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Programa de Estudios de Geometría Euclideana (2014)
Institución: Rosario - Santa Fe
Profesor: Prof. Sergio Benedicto
PROGARMA DE GEOMETRIA EUCLIDEANA
UNIDAD I : Nociones de Geometrías no euclideanas.
Geometrías : esférica, hiperbólica y elíptica
Euclides. Erodoto. Geometría euclideana. Axiomas. Axiomas de enlace, de
ordenación, de sentido,De congruencia, de paralelismo, de continuidad en el plano y
el espacio. Teoremas. Definiciones. Propiedades. Conceptos primitivos. Plano y
semiplano. Angulo. Espacio y semiespacio. Recta y Semirrecta. Segmentos. Figuras
convexas y no convexas. Polígono y poligonal. Teorema de Jordan. Ángulos diedros
y ángulos poliedros. Elementos . Posiciones relativas de rectas y planos. Cuerpos
poliedros. Poliedros regulares. Propiedades métricas de los cuerpos poliedros
convexos. Cubrimiento en el plano: mosaicos, rosetones y frisos. Cubrimiento en el
espacio.
UNIDAD II : Construcciones fundamentales con regla y compás. Procesos de
razonamiento en geometría. Transformaciones. Transformaciones rígidas.
Transformaciones rígidas directas y no directas. Transformación identidad.
Congruencia. Definiciones y propiedades. Congruencia de triángulos. Criterios de
congruencia. Congruencia de polígonos. Suma de ángulos interiores de un triángulo.
Suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo. Relaciones métricas en las
figuras planas. Suma de los ángulos interiores de un polígono. Simetría central.
Propiedades. Simetría axial. Propiedades.. Bisectriz, mediatriz mediana y alturas de un
triángulo. Continuidad y construcciones fundamentales con regla y compás.
Propiedades de los ángulos entre paralelas. Congruencia y movimiento en el espacio.
UNIDAD III :. Los cuadriláteros. Elementos. Propiedades. Propiedades de los triángulos
isósceles. Propiedades métricas de los triángulos. Puntos y rectas notables en el
triángulo. Circuncentro. Ortocentro. Baricentro. Incentro. Triángulo órtico. Recta
de Euler. Circunferencia circunscripta en un triángulo. Circunferencia inscripta en
un triángulo. Triángulo pedal. Circunferencia de Feuerbach.
UNIDAD IV : Semejanza. Teorema previo a Thales. Teorema de Thales. Homotecia. Homotecia
de punto, recta segmento, ángulo y polígono. Composición de homotecias del
mismo centro. Composición de homotecias y movimientos. Semejanza.
Definiciones. Criterios de semejanza. Aplicaciones de la semejanza a triángulos
rectángulos. Semejanza de polígonos. Relaciones métricas derivadas de la
semejanza. Homotecia y semejanza en el espacio. Propiedades. Grupo de
homotecias.
UNIDAD V : Complementos de trigonometría. Ángulo. Ángulo orientado. Sistemas
de medición de ángulo. Sistema sexagesimal y radial. Funciones trigonométricas: seno,
coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente. Relación pitagórica. Identidades
trigonométricas. Funciones trigonométricas del ángulo doble, del ángulo mitad, de la
suma y diferencia de ángulos. Ángulos característicos. Teorema del seno. Teorema del
coseno. Área de triángulos. Resolución de triángulos oblicuángulos
UNIDAD VI: Medida y proporcionalidad. Rectángulo áureo. Sucesión de
Fibonacci. Le Cobusier y el modulor. Número de oro. Divina proporción en
arquitectura, música, arte y diseño. Teorema de Euclides. Teorema de Pitágoras.
Distintas formas de demostrarlo.
UNIDAD VII : . Círculos. Rectas tangentes y secantes a un círculo. Esfera. Propiedades. Arco.
Medida de arco de circunferencia. Angulo inscripto. Arcos interceptados. Angulos
centrales. Angulos semi inscriptos. Arco capaz. Potencia de un punto respecto a
una recta.
UNIDAD VIII : Area de polígonos. Cuadratura de polígonos. Transformación de un
polígono convexo en otro equivalente de un lado menos. Polígonos de igual área.
Polígonos de igual perímetro. Medida de figuras circulares. Longitudes y áreas de
figuras circulares. Composición y descomposición de figuras. Cuadratura del círculo.
Teorema de Pitágoras en el ortoedro. Deducción de fórmulas de área de polígonos
regulares. Fórmula de Pick para el cálculo de áreas de figuras irregulares. Área de
superficies poliédricas. Área de cuerpos redondos. Área del huso, triángulo esférico y
del polígono esférico. Poliedros equivalentes. Volúmenes de los cuerpos. Teorema de
Cavalieri.
UNIDAD IX : Inversión en el plano. Figuras homólogas de sí mismas en la inversión.
Propiedades. Circunferencias inversas. Propiedades. Conservación de
ángulos en la inversión. Rectas isogonales a dos circunferencias.
Aplicación de la inversión.
UNIDAD X: Geometría esférica. Triángulo esférico. Ángulos esféricos.
Criterios de congruencia . Teorema del seno y del coseno. Polígonos
esféricos. Suma de los ángulos interiores y exteriores de un polígono
esférico.
UNIDAD XI: Las cónicas. Definición. Elipse. Parábola. Hipérbola. Circunferencia. Cónicas
degeneradas. Construcción de las cónicas con regla y compás.