ͺǡ ͵Ͳ ሻȳ
Ժͳʹ
Ժʹ ൌ ሺ͵ǡ͸ͻ‫ ע‬െ ͷʹǡ͹͹Ͳ ൅ ͳͲǡʹ‫ע‬െ͹ͺǡ͹ͲͲ ሻ ൌ ሺͳ͵ǡ͸ͳ‫ ע‬െ ͹ͳǡ ͻͲͲ ሻȳ
ሺͻǡͻͷ‫ע‬͸ͺǡ ͵Ͳ ሻሺͳ͵ǡ͸ͳ‫ ע‬െ ͹ͳǡ ͻͲͲ ሻ
Ժͳ Ժʹ
ൌ
ൌ
ൌ ሺͳͷǡͷʹ‫ͳʹע‬ǡ ͶʹͲ ሻȳ
Ժͳ ൅ Ժʹ ሺͻǡͻͷ‫ע‬͸ͺǡ ͵Ͳ ሻ ൅ ሺͳ͵ǡ͸ͳ‫ ע‬െ ͹ͳǡ ͻͲͲ ሻ
Figura 166. Circuito equivalente 2
174
Ժ݁‫ ݍ‬ൌ ʹ ൅ ݆Ͷ ൅ ሺ͵ǡͲ͸ͺ‫ ע‬െ ͶǡͶͲ ሻ ൅ ሺͳͷǡͷʹ‫ͳʹע‬ǡ ͶʹͲ ሻ ൌ ሺͳͻǡͷͲ ൅ ݆ͻǡͶ͵ሻȳ
Figura 167. Circuito equivalente final
3.3.4.2 Convertir en polígono el circuito de la siguiente figura 168, aplicando el
teorema de Rosen.
Figura 168. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Las admitancias del polígono serán:
175
ܻͳʹ ൌ
൫ͳൗͶ൯൫ͳൗ͵൯
ܻͳ ܻʹ
ͳ
ͳ
ൌ
ൌ
ȳǢܼͳʹ ൌ ൌ ʹʹȳ
ͳൗ ൅ ͳൗ ൅ ͳ ൅ ͳൗ
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
ʹʹ
ܻͳʹ
Ͷ
͵
Ͷ
൫ͳൗͶ൯ሺͳሻ
ܻͳ ܻ͵
͵
ͳ
ʹʹ
ܻͳ͵ ൌ
ൌ
ൌ
ȳǢܼͳ͵ ൌ ൌ
ȳ
ͳ
ͳ
ͳ
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
ܻͳ͵
͵
ൗͶ ൅ ൗ͵ ൅ ͳ ൅ ൗͶ ʹʹ
൫ͳൗͶ൯൫ͳൗʹ൯
͵
ͳ
ͶͶ
ܻͳ ܻͶ
ൌ
ൌ ȳǢܼͳͶ ൌ ൌ
ȳ
ܻͳͶ ൌ
ͳൗ ൅ ͳൗ ൅ ͳ ൅ ͳൗ
ͶͶ
ܻͳͶ
͵
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
Ͷ
͵
Ͷ
ܻʹ͵ ൌ
ܻʹͶ ൌ
൫ͳൗ͵൯ሺͳሻ
ܻʹ ܻ͵
ʹ
ͳ
ͳͳ
ൌ
ൌ
ȳǢܼʹ͵ ൌ ൌ
ȳ
ͳൗ ൅ ͳൗ ൅ ͳ ൅ ͳൗ
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
ͳͳ
ܻʹ͵
ʹ
Ͷ
͵
Ͷ
൫ͳൗ͵൯൫ͳൗʹ൯
ͳ
ͳ
ܻʹ ܻͶ
ൌ
ൌ ȳǢܼʹͶ ൌ ൌ ͳͳȳ
ͳൗ ൅ ͳൗ ൅ ͳ ൅ ͳൗ
ͳͳ
ܻʹͶ
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
Ͷ
͵
Ͷ
ሺͳሻ൫ͳൗʹ൯
͵
ͳ
ͳͳ
ܻ͵ ܻͶ
ൌ
ൌ ȳǢܼ͵Ͷ ൌ ൌ
ȳ
ܻ͵Ͷ ൌ
ͳ
ͳ
ͳ
ͳͳ
ܻ͵Ͷ
͵
ܻͳ ൅ ܻʹ ൅ ܻ͵ ൅ ܻͶ
ൗͶ ൅ ൗ͵ ൅ ͳ ൅ ൗͶ
Figura 169. Circuito equivalente
176
3.3.4.3 Convertir en polígono el circuito de la siguiente figura 170, aplicando el
teorema de Rosen.
Figura 170. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Las admitancias del polígono serán:
ঀͳʹ
ͳ
ͳ
ቀ ቁ൬
൰
ঀͳ ঀʹ
ͳʹ െ݆Ͷ
ൌ
ൌ
ൌ ሺͲǡͲ͵Ͷͳ ൅ ݆ͲǡͲͷͷͳሻȳ
ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
ঀͳ ൅ ঀʹ ൅ ঀ͵ ൅ ঀͶ
൅ െ݆Ͷ ൅
൅
ͳʹ
ሺͺ ൅ ݆͵ሻ ሺͳͲ ൅ ݆ͷሻ
Ժͳʹ ൌ
ঀͳ͵
ͳ
ͳ
ൌ
ൌ ሺͺǡͳͲ െ ݆ͳ͵ǤͳͲሻȳ
ঀͳʹ ሺͲǡͲ͵Ͷͳ ൅ ݆ͲǡͲͷͷͳሻ
ͳ
ͳ
ቀ ቁ൬
൰
ঀͳ ঀ͵
ͳʹ ͺ ൅ ݆͵
ൌ
ൌ
ൌ ሺͲǡͲͳͺ െ ݆ͲǡͲʹͶሻȳ
ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
ঀͳ ൅ ঀʹ ൅ ঀ͵ ൅ ঀͶ
൅
൅
൅
ͳʹ െ݆Ͷ ሺͺ ൅ ݆͵ሻ ሺͳͲ ൅ ݆ͷሻ
Ժͳ͵ ൌ
ͳ
ͳ
ൌ
ൌ ሺʹͲǡͳʹ െ ݆ʹ͸ǤͲͶሻȳ
ঀͳ͵ ሺͲǡͲͳͺ െ ݆ͲǡͲʹͶሻ
177
ঀͳͶ
ͳ
ͳ
൰
ቀ ቁ൬
ঀͳ ঀͶ
ͳʹ ͳͲ ൅ ݆ͷ
ൌ
ൌ
ൌ ሺͲǡͲͳʹͳ െ ݆ͲǡͲͳͻ͹ሻȳ
ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
ঀͳ ൅ ঀʹ ൅ ঀ͵ ൅ ঀͶ
൅
൅
൅
ͳʹ െ݆Ͷ ሺͺ ൅ ݆͵ሻ ሺͳͲ ൅ ݆ͷሻ
ԺͳͶ ൌ
ঀʹ͵
ͳ
ͳ
൬
൰൬
൰
ঀʹ ঀ͵
െ݆Ͷ ͺ ൅ ݆͵
ൌ
ൌ
ൌ ሺͲǡͲ͹ʹͳ െ ݆ͲǡͲͷͷ͹ሻȳ
ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
ঀͳ ൅ ঀʹ ൅ ঀ͵ ൅ ঀͶ
൅
൅
൅
ͳʹ െ݆Ͷ ሺͺ ൅ ݆͵ሻ ሺͳͲ ൅ ݆ͷሻ
Ժʹ͵ ൌ
ঀʹͶ
ͳ
ͳ
ൌ
ൌ ሺͺǡ͸ͺ െ ݆͸Ǥ͹Ͳሻȳ
ঀʹ͵ ሺͲǡͲ͹ʹͳ െ ݆ͲǡͲͷͷ͹ሻ
ͳ
ͳ
൰
൬െ݆Ͷ൰ ൬
ঀʹ ঀͶ
ͳͲ ൅ ݆ͷ
ൌ
ൌ ሺͲǡͲͷͻʹ ൅ ݆ͲǡͲ͵͸ሻȳ
ൌ
ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
ঀͳ ൅ ঀʹ ൅ ঀ͵ ൅ ঀͶ
൅
൅
൅
ͳʹ െ݆Ͷ ሺͺ ൅ ݆͵ሻ ሺͳͲ ൅ ݆ͷሻ
ԺʹͶ ൌ
ঀ͵Ͷ
ͳ
ͳ
ൌ
ൌ ሺʹʹǡ͸ͳ ൅ ݆͵͸ǡ͸Ͷሻȳ
ঀͳͶ ሺͲǡͲͳʹͳ െ ݆ͲǡͲͳͻ͹ሻ
ͳ
ͳ
ൌ
ൌ ሺͳʹǡʹͳ െ ݆͹ǡͷͶሻȳ
ঀʹͶ ሺͲǡͲͷͻʹ ൅ ݆ͲǡͲ͵͸ሻ
ͳ
ͳ
൰
൬ͺ ൅ ݆͵൰ ൬
ঀ͵ ঀͶ
ͳͲ ൅ ݆ͷ
ൌ
ൌ
ൌ ሺͲǡͲͲ͸ʹͻ െ ݆ͲǡͲ͵ʹሻȳ
ͳ
ͳ
ͳ
ͳ
ঀͳ ൅ ঀʹ ൅ ঀ͵ ൅ ঀͶ
൅
൅
൅
ͳʹ െ݆Ͷ ሺͺ ൅ ݆͵ሻ ሺͳͲ ൅ ݆ͷሻ
Ժ͵Ͷ ൌ
ͳ
ͳ
ൌ
ൌ ሺͷǡͻʹ ൅ ݆͵Ͳሻȳ
ঀ͵Ͷ ሺͲǡͲͲ͸ʹͻ െ ݆ͲǡͲ͵ʹሻ
178
Figura 171. Circuito equivalente
3.3.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
3.3.5.1 Encontrar la resistencia equivalente ܴܾܽ Ǣ ܿ‫ ܴ݊݋‬ൌ ͻȳ
Figura 172. Ejercicio propuesto
3.3.5.2 Hallar la resistencia equivalente entre los terminales a y b de la figura 173,
aplicando el teorema de Rosen.
179
Figura 173. Ejercicio propuesto
3.4 TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA (RÉGIMEN
PERMANENTE SINUSOIDAL)
El análisis de circuitos es muy importante en el estudio de sistemas diseñados
para transferir potencia entre una fuente y una carga, este teorema fue enunciado
por Moritz von Jacobi31 y en el principio fue conocido como la “ley de Jacobi”.
Los elementos que transmiten información mediante señales eléctricas, necesitan
transmitir una máxima cantidad de potencia desde la fuente hasta la carga, hecho
por el cual la aplicación de este teorema llega a ser muy útil en el momento
indicado para esta tarea.
31
Moritz Hermann (Boris Semyonovich) von Jacobi, nació en Rusia el 21 de septiembre de 1801 y murió el
10 de marzo de 1874, ingeniero y físico. Jacobi trabajo en el desarrollo de motores eléctricos y de cables de
comunicación.
180
3.4.1 ENUNCIADO
La potencia máxima entregada por una fuente real de voltaje o de corriente de una
red, representada dicha red por un circuito equivalente de Thévenin, se alcanza
cuando la impedancia de la carga (ܼ‫) ܮ‬, es igual a la conjugada de la impedancia
equivalente de Thévenin (ܼ‫ ܮ‬ൌ ܼ݄ܶ ‫) כ‬
3.4.2 DEMOSTRACIÓN
El concepto de transferencia máxima de potencia en el contexto de una red en
régimen permanente sinusoidal, se empieza por ver en la siguiente figura 174.
Figura 174. Circuito para describir la transferencia máxima de potencia
Se debe determinar la impedancia de carga ܼ‫ ܮ‬que permite entregar una potencia
máxima a los terminales a y b, cualquier red lineal puede ser vista desde los
terminales de la carga en términos de un circuito equivalente de Thévenin, hecho
por el cual la labor se reduce a encontrar el valor de ܼ‫ ܮ‬que hace que se suministre
una potencia media máxima a ܼ‫ ܮ‬en el circuito que se muestra a continuación:
181
Figura 175. El circuito de la figura anterior, sustituyendo la red por su equivalente
de Thévenin
Para que la transferencia de potencia sea máxima, ܼ‫ ܮ‬debe ser igual al conjugado
de la impedancia de Thévenin, es decir:
ܼ‫ ܮ‬ൌ ܼ݄ܶ ‫ כ‬ሺͳʹͶሻ
Para demostrar la ecuación anterior se empieza por expresar ܼ݄ܶ y ܼ‫ ܮ‬en forma
rectangular:
ܼ݄ܶ ൌ ܴ݄ܶ ൅ ݆݄ܺܶ
y
ܼ‫ ܮ‬ൌ ܴ‫ ܮ‬൅ ݆ܺ‫ܮ‬
En las dos ecuaciones anteriores, el término de la reactancia lleva su propio signo
algebraico, positivo para la inductancia y negativo para la capacitancia. Puesto
que se está haciendo un cálculo de potencia media, se supone que la amplitud del
voltaje de Thévenin se expresa mediante su valor en rms, también se usa el
voltaje de Thévenin como fasor de referencia. En estas condiciones a partir de la
figura 175 el valor rms de la corriente de carga ‫ ܫ‬será:
‫ܫ‬ൌ
ሺܴ݄ܶ
ܸ݄ܶ
ሺͳʹͷሻ
൅ ܴ‫ ܮ‬ሻ ൅ ݆ሺ݄ܺܶ ൅ ܺ‫ ܮ‬ሻ
La potencia media suministrada a la carga es:
ܲ ൌ ȁ‫ܫ‬ȁʹ ܴ‫ ܮ‬ൌ
ሺܴ݄ܶ
ȁܸ݄ܶ ȁʹ ܴ‫ܮ‬
Ǣ †‘†‡ܸ݄ܶ ǡ ܴ݄ܶ ‫•‘Œ‹ˆ•‡”‘Žƒ˜‘• ݄ܶܺݕ‬
൅ ܴ‫ ܮ‬ሻʹ ൅ ሺ݄ܺܶ ൅ ܺ‫ ܮ‬ሻʹ
182
ܴ‫ܮ‬
y
ܺ‫ܮ‬
son variables independientes. Ahora para maximizar P, se deben
encontrar los valores de ܴ‫ ܮ‬y ܺ‫ ܮ‬para los que ߲ܲΤ߲ܴ‫ ܮ‬y ߲ܲΤ߲ܺ‫ ܮ‬son ambas
cero
߲ܲ
െȁܸ݄ܶ ȁʹ ʹܴ‫ ܮ‬ሺ݄ܺܶ ൅ ܺ‫ ܮ‬ሻ
ൌ
߲ܺ‫ ܮ‬ሾሺܴ݄ܶ ൅ ܴ‫ ܮ‬ሻʹ ൅ ሺ݄ܺܶ ൅ ܺ‫ ܮ‬ሻʹ ሿʹ
ȁܸ݄ܶ ȁʹ ሾሺܴ݄ܶ ൅ ܴ‫ ܮ‬ሻʹ ൅ ሺ݄ܺܶ ൅ ܺ‫ ܮ‬ሻʹ െ ʹܴ‫ ܮ‬ሺܴ݄ܶ ൅ ܴ‫ ܮ‬ሻሿ
߲ܲ
ൌ
ሾሺܴ݄ܶ ൅ ܴ‫ ܮ‬ሻʹ ൅ ሺ݄ܺܶ ൅ ܺ‫ ܮ‬ሻʹ ሿʹ
߲ܴ‫ܮ‬
߲ܲ
ൌ Ͳ…—ƒ†‘ܺ‫ ܮ‬ൌ െ݄ܺܶ ߲ܺ‫ܮ‬
߲ܲ
ൌ Ͳ…—ƒ†‘ሺܴ݄ܶ ൅ ܴ‫ ܮ‬ሻʹ ȁܸ݄ܶ ȁʹ ൌ ʹܴ‫ ܮ‬ȁܸ݄ܶ ȁʹ ሺܴ݄ܶ ൅ ܴ‫ ܮ‬ሻ ՜ ܴ݄ܶ ൌ ܴ‫ ܮ‬
߲ܴ‫ܮ‬
—•ƒ†‘݄ܺܶ ൌ െܺ‫ ܮ‬
Ahora combinando las dos ecuaciones obtenidas:
ܼ݄ܶ ൌ ܴ݄ܶ ൅ ݆݄ܺܶ ൌ ܴ‫ ܮ‬െ ݆ܺ‫ ܮ‬Ǣܼ‫ ܮ‬ൌ ܼ݄ܶ ‫ כ‬Ǣ Ž‘“—‡•‡“—‡”Àƒ†‡‘•–”ƒ”
Máxima potencia media absorbida
La máxima potencia media que puede suministrarse a ܼ‫ ܮ‬cuando esta es igual al
conjugado de ܼ݄ܶ se calcula directamente a partir del circuito de la figura 175.
Cuando ܼ‫ ܮ‬ൌ ܼ݄ܶ ‫ כ‬, la corriente rms de carga es ܸ݄ܶ Τʹܴ‫ ܮ‬y la máxima potencia
media suministrada a la carga es:
ܲ݉ܽ‫ ݔ‬ൌ
ȁܸ݄ܶ ȁʹ ܴ‫ܮ‬
Ͷܴ‫ʹ ܮ‬
ൌ
ͳ ȁܸ݄ܶ ȁʹ ሺͳʹ͸ሻ
Ͷ ܴ‫ܮ‬
Si el voltaje de Thévenin está expresado en términos de su amplitud máxima, y no
en función de su amplitud rms, la potencia queda como:
183
ܲ݉ܽ‫ ݔ‬ൌ
ͳ ܸ݉ ʹ
ሺͳʹ͹ሻ
ͺ ܴ‫ܮ‬
Máxima transferencia de potencia cuando Z está restringida
Sólo puede suministrarse una potencia media máxima a ܼ‫ ܮ‬si esta puede hacerse
igual al conjugado de ܼ݄ܶ . Pero hay situaciones donde esto no es posible, en
primer lugar
ܴ‫ ܮܺ› ܮ‬pueden estar restringidas a un rango limitado de valores.
En este caso, la condición óptima para ܴ‫ ܮܺ› ܮ‬consiste en ajustar ܺ‫ ܮ‬lo más
próxima posible a െ݄ܺܶ y luego ajustar ܴ‫ ܮ‬lo más próxima a ටܴ݄ܶ ʹ ൅ ሺ݄ܺܶ ൅ ܺ‫ ܮ‬ሻʹ
que sea posible.
Un segundo tipo de restricción se produce cuando se puede variar la magnitud de
ܼ‫ ܮ‬, pero no su ángulo de fase. Con esta restricción, se transfiere la mayor cantidad
posible de potencia a la carga cuando la magnitud de ܼ‫ ܮ‬es igual a la magnitud de
ܼ݄ܶ , es decir:
ȁܼ‫ ܮ‬ȁ ൌ ȁܼ݄ܶ ȁ
Para redes puramente resistivas, la transferencia máxima de potencia se produce
cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia de Thévenin.
3.4.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
Determinación de la transferencia máxima de potencia sin restricciones de carga.
a) Para el circuito de la figura 176, determinar la impedancia Ժ‫ ܮ‬que permite
transferir una potencia media máxima a Ժ‫ ܮ‬.
b) ¿Cuál es la máxima potencia media transferida a la impedancia de carga
determinada en el punto (a)?
184
Figura 176. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
a) Se comienza por hallar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b
del circuito de la figura 176, luego después de dos transformaciones de fuente
con la fuente de ʹͲܸ, la resistencia de ͷȳ y la resistencia de ʹͲȳ, se simplifica
el circuito para obtener el que se muestra a continuación.
Figura 177. Circuito simplificado
185
ॽ݄ܶ ൌ
ሺͳ͸‫ ͲͲע‬ሻ
ሺെ݆͸ሻ ൌ ሺͳͻǡʹ‫ ע‬െ ͷ͵ǡͳ͵Ͳ ሻ ൌ ሺͳͳǡͷʹ െ ݆ͳͷǡ͵͸ሻܸ
Ͷ ൅ ݆͵ െ ݆͸
Se obtiene la impedancia de Thévenin desactivando la fuente independiente y
calculando la impedancia que se ve al mirar hacia los terminales a y b.
Ժ݄ܶ ൌ
ሺെ݆͸ሻሺͶ ൅ ݆͵ሻ
ൌ ሺͷǡ͹͸ െ ݆ͳǡ͸ͺሻȳ
Ͷ ൅ ݆͵ െ ݆͸
Para obtener una máxima transferencia de potencia media, la impedancia de
carga debe ser el conjugado de Ժ݄ܶ , por lo que:
Ժ‫ ܮ‬ൌ Ժ݄ܶ ‫ כ‬ൌ ሺͷǡ͹͸ ൅ ݆ͳǡ͸ͺሻȳ
b) Para calcular la máxima potencia media suministrada a Ժ‫ ܮ‬se utiliza la siguiente
figura donde se ha sustituido la red original por su equivalente de Thévenin.
Figura 178. Red original sustituida por su equivalente de Thévenin
Analizando la figura 178 se puede ver que la magnitud rms de la corriente de
carga ‫ ܫ‬es:
‫ ݂݂݁ܫ‬ൌ
ͳͻǡʹΤξʹ
ൌ ͳǡͳ͹ͺͷ‫ܣ‬
ʹሺͷǡ͹͸ሻ
186
La potencia media suministrada a la carga será:
ܲ ൌ ‫ ʹ ݂݂݁ܫ‬ሺͷǡ͹͸ሻ ൌ ͺܹ
3.4.4 EJERCICIOS RESUELTOS
3.4.4.1 Determinación de la transferencia máxima de potencia con restricciones de
la impedancia de carga.
a) Para el circuito de la figura 179, ¿Qué valor de Ժ‫ ܮ‬da como resultado
una máxima transferencia de potencia media hacia
potencia máxima en miliwatios?
Ժ‫¿ ? ܮ‬Cuál es la
b) Suponer que puede variarse la resistencia de carga entre Ͳ›ͶͲͲͲȳ y
que la reactancia capacitiva de la carga puede variarse entre
Ͳ› െ ʹͲͲͲȳ. ¿Qué valores de ܴ‫ ܮ‬y ܺ‫ ܮ‬permiten transferir la mayor
cantidad de potencia media hacia la carga? ¿Cuál es la máxima potencia
media que puede transferirse con estas restricciones?
Figura 179. Ejercicio resuelto
187
SOLUCIÓN:
a) Si no hay restricciones en lo que se respecta a los valores de ܴ‫ ܮ‬y ܺ‫ ܮ‬, la
impedancia de carga debe ser igual al conjugado de la impedancia de
Thévenin. Por lo tanto se hace:
ܴ‫ ܮ‬ൌ ͵ͲͲͲȳ‫ ܮܺ ݕ‬ൌ െͶͲͲͲȳ , lo que es equivalente a, Ժ‫ ܮ‬ൌ ሺ͵ͲͲͲ െ ݆ͶͲͲͲሻȳ
Ya que el valor de la fuente de tensión está dada en forma de valor rms, la
potencia media suministrada a Ժ‫ ܮ‬será:
ܲൌ
ͳ ͳͲʹ
ʹͷ
ൌ
ܹ݉ ൌ ͺǡ͵͵ܹ݉
Ͷ ͵ͲͲͲ
͵
b) Puesto queܴ‫ ܮܺ› ܮ‬están restringidas, primero se hace ܺ‫ ܮ‬lo más próxima a
െͶͲͲͲȳ que sea posible; por lo tanto,ܺ‫ ܮ‬ൌ െʹͲͲͲȳ. A continuación, se asigna un
valor a ܴ‫ܮ‬
condiciones:
lo más próximo a ටܴ݄ܶ ʹ ൅ ሺܺ‫ ܮ‬൅ ݄ܺܶ ሻʹ que sea posible. En estas
ܴ ൌ ඥ͵ͲͲͲʹ ൅ ሺെʹͲͲͲሻ ൅ ͶͲͲͲሻʹ ൌ ͵͸Ͳͷǡͷͷȳ
Ya que se puede variar ܴ‫ ܮ‬entre Ͳ‫ݕ‬ͶͲͲͲȳ, se asigna a ܴ‫ ܮ‬el valor de ͵͸Ͳͷǡͷͷȳ.
Por lo tanto, la impedancia de la carga se debe ajustar con el valor:
Ժ‫ ܮ‬ൌ ሺ͵͸Ͳͷǡͷͷ െ ݆ʹͲͲͲሻȳ
Si se asigna a ܼ‫ ܮ‬este valor, el valor de la corriente de carga será:
‫ ݂݂݁ܫ‬ൌ
ሺͳͲ‫ ͲͲע‬ሻ
ൌ ሺͳǡͶͶͺͻ‫ע‬െͳ͸ǡͺͷͲ ሻ݉‫ܣ‬
͸͸Ͳͷǡͷͷ ൅ ݆ʹͲͲͲ
La potencia media suministrada a la carga es:
ܲ ൌ ൫‫ ʹ ݂݂݁ܫ‬൯ܴ‫ ܮ‬ൌ ሺͳǡͶͶͺͻ ൈ ͳͲെ͵ ሻʹ ሺ͵͸Ͳͷǡͷͷሻ ൌ ͹ǡͷ͹ܹ݉
188
Este valor es la potencia máxima que se puede suministrar a la carga teniendo en
cuenta las restricciones relativas a ܴ‫ ܮ‬y ܺ‫ ܮ‬, se puede ver que esta potencia es
inferior a la que podría suministrarse si no hubiera restricciones; en el punto (a) se
pudo observar que podían llegar a suministrarse ͺǡ͵͵ܹ݉.
3.4.4.2 Cálculo de la transferencia máxima de potencia con restricciones relativas
al ángulo de impedancia.
Se conecta una impedancia de carga con un ángulo de fase constante de െ͵͸ǡͺ͹Ͳ
a los terminales a y b del circuito de la figura, se varía la magnitud de ܼ‫ ܮ‬hasta que
la potencia media suministrada sea la máxima posible, teniendo presente la
restricción mencionada.
a) Calcular el valor de ܼ‫ ܮ‬en forma rectangular.
b) Calcular la potencia media suministrada a ܼ‫ ܮ‬.
Figura 180. Ejercicio resuelto
189
SOLUCIÓN:
a) Se sabe que la magnitud de ܼ‫ ܮ‬es igual a la magnitud de ܼ݄ܶ .Por lo tanto:
ȁܼ‫ ܮ‬ȁ ൌ ȁܼ݄ܶ ȁ ൌ ȁሺ͵ͲͲͲ ൅ ݆ͶͲͲͲሻȁ ൌ ͷͲͲͲȳ
Ahora, como el ángulo de fase de ܼ‫ ܮ‬es െ͵͸ǡͺ͹Ͳ , se tiene:
ܼ‫ ܮ‬ൌ ሺͷͲͲͲ‫ע‬െ͵͸ǡͺ͹Ͳ ሻ ൌ ሺͶͲͲͲ െ ݆͵ͲͲͲሻȳ
b) Siendo ܼ‫ ܮ‬igual a ሺͶͲͲͲ െ ݆͵ͲͲͲሻȳ , la corriente de carga tendrá el valor:
‫ ݂݂݁ܫ‬ൌ
ͳͲ
ൌ ሺͳǡͶͳͶʹ‫ע‬െͺǡͳ͵Ͳ ሻ݉‫ܣ‬
͹ͲͲͲ ൅ ݆ͳͲͲͲ
La potencia media suministrada a la carga tendrá el valor:
ܲ ൌ ൫‫ ʹ ݂݂݁ܫ‬൯ܴ‫ ܮ‬ൌ ሺͳǡͶͳͶʹ ൈ ͳͲെ͵ ሻʹ ሺͶͲͲͲሻ ൌ ͺܹ݉
Este valor es la máxima potencia que puede suministrarse mediante este circuito a
una impedancia de carga cuyo ángulo tenga un valor constante de െ͵͸ǡͺ͹Ͳ . De
nuevo se puede ver que este valor es inferior a la máxima potencia que podría
suministrarse a ܼ‫ ܮ‬si no hubiera ningún tipo de restricción.
3.4.4.3 Calcular la impedancia de carga Ժ‫ ܮ‬que absorbería la potencia máxima y
cuanto es esta ܲ݉ܽ‫ ݔ‬.
190
Figura 181. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Cálculo del equivalente de Thévenin
െॴͳ ൅ ॴʹ ൌ ሺʹ‫ͳע‬ͷͲ ሻሺͳʹͺሻ
Malla 1 y 2: Desconectando la carga
ሺ݆Ͷሻॴͳ ൅ ሺ݆Ͷ െ ݆ʹሻॴʹ ൌ Ͳ
ሺ݆Ͷሻॴͳ ൅ ሺ݆ʹሻॴʹ ൌ Ͳሺͳʹͻሻ
Despejando las corrientes de las ecs.(128) y (129) se obtiene:
Calculo de ॽ݄ܶ :
ॴͳ ൌ ሺͲǡ͸͹‫ע‬െͳ͸ͷͲ ሻ‫ܣ‬Ǣॴʹ ൌ ሺͳǡ͵͵‫ͳע‬ͷͲ ሻ‫ܣ‬
ॽ݄ܶ ൌ ሺെͳͷ‫ע‬െͳͲͲ ሻ െ ሺ݆ʹሻॴʹ ൌ ሺͳͶǡͲͺ‫ͳע‬͹ͻǡͺ͸Ͳ ሻܸ
191
Figura 182. Cálculo de Ժ݄ܶ
Ժ݄ܶ ൌ ͵ ൅ ሺെ݆ʹ ‫݆ צ‬ͺሻ ൌ ሺͶǡͲͳ‫ע‬െͶͳǡ͸͵Ͳ ሻ ൌ ሺ͵ െ ݆͵ሻȳ
Ժ݄ܶ ൌ ሺ͵ െ ݆͵ሻȳ
Por lo tanto la potencia máxima será:
ܲ݉ܽ‫ ݔ‬ൌ
ȁܸ݄ܶ ȁʹ ȁͳͶǡͲͺȁʹ
ൌ
ൌ ͳ͸ǡͷʹܹ
Ͷሺ͵ሻ
Ͷܴ݄ܶ
3.4.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
3.4.5.1 Calcular la potencia media suministrada a la resistencia de ͳͲͲȳ en el
circuito mostrado si ܸ݃ ൌ ͸͸Ͳሺܿ‫ݏ݋‬ͷͲͲͲ‫ݐ‬ሻܸ
Figura 183. Ejercicio propuesto
192
3.4.5.2 ¿Cuál es el valor de la resistencia ܴ en la figura 184 que maximiza la
potencia promedio entregada a la carga?
Figura 184. Ejercicio propuesto
3.4.5.3 Determinar los valores ܴ›‫ ܮ‬para el circuito de la figura 185 que produzcan
la transferencia máxima de potencia a la carga.
Figura 185. Ejercicio propuesto
193
3.5 TEOREMA DE MILLER
El teorema de Miller32, es un teorema muy utilizado en electrónica y en circuitos
eléctricos para determinar y facilitar los cálculos en un circuito, al momento de
dividir una impedancia que cumpla con las condiciones para hacerlo.
3.5.1 ENUNCIADO
En un circuito lineal donde exista una impedancia ܼ conectada entre dos nodos,
cada uno con voltajes ܸͳ y ܸʹ como se muestra en la figura 186 , se puede
reemplazar dicha impedancia por dos elementos conectadas entre sus
correspondientes nodos y tierra, cada una con sus respectivas impedancias:
ܼΤሺͳ െ ‫ܭ‬ሻ y ‫ܼܭ‬Τሺ‫ ܭ‬െ ͳሻ donde ‫ ܭ‬ൌ ܸʹ Τܸͳ .
Figura 186. Teorema de Miller
32
John Milton Miller fué un notable Ingeniero Electricista Estadounidense, ampliamente conocido por
descubrir el Efecto Miller e inventar los circuitos oscilatorios con cuarzos de cristal (Oscilaciones de Miller).
Miller nació en Hanover, Pennsylvania, y en 1915 recibió su Ph.D. en física de la Universidad de Yale.
194
3.5.2 DEMOSTRACIÓN
Figura 187. Teorema de Miller
ܸͳ ൌ ܼ‫ ͳܫ‬൅ ܸʹ Ǣܸʹ ൌ ܼ‫ ʹܫ‬൅ ܸͳ Ǣ ‫ ܭ‬ൌ
ܸʹ
ܸͳ
Figura 188. Circuito equivalente
Convirtiendo a cada lado las fuentes de voltaje en fuentes de corriente y usando el
valor de ‫ܭ‬:
195
Figura 189. Conversión de las fuentes
Aplicando el Teorema de sustitución para cada lado:
Figura 190. Aplicación del teorema de sustitución
Se obtiene el siguiente circuito:
Figura 191. Circuito equivalente
196
Hallando la ܼ݁‫ ݍ‬en ambos lados, se obtiene la expresión que se quería demostrar:
ܼ
ܼቀ ቁ
ܼΤ‫ܭ‬
ܼ
ܼሺ‫ܼܭ‬ሻ
‫ܼܭ‬
െ ‫ ܭ‬ൌ
ൌ
Ǣെ
ൌ
ܼ ͳ
ͳെ‫ܭ‬
ܼ െ ‫ ܭ ܼܭ‬െ ͳ
ܼെ
െ
ͳ
‫ܭ ܭ‬
Figura 192. Demostración del teorema de Miller
3.5.2.1 Teorema dual de Miller
En un circuito lineal donde exista una impedancia ܼ conectada entre un nodo y
tierra, donde dos corrientes ͳ e ʹ convergen en el mismo nodo, como se ve en la
figura 193, se puede reemplazar dicha impedancia por dos elementos conectados
entre sus correspondientes nodos y tierra, cada una con sus respectivas
impedancias: ሺͳ ൅ ߙሻܼ y ሺͳ ൅ ߙሻܼΤߙ donde Ƚ ൌ ʹ Τͳ .
Figura 193. Teorema dual de Miller
197
Figura 194. Circuito equivalente
Convirtiendo a cada lado las fuentes de corriente en fuentes de voltaje:
Figura 195. Conversión de las fuentes
Siguiendo un procedimiento similar al que se utilizó en el teorema general de Miller
se llega a obtener el mismo circuito previamente mostrado:
Figura 196. Demostración del teorema dual de Miller
198
3.5.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
Determinar la relación de voltaje ܸͲ Τܸ݅ en el circuito de la figura 197, aplicando el
teorema de Miller.
Figura 197. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
Del circuito se puede deducir directamente el valor de la relación ‫ܭ‬:
‫ܭ‬ൌ
ܸʹ െͶܸͳ
ൌ
ൌ െͶ
ܸͳ
ܸͳ
Por lo tanto se puede aplicar el teorema de Miller a la resistencia de ʹͲȳ, tal como
se muestra en la figura 198.
Figura 198. Aplicación del teorema de Miller
199
El valor de la resistencia ܴͳ se calcula de la siguiente forma:
ܴͳ ൌ
ʹͲ
ൌ Ͷȳ
ሺͳ െ ሺെͶሻሻ
Y el valor de la resistencia ܴʹ se calcula con la siguiente ecuación:
ܴʹ ൌ
ʹͲሺെͶሻ
ൌ ͳ͸ȳ
െͶ െ ͳ
El circuito equivalente se muestra a continuación:
Figura 199. Circuito equivalente
De este circuito se puede deducir que la relación entre el voltaje ܸͲ y el voltaje ܸͳ
se puede determinar aplicando un divisor de voltaje a la red que se encuentra a la
derecha (la resistencia de ͳ͸ȳ en paralelo con la fuente de voltaje redunda).
ʹ
ܸͲ ൌ െ ൬
൰ Ͷܸͳ ൌ െͳǡ͸ܸͳ
͵൅ʹ
A partir de la red que se encuentra a la izquierda se puede deducir la relación
entre el voltaje ܸͳ y el voltaje ܸ݅ de la siguiente forma:
ܸͳ ൌ ൬
Ͷ‫צ‬Ͷ
൰ ܸ ൌ Ͳǡͷܸ݅݊
ʹ ൅ ሺͶ ‫ צ‬Ͷሻ ݅݊
200
Por lo tanto la relación entre el voltaje ܸͲ y el voltaje ܸ݅݊ es la siguiente:
ܸͲ
ൌ െሺͳǡ͸ሻሺͲǡͷሻ ൌ െͲǡͺ
ܸ݅݊
3.5.4 EJERCICIOS RESUELTOS
3.5.4.1 Determinar la relación de voltaje ܸͲ Τܸ݅݊ y la relación de corriente ݅Ͳ Τ݅݅݊ en
el circuito de la figura 200, aplicando el teorema de Miller.
Figura 200. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
En este circuito se quiere aplicar el teorema de Miller a la resistencia de ʹͲͲ‫ܭ‬ȳ,
pero no es posible determinar directamente el valor del parámetro ‫ܭ‬, tal como se
hizo en el ejercicio anterior. Cuando se presenta este tipo de circuitos, el
procedimiento a usar es el siguiente:
Si se considera que el parámetro ‫ ܭ‬tiene un valor lo suficientemente elevado como
para suponer que el denominador de la relación que tiene que aplicarse para
201
calcular la resistencia ܴʹ es aproximadamente igual a 1, y por lo tanto se cumple lo
siguiente:
ܴʹ ൎ ܴ ൌ ʹͲͲ‫ܭ‬ȳ
Con esta aproximación se puede obtener el circuito equivalente mostrado a
continuación:
Figura 201. Circuito equivalente
A partir de este circuito se pueden realizar los siguientes cálculos:
ܸʹ ൌ െͷͲ‫ ܾܫ‬ሺʹͲͲ‫ܭ‬ȳ ‫ צ‬ͶͲ‫ܭ‬ȳ ‫ܭͲͳ צ‬ȳሻ ൌ ሺെ͵ͺͶǡ͸ʹ‫ܭ‬ȳሻ‫ܾܫ‬
‫ܭ‬ൌ
ܸͳ ൌ ሺͳǡͳ‫ܭ‬ȳሻ‫ܾܫ‬
ܸʹ ሺെ͵ͺͶǡ͸ʹ‫ܭ‬ȳሻ‫ܾܫ‬
ൌ
ൌ െ͵Ͷͻǡ͸ͷ
ሺͳǡͳ‫ܭ‬ȳሻ‫ܾܫ‬
ܸͳ
Este resultado confirma que la aproximación realizada para determinar el valor de
la resistencia ܴʹ es válida. Una vez conocido valor de ‫ ܭ‬se puede determinar el
valor de la resistencia equivalente ܴͳ utilizando la ecuación correspondiente:
202
ܴͳ ൌ
ʹͲͲ‫ܭ‬ȳ
ൌ Ͳǡͷ͹‫ܭ‬ȳ
ͳ ൅ ͵Ͷͻǡ͸ͷ
Para determinar la relación entre el voltaje ܸͳ y el voltaje ܸ݅ se aplica un divisor de
voltaje:
ܸͳ ൌ
ሺͲǡͷ͹‫ܭ‬ȳ ‫ͳ צ‬ǡͳ‫ܭ‬ȳሻ
ܸ ൌ ͲǡͲ͵͸ܸ݅
ሺͲǡͷ͹‫ܭ‬ȳ ‫ͳ צ‬ǡͳ‫ܭ‬ȳሻ ൅ ͳͲ‫ܭ‬ȳ ݅݊
Finalmente, de la parte derecha del circuito se puede deducir que:
ܸͲ ൌ ܸʹ ൌ ሺെ͵ͺͶǡ͸ʹ‫ܭ‬ȳሻ‫ܾܫ‬
Pero:
‫ ܾܫ‬ൌ
ሺെ͵ͺͶǡ͸ʹ‫ܭ‬ȳሻሺͲǡͲ͵͸ሻ
ܸͲ
ܸͳ
Ǣ ’‘”Ž‘–ƒ–‘
ൌ
ൌ െͳʹǡ͸
ܸ݅݊
ͳǡͳ‫ܭ‬ȳ
ͳǡͳ‫ܭ‬ȳ
Para calcular la relación entre la corriente de salida y la de entrada se deben
realizar los siguientes cálculos:
A partir de la red que se encuentra a la derecha del circuito mostrado en la figura
se puede calcular la relación entre la corriente ‫ Ͳܫ‬y la corriente ‫ ܾܫ‬aplicando un
divisor de corriente:
‫ Ͳܫ‬ൌ
ሺͶͲ‫ܭ‬ȳ ‫ܭͲͲʹ צ‬ȳሻ
ሺെͷͲ‫ ܾܫ‬ሻ ൌ െ͵ͺǡͶ͸‫ܾܫ‬
ሺͶͲ‫ܭ‬ȳ ‫ܭͲͲʹ צ‬ȳሻ ൅ ͳͲ‫ܭ‬ȳ
De la misma forma, la relación entre la corriente ‫ ܾܫ‬y la corriente ‫ ݅ܫ‬se puede
calcular aplicando un divisor de corriente a la red que se encuentra a la izquierda
del circuito equivalente:
Por lo tanto:
‫ ܾܫ‬ൌ
Ͳǡͷ͹‫ܭ‬ȳ
‫ ܫ‬ൌ Ͳǡ͵Ͷ‫݊݅ܫ‬
Ͳǡͷ͹‫ܭ‬ȳ ൅ ͳǡͳ‫ܭ‬ȳ ݅݊
203
‫Ͳܫ‬
ൌ ሺെ͵ͺǡͶ͸ሻሺͲǡ͵Ͷሻ ൌ െͳ͵ǡͳ͵
‫݊݅ܫ‬
De esta forma quedan determinadas las dos relaciones pedidas en el enunciado
del problema.
3.5.4.2 Determinar la relación de voltaje ॽͲ Τॽ݅݊ en el circuito de la figura 202,
aplicando el teorema de Miller.
Figura 202. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Del circuito anterior se puede deducir directamente el valor de la relación ‫ܭ‬:
‫ܭ‬ൌ
ॽʹ െʹॽͳ
ൌ
ൌ െʹ
ॽͳ
ॽͳ
Por lo tanto se puede aplicar el teorema de Miller a la resistencia de ͳͲȳ, tal como
se muestra en la figura 203.
204
Figura 203. Aplicación del teorema de Miller
El valor de la resistencia ܴͳ se calcula de la siguiente forma:
ܴͳ ൌ
ͳͲ
ͳͲ
ൌ
ȳ
ሺͳ െ ሺെʹሻሻ
͵
El valor de la resistencia ܴʹ se calcula con la siguiente ecuación:
ܴʹ ൌ
ͳͲሺെʹሻ ʹͲ
ൌ
ȳ
െʹ െ ͳ
͵
El circuito equivalente se muestra a continuación:
Figura 204. Circuito equivalente
205
De este circuito se puede sacar la relación entre el voltaje ॽͲ y el voltaje ॽͳ se
puede determinar aplicando un divisor de voltaje a la red que se encuentra a la
derecha del circuito:
െ݆ͺ
൰ ʹॽͳ ൌ ͺॽͳ
ॽͲ ൌ ൬
െ݆ͺ ൅ ݆͸
En la red que se encuentra a la izquierda se puede deducir la relación entre el
voltaje ॽͳ y el voltaje ॽ݅݊ de la siguiente forma:
൫ͳͲൗ͵ ‫݆ צ‬Ͷ൯
ॽͳ ൌ ൭
൱ ॽ݅݊ ൌ Ͳǡ͵͸ॽ݅݊
ͷ ൅ ൫ͳͲൗ͵ ‫݆ צ‬Ͷ൯
Por lo tanto la relación entre el voltaje ॽͲ y el voltaje ॽ݅݊ es la siguiente:
ॽͲ
ൌ ሺͺሻሺͲǡ͵͸ሻ ൌ ʹǡͺ͸
ॽ݅݊
3.5.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
3.5.5.1 En el circuito de la figura 205, hallar la impedancia equivalente respecto de
la fuente ideal de voltaje, aplicando el teorema de Miller.
Figura 205. Ejercicio propuesto
206
3.6 TEOREMA DE COMPENSACIÓN
Este teorema resulta de aplicar el teorema de sustitución al problema de
determinar la alteración que se produce en las corrientes de un circuito lineal
cuando se da un incremento al parámetro que define uno de sus elementos
pasivos. Se aplica ampliamente para estudiar y comparar los errores posibles de
los diferentes dispositivos de medida y para determinar las tolerancias de los
parámetros que constituyen un circuito y en los problemas de sensitividad (análisis
de sistemas de potencia).
El circuito debe ser lineal, variante o invariante con el tiempo y su estado
energético inicial puede ser cero o no.
3.6.1 ENUNCIADO
1aParte: Si la corriente en una rama de una red lineal y activa es ‫ ܫ‬y la impedancia
ܼ de esta rama se incrementa una cantidad οܼ, el incremento de corriente
y voltaje en
cada rama de la red es el que produciría una fuente de
voltaje de valor ‫ܫ‬οܼ que posea la misma polaridad de la caída de voltaje
sobre οܼ producida por la corriente ‫ܫ‬, actuando sobre la red ya afectada
por el cambio οܼ y con todas las demás fuentes independientes nulas.
Figura 206. Teorema de compensación 1ª parte
207
2aParte: Si el voltaje en una rama de una red lineal y activa es ܸ y la
conductancia ‫ ܩ‬de esta rama se incrementa una cantidad ο‫ܩ‬, el
incremento de corriente y voltaje en cada rama de la red es el que
produciría una fuente de corriente de valor ܸο‫ ܩ‬que posea la misma
dirección de la corriente por ο‫ ܩ‬debida al voltaje ܸ, actuando sobre la
red ya afectada por el cambio ο‫ ܩ‬y con todas la demás fuentes
independientes nulas.
Figura 207. Teorema de compensación 2ª parte
3.6.2 DEMOSTRACIÓN
Figura 208. Demostración del teorema de compensación
208
Considerando el voltaje que pasa a través de la rama del circuito que fue
modificada, se tiene:
ܸ ൅ οܸ ൌ ሺܼ ൅ οܼሻሺ‫ ܫ‬൅ ο‫ܫ‬ሻ ൌ ܼ‫ ܫ‬൅ οܼ‫ ܫ‬൅ ሺܼ ൅ οܼሻο‫ܫ‬
De la red original se puede ver que: ܸ ൌ ܼ‫ܫ‬
Por lo tanto: οܸ ൌ ሺοܼሻ‫ ܫ‬൅ ሺܼ ൅ οܼሻο‫ܫ‬ሺͳ͵Ͳሻ
Con base en esta ecuación se construye la red lineal pasiva:
Figura 209. Red lineal bilateral pasiva
209
ο‫ ܫ‬ൌ െ
ܼ݄ܶ
‫ ܮܫ‬οܼ
Ǣܼ‫ ܯ‬ൌ ܼ݄ܶ ൅ ܼ‫ ܮ‬൅ οܼ
൅ ܼ‫ ܮ‬൅ οܼ
ο‫ ܫ‬ൌ െ
‫ ܯܫ‬ൌ ‫ ܮܫ‬൅ ο‫ܫ‬Ǣ‫ ܯܫ‬ൌ ‫ ܮܫ‬െ
‫ ܮܫ‬ൌ
‫ ܮܫ‬οܼ
ሺͳ͵ͳሻ
ܼ‫ܯ‬
‫ ܮܫ‬οܼ
†‡•’‡Œƒ†‘‫‡‡‹–„‘‡• ܮܫ‬ǣ
ܼ‫ܯ‬
ܼ‫ܯܫ ܯ‬
ሺͳ͵ʹሻ
ܼ‫ ܯ‬െ οܼ
3.6.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
En el circuito de la figura 210, hallar la corriente de carga ॴ‫ ܮ‬cuando se pone un
amperímetro con una resistencia interna de 1Ω en serie con la impedancia de
carga.
Figura 210. Ejemplo de aplicación
SOLUCIÓN:
Se empieza por hallar el equivalente de Thévenin del circuito:
210
Ժ݄ܶ ൌ
ሺ͵ ൅ ݆Ͷሻሺെ݆ͷሻ
൅ ʹ ൌ ሺͻǡͷ െ ݆ʹǡͷሻȳ
͵ ൅ ݆Ͷ െ ݆ͷ
ॽ݄ܶ ൌ ͳͲ ൈ
െ݆ͷ
݆ͷͲ
ൌെ
ൌ ሺͷ െ ݆ͳͷሻܸ
͵ ൅ ݆Ͷ െ ݆ͷ
͵െ݆
Figura 211. Equivalente de Thévenin del circuito
Ժ‫ ܯ‬ൌ Ժ݄ܶ ൅ Ժ‫ ܮ‬൅ οԺ ൌ ሺͻǡͷ െ ݆ʹǡͷሻ ൅ ሺͻǡͷ ൅ ݆ʹǡͷሻ ൅ ͳ ൌ ʹͲȳ
ॴ‫ ܯ‬ൌ
ॴ‫ ܮ‬ൌ
ሺͷ െ ݆ͳͷሻ ሺͷ െ ݆ͳͷሻ
ൌ
ൌ ሺͲǡʹͷ െ ݆Ͳǡ͹ͷሻȳ
ʹͲ
Ժ‫ܯ‬
ሺʹͲሻሺͲǡʹͷ െ ݆Ͳǡ͹ͷሻ
Ժ‫ܯॴ ܯ‬
ൌ
ൌ ሺͲǡʹ͸͵ െ ݆Ͳǡ͹ͺͻሻȳ
ʹͲ െ ͳ
Ժ‫ ܯ‬െ οԺ
3.6.4 EJERCICIOS RESUELTOS
3.6.4.1 Aplicar el teorema de compensación para determinar el οܴ que se debe
introducir para que la corriente que pasa por la resistencia de ͳ͸Ͳȳ sea
de Ͳǡ͸‫ܣ‬, en lugar de Ͳǡͷ‫ܣ‬, en el circuito de la figura 212.
211
Figura 212. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Se quiere encontrar el οܴ que se introduce cuando la corriente que pasa por la
resistencia de ͳ͸Ͳȳ pasa a valer Ͳǡ͸‫ܣ‬, para lo que se eliminan las fuentes de
voltaje y se redibuja el circuito:
Figura 213. Aplicación del teorema de compensación
‫ ܫ‬ൌ Ͳǡͷ‫ܣ‬
‫ ܫ‬൅ ο‫ ܫ‬ൌ Ͳǡ͸Ǣο‫ ܫ‬ൌ Ͳǡ͸ െ Ͳǡͷ ൌ Ͳǡͳ‫ܣ‬
െ‫ܫ‬οܴ ൌ ሺͳ͸Ͳ ൅ οܴሻο‫ ܫ‬൅ ሺʹͲ ‫Ͳʹ צ‬ሻο‫ܫ‬Ǣ Ͳǡͳ ൌ
212
െͲǡͷοܴ
ሺͳ͸Ͳ ൅ οܴሻ ൅ ሺʹͲ ‫Ͳʹ צ‬ሻ
Despejando οܴ:
ͳ͹ ൅ Ͳǡͳοܴ ൌ െͲǡͷοܴǢοܴ ൌ െ
ͳ͹
ൌ െʹͺǡ͵͵͵ȳ
Ͳǡ͸
Por lo tanto el valor requerido de la resistencia, al haber un incremento οܴ será:
ܴ ൌ ሺͳ͸Ͳ ൅ οܴሻ ൌ ͳ͸Ͳ െ ʹͺǡ͵͵͵ ൌ ͳ͵ͳǡ͸͹ȳ
3.6.4.2 Aplicar el teorema de compensación para obtener las corrientes que se
obtienen al insertar una impedancia de ͳͲȳ en serie con la capacitancia en
el circuito de la figura 214.
Figura 214. Ejercicio resuelto
SOLUCIÓN:
Se quieren encontrar las corrientes que se obtienen al insertar una impedancia de
ͳͲȳ en serie con la capacitancia, para lo que se eliminan las fuentes de voltaje y
se redibuja el circuito:
213
Figura 215. Aplicación del teorema de compensación
οॴʹ ൌ
ሺʹͲ ‫Ͳͳ݆ צ‬ሻ ൌ ሺͶ ൅ ݆ͺሻ
ሺͳͲ ൅ ݆ʹͲሻ
ሺͳͲ ൅ ݆ʹͲሻ
ൌ
ൌ ሺെͲǡͶͳ ൅ ݆ͲǡͶͻʹሻ‫ܣ‬
ሺͳͲ െ ݆ͶͲሻ ൅ ሺʹͲ ‫Ͳͳ݆ צ‬ሻ ሺͳͶ െ ݆͵ʹሻ
El voltaje en ሺʹͲ ‫Ͳͳ݆ צ‬ሻ será:
ሺͶ ൅ ݆ͺሻοॴʹ ൌ ሺͶ ൅ ݆ͺሻሺെͲǡͶͳ ൅ ݆ͲǡͶͻʹሻ ൌ ሺെͷǡͷͺ െ ݆ͳǡ͵ͳʹሻ
Por lo tanto con este valor se pueden obtener οॴͳ y οॴ͵ :
οॴͳ ൌ
οॴ͵ ൌ
ሺെͷǡͷͺ െ ݆ͳǡ͵ͳʹሻ
ൌ ሺെͲǡʹ͹ͻ െ ݆ͲǡͲ͸ͷ͸ሻ‫ܣ‬
ʹͲ
ሺെͷǡͷͺ െ ݆ͳǡ͵ͳʹሻ
ൌ ሺെͲǡͳ͵ͳʹ ൅ ݆Ͳǡͷͷͺሻ‫ܣ‬
݆ͳͲ
Con estos valores se pueden hallar las nuevas corrientes que se generan cuando
se conecta la impedancia de ͳͲȳ en serie con la capacitancia, en el circuito
original:
214
Figura 216. Impedancia en serie con la capacitancia en el circuito original
ॴͳܰ ൌ ॴͳ െ οॴͳ ൌ ͳ െ ሺെͲǡʹ͹ͻ െ ݆ͲǡͲ͸ͷ͸ሻ ൌ ሺͳǡʹ͹ͻ ൅ ݆ͲǡͲ͸ͷ͸ሻ‫ܣ‬
ॴʹܰ ൌ ॴʹ െ οॴʹ ൌ ሺͳ ൅ ݆ʹሻ െ ሺെͲǡͶͳ ൅ ݆ͲǡͶͻʹሻ ൌ ሺͳǡͶͳ ൅ ݆ͳǡͷͲͺሻ‫ܣ‬
ॴ͵ܰ ൌ ॴ͵ െ οॴ͵ ൌ ݆ʹ െ ሺെͲǡͳ͵ͳʹ ൅ ݆Ͳǡͷͷͺሻ ൌ ሺͲǡͳ͵ͳʹ ൅ ݆ͳǡͶͶʹሻ‫ܣ‬
3.6.4.3 Calcular la corriente que se obtiene cuando se inserta un amperímetro
entre las terminales c y d de la figura 217, con una resistencia interna de
ͳͲͲȳ.
Figura 217. Ejercicio resuelto
215
SOLUCIÓN:
Hallando el equivalente de Thévenin entre los terminales c y d se tiene:
ܴ݄ܶ ൌ ͵ͲͲ ൅
ሺʹͷͲሻሺͷͲͲሻ ͳͶͲͲ
ൌ
ȳ
ʹͷͲ ൅ ͷͲͲ
͵
ͷͲͲ
ʹ
ܸ݄ܶ ൌ ͳͲ ൬
൰ ൌ ܸ
ͷͲͲ ൅ ʹͷͲ
͵
Figura 218. Equivalente de Thévenin del circuito
Aplicando el teorema de compensación se obtiene el siguiente circuito:
Figura 219. Aplicación del teorema de compensación
216
La resistencia total del circuito será:
ܴ‫ ܯ‬ൌ ܴ݄ܶ ൅ ܴ‫ ܮ‬൅ οܴ ൌ
ʹ͵ͲͲ
ͳͶͲͲ
൅ ʹͲͲ ൅ ͳͲͲ ൌ
͵
͵
Para hallar la corriente ‫ ܫ‬en el circuito original:
‫ܫ‬ൌ
ͳͲ
ൌ ͳǡͻͳ ൈ ͳͲെʹ ‫ܣ‬
ሺͷͲͲሻሺ͸ͲͲሻ
ʹͷͲ ൅
ͷͲͲ ൅ ͸ͲͲ
Aplicando un divisor de corriente:
‫ ܯܫ‬ൌ ‫ ܫ‬ൈ
ͷͲͲ
ͷͲͲ
ൌ ͳǡͻͳ ൈ ͳͲെʹ ൬
൰ ൌ ͲǡͲͲͺ͸ͻ‫ܣ‬
ͷͲͲ ൅ ͸ͲͲ
ͷͲͲ ൅ ͸ͲͲ
Para hallar la corriente que se obtiene cuando se ingresa la impedancia del
amperímetro, se utiliza la siguiente ecuación:
‫ ܮܫ‬ൌ
ܴ‫ܯܫ ܯ‬
ൌ
‫ ܮܫ‬ൌ
ܴ‫ ܯ‬െ οܴ
ܴ‫ܯܫ ܯ‬
ሺͳ͵͵ሻ
ܴ‫ ܯ‬െ οܴ
ʹ͵ͲͲ
͵ ൈ ͲǡͲͲͺ͸ͻ ൌ ͲǡͲͳ‫ܣ‬
ʹ͵ͲͲ
െ ͳͲͲ
͵
3.6.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
3.6.5.1 En el circuito de la figura 220, determinar la variación de voltaje a circuito
abierto ܸܾܽ en función de la variación experimentada por la resistencia ܴ,
cuyo valor nominal es ͳȳ. ¿Cuánto valdrá esta variación si ܴ se
cortocircuita?
217
Figura 220. Ejercicio propuesto
3.6.5.2 Cuando se cambia la resistencia de carga en el circuito 1 y pasa a valer
ͺȳen el circuito 2, las corrientes también cambian de Ͷ‫ ܣ‬a ͵‫ܣ‬. Calcular el
valor de la resistencia ܴ, aplicando el teorema de compensación.
Figura 221. Ejercicio propuesto
3.6.5.3 Calcular la corriente que circula por la resistencia de ͷȳ del circuito
mostrado en la figura 222, si la lectura de un amperímetro con una
resistencia interna de Ͳǡͷȳ conectado en serie con dicha resistencia es
͹ǡ͵͹‫ܣ‬.
218
Figura 222. Ejercicio propuesto
3.6.5.4 Demostrar que el puente de Wheatstone de la figura 223, está en equilibrio
(el galvanómetro G mide Ͳ‫)ܣ‬, cuando la resistencia ܴ ൌ ͺͲͲȳ. Si la
resistencia ܴ pasa a valer ͺͲͳȳ, calcular la lectura del galvanómetro si
este presenta una resistencia interna de ͷͲȳ.
Figura 223. Ejercicio propuesto
3.6.5.5 Un generador trifásico a ͶͲͲܿǤ ‫݌‬Ǥ ‫ ݏ‬opera a un voltaje entre líneas de ʹͲͷܸ,
cada fase de una carga conectada en Y tiene una impedancia equivalente
219
de Ժܻ ൌ ሺͳǡͷ ൅ ݆Ͳǡͷሻȳ
a 400c.p.s, cada una de las tres líneas que
conectan a la carga con el generador tiene una impedancia Ժ‫ ܮ‬ൌ ሺͲǡͲ͹Ͳ ൅
݆ͲǡͲͷʹ͸ሻȳ a ͶͲͲܿǤ ‫݌‬Ǥ ‫ݏ‬. Si se llama N el punto neutro del equivalente en Y
del generador, determinar ॽܰܰ Ԣ .
Repetir el mismo procedimiento si la impedancia de la línea pasa a valer
ሺͲǡͳ ൅ ݆ͲǡͲͷʹ͸ሻȳ
Figura 224. Ejercicio propuesto
220
3.7 TEOREMA DE BISECCIÓN DE BARTLETT
El teorema de Bartlett 33 es de gran utilidad cuando se tienen circuitos que pueden
dividirse en dos partes simétricas mediante una línea denominada eje de simetría,
tal como se muestra en la figura 225. Cada una de las partes debe ser la imagen
especular de la otra con respecto al eje de simetría. Además de proporcionar un
método para el análisis de las redes que presentan estas características, el
teorema de Bartlett ofrece una nueva forma de estudiar y utilizar las propiedades
de las redes simétricas.
Figura 225. Definición de la simetría de la red para el teorema de bisección de
Bartlett
Como se indica en la figura anterior, las dos redes simétricas deben ser lineales y
no deben contener fuentes independientes. Estas son externas a las redes, y se
identifican como ܸͳ ›ܸͳ Ԣ . Entre las dos redes simétricas puede haber cualquier
número de conexiones.
El teorema de la bisección de Bartlett trata sobre el comportamiento de las redes
simétricas cuando s eles aplica lo que se conoce como excitaciones simétricas o
de modo común ሺܸͳ ൌ ܸͳ Ԣ ൌ ܸܿ ሻ y antisimétricas o de modo diferencial ሺܸͳ ൌ െܸͳ Ԣ ൌ
ܸ݀ ሻ.
33
A.C. Bartlett fue un ingeniero ingles que hizo innumerables contribuciones en el campo de la teoría de
líneas y filtros.
221
3.7.1 ENUNCIADO
1aParte: Cuando se excita una red que posee un eje de simetría como el indicado
en la figura 225 utilizando el modo común, tal como se observa en la
figura 226a, las corrientes y voltajes de toda la red no se modifican si las
conexiones entre las dos partes de la red se cortan y se dejan en circuito
abierto, como se indica en la figura 226b.
2aParte: Cuando se excita una red que posee un eje de simetría como el indicado
en la figura 225 utilizando el modo diferencial, tal como se observa en la
figura 226c, las corrientes y voltajes de toda la red no se modifican si las
conexiones entre las dos partes de la red se cortan y se unen entre sí
con un cortocircuito, como se indica en la figura 226d.
Figura 226. Planteamiento del teorema de la bisección de Bartlett
222
3.7.2 DEMOSTRACIÓN
Dado que este teorema es válido para redes lineales, para comprobar su
enunciado puede aplicarse un razonamiento basado en el teorema de
superposición, analizando primero el efecto producido por la fuente ܸͳ cuando la
fuente ܸͳ Ԣ es nula, y luego el caso contrario.
Para la excitación en modo común, cuando se aplica ܸͳ ൌ ܸܿ con la otra fuente en
cero, por el enlace ݇ entre las dos redes va a circular la corriente ‫ ݇ܫ‬, y el voltaje
entre el enlace ݆y el enlace ݇ va a ser ܸ݆݇ . Si se aplica ܸͳ Ԣ ൌ ܸܿ con la otra fuente
en cero, dada la simetría de la red, por el enlace ݇ entre las dos redes va a circular
la corriente െ‫ ݇ܫ‬, y el voltaje entre el enlace ݆ y el enlace ݇ va a ser ܸ݆݇ . Al aplicar
simultáneamente las dos excitaciones, esto es ܸͳ ൌ ܸͳ Ԣ ൌ ܸܿ , la corriente por el
enlace݇ va a ser ‫ ݇ܫ‬െ‫ ݇ܫ‬ൌ Ͳ y el voltaje entre el enlace ݆ y el enlace ݇ va a ser
ܸ݆݇ ൅ ܸ݆݇ ൌ ʹܸ݆݇ . Por lo tanto, como las corrientes por cada uno de los enlaces son
nulas, pueden cortarse las conexiones y dejarlas en circuito abierto sin modificar
las corrientes y voltajes restantes.
De la misma forma, para la excitación en modo diferencial, cuando se aplica es
ܸͳ ൌ ܸ݀ con la otra fuente en cero, por el enlace k entre las dos redes va a circular
la corriente ‫ ݇ܫ‬, y el voltaje entre el enlace ݆ y el enlace ݇ va a ser ܸ݆݇ , mientras que
cuando se aplica െܸͳ Ԣ ൌ ܸ݀ con la otra fuente en cero, dad la simetría de la red,
por el enlace ݇ entre las dos redes va a circular la corriente ‫ ݇ܫ‬, y el voltaje entre el
enlace݆ y el enlace ݇ va a ser െܸ݆݇ . Al aplicar simultáneamente las dos
excitaciones, esto es, ܸͳ ൌ െܸͳ Ԣ ൌ ܸ݀ , la corriente por el enlace ݇ va a ser ‫ ݇ܫ‬൅ ‫ ݇ܫ‬ൌ
ʹ‫ ݇ܫ‬y el voltaje entre el enlace ݆y el enlace ݇ va a ser ܸ݆݇ െ ܸ݆݇ ൌ Ͳ. Por lo tanto,
como los voltajes entre los enlaces son nulos, pueden cortarse las conexiones y
unir los extremos en un punto común sin modificar las corrientes y voltajes
restantes.
223
Si se tiene una red que cumple con la condición de simetría exigida por el teorema
pero cuyas excitaciones son arbitrarias, es posible descomponer las fuentes
arbitrarias en sus componentes de modo común y modo diferencial, al aplicar el
teorema para cada uno de los casos y luego determinar la respuesta total
aplicando el teorema de superposición.
Cualquier par arbitrario de fuentes puede expresarse de la siguiente forma:
ܸͳ ൌ ܸܿ ൅ ܸ݀
Donde ܸܿ
y
ܸͳ Ԣ ൌ ܸܿ െ ܸ݀
ሺͳ͵Ͷሻ
ܸ݀ son las componentes de modo común y modo diferencial
respectivamente. A partir de este sistema de ecuaciones se puede determinar el
valor para cada uno de estos componentes.
ܸܿ ൌ
ܸͳ ൅ ܸͳ Ԣ
ʹ
ܸͳ െ ܸͳ Ԣ
ܸ݀ ൌ
ʹ
ሺͳ͵ͷሻ
Una vez conocidas las excitaciones de modo común y modo diferencial
respectivamente se aplica el teorema de bisección de Bartlett para cada caso y
finalmente se calcula la respuesta total realizando la suma algebraica de las
respuestas obtenidas previamente, de acuerdo con el teorema de superposición.
224
Figura 227. Aplicación del teorema de Bartlett para cuatro diferentes redes
225
3.7.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN
Aplicar el teorema de Bartlett para determinar la corriente que circula por la
resistencia ܴ݉ en función de las entradas ܸͳ ›ܸͳ Ʋ.
Figura 228. Ejemplo de aplicación del teorema de Bartlett
SOLUCIÓN:
Para poder aplicar el teorema de Bartlett es necesario que el circuito sea simétrico
con respecto al eje vertical que puede dibujarse en su parte central, para lo cual es
necesario dividir la resistencia ܴ݉ en dos resistencias conectadas en serie, cada
una de las cuales tiene un valor de ܴ݉ Τʹ, y separar la resistencia ܴ͵ en dos
resistencias conectadas en paralelo, cada una de las cuales vale ʹܴ͵ .
El circuito de la figura 229 muestra el circuito equivalente:
226
Figura 229. Circuito equivalente con la simetría adecuada para aplicar el teorema
de Bartlett al circuito de la figura 228
Dado que las fuentes ܸͳ ›ܸͳ Ʋ pueden tomar cualquier valor, es necesario calcular
las fuentes de modo común y modo diferencial, aplicar el teorema de Bartlett para
cada paso y hallar la respuesta total aplicando el teorema de superposición. Las
fuentes correspondientes a cada uno de los modos están dadas por la ecuación:
ܸܿ ൌ
ܸ݀ ൌ
ܸͳ ൅ ܸͳ Ʋ
ʹ
ܸͳ െ ܸͳ Ʋ
ʹ
La figura 230 muestra los circuitos resultantes para cada uno de los modos:
227
ሺͳ͵͸ሻ
Figura 230. Circuitos correspondientes al modo común y al modo diferencial para
la red de la figura 228
Del análisis correspondiente al modo común, presentado en la figura 230a se
puede deducir que:
‫ ܿܫ‬ൌ Ͳሺͳ͵͹ሻ
Por otra parte, al analizar el circuito correspondiente al modo diferencial,
presentado en la figura 230b, se puede observar que ambos extremos de la
resistencia ʹܴ͵ están conectados al punto común o tierra del circuito, por lo tanto
se tiene que el voltaje ܸ݃݀ ͳ es igual a ܸ݀ . De acuerdo con esto, la corriente ‫ ܶܫ‬que
circula por la resistencia ܴ‫ ݌‬se puede expresar de la siguiente forma:
‫ ܶܫ‬ൌ
െɊܸ݀
ܴ
ܴ‫ ݌‬൅ ቀܴʹ ‫ ݉ צ‬ቁ
ʹ
ሺͳ͵ͺሻ
Para determinar la relación entre la corriente ‫ ݀ܫ‬y la corriente ‫ ܶܫ‬se puede aplicar el
principio del divisor de corriente:
228
‫ ݀ܫ‬ൌ
ܴʹ
‫ ܶܫ‬ሺͳ͵ͻሻ
ܴ
ቀܴʹ ൅ ʹ݉ ቁ
Sustituyendo es esta ecuación la expresión de ‫ ܶܫ‬y el valor de ܸ݀ en función de
ܸͳ ›ܸͳ Ʋ se obtiene finalmente:
‫ ݀ܫ‬ൌ
െɊܴʹ ൫ܸͳ െ ܸͳ Ʋ ൯
ሺͳͶͲሻ
ܴ‫ ݌‬ሺʹܴʹ ൅ ܴ݉ ሻ ൅ ܴʹ ܴ݉
Por lo tanto la corriente que circula por la resistencia ܴ݉ en el circuito de la figura
228 estará dada por la expresión:
‫ ܫ‬ൌ ‫ ܿܫ‬൅ ‫ ݀ܫ‬ൌ
െɊܴʹ ሺܸͳ െ ܸͳ Ʋ ሻ
ሺͳͶͳሻ
ܴ‫ ݌‬ሺʹܴʹ ൅ ܴ݉ ሻ ൅ ܴʹ ܴ݉
3.7.4 EJERCICIO RESUELTO
En el circuito de la figura 231 aplicar el teorema de Bartlett reemplazando la
impedancia terminal por una de ͳͲͲͲȳ.
Figura 231. Ejercicio resuelto
229
SOLUCIÓN:
Para poder dividir el circuito, los valores de los componentes deben ser simétricos
cuando se hace la partición correspondiente:
Figura 232. Circuito cuando se aplica la bisección por medio del teorema de
Bartlett
El teorema de Bartlett permite encontrar la red equivalente del circuito original,
combinando los condensadores y las inductancias en la red dividida:
230
Figura 233. Circuito final después de la modificación de la impedancia de ͳͲͲȳ
por la impedancia de carga de ͳͲͲͲȳ
3.7.5 EJERCICIOS PROPUESTOS
3.7.5.1 Demuestre que la red de la figura 234 satisface los requisitos para aplicar
el teorema de Bartlett
Figura 234. Ejercicio propuesto
231
3.7.5.2 En la red de la figura 235 aplicar el teorema de Bartlett para dividir el
circuito simétricamente
Figura 235. Ejercicio propuesto
3.7.5.3 En el circuito de la figura 236 aplicar el teorema de Bartlett
232
Figura 236. Ejercicio propuesto
233
4. CONCLUSIONES
· Se pudo precisar cada uno de los teoremas planteados inicialmente y facilitar
un documento de fácil consulta y entendimiento en el campo de la teoría de
circuitos eléctricos que se enseña en la universidad.
· En cada uno de los teoremas se resolvieron ejercicios de una forma clara y
detallada para comprenderlos fácilmente.
· La documentación y posterior realización del trabajo se realizó de una manera
tal que se asimilara cada uno de los teoremas y se pudiera identificar en cuales
casos estos se podían aplicar.
· Las figuras utilizadas en este documento se trataron de realizar de una forma
explícita y de fácil comprensión.
· Dentro de las posibilidades que otorga un documento en su formato de
monografía, se recopiló información de muchas fuentes optimizando el
contenido de cada una de ellas.
235
BIBLIOGRAFÍA
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eléctricos”, 1987.
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Hill.
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Graw Hill.
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Paraninfo.
[6] PARRA, V. M. y otros. “Teoría de circuitos”, UNED. 2 tomos.
[7] GARRIDO, C., CIDRÁS, J. “Problemas de circuitos eléctricos”, Ed. Reverté.
[8] BELENGUER, E.F., ESPINOZA J.M. “Teoría de circuitos. Cuestiones
resueltas”, Publicacions UJI.
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237
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[13] DESOER, C. A. “Basic circuit theory”, Ed. McGraw-Hill.
[14] CHUA, L. O., DESOER C. A., KUH E. S. “Linear and nonlinear circuits”, Ed.
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[19] KARNI, S. “Applied circuit analysis”, John Wiley.
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[21] EDMINISTER, J.A. “Circuitos Eléctricos”, Ed. Mc Graw Hill.
[22] CHAN-Shu, CHAN-Yun, CHAN-Gar, “Analysis of linear Networks and
Systems”,Ed. Addison Wesley. 1972.
[23] VAN VALKENBURG, M.E. “Análisis de Redes”, Ed. Limusa, México, 1979.
238
[24] VAN VALKENBURG, M.E. “Introduction to Modern Network Synthesis”, Ed.
Jhon Wiley & Sons, Inc, 1960.
[25] PASTOR, A., y otros. “Circuitos Eléctricos (Vol. 1)”,
Ed. UNED (Madrid
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[26] LING-Ming Jin, SHIN Park Chan, “A Unified and Efficient Approach for
determining Thévenin (Norton) Equivalent Circuits”, IEEE Transactions on
Education, vol.32, no.3, pag. 408, Agosto 1989.
[27] KAZIMIERCZUK, M.K. “A network theorem dual to miller’s theorem”, IEEE
transactions on education, vol.31, no.4, pag. 265, Noviembre 1988.
[28] WEISS. G. “Network Theorems for Transistor Circuits”, IEEE transactions on
education, vol.37, no.1, pag. 36, Febrero 1994.
[29] SKAAR, D.L., BROWN, W.L. “Emplasizing Some Little-Used Theorems in
Introductory Network Analysis”, IEEE transactions on education, vol.39, no.4,
pag. 532, Noviembre 1996.
[30] DAVIDOVIC, M.D. “A Simple Proof of Miller´s Theorem”, IEEE transactions on
education, vol.42, no.2, pag. 154, Mayo 1999.
239
ANEXO
Biografías
A.1 Arthur Edwin Kennelly
(Colaba, 17 de diciembre de 1861 - Boston, 18 de junio de 1939) fué un ingeniero
eléctrico americano.
Kennelly nació en Colaba, cerca de Bombay en la India y fue educado en la
University College School de Londres. Era hijo de David Joseph Kennelly (18311907), un oficial irlandés capitán de barco y de Catherine Gibson (1839-1863). Su
madre murió cuando él tan sólo contaba con tres años de edad. Tras jubilarse su
padre en 1863, la familia regresó a Inglaterra. En 1878, su padre volvió a casarse
con Ellen L. Vivian, mudándose a vivir a Sydney, en la isla Cape Breton de Nueva
Escocia, cuando asumió el control la ciudad y de la Louisbourg Coal and Railway
Company Limited. A raíz de este segundo matrimonio de su padre, Arthur tuvo
cuatro hermanastros: Ziadia Kennelly (1881), Davides Jr. Kennelly (1882), Nell K.
Kennelly (1883) y Spencer M. Kennelly (1885).
Estuvo en el laboratorio West Orange de Thomas Edison desde diciembre de 1877
hasta marzo de 1894. En 1893, durante su investigación en ingeniería eléctrica,
presentó un documento sobre la "impedancia" al Instituto Americano de Ingenieros
Eléctricos (AIEE). Investigó el uso de los números complejos en relación a la ley
de Ohm en corriente alterna dentro de la teoría de circuitos.
En 1902 investigó las propiedades eléctricas en la propagación de ondas de radio
por la ionosfera. Sus conclusiones, en cuanto a la existencia de una zona
atmosférica ionizada favorable a la propagación de estas ondas, fueron
semejantes a las del físico británico Oliver Heaviside. Esta zona se encuentra
entre los 90 y los 300 km de altura y recibe el nombre de capa de KennellyHeaviside en honor a ambos investigadores.
241
Desde 1902 hasta 1930 trabajó como profesor de ingeniería eléctrica en la
Universidad de Harvard y como adjunto en el Instituto de Tecnología de
Massachusetts desde 1913 hasta 1924. Uno de los estudiantes de este instituto
fue Vannevar Bush.
Kennelly recibió reconocimientos de su trabajo desde distintas instituciones de
muchos países, entre los que cabe destacar:
·
"Premio de la Institución IEE" (1887)
·
"Medalla de Oro de Howard Potts del Instituto Franklin" (1917)
·
"Cruz Chevalier de la legión de Honor de Francia"
·
"Medalla Edison" del AIEE, ahora Instituto de Ingenieros Eléctricos y
Electrónicos (1933)
La Medalla de Edison se la dieron "por los meritorios logros en la ciencia eléctrica,
la ingeniería eléctrica y las técnicas eléctricas, como ejemplo a sus contribuciones
a la teoría de la transmisión eléctrica y al desarrollo de estándares eléctricos
internacionales". El mismo intituto ya le había concedido el año anterior la
"Medalla de Honor" "por sus estudios de los fenómenos de la propagación de
ondas radio de y sus contribuciones a los métodos de análisis en la teoría y en la
medida de la corriente alterna que son ampliamente utilizados en la actualidad". A
él se debe la aplicación de la teoría de los números complejos al análisis de
circuitos en alterna, así como las ecuaciones de transformación de cargas en
estrella y en triángulo (teorema que lleva su nombre).
Kennelly fue un participante activo en organizaciones profesionales tales como la
"Sociedad para la Promoción del Sistema Métrico de Pesos y Medidas", de la
"Sociedad de la Ingeniería del Alumbrado" y del "Comité Nacional de ESTADOS
UNIDOS de la Comisión Electrotécnica Internacional". También fue presidente del
242
AIEE y del "Instituto de Ingenieros de la Radio", durante el período de 1898 a 1900
y en 1916, respectivamente.
A.2 León-Charles Thévenin
(Meaux, 1857- Paris 1927)
Aunque participó en el estudio y el diseño de los sistemas telegráficos (incluyendo
la transmisión subterránea), los condensadores cilíndricos (capacitores) y el
electromagnetismo, es mejor conocido por un teorema que presentó, primero en el
French Journal of Physics-Theory and Applications, en 1883. Apareció con el
encabezado de "Sur un nouveau théoreme d'electricitè dynamique (Acerca de un
nuevo teorema de la electricidad dinámica)'' y originalmente se le conocía como el
teorema generador equivalente.
Existe cierta evidencia de que Hermann von Helmholtz presentó un teorema
similar en 1853. Sin embargo, el profesor Helmholtz aplicó el teorema a la
fisiología animal y no a los sistemas de comunicación o generadores y, por tanto,
no recibió el crédito que merecía en este campo. A principios de la década de los
veinte, AT&T efectuó ciertos trabajos pioneros usando el circuito equivalente y tal
vez haya empezado a referirse al teorema como sencillamente el Teorema de
Thèvenin. De hecho, Edward L. Norton, en esa época ingeniero en AT&T presentó
un equivalente de la fuente de corriente del equivalente de Thèvenin que en la
actualidad se conoce como el circuito equivalente de Norton. Como dato curioso,
el comandante Thévenin fue un ávido esquiador y de hecho fue comisionado en
una competencia internacional de ski en Charrionix, Francia, en 1912.
243
A.3 Edward Lawry Norton
(Rockland, Maine, 28 de julio de 1898[1] - Chatham, Nueva Jersey, 28 de enero de
1983) fué un ingeniero y científico empleado de los Laboratorios Bell. Es conocido
principalmente por enunciar el teorema que lleva su nombre. Él sirvió como
operador de radio en el U.S Marina entre 1917 y 1919. Asistió a la Universidad de
Maine durante un año antes y un año después de su servicio durante la guerra,
luego fue trasladado a M.I.T.
En 1920, recibiendo su S.B.Grado (ingeniería eléctrica), en 1922. Empezó a
trabajar en 1922 en la Western Electric Corporation en la ciudad de Nueva York,
que más tarde se convirtieron en los laboratorios Bell en 1925. Mientras trabajaba
para la Western Electric, M.A. obtuvo un grado en ingeniería eléctrica de la
Universidad de Columbia en 1925. Se retiró en 1961 y falleció el 28 de enero de
1983 en la King James Nursing Home en Chatham, Nueva Jersey.
Patentes de Norton
Norton se convirtió en un miembro de la Acoustical Society de América y del IRE
(estos últimos en 1961). En su biografía de 1954, que se reproduce por cortesía
de los Archivos de AT & T, dice que él tenía 19 patentes; De los cuales sólo 18
han sido encontrados en el registro U. S. PTO:
Fecha
de Fecha
de Número de Título
presentación aprobación
patente
24/11/1924
21/08/1928
1,681,554
Filtro de onda
25/11/1924
07/04/1931
1,799,634
Transmisión
onda
244
Comentario
en -
12/05/1925
16/04/1929
1,708,950
Filtro
de
ondas -
eléctricas
18/05/1925
02/07/1929
1,719,484
Sistema
de -
transmisión
Carrier[2]
31/03/1926
03/04/1928
1,664,755
Red eléctrica
-
23/09/1926
13/09/1927
1,642,506
Sistema
de -
transmisión
de
onda
30/10/1926
29/10/1929
1,733,554
Dispositivo
-
magnético
14/05/1927
17/02/1931
1,792,497
Dispositivo
vibrador
Conjunta
de A. C. Keller
[3]
sujección
16/04/1929
13/01/1931
1,788,538
Filtrado
de -
circuitos
31/05/1929
17/02/1931
1,792,655
Reproductor
de -
sonido
29/07/1932
17/04/1934
1,954,943
Red
de -
transmisión
de
onda
19/05/1934
05/11/1935
2,019,624
Atenuación
ecualizador
245
-
con
16/08/1934
06/04/1937
2,076,248
Filtro de onda
-
30/09/1936
03/05/1938
2,115,826
Impedancia
-
transformador
12/05/1937
16/08/1938
2,126,915
Red
de -
transmisión
de
onda
18/10/1938
21/05/1940
2,201,296
Sistema telefónico Conjunta
con
A.A. Lundstrom
17/09/1941
20/07/1943
2,324,797
Amplificador
de -
[4]
diferencial
07/07/1947
15/02/1955
2,702,186
Acelerómetro
Conjunta
con
G.A. Head
Documentos publicados por Norton
Ha publicado tres documentos durante su vida, ninguno de los cuales menciona el
teorema enunciado por él:
246
Fecha Título
Diario
Abril,
Redes de resistencia Bell
1937
constante
Tomo Páginas Comentarios
System 16
con Technical
178-
Biografía
de
193
la página 250
245-
Biografía
247
la página 263
151-
-
aplicaciones a grupos Journal
de filtro
Junio,
Contador de fluidos Bell
1942
magnéticos[5]
20
Laboratories
de
Record
Abril,
Mediciones
1945
dinámicas
Transacciones
de AIEE
64
156
dispositivos
electromagnéticos
Otros trabajos
Norton escribió 92 memorandos técnicos (TMs en Bell Laboratories). Norton
debido a la falta de publicaciones, prefirió trabajar y dejar de darse notoriedad.
Aplicó sus conocimientos profundos de análisis de circuitos a muchos campos, y
después de la Segunda Guerra Mundial trabajó en los sistemas de guía de misiles
Nike.
El 11 de noviembre de 1926, él escribió la nota técnica Diseño de Redes para
frecuencia uniforme finita característica, que se reproduce por cortesía de los
Archivos de AT & T, que contiene el siguiente párrafo en la página 9.
Dicho párrafo define claramente lo que hoy es conocido como el circuito Norton
equivalente. Norton nunca publicó este resultado o mencionado en ninguna de sus
18 patentes y 3 publicaciones. En Europa, es conocida como el circuito Mayer Norton equivalente. El ingeniero de telecomunicaciones alemán Hans Ferdinand
247
Mayer publicó el mismo resultado en el mismo mes que Norton su memoria
técnica.
A.4 Bernard Tellegen
(Winschoten, 24 June 1900 - Eindhoven, 30 August 1990) era un ingeniero
eléctrico holandés e inventor del pentodo y el girador. Es también conocido para
un teorema en teoría de circuito, el teorema de Tellegen. Obtuvo un título en
ingeniería eléctrica de la universidad de Delft en 1923, y unió los laboratorios de
investigación de Philips en Eindhoven. En 1926 inventó el pentodo. (Nota: esta
invención es un fenomenal progreso en la edad de tubos de vacío. Es una mejora
grande sobre triodes y tetrodes.) Los giradores los inventó alrededor de 1948.
(Nota: el girador es útil para simular el efecto de un inductor sin usar un rollo. Por
ejemplo, es usado en los igualadores de ilustración gráfica de equipo de alta
fidelidad.) Sujetó 41 patentes de los EE.UU..
En el 1946-1966 de período Tellegen era un catedrático de adjunto de teoría de
circuito en la universidad de Delft. De 1942 a 1952 era presidente y miembro
honorífico de el equipo electrónico de Países Bajos y la sociedad de radio. El
instituto australiano de ingenieros de radio nombró a Tellegen un miembro vitalicio
honorífico en 1953. Era Fellow del IEEE, y ganó la medalla de Edison de IEEE en
1973 "Para una carrera creativa del logro importante en teoría de circuito eléctrica,
incluyendo el girador". Tellegen fue votado un miembro del Academia de Ciencias
de Países Bajos real en 1960. En 1970 la universidad de Delft conferenció sobre
un doctor título de causa de honoris.
A.5 Harold Rosen
(1926 nacido en Nueva Orleans, Luisiana) es un ingeniero eléctrico, conocido por
diseñar y dirigir la construcción del primer satélite de comunicaciones
248
geosincrónico, Syncom, para compañía de Hughes Aircraft. Rosen se tituló de
Tulane University en 1947 en ingeniería eléctrica. Recibió su M.S.. Y Ph.D.. En
ingeniería eléctrica del California Institute of Technology en 1948 y 1951,
respectivamente.
Rosen recibió el medalla de Alexander Graham Bell de IEEE en 1982, y el premio
de Charles Stark Draper en 1995.
A.6 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz
(31 de Agosto, 1821 - 8 de septiembre de 1894) era un médico alemán y físico que
muchas contribuciones importantes a algunas áreas extensamente variadas de la
ciencia moderna. En fisiología y psicología fisiológica, es conocido para su
matemática del ojo, teorías de la visión, las ideas sobre la percepción visual del
espacio, investigación de visión en color, y sobre la sensación del tono, la
percepción del sonido, y el empirismo. En física, es conocido por sus teorías en el
ahorro de la energía, el trabajo en electrodinámica termodinámica química, y sobre
unos cimientos mecánicos de termodinámica. Como un filósofo, es conocido para
su filosofía de ciencia, las ideas sobre la relación entre las leyes de la percepción y
las leyes de la naturaleza, la ciencia de estética, y las ideas sobre el poder
civilizando de ciencia. Una asociación alemana grande de instituciones de
investigación, la Asociación de Helmholtz, fue creada en su honor.
A.7 Jacob Millman
(1911, Rusia- Florida,1991) era un catedrático de ingeniería eléctrica en Columbia
University. Millman recibió un Ph.D. del MIT en 1935. Se hizo socio de Columbia
University en 1951, y se jubiló en 1975. De 1941 a 1987, Millman escribió ocho
249
libros de texto sobre equipo electrónico. Su obituario fue imprimido en el periódico
de New York Times en 24 mayo 1991.
El teorema de Millman (por lo demás conocido como el teorema del generador
paralelo) es su más grande invención en el mundo de los circuitos eléctricos.
A.8 John Milton Miller
Fué un ingeniero eléctrico estadounidense famoso, conocido por descubrir el
efecto que lleva su nombre e inventar circuitos fundamentales para osciladores de
cristal de cuarzo (molinero osciladores). Miller nació en Hanover, Pensilvania, y en
1915 recibió su Ph.D. En física de Yale University. De 1907-1919 trabajó con la
agencia nacional de aviación, después trabajo como ingeniero de radio en el
laboratorio de radio (1919-1923) de la marina de los Estados Unidos y
posteriormente en el laboratorio de investigación naval (NRL). De 1925-1936 llevó
una investigación del auricular de radio en la Atwater KentManufacturing
compañía, la Filadelfia, y de 1936-1940 fue ayudante de la laboratorio de la
compañía Radiotron de RCA. En 1940 regresó a NRL donde se hizo encargado
de división de radio (1945), director adjunto de investigación (1951), y
administrador de investigación científico (1952).
Miller fue premiado en 1945 por sus grandes contribuciones en el desarrollo de la
radio en el campo de la frecuencia flexible y el desarrollo de equipo de radar que
solucionó una escasez de material muy grave en los Estados Unidos durante la
Segunda Guerra Mundial, además se le otorgó la medalla de IRE de Honorin 1953
por sus contribuciones innovadoras para nuestros conocimientos básicos en la
teoría de tubo de electrón, de instrumentos de radio y mediciones, y
especialmente de los osciladores de cristal.
250
A.9 Moritz Hermann (Boris Semyonovich) von Jacobi
(21 de septiembre de 1801 - 10 de marzo de 1874) fue un ingeniero y físico ruso,
nacido en Potsdam. Jacobi trabajó en Rusia principalmente. Promovió el progreso
en motores eléctricos galvanoplasticos, yen el desarrollo de la telegrafía.
Incursiono en el campo de los motores magnéticos. En 1835 se trasladó a Dorpat
(ahora Tartu, Estonia) para dictar una conferencia en la universidad de Dorpat. Se
trasladó a C/. Petersburg en 1837 para investigar el uso de maquinas móviles
electromagnéticas para el ejercito ruso. Investigó el poder de un electroimán en
motores y generadores. Mientras investigaba la transferencia de poder de una
batería a un motor eléctrico, dedujo el teorema de la máxima transferencia de
potencia34.
34
Todas las biografías fueron tomadas de Internet.
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