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Tema 3. Teorema del seno y del coseno. Resolución de
triángulos cualesquiera
UN PROBLEMA DE CONSTRUCCIÓN
En la isla griega de Samos, aproximadamente
500 años antes de nuestra era, fue construido
un acueducto con objeto de llevar agua a la
ciudad y cubrir las necesidades de la creciente
población.
Parte de este acueducto es un túnel que
atraviesa una colina de piedra caliza, que
resultaba imposible evitar.
Lo interesante de este túnel es que su
perforación se llevó a cabo simultáneamente
Isla de Samos public dom ain
por ambos extremos, encontrándose las
cuadrillas de trabajo en medio de la montaña. ¿Cómo supieron donde empezar a excavar y en
que dirección, para que así sucediese?
Olvidándonos de algunos detalles, el problema consiste
en determinar la recta entre dos puntos, A y B, cuando
hay un obstáculo, en este caso una montaña, que se
interpone entre los dos
El problema lo
podemos resolver
mediante
un
triangulo, si contamos con un punto C desde el cual
podamos medir distancias a A y a B, así como el
ángulo formado por las rectas AC Y BC
1. Teorema del seno
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Existe una relación muy útil para la resolución de
triángulos que relaciona los lados con los ángulos.
Esta relación es conocida como teorema del seno
Billare s lice ncia C re ative C om m ons
Teorema del seno:
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de
los ángulos opuestos
Sitúate con el ratón sobre cualquiera de los vértices del triángulo, pínchalos y muévelos.
Observarás que varían los valores de los ángulos y de los lados pero que los cocientes
coinciden en el resultado
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De un triángulo sabemos que: c = 5 m, C
= 45° y A = 100°.
Calcula el lado a
Utilizamos el teorema del seno
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DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO
Pincha la flecha para seguir la demostración
El teorema del seno ¿se cumple también en los triángulos rectángulos?
Si porque al tener un ángulo de 90º
que son la definición de seno en ambos ángulos
1.1. Problemas Teorema Seno
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Resuelve el triángulo del que se conocen
los datos siguientes A=67º; B=53º;
a=25cm.
Rellena los espacios resolviendo el
triángulo del que cononocemos el lado
a=12 m. y los ángulos A= 40º y B=75º
Ajusta la medida de los lados a metros
(sin decimales)
El ángulo C mide º, el lado b mide aproximadamente m. y el lado c
aproximadamente m.
2. Teorema del coseno
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El teorema del coseno relaciona un lado
de un triángulo con los otros dos y con el
coseno del ángulo formado por estos dos
lados.
Ex po Zaragoza 2008 Elaboración propia
Teorema del Coseno
En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es la suma de
los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del
producto de los lados por el coseno del ángulo opuesto a ese
lado.
Sitúate, en la figura siguiente, con el ratón sobre los vértices del triángulo, pínchalos y
muévelos. Observarás que varían los valores de los ángulos y de los lados pero coincide el
valor del lado en el triángulo y el resultado de la formula
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Halla el lado c del triángulo en el
que se conocen los siguientes
datos: a=5 m. b=4 m. C=47º
Aplica el teorema del coseno para
obtenerlo
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO
Pincha la flecha para seguir la demostración
En el caso de que uno de los ángulos mida 90º: el teorema del coseno
coincide con el teorema de Pitágoras
Verdadero Falso
Si colocamos uno de los vértices dentro del lado opuesto: El teorema del
coseno se convierte en diferentes expresiones del cuadrado de una
suma o de una resta.
Verdadero Falso
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2.1. Problemas Teorema Coseno
Calcula el lado c en el triángulo
del que se conocen los lados
a=5cm. y b=4cm y el ángulo
C=47º.
c²=a²+b²-2ab cos C → c²=41-40·0,61819=13,72 →c=3,7
En una circunferencia de radio 6 trazamos
una cuerda de BC de 7 cm. ¿Cuánto mide el
ángulo central α que determinan sus
extremos?
→ α=71,37º → α=71º22'14.4''
3. Resolución de triángulos cualesquiera
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La triángulación como método para calcular distancias y superficies
El método de la triangulación para calcular
las distancias se remonta a la antigüedad.
En el Antiguo Egipto esta técnica ya era
conocida a principios del II milenio a. C.
Herón de Alejandría (siglo I), determina la
longitud de una distancia triangulando y
utiliza un instrumento que se conoce como
el dioptra de Herón.
En China, Pei Xiu (224-271), en el quinto de
sus seis principios, identificó la medición de
los ángulos rectos y agudos para un
Triangulation 16th ce ntury dom inio público
adecuado trazado de mapas, necesario para
establecer con precisión las distancias; mientras que Liu Hui (c. 263) da una versión de el
cálculo anterior, para la medición de las distancias perpendiculares a lugares inaccesibles.
Los métodos de triangulación utilizados por los agrimensores se introdujeron en la
España medieval a través de varios tratados árabes sobre el astrolabio, aunque dichos
métodos parecen haber llegado lentamente al resto de Europa.
El astrónomo Tycho Brahe aplicó el método en Escandinavia, triangulando en 1579 la isla
de Hven. Lo emplearon los ingleses William Cunningham Cosmographical Glasse (1559),
Valentine Leigh Treatise of Measuring All Kinds of Lands (1562), William Bourne Rules of
Navigation (1571), Thomas Digges Geometrical Practise named Pantometria (1571), y
John Norden Surveyor's Dialogue (1607).
3.1. Conocidos tres lados
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Resuelve un triángulo conociendo dos lados
b=5 y c=7 y el ángulo opuesto al primer lado
a B=40º
Utilizamos el teorema del coseno para los
tres ángulos
Comprobaremos que la suma de los tres ángulos da 180º
Resuelve un triángulo conocidos los tres
lados a=6,04 , b=8,42 , c=7
Rellena los recuadros con los valores
correspondientes
Ajusta la medida de los ángulos a grados (sin decimales)
Los águlos del triángulo son:
A= º B= º y C= º
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3.2. Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de
ellos
Resuelve un triángulo conociendo dos
lados b=5 y c=7 y el ángulo opuesto al
primer lado a B=40º
Estamos ante un caso con dos soluciones posibles
b²=a²+c²-2ac·cos
a²-10,742a+24=0
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B
→
25=a²+49-2a·7·0,7660
→
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Caso1 Si tomamos a=7,52
C=180-4075,56= 63,44º
Caso2 Si tomamos a=3,2
C=180-4034,28=115,57º
Resuelve un trángulo conocidos los
tres lados a=16, c=24, A=40º
Rellena los recuadros con
valores correspondientes
los
Los ángulos del triángulo son:
Para el primer caso (lado b mayor)
b= B= º y C= º
Para la segunda solución (C ángulo obtuso)
b= B= º y C= º
3.3. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido
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Resuelve un triángulo conociendo
dos lados b=9 y c=10 y el ángulo
comprendido A=80º
Calculamos primero el lado a, y después los otros ángulos
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Resuelve un triángulo conocidos los
tres lados a=4,1 , b=5 , C=50º
Rellena los recuadros con los valores
correspondientes.
Trabaja
con
aproximaciones de un decimal
Los ángulos del triángulo son:
A= º y B= º
y el lado c=
3.4. Conocido un lado y dos ángulos
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Resolver el triángulo en el que se
conocen los siguientes datos: a=20 m.
A=46º B=70º
Calcula el ángulo C y utiliza el teorema
del Seno para calcular los lados a y b
Resuelve un triángulo conocido un lado
a=28 cm., y dos ángulos B=36º y C=69º
Rellena los recuadros con los valores
correspondientes.
Aproxima
los
resultados a números enteros
El ángulo A mide º, y los lados b= cm. y c= cm.
4. Problemas trigonométricos
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C onstrucción túne l m ate rial Junta de Andalucía
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 - 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de
los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones
matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la
serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las
funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan
un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó
verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas
utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la
trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los
lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C
para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la
trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
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A y B son dos
picos de dos
montañas
inaccesibles.
Desde
dos
puntos C y D,
separados 400
m, en el llano
que hay entre
las
montañas
se han podido
medir
los
ángulos ACD =
65º, BCD =
44º, BDC =
58º y ADC =
46º. ¿Cuál es la
distancia entre
los picos de las
dos montañas?
Necesitamos calcular AB, para ello resolvemos AC en el triángulo ACD y
CB en el triángulo CDB: En los dos casos aplicamos el teorema del
seno.
En el triángulo ABC para calcular la distancia pedida AB utilizamos el
teorema del coseno.
Triángulo ACD
Triángulo BCD
Triángulo
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ABC
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Las
rectas
tangentes a dos
circunferencias
de radios 10 y 4
m. forman un
ángulo de 32º.
¿Cuáles son las
distancias d y d',
entre sus puntos
de contacto en
cada
circunferencia?
El
triángulo
AED
es
rectángulo en
E
→
ED=
En el triángulo EE'D
comprendido α 32º
conocemos
ED
y E'D
y el ángulo
Por el teorema del coseno d²=ED²+ED'²-2·ED·E'D·cos 32º →
d²=369 → d=19,2 m.
Igualmente se calcula d' d'=7,7 m.
Para finalizar, te proporcionamos una colección de ejercicios
que debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo
largo de este tema.
* Ejercicios de consolidación
* Soluciones
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