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Transformaciones 18
Capítulo 2
Transformaciones de Semejanza
1.- Las homotecias
No todas las colineaciones ortogonales son transformaciones. de congruencia. Para ver esto basta considerar las transformaciones que transforman rectas en rectas paralelas. Si una transformación de este tipo es una traslación no tendrá puntos Fijos. Si tiene más de un punto fijo será necesariamente la transformación. idéntica dado que todas las rectas que pasan por un punto fijo han de ser
rectas fijas. Por el contrario, una transformación de este tipo con un único punto fijo no es una transformación. de congruencia. Una tal transformación. viene determinada unívocamente por el punto fijo
O y un par (A, A') de puntos correspondientes. Incluyendo la transformación. idéntica definimos:
1.1.- Homotecia
Se llama homotecia de centro 0 y razón r, a la transformación puntual Hk definida así:
H(O,k) A = A' ⇔ (OA' = k.OA).
1.2.- Definición
Una transformación H tal que para toda recta r H(r)//r y que tiene al menos un punto fijo
O se denomina homotecia. O es el centro de homotecia.
De H(r)//r se deduce que las homotecias son colineaciones ortogonales. Un punto y su correspondiente están alineados con el centro, Si tenemos un sistema de coordenadas en el que una
homotecia de centro O=(0,0) transforma el punto (1,0) en el (k,0) entonces se deduce que el punto
P(A,0) se transforma en el P'(Ak,0).
Los segmentos OA y OA' verifican OA'= |k|.OA y se puede probar aplicando el teorema de
Thales que para todo segmento AB se tiene A'B' =|k|.AB.
Se denomina razón de homotecia k∈R≠0.
Una homotecia queda determinada por O y k.
Si:
|k| > 1 las figuras resultan ampliadas,
|k| < 1 las figuras resultan reducidas,
|k| = 1 da la transformación. idéntica,
|k| = -1 la simetría puntual respecto a O. (Central)
OA' OB'
En la figura
=
=2
OA OB
Como k.OA está en la misma recta que OA, un punto A y su transformado A’ están siempre alineados
con el centro de homotecia.
1.3.- Definición.
Llamaremos figura homotética de una figura F en la homotecia H, e indicaremos Por H(F), a la figura formada por los puntos de F
transformados por H. (A´∈
∈ H(F)) ⇔ (A’ = H(A) con A∈
∈F).
H(O, 2)(F) = F’. Una figura F y su homotética F’, en la homotecia de centro O y razón 2.
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1.4.- Para k = 1 se obtiene la transformación idéntica I que transforma todo punto en sí mismo:
H(O,1) = I
(de modo que toda figura es homotética de sí misma), y fuera de este caso, el único punto fijo (o sea,
transformado de sí mismo) de una homotecia, es el centro de homotecia O, y son rectas fijas (pero no
rectas de puntos fijos) las que pasan por O y solo ellas.
1.5.- También consideraremos homotecias de razón negativa. Para
r = -1 resulta la simetría central de centro O.
H(O,-1) =SO
1.6.- Para k = 0 resulta A’ = 0 cualquiera sea el punto A; se obtiene la transformación constante C que
transforma todo punto en un mismo punto 0:
H(O,0) = C
pero es habitual excluir esta transformación de entre las homotecias
1.7.- En la figura cabe observar una composición de homotecias del mismo centro que transforman a F
en F’ por una homotecia de razón 3 y la misma que transforma F’ en F” por una homotecia de razón 2.
Esto es consecuencia de la propiedad siguiente sobre lo. composición de homotecias o resultado de
realizarlas sucesivamente.
La composición Hr o Hs de dos homotecias del mismo centro O y razones r y s, es otra
homotecia de igual centro y razón producto r.s:
K(o,r) o H(o,s) = H(o,(r.s))
1.8.- Del enunciado anterior se deduce que:
Si y solo si r ≠ 0, la homotecia R. de centro 0 y razón r admite una transformación inversa
H(o,r)-1 que es la homotecia Hl/r de igual centro y razón l/r (inversa de la razón de Hr):
H(o,r) o H(o,l/r) = H(o,1/r) o H(o,r) = 1
En efecto, si r = 0 se obtiene la transformación constante, que no tiene inversa pues cualquier transformación T, compuesta con ella a derecha, da ella misma:
ToC=C
1.9.- La propiedad anterior muestra la ventaja de exc1uir e1 caso r = 0 de entre las homotecias y convendremos en hacer esto desde ahora, es decir, al considerar una homotecia K(o,r) de razón r, supondremos r ≠ 0.
Todas las homotecias respecto al mismo centro forman un grupo respecto a la composición. Por el contrario, el conjunto de todas las homotecias no forma grupo, ya que la composición de
una homotecia de razón k≠ 1 y otra de razón k-1 respecto a centros distintos es una traslación. Pero la
unión de todas las homotecias y las traslaciones, si es grupo.
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Transformaciones 20
Si la composición H2 o H1, de dos homotecias
es de nuevo una homotecia H3 los centros O1, O2 y O3,
han de estar alineados, ya que H3 = H2 o H1 y como vimos
en (1.8) k3 = k2.k1.
1.10.- Conservación de las razones.
Del teorema de Thales “Si varias rectas paralelas se cortan con dos transversales r y s, la razón de dos
segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón
de los segmentos correspondientes de la otra.” (Los segmentos de una de las transversales son proporcionales a
los segmentos correspondientes en la otra). Y por “ Dos
rectas p y p’ son paralelas si y solo si los segmentos que
determinan sobre dos transversales concurrentes, a partir
de su intersección son proporcionales.” Resulta que para
toda homotecia Hr de razón r, vale:
(H(o,r) A = A´ y H(o,r) B=B’) ⇒ (A’B’:AB= r y A'B’ // AB)
Además, considerando un ángulo y su homotético, como. los lados correspondientes son
paralelos y, o bien ambos del mismo sentido (si r>O), o bien ambos de sentidos contrarios (si r<O), el
ángulo homotético es trasladado del ángulo dado o de su opuesto por el vértice, y en ambos casos
congruentes con él. En resumen:
1.11.- Teorema.
En toda homotecia:
1) Los segmentos correspondientes son paralelos y proporcionales, siendo la razón del transformado al primitivo igual al valor absoluto r de la razón de homotecia;
2) Los ángulos correspondientes son, congruentes.
2.- Transformaciones de Semejanza
Cuando miramos una fotografía y su ampliación vemos enseguida que no se han tomado
dos fotografías diferentes. Las figuras no son "iguales" o congruentes, no pueden superponerse ni siquiera aproximadamente, pero la ampliación reproduce todas las. distancias en la misma proporción, y
no altera los ángulos.
Las propiedades de la ampliación, señaladas, pertenecen también a la homotecia, y ello nos
da una pauta para caracterizar geométricamente la noción intuitiva de semejanza de figuras. Toda definición adecuada a este objeto deberá considerar semejantes a una fotografía y su ampliación (o reducción) cualesquiera sean las posiciones de una y otra en el plano.
Ahora bien, tales figuras F y F’ no son necesariamente homotéticas, pero aplicando a F un
movimiento puede obtenerse otra figura de la cual resulte F’ por una homotecia:
Si M es un movimiento que transforma F en una figura F’ de la cual resulte F” por una
homotecia R, se pasa de F a F” por la realización sucesiva de M y H, o sea por la transformación compuesta
MoH
Toda definición de semejanza como transformación geométrica, adecuada al concepto intuitivo de figuras semejantes, deberá, pues, incluir las composiciones de movimientos y homotecias.
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Para lograr una exposición más armónica y resultados más generales conviene incluir no
solo los movimientos (o congruencias directas) sino también las congruencias inversas, es decir, hablar
de congruencias y no de movimientos, y además no limitar inicialmente a dos el número de transformaciones que se componen o realizan sucesivamente.
Obs.: Toda transformación de semejanza es una colineación ortogonal y a la inversa.
2.1.- Definición.
La composición de una homotecia y una transformación. de congruencia se denomina
transformación. de semejanza directa o inversa según conserve o no la orientación de las figuras.
Tl o T2 o T3 o.....oTn
donde solo figuran congruencias y homotecias.
2.2.- Definición.
Se dice que dos figuras son semejantes (en símbolos ~) si se pueden transformación. una
en la otra mediante una transformación. de semejanza.
(A’ ∈ S(F)) ⇒ (A’ = S(A) con A ∈ F).
F es semejante a F’, si existe una semejanza S tal que S(F) = F’.
Como toda semejanza se compone de congruencias y homotecias, y las congruencias conservan las medidas de segmentos y ángulos, pero en general destruyen el paralelismo de un segmento y
su transformado, se tiene:
Se dice que dos figuras son semejantes (en símbolos ~) si se pueden transformación. una en
la otra mediante una transformación. de semejanza.
2.3.- Teorema.
En toda semejanza:
1) Los segmentos correspondientes son proporcionales, siendo la razón del transformado al
primitivo igual al producto de los valores absolutos de las razones de las homotecias.
2) Los ángulos correspondientes son congruentes.
El teorema anterior muestra que el producto de los valores absolutos de las razones de las
homotecias que figuran en una semejanza, es el mismo cualquiera sea la forma de representar esa semejanza S como composición. Este número se llama razón de la semejanza S.
Dadas dos figuras semejantes F y (F’ = S(F)), se llama razón de semejanza de F a F’, a la
razón de la semejanza S.
Los planos de edificios y terrenos, y los mapas , son representaciones de objetos mediante
figuras semejantes. Es esencial indicar la razón de semejanza, que se llama esca1a.
Algunos mapas, en lugar de indicar la razón de semejanza, llevan un segmento, llamado
esca1a gráfica (graduado en m, km), del terreno.
La escala gráfica es muy útil para apreciar distancias verdaderas por las del mapa, y con
ella puede calcularse la razón de semejanza como cociente entre la longitud y la que indica.
Resulta esta propiedad :
La composición S1 o S2 de dos semejanzas S1 y S2 de razones r1 y r2, es una semejanza de
razón rl.r2
Toda transformación. de semejanza directa es o bien una traslación o bien la composición
de una homotecia y un giro. Si a una figura le aplicamos primero una homotecia y luego una traslación,
la figura final y la figura original tienen paralelos sus lados, de forma tal que el resultado es simpleVersión - Miguel Ángel De Carlo
Transformaciones 22
mente una homotecia. Siempre posible hacer coincidir el centro de homotecia con el centro de giro.
Por otra parte si primero dilatamos una figura con una homotecia y luego la giramos la rectas correspondientes ya no son paralelas, por tanto, la composición de una homotecia y un giro (distinto de 180°)
es una semejanza directa que conserva ángulos tanto en magnitud como en signo.
La suma de una homotecia y una giro alrededor del mismo centro se llama semejanza en
espiral ó homotecia girada.
Toda transformación de semejanza inversa es la composición de una homotecia y una
simetría. El centro de la homotecia se puede colocar sobre el eje de simetría. El conjunto de las transformación. de semejanza forma respecto a la composición un grupo llamado grupo equiforme que contiene como subgrupo al grupo de las transformación de congruencia.
3.- Teoremas sobre rayos
Mediante las homotecias se pueden demostrar algunos importantes teoremas sobre relaciones entre segmentos.
3.1.- Teorema.
Si dos rectas r(A, B) y r'(A', B') pasan por un punto 0 y se tiene que AA'//BB', entonces:
OA OA'
=
Primer teorema sobre rayos
OB OB'
AA' OA
2)
=
Segundo teorema sobre rayos.
BB' OB
1)
Este teorema se formula usualmente con semirrectas.
3.2.- Teorema.
Si dos rectas r(A, B) y r’(A’, B’) pasan por el punto O y si los puntos O, A’ y B’ están situados sobre r en el mismo orden que 0, A' y B' sobre r' entonces OA : OB =OA’:OB’; implica AA'//
BB'.
3.3.- Teorema.
Si AA'//BB' y si existiese sobre la recta r(A, B) un punto O tal que AA': BB' = OA : OB,
entonces O está situado sobre la recta r'(A', B').
4.- Partición de un segmento
Los teoremas sobre rayos resuelven el problema de dividir un segmento AB con una razón
dada.
Sea T un punto de r(A, B) distinto de B. Se entiende por razón (simple) según la cual T divide a AB el número real λ tal que AT = λ.TB. Se tiene |λ| = AT: TB. es positiva (partición interior) si
T está situado entre A y B, en caso contrario es negativa (partición exterior). Si un segmento es dividido según la razón λ y luego según -λ, se dice que está dividido armónicamente según la razón λ.
4.1.- Dividir un segmento en partes congruentes
Sea por ejemplo, dividir el segmento AB en cuatro partes congruentes.
Traza una semirrecta con origen en uno cualquiera de los extremos del segmento AB por ejemplo AP.
Sobre AP transporta cuatro segmentos consecutivos congruentes a partir del origen .
AM = MN = NR = RS
Unimos S con B y por los puntos marcados sobre AP trazamos las paralelas a SB.
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Sobre AB quedan determinados segmentos congruentes.
AC = CD = DE = EB pues estos segmentos son las proyecciones paralelas de los segmentos congruentes sobre AP.
El segmento AB queda pues, dividido en cuatro segmentos
congruentes.
El procedimiento se generaliza al problema de dividir un
segmento en n partes congruentes.
El resultado no depende de la semirrecta elegida ni del
segmento que transporte sobre ella.
4.2.- Construcción del segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados
Supongamos por ejemplo, que se trata de construir el segmento que sea cuarto proporcional
a los segmentos a, b y c.
a c
=
Construir el segmento X tal que: b X
La construcción se basa en la consecuencia del teorema de Thales y por
lo tanto es necesario reconstruir un triángulo que permita aplicar dicha
consecuencia. Trazamos dos semirrectas Oy y Oz del mismo origen O.
Sobre una de las semirrectas transportamos los segmentos consecutivos a
y b . Sobre la otra semirrecta transportamos c. Unimos el extremo de a
(A) con el de c (C). Trazamos por B la paralela a AC. Sobre la semirrecta
Oy queda determinado el punto D. El segmento CD es la solución del
problema por consecuencia del teorema de Thales.
4.3.-Dividir un segmento en dos partes cuya razón se conoce
Sea por ejemplo, dividir el segmento AB en dos partes x e y cuya razón sea ¾.
Elegimos un segmento arbitrario u. Sobre una semirrecta
de origen en uno de los extremos de AB, por ejemplo B,
transportamos un segmento BC = 3u y otro segmento
consecutivo CD = 4u. Unimos D con A. Por C trazamos
la paralela a DA que determina el punto E en AB. Por corolario del teorema de Thales es:
x
3
x
m
=
=
4
y
n ,o sea y
5.- Semejanza de triángulos y circunferencias
La relación de semejanza es una relación de equivalencia e induce en el conjunto de las figuras del plano R2 una partición en clases que expresa un parentesco geométrico más general que la
congruencia. El estudio de la semejanza de triángulos se basa en la siguiente propiedad:
Si dos triángulos no congruentes tienes sus lados paralelos dos a dos son homotéticos .
Los triángulos semejantes tienen siempre los lados correspondientes en una razón fija y los ángulos
correspondientes tienen igual medida. Para comprobar la semejanza de dos triángulos no es necesario
verificar la coincidencia de todas las razones de los lados y medida de los ángulos ya que se tienen los
siguientes Teoremas de Semejanza, análogos a los teoremas de congruencia.
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5.1.- Teorema.
Si dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes, por 2.3. sus ángulos son congruentes y
sus lados son proporcionales.
A' B' B' C ' C ' A'
=
=
;
AB
BC
CA
A = A , B = B' , C = C '
existe una semejanza S que transforma el primero en el segundo.
Pero basta con menos de las 5 condiciones. Por de pronto, se puede eliminar una de las
congruencias de ángulos, pues dos de ellas implican la tercera debido a que en todo triángulo los ángulos suman 2 rectos. Quedan entonces 4 condiciones, y para que los triángulos sean semejantes basta
con que se cumplan 3 convenientemente elegidas. Así lo establece este teorema, que enumera los tres
casos clásicos de semejanza de triángulos:
5.2.- Teorema.
Dos triángulos son semejantes:
1) Si un ángulo de uno, de ellos es congruente a un ángulo del
otro y los lados que forman estos ángulos son proporcionales:
A' B' A' C '
A =A’
=
AB
AC
Para demostrar basta con transformar homotéticamente el primer triángulo. Como existe una transformación de A en A’ y los vértices B y C en puntos B’ y C’ de las semirrectas OB y OC. Resulta entonces que los tres ángulos correspondientes son congruentes y los lados
correspondientes son proporcionales.
5.3.- 2) Si dos ángulos de uno de ellos son respectivamente congruentes con. dos ángulos del otro:
A = A’,
B = B’
Tomando A = A’ como ángulo común y siendo B' = B por hipótesis, las rectas
BC y B’C’ son paralelas por determinar ángulos correspondientes congruentes
con la recta A’B’
Entonces, existe una homotecia H que transforma el triángulo ABC en el
A’B’C’, y en consecuencia la transformación es una semejanza, transforma el
triángulo ABC en el triángulo A’B’C’.
5.4.- Si tienen sus lados respectivamente proporcionales.A' B' B ' C ' C ' A'
=
=
AB
BC
CA
Sea r el valor común de las tres razones. Aplicando al triángulo A’B’C’ una homotecia, H1/r de centro
A y razón 1/r, se obtiene un triángulo A’B”C” con sus lados congruentes a los de, ABC:
Por el tercer criterio de congruencia de triángulos el
triángulo ABC es congruente al A’B”C”, y como la
homotecia Hr de centro A’ y razón r transforma este
último triángulo en el A’B’C’, la transformación compuesta CoHr, que es una semejanza, transforma el triángulo ABC en el triángulo A’B’C’.
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Al contrario que los triángulos, todas las circunferencias pertenecen a la misma clase de
equivalencia de figuras semejantes. Además, se cumple que:
5.8.- Teorema.
Todas las circunferencias son homotéticas.
Si los radios de dos circunferencias no coinciden existen dos centros de semejanza. La razón de semejanza es en un caso positiva (centro de semejanza externo), en el otro negativa (centro de
semejanza interno). Los centros de semejanza se obtienen como puntos de corte de las tangentes comunes a ambas circunferencias, exteriores e interiores respectivamente.
6.- Semejanza de polígonos.
Veamos cómo se construye un polígono homotético a uno dado ABCDE, con una razón de
homotecia dada r.
En la recta AB se determina el punto Bo tal que AB, = r AB, este punto está en el segmento
AB si 0< r <l (lra figura), o en una de sus prolongaciones si r>l (2da figura) o r<0 (3ra figura).
Luego se trazan las diagonales d1 =
AC y d2 = AD, por Bo la paralela a
BC hasta cortar a dl o una prolongación en Co, por CO, la paralela al lado
CD hasta cortar d2, y así siguiendo
hasta cortar el lado EA o una prolongación en un punto E..
El polígono ABOCODOEO es homotético al dado pues los triángulos en que ambos quedan divididos por las rectas diagonales son dos a dos
homotéticos en virtud del teorema de 4.1, en homotecias de centro A. Pero estas homotecias son todas
la misma pues las razones son iguales
7. - Cevianas.
El segmento que une un vértice de un triángulo con cualquier punto dado del lado opuesto se
llama ceviana.
Así, si X, Y, Z son puntos de los lados BC, CA, AB respectivamente, del triángulo ABC, los
segmentos AX, BY, CZ son cevianas. Este término proviene del nombre del matemático italiano Giovanni Ceva.
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7. 1.- Teorema de Ceva.
Sí tres cevianas AX, BY, CZ, cada una de ellas partiendo de un vértice de un triángulo ABC,
BX CY AZ
son concurrentes entonces:
=1
XC YA ZB
Decimos que tres rectas (o segmentos) son concurrentes, es decir que
las tres pasan por un punto.
Para probar el teorema de Ceva, recordemos que las áreas de los triángulos con alturas iguales son proporcionales a las bases de los triángulos.
Remitiéndonos a la figura, tenemos
BX A( ABX ) A( PBX ) A( ABX ) − A( PBX ) A( ABP)
=
=
=
=
XC A( AXC ) A( PXC ) A( AXC ) − A( PXC ) A(CAP )
Análogamente
CY A( BCP )
=
,
YA A( ABP)
AZ A(CAP )
=
ZB A( BCP )
Ahora, si multiplicamos estas desigualdades, tendremos
BX CY AZ ( ABP)( BCP )(CAP )
=
=1
XC YA ZB (CAP )( ABP)( BCP )
7. 2.-Teorema recíproco
BX CY AZ
= 1 se cortan en un punto
XC YA ZB
Supongamos que las dos primeras cevianas se cortan en P, y que la tercera ceviana que pasa por
ese punto P es CZ’. Entonces, por el teorema anterior.
Si tres cevianas AX, BY, CZ, satisfacen
BX CY AZ '
BX CY AZ
= 1 Como hemos supuesto que
=1
XC YA Z ' B
XC YA ZB
entonces
AZ ' AZ
=
Con lo que Z’ coincide con Z
Z ' B ZB
7. 3.- El baricentro
Las cevianas que unen los vértices de un triángulo con los puntos medios de los lados opuestos
se denominan medianas.
En la figura, las rectas AA’, BB’, CC' son medianas, de modo que
BA’ = A'C, CB’ = B’A, y AC’ = C'B. Aplicando el teorema, concluimos que las medianas se cortan en un punto.
BA' CB ' AC '
= 1 . Su punto común, G, se conoce como el baricenA' C B' A C ' B
tro del triángulo.
Si cortamos un triángulo de un material de densidad uniVersión - Miguel Ángel De Carlo
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forme, se mantendrá en equilibrio si lo suspendemos por este punto común a las medianas. En otras
palabras, el baricentro es el centro de gravedad del triángulo.
7. 4.- Teorema.
Las medianas de un triángulo lo dividen en seis triángulos de igual área.
Fijándonos de nuevo en la figura, encontramos que A(GBA') =
A(GA'C), ya que los triángulos tienen bases iguales y la misma altura. Esto es por lo que hemos dado a las áreas la misma denominación, x. Por la misma razón: A(GCB’) = A(GB’A) y A(GAC') =
A(GC’B).
Así que hemos llamado a estas áreas y y z como se observa. Sin
embargo, tendremos también A(CAC’) = A(CC’B ), es decir, 2.y +
z = z + 2x, con lo que x=y. Igualmente A(ABA’) = A(AA'C), de
donde y = z. Así pues, hemos demostrado que x = y = z.
7.5.- Teorema.
Las medianas de un triángulo se dividen una a otra en razón de 2:1; en otras palabras, las
medianas de un triángulo triseccionan unas a las otras.
Continuando nuestro examen de la figura, observamos también que A(GAB ) = 2A(GBA' ). Puesto que
estos triángulos tienen la misma altura, se concluye que AG = 2GA'.
Análogamente, BG = 2GB', y CG = 2GC'.
7.6.- El incentro.Otras cevianas importantes son los segmentos determinados por las
tres bisectrices interiores. La figura muestra una de tales bisectrices
AL. Aplicando el Teorema del seno a los dos triángulos ABL y
ALC (cuyos ángulos en L, al ser suplementarios, tienen senos iguales), obtenemos
BL
c
LC
b
=
,
=
sen 1 2 A sen L
sen 1 2 A sen L
BL c
Luego
=
LC b
De aquí podemos deducir resultados análogos sobre las bisectrices interiores de los ángulos B y
C, con lo que hemos probado que:
7.7.- Las bisectrices de un triángulo dividen el lado opuesto en dos segmentos de longitud proporcional a la longitud de sus lados adyacentes.
7.8.- Teorema.
Las bisectrices interiores de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto, que es el
centro de la circunferencia inscripta. (Incentro)
Cualquier punto de AL equidista de CA y AB. Análogamente, cualquier punto de la bisectriz
interior del ángulo B equidista de AB y BC. Por tanto, el punto I donde estas dos bisectrices se cortan
está a igual distancia, r, de los tres lados:
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La circunferencia de centro I y radio r es tangente a los tres lados y es por tanto la circunferencia inscrita, o incírculo.
7.9.- Teorema.El área del triángulo circunscripto a una circunferencia es igual al perímetro del triángulo por
el radio de la circunferencia inscripta en el.
La figura muestra que la circunferencia inscrita es tangente a los lados
BC = a, CA = b, AB = c, tenemos que:
a + b +c = perímetro.
El triángulo IBC tiene base a y altura r, su área es: A(IBC) = ½ ar.
para A(ICA) será ½ b.r y A(IAB) = ½ c.r
Sumando las expresiones correspondientes, obtenemos:
A(ABC) = ½ ( a + b + c)r = p/2.r = semiperímetro .r. Por tanto,
A (ABC) = s.r.
7.10.- Teorema.
Las bisectrices exteriores de cualesquiera dos ángulos de un triángulo y la bisectriz interior
del tercer ángulo se cortan en un punto.
Cualquier punto de la bisectriz BI del ángulo B es equidistante de AB y BC.
Análogamente, cualquier punto de CI es equidistante de BC y CA. Por tanto, el punto I donde estas dos bisectrices exteriores se cortan, está a igual
distancia, de los lados AB, BC y AC. Como la bisectriz interior del ángulo A
es equidistante de los lados AB y AC. I’ que debe estar situado en el lugar
geométrico de los puntos equidistantes de estas rectas esta justamente sobre
esta bisectriz.
7.11.- El circuncentro
Es el centro de la circunferencia circunscrita alrededor del triángulo. Convenimos en llamar a este punto el circuncentro del triángulo, y
denominaremos a esta circunferencia, la circunferencia circunscrita. El
circuncentro O es la intersección de las tres mediatrices de los lados del
triángulo.
7.12.- El ortocentro.Las cevianas AD, BE, CF de la figura, perpendiculares a BC, CA, AB,
respectivamente, se denominan las alturas del ABC Como vimos el
recíproco del teorema de Ceva demuestra que se cortan en un punto.
Su punto común H se llama ortocentro Los puntos D, E, F, se denominan, naturalmente, pies de las alturas. Uniéndolos dos a dos, obtenemos DEF, el triángulo órtico del ABC
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8.- El triángulo órtico
El ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentro de su triángulo órtico.
La figura muestra un triángulo acutángulo ABC, su ortocentro ,H, y su triángulo órtico DEF y los ángulos con el símbolo α, que significa 90° - A. Los triángulos rectángulos ABE
y ACF nos dan el mismo valor para EBA y ACF.
Analizando los cuadriláteros BDHF y CEHD, encontramos
que son inscriptibles en una circunferencia dado que en el
BDHF sus ángulos opuestos BFC y ADB son rectos (8.1).
Los ángulos FBH y FDH están inscriptos en el mismo arco.
Lo mismo sucede para el CEHD donde ECH y EDH también son iguales, entonces:
HBF = HDF = ECH =EDH = α.
Así pues, HD es la bisectriz del EDF.
Análogamente, HE es la bisectriz del FED, y HF la del DFE.
Por tanto, las alturas de un triángulo son las bisectrices de los ángulos de su triángulo órtico.
8.1.- El circuncentro de un cuadrilátero que tiene dos ángulos opuestos rectos, es el punto medio de la
diagonal que no incide en estos ángulos.
Este teorema es corolario del teorema que dice “las mediatrices de los catetos de un triángulo rectángulo se cortan en su punto medio” Este teorema se justifica porque las mediatrices de los
catetos pasan por el punto medio de este y son paralelas al otro cateto, por este motivo determinan una
base media y cortará a la hipotenusa en su punto medio. En el caso del cuadrilátero en cuestión la diagonal que no incide en los ángulos rectos es la hipotenusa de los dos triángulos rectángulos que se determinan.
9.- Triángulo Medial
El triángulo formado al unir los puntos medios de los lados de un triángulo se denomina
triángulo medial.
Si se unen los puntos medios de los lados de un triángulo ABC se obtiene un nuevo triángulo de razón 1/2. Ambos triángulos son homotéticos y el centro de homotecia es el punto de corte de las
medianas (baricentro). Se deduce entonces que las medianas de un triángulo se cortan según la razón
2:1.
Utilizando el triángulo medial y las relaciones particulares que existen entre los triángulos
veremos el siguiente teorema de Euler
9.1.- Teorema.
El ortocentro del triángulo medial del ABC es el circuncentro del triángulo ABC.
En la figura observamos que las alturas del A’B’C’ Son las
mediatrices del ABC.
Por tal motivo el punto O es el circuncentro del ABC
Versión - Miguel Ángel De Carlo
Transformaciones 30
9.2.- Teorema
Las medianas del triángulo medial del ABC son medianas del ABC
Vemos que el cuadrilátero AC’A’B’ es un paralelogramo, tiene
sus lados paralelos dos a dos por definición de base media.
Asi pues las diagonales AA’ y C’B’ se cortan en el punto medio de ambas.
Por lo tanto las medianas del A’B’C’ estan situadas a lo largo
de las medianas del ABC, por lo que significa que ambos triángulos
tienen el mismo baricentro G.
De la misma forma se demuestra para las otras dos medianas.
9.3.- La recta de Euler
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de cualquier triángulo están alineados. El
baricentro divide la distancia del ortocentro al circuncentro en la razón 2: 1.
En la figura, las dos medianas AA' y CC' se cortan en G, dos alturas del ABC se cortan en
H, y las mediatrices de BC y AB se cortan en O.
Los triángulos HGA y GA’O son semejantes por que tienen:
1) Los ángulos HAG = OA'G .Por alternos internos entre paralelas (la altura y la mediatriz del lado BG)
2) AG = 2GA’ Propiedad de la mediana. (7.5)
3) AH = 2OA’ dado que O es el ortocentro de medial A’B’C’
semejante del ABC (9)
Se deduce que los ángulos AGH = A'GO al ser opuestos por el vértice, esto prueba que los puntos O, G, H están alineados.
y HG = 2GO, por la proporcionalidad de los lados.
La recta en la que están situados estos tres puntos se denomina recta de Euler del triángulo.
9.4.- , El circuncentro del triángulo medial está situado en el punto medio del segmento HO de la
recta de Euler del triángulo dado.
Hemos señalado el punto N donde la recta de Euler HO corta a la recta que pasando por P es
perpendicular a B’C’. Las tres rectas AH, PN, A'O, todas perpendiculares a B’C', son paralelas. Como
AP = PA’, (9.2.) los triángulos EPA y PFA’son congruentes, las tres rectas están a igual distancia: PN
está a medio camino entre AH y A’O. Por tanto, N
es el punto medio del segmento HO. Se ouede demostrar por Thales que HN = NO puesto que EP =
PF
Hemos hecho estas observaciones con respecto al
lado B’C’ del A’B’C’. Si aplicáramos el mismo razonamiento a cada uno de los otros dos lados, el
segmento HO permanecería fijo y sería cortado por la
mitad por la mediatriz al nuevo lado. Como HO sólo
tiene un punto medio, podemos afirmar que las mediatrices de los tres lados del A'B'C’ pasarán por el
punto N. En otras palabras, N debe ser el circuncentro del A'B’C’.
Versión - Miguel Ángel De Carlo
Transformaciones 31
9.5.-. Circunferencia de Feuerbach ó de los nueve puntos
Los pies de las tres alturas de cua1quier triángulo, los puntos medios de los tres lados y los
puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro., están todos en la misma
circunferencia, de radio ½ R
En la figura observamos que K, L, M, son los puntos medios de los segmentos AH, BH, CH de
las tres alturas. Como BC es un lado común a los dos triángulos ABC y HBC, cuyos otros lados tienen
como punto medio C', B’ y L, M, respectivamente, ambos segmentos C’B' y LM son paralelos a BC (y de la
mitad de longitud ½ de BC), de igual forma, como AH
es un lado común de los dos triángulos BAH y CAH,
ambos segmentos C’L y B’M son paralelos a AH (y de la
mitad de longitud de AH). Por tanto, B'C’LM es un paralelogramo. Como BC y AH son perpendiculares, este
paralelogramo es un rectángulo.
De igual forma, A’B'KL, es un rectángulo (y
por tanto, también C’A'MK).
Así, A’K, B’L, C'M son tres diámetros de una
circunferencia.
Como el A'DK es un ángulo recto, esta circunferencia (en la que A’K es un diámetro) pasa por
D (8.1.). De la misma forma, pasa por E y F
De acuerdo con J.V. Poncelet, llamamos a esta circunferencia, la circunferencia de los nueve
puntos del triángulo. Ya que los tres puntos K, L, M son diametralmente opuestos a A’ B’ C'
cualesquiera de los dos triángulos KLM y A’B’C’, puede obtenerse del otro con un giro de 180",
alrededor del centro de esta circunferencia. Más claramente, este giro de 180", que intercambia los dos
triángulos congruentes, debe intercambiar también sus ortocentros H y O. Como el centro de la circunferencia de los nueve puntos es el punto medio de HO, ya hemos denotado como N, en previsión de su
papel, al centro de la circunferencia de los nueve puntos. En otras palabras,
9.6.- Teorema.
El centro de la circunferencia de los nueve puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentro y del centro de la circunferencia circunscrita.
La historia de estos dos teoremas es algo confusa.
Un problema de B. Bevan, aparecido en un periódico
inglés en 1804, parece indicar que era conocido por entonces. Fué erróneamente atribuido a Euler, quien probó, como pronto en 1765, que el triángulo órtico y el
triángulo medial tienen la misma circunferencia circunscrita. De hecho, los escritores europeos llamaban a tal
circunferencia "la circunferencia de Euler". La primera
demostración completa que apareció fue la de Poncelet,
publicada en 1821. K. Feuerbach redescubrió el resultado parcial de Euler poco después y agregó una propiedad
más, que es tan destacada que indujo a algunos autores a llamar a la circunferencia de los nueve puntos
"circunferencia de Feuerbach". El teorema de Feuerbach afirma que la circunferencia de los nueve
puntos es tangente a las cuatro circunferencias tritangentes.
Versión - Miguel Ángel De Carlo
Transformaciones 32
10.- Los triángulos pedales
El triángulo órtico y el triángulo medial son dos ejemplos de un
tipo de triángulo asociado más general. Sea P un punto interior cualquiera de
un triángulo ABC , y sean PA1, PB1, PC1, sus perpendiculares respectivas a
los lados BC, CA y AB, como en la figura. Los pies de estas perpendiculares
son los vértices de un triángulo A1B1C1, que se llama el triángulo pedal para
el punto pedal P. La restricción de que P sea interior puede eliminarse si convenimos que P no puede estar situado en la circunferencia circunscrita del
ABC. Para decirlo más claramente, el triángulo órtico y el triángulo medial se
presentan cuando P es el ortocentro o el centro de la circunferencia circunscrita, respectivamente.
11.- Teorema de Ptolomeo
En el cuadrilátero inscripto en una circunferencia, el producto de las diagonales es igual
a la suma de los dos productos de los lados opuestos.
Tesis
AC x BD = AB x CD + AD x BC
Dem.)
Con vértice en B se traza BE, en el semiplano que
no contiene al cuadrilátero y tal que los ángulos ABE y
CBD sean iguales. (1)
Por otra parte, el ángulo BAE = C pues ambos son suplementarios del BAD, el primero por ser adyacentes y el segundo por ser
opuestos en un cuadrilátero inscripto (inscriptos en una semicircunferencia).(2)
BE y AD se cortan por que los ángulos EBA y BAE son iguales a ángulos del BCD por lo tanto suman
menos de dos rectos.
Siendo E exterior al cuadrilátero DE = DA + AE.(3)
Los triángulos ABE y CBD son semejantes por (1) y (2), luego
AB AE
=
, y de aquí
BC CD
AB x CD = BC x AE.(4)
Son además semejantes EBD y ABC, por tener los ángulos ADB = ACB (inscriptos en el
mismo arco) y EBD = ABC (pues EBD = EBA + ABD y ABC = CBD + ABD, como ABD es común a
ambos EBD = CBA.)
DE BD
De la semejanza se deduce
=
, Luego DE x BC = AC x BD
AC BC
Pero por (3) (DA + AE)x BC = AC x BD. Despejando, DA x BC + AE x BC = AC x BD
Reemplazando Según (4) AC x BD = DA x BC +AB x CD
11.1.- Definición
Si la recta PA es tangente a una circunferencia en A, el segmento PA se llama segmento tangente desde P a la circunferencia.
11.2.- Teorema
Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes.
Versión - Miguel Ángel De Carlo
Transformaciones 33
A
O
P
B
En los triángulos OAP y OBP
Los segmentos OA = OB por ser radios de la circunferencia.
El segmento PO es común a los triángulos.
y los ángulos A = B por ser rectos.
Los triángulos tienen un cateto y la hipotenusa congruentes.
En consecuencia los segmentos tangentes PA = PB
Se deduce también que los ángulos APO = OPB
11.3.- Segmento secante. Definición.
Si un segmento corta a una circunferencia en dos puntos y precisamente un de éstos es un extremo del segmento, entonces el segmento se llama segmento secante a la circunferencia.
11.4.- Teorema.
Si desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma, el producto
de los dos segmentos de secante comprendidos entre el punto y los de intersección es constante.
A’
A
A
B’
P
P
B
B
B’
A’
El punto P puede ser, respecto a la circunferencia, exterior, interior, o perteneciente a ella.
En el último caso, el teorema es evidente, pues uno de los segmentos es permanentemente nulo.
Para los otros dos casos la demostración es la misma y puede seguirse en cualquiera de las dos
figuras.
Debemos demostrar que para dos secantes cualesquiera PA x PA’ = PB x PB’
Uniendo A con B’ y B con A’ quedan formados los triángulos PAB’ y PBA’ semejantes por tener
P común u opuesto por el vértice y A’ y B’ inscriptos en el mismo arco. Por lo tanto:
PA PB'
=
y de aquí PA x PA’ = PB x PB’ (Potencia)
PB PA'
11.5.- Potencia de una punto. Definición.Se llama potencia de un punto P respecto a una circunferencia al producto constante de
los dos segmentos comprendidos entre P y los dos de intersección de una secante cualquiera que pase
por P.
11.6.- Potencia nula. Definición.La potencia de un punto de la circunferencia es nula.
11.7.- Convención.La potencia de un punto es positiva si es exterior a la circunferencia y negativa si el punto
es interior a la circunferencia.
11.7.- Teorema.Versión - Miguel Ángel De Carlo
Transformaciones 34
El cuadrado del segmento de tangente comprendido entre un punto P y el A de tangencia, es
igual a la potencia de P respecto de la circunferencia.
Tesis)
PA2 = PB x PB’
A
Los triángulos PAB’ y PAB son semejantes, tienen:
P
1) el ángulo P común.
2) los ángulos PAB y AB’B son semiinscripto
e inscrito en el arco AB’B.
Luego
B
B’
PB PA
=
entonces PA x PA = PB x PB’, se deduce, PA2 = PB x PB’
PA PB'
11.8.- Corolario.
El segmento de tangente trazado desde el punto P es medio proporcional entre los dos segmentos comprendidos entre P y los puntos de intersección de la secante que pase por P y la circunferencia.
11.9.- Corolario.
El punto medio del segmento determinado por los puntos de contacto de una tangente común a dos circunferencias coplanares, tiene la misma potencia respecto a ambas circunferencias.
Si A y B son los puntos de contacto de una tangente común AB, el
punto M, medio del AB tiene, tiene respecto de la circunferencia C1 la
potencia dada por AM2 y con respecto a la circunferencia C2 por MB2
. Cómo AM = MB, las potencias son iguales
11.10.- Teorema
La potencia de un punto respecto a una circunferencia esta dada, en valor y signo, por la diferencia de los cuadrados de la distancia del punto al centro y del radio.
d = distancia desde el punto P al centro O
Si el punto P es exterior es:
PA = PO – AO = d – r
PA’ = PO + OA’= d + r
la potencia será:
PA x PA’ = (d – r) x (d + r) =d2 – r2
Si el punto es interior
PA = AO – OP = r - d
PA’ = PO + OA = d + r
La potencia será:
PA x PA’ = (r – d ) x (r + d) = r2 – d2
Cómo por ser P interior, es r > d, si ponemos Potencia P = d2 – r2 resultará negativa para puntos interiores, en un todo de acuerdo con la convención dada en (11.7.)
Si P pertenece a la circunferencia, d = r, por lo tanto la potencia de P es nula, como vimos en (11.6.)
11.11.- Definición.
Versión - Miguel Ángel De Carlo
Transformaciones 35
El lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia con respecto a dos
circunferencias, se llama eje radical.
El lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a dos circunferencias, es una perpendicular a la recta de los centros.
Si la circunferencias son de radios r1 y r2 será d12 – r12 = d22 – r22
Entonces d12 – d22 = r12 – r22 = constante pues lo son r1 y r2.
12. Circunferencias de Apolonio. (Apolonio de Perga 262-190 A.C).
12.1.- Teorema.
El lugar geométrico de los puntos cuya distancia desde un punto fijo es un múltiplo de su distancia desde otro punto fijo es una circunferencia.
Por ejemplo, si dados los puntos A
y B, queremos hallar los puntos
que distan de B el doble que de A,
podemos hacer la construcción siguiente. Obtenemos P, uno de los
puntos buscados, como intersección de circunferencias con centros
A y B, siendo el radio de la última
el doble que el de la primera. Ahora hallamos las bisectrices interior
y exterior del ángulo APB que cortan a la recta AB en los puntos C y
D, extremos del diámetro de la circunferencia buscada.
12.3.- Circunferencias de Apolonio en un triángulo
Dado un lado de un triángulo y la razón de longitudes de los otros dos lados, el lugar geométrico del tercer vértice es el círculo de Apolonio, cuyo centro esta en la extensión del lado
dado. Para un cierto triángulo, hay tres circunferencias de Apolonio.
En la figura siguiente se muestran las tres circunferencias de Apolonio del triángulo ABC.
Puede observarse en la figura que, por ejemplo, el centro U de uno de los círculos es la
intersección de la recta tangente en el punto A
a circunferencia circunscrita con la prolongación del lado opuesto BC. De forma análoga
pueden obtenerse los centros V y W de las
otras circunferencias.
12.4.- Recta de Lemoine
En la figura anterior puede apreciarse que los centros de las circunferencias Apolonio de un triángulo
están alineados. La recta que los contiene se llama recta de Lemoine (Emile Michel Hyacinthe Lemoine 1840-1912).
Versión - Miguel Ángel De Carlo