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Una invitación a la geometría algebraica
Este es un cursillo cuyo principal objetivo es dar una introducción a las ideas
y métodos más básicos de la geometría algebraica, usando el lenguaje del álgebra
conmutativa. El objetivo central es mostrar la profunda relación que existe entre
geometría, álgebra y aritmética. El resultado principal es el teorema de los ceros
de Hilbert (Nullstellensatz) que permite establecer una relación íntima entre
variedades en el espacio a…n An (k); sobre un campo algebraicamente cerrado k;
e ideales del anillo de polinomios k[X1 ; : : : ; Xn ]. Esta correspondencia establece
un “diccionario” entre geometría y álgebra que, bajo la noción de esquema,
puede extenderse a la aritmética, proporcionando una herramienta de inmenso
alcance.
Clase No. 1
1. Introducción y conceptos básicos: álgebras …nitamente generadas sobre
un campo, ideales primos e ideales maximales.
2. Anillos y módulos Noetherianos. Teorema de la base de Hilbert.
Clase No. 2
1. Extensiones módulo-…nitas.
2. Teorema de normalización de Noether.
Clase No. 3
1. Teorema de los ceros de Hilbert (Nullstellensatz).
2. Variedades algebraicas, conceptos básicos: ideal de ceros de una variedad,
correspondencia entre ideales y variedades, Toplogía de Zariski.
Clase No. 4
1. Variedades irreducibles y teorema de descomposición.
2. Teorema del "going up" y teoría de la dimensión.
Clase No. 5
1. Espectro de un anillo, variedades abstractas y esquemas (una introducción)
Bibliografía
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1. Atiyah, M., I.G., MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, AddisonWesley, 1969.
2. Reid, M., Undergraduate Commutative Algebra, London Math. Soc., Student Text 29, 1995.
3. Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1977
4. Eisenbud D., Harris J., The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, 1999.
5. Hindry, M., Silverman, J., Diophantine Geometry (An Introduction), SpringerVerlag, 2000
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