Download UAM–CSIC Grupo 911 – Febrero 2013 Problemas de Álgebra

UAM–CSIC
Grupo 911 – Febrero 2013
Problemas de Álgebra Lineal
Nota: Los ejercicios pueden contener errores, agradecemos que se comuniquen a los profesores para su corrección.
Los problemas 1, 2 y 3 se deberían saber hacer con la teoría y problemas cubiertos hasta
el jueves 2013–03–14.
1. De los siguientes conjuntos de vectores, discutir si son linealmente independientes
o no. En caso que no extraer un subconjunto maximal de vector linealmente independientes:
a) v1 = (0, 2, −2, 4), v2 = (−1, −1, −1, 3), v3 = (5, −9, 1, 1).
b) v1 = (1, 4, −3, −1), v2 = (2, −10, 4, 1), v3 = (4, −2, −2, −1).
c) v1 = (0, 2), v2 = (−1, 3), v3 = (5, 4), v4 = (1, 0).
d) v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 4, 2), v3 = (−3, −6, −3).
2. Discutir si las siguientes aplicaciones son lineales. En caso afirmativo, escribir
matrices asociadas a ellas, calcular ecuaciones y bases para el núcleo y la imagen.
a) f : R −→ R2 , f (x) = (x, 4x).
b) f : R −→ R2 , f (x) = (x + 3, 2).
c) f : R −→ R, f (x) = sin(x).
d) f : R5 [x] −→ R5 [x], f (p(x)) =
Z x
p(t)dt.
0
0
e) f : R3 [x] −→ R3 [x], f (p(x)) = p (x) + 3p00 (x).
f) Sea v ∈ R4 fijo y f : R4 −→ R4 dada por f (w) = v · w.
g) Sea v ∈ R3 fijo y f : R3 −→ R3 dada por f (w) = v × w.
h) f : R3 −→ R, f (v) = kvk.
f) f : R5 −→ R5 , f (v) = −v.
3. Entendiendo las siguientes matrices A como expresiones en ciertas bases de aplicaciones lineales, calcular ecuaciones y bases para el núcleo e imagen de A.




a) A = 




b) A = 

2
1 −1 −2
−1 6 −4 3 


−3 −5 −4 4 
4
8 −1 3

5
2
3
0 −1 1
3 −2 5
−1 0 −1
0
0
1
1






1
1 −2 0


c) A =  −2 1 −2 −1 
−5 −5 −4 0
d) A =
1 1 −2 0
1
−2 1 −2 −1 −1
!
1
UAM–CSIC
Grupo 911 – Febrero 2013




e) A = 
7 −3
−4 2 


6 −3 
2 12



70 −2 1


f) A =  −1 1 0 
2 −3 1


1 1
3


4. Consideremos la aplicación A =  1 1 −3 , es el vector v = (1, −1, 2)t un
3 −3 −3
autovector ?
5. Hallar los autovalores y autovectores de las siguientes matrices:
!
a) A =
1 1
1 1
!
b) A =
6 1
−1 8
!
c) A =
0 1
−1 2
d) A =
1 0
1 1
e) A =
2 2
2 −2
!
!






0 1 0


f) A =  1 0 0 
0 0 −1
3 0 4


g) A =  0 3 0 
2 0 −3
4 −1 6


h) A =  2 1 6 
2 −1 8


−3 −11 3

3
4 
i) A =  0

0
0 −2
2