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Tema 1: Resolución de triángulos rectángulos
Los orígenes de la trigonometría
1. Fotografía de Nina-no, bajo lice ncia de W ik im e dia C om m ons
Seguramente conocerás cómo se las ingenió Tales de Mileto para medir la altura de la
pirámide de Keops:
Se tumbó en la arena y trazó una línea de la misma longitud que su cuerpo. Se
puso en uno de los extremos de la línea y esperó a que la sombra que proyectaba
su cuerpo tuviera la misma longitud que la línea.
Su razonamiento fue que en ese instante la sombra de la pirámide mediría tantos
pasos como su altura.
Efectivamente, la altura del sol era la misma para Tales y para la pirámide y los triángulos
rectángulos eran semejantes por tener ángulos iguales.
El método de las sombras que utilizó Tales te puede servir para medir alturas
inaccesibles... ¡siempre que haya un día soleado! ¿Y cómo lo hacemos si nos sale un día
gris? No hay problema, para eso está la trigonometría.
Trigonometría, etimológicamente, significa medida de triángulos o de tres ángulos: del
griego, τρι (tri = tres), γωνο (gono = ángulo), μετρία (metría).
La trigonometría tiene su origen en las observaciones astronómicas y, aunque en
Babilonia y Egipto ya se utilizaban los ángulos de un triángulo y las relaciones entre sus
lados para hacer cálculos de agrimensura o para la construcción de pirámides, tenemos
que esperar a la cultura griega para que dé un impulso significativo al estudio de los
triángulos.
Aristarco de Samos (s. III a.C.) propuso el primer sistema heliocéntrico y calculó la
distancia al Sol y a la Luna utilizando triángulos. Sin embargo, se considera a Hiparco de
Nicea (s. III a.C.) como el padre de la trigonometría porque mejoró las observaciones de
Aristarco y fue el primero que estableció relaciones entre los lados y los ángulos de un
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triángulo.
Resolver un triángulo es averiguar la medida de
sus tres lados y sus tres ángulos. Conocidos tres
de esos seis elementos, con tal de que uno sea un
lado, la trigonometría nos permitirá hallar el resto.
Ya no será necesario un día soleado para medir
alturas, nos bastará un aparato para medir
ángulos: un teodolito, un clinómetro o un
sencillo aparato que podremos construir nosotros
mismos.
En este tema nos ocuparemos de la resolución de
triángulos rectángulos y veremos cómo muchos
2. Clinómetro, bajo lice ncia de flick r
problemas de navegación, de topografía, de
agrimensura, de astronomía, de diseño, de aeronáutica, de arquitectura o de urbanismo
requieren de estas técnicas.
El estudio de los triángulos abrirá la puerta para que las funciones circulares o
trigonométricas resuelvan problemas de la física: fenómenos ondulatoros, como una
cuerda que vibra; de óptica, acústica o electrónica.
1. Ángulos. Definición
3. De finición de ángulo
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Un ángulo es la región del plano
delimitada por dos semirrectas que
tienen un origen común llamado
vértice.
A cada semirrecta se le llama lado del
ángulo.
En realidad, dos semirrectas con origen común O
determinan dos ángulos cuya unión es todo el
plano.
Ambos tienen los mismos lados y el mismo vértice.
El ángulo menor, se denota AOB , mientras que el
mayor, lo denotaremos BOA.
También se puede definir el ángulo mediante el giro
de una única semirrecta OA. El sentido del giro dará
una orientación al ángulo que denotaremos
mediante el signo positivo o negativo.
Un ángulo orientado es la región del plano descrita por el giro
de una semirrecta.
El sentido del giro es positivo si es contrario al desplazamiento
de las agujas del reloj.
El sentido de giro es negativo si es el mismo que el de las
agujas del reloj.
Ángulos en la aviación
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Un contexto en el que aparecen los ángulos es en la
aeronáutica.
4. Fotografía bajo lice ncia de flick r
Uno de los factores
más importantes para
que
un
avión
se
mantenga en el aire es
el ángulo de ataque,
es decir, el ángulo que
forma la inclinación del
ala con respecto a la
corriente de aire.
Al aumentar el ángulo de ataque, se incrementa la sustentación
del avión, pero este ángulo se debe mantener entre 3º y 15º.
Si sobrepasa los 15º la fuerza de sustentación disminuye
rápidamente, se producen torbellinos. Se dice que el avión ha
entrado en pérdida y cae.
El piloto varía la velocidad y el ángulo de ataque para ascender
y descender y, para ello, se sirve de unos alerones que llevan
las alas del avión en su parte anterior y posterior.
¿Qué es un ángulo?
¿Qué es un ángulo orientado?
¿Cuál es la diferencia entre ángulos positivos y negativos?
La porción de plano comprendida entre dos semirrectas que
tienen el origen en común.
Es la región del plano que "barre" el giro de una semirrecta.
Diremos que un ángulo está orientado en sentido positivo, si
dicho ángulo se "barre" en sentido contrario a las agujas del
reloj. En caso contrario se dice de sentido negativo.
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Además de los ángulos entre rectas, podemos considerar
otras clases de ángulos:
ÁNGULOS DIEDROS
Cuando dos planos se cortan, el espacio
queda dividido en cuatro regiones limitadas
por semiplanos. Cada una de estas
regiones se llama ángulo diedro.
5. Ángulo die dro
wik im e dia com m ons
ÁNGULOS POLIEDROS
Un ángulo poliedro es la región del
espacio limitada por tres o más planos que
concurren en un punto llamado vértice.
Cada uno de estos planos es una cara del
ángulo poliedro.
6. O ctae dro
wik im e dia com m ons
1.1. Tipos de ángulos
Los ángulos reciben distintos nombres según el
criterio que estemos empleando para clasificarlos.
7. Pasare la de l Voluntariado. Fue nte propia
Aunque muchos de los términos que vas a
encontrar en este apartado los conocerás desde
primaria, no viene mal hacer un repaso de todos
los que irán apareciendo a lo largo de la unidad.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU AMPLITUD
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ángulo nulo
ángulo agudo
ángulo recto
ángulo obtuso
ángulo llano
ángulo completo
Relaciones entre ángulos
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus
amplitudes es 90º
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus
amplitudes es 180º
En las siguientes pantallas dinámicas, mueve el punto P y observa los ángulos
y
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El ángulo complementario de 47º es
90º
133º
43º
180º
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El ángulo suplementario de 78º es
12º
180º
102º
168º
1.2.Unidades de medida. Conversión de unidades
Hasta ahora, siempre que has medido ángulos lo has hecho en grados, es decir, has
tomado el grado como unidad.
Como sabes, esa unidad proviene de dividir la circunferencia en 360 partes iguales y cada
una de ellas es un grado sexagesimal.
Lo que quizá no sepas
es que esa división del
círculo en 360 partes
iguales se realizó por
primera vez hace unos
5000 años en Babilonia.
Los
sumerios
eran
buenos observadores de
los planetas y excelentes
astrólogos.
A
ellos
debemos el nombre de
las doce constelaciones
del
zodiaco.
Representadas en un
8. El zodiaco, bajo lice ncia de flick r
círculo, dividieron cada
una de ellas en 30 partes iguales y en cada una de esas partes
habitaba un dios. Así pues, el círculo zodiacal quedaba dividido
en 12x30=360 partes.
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El grado sexagesimal se divide, a su vez en 60 partes iguales
llamadas minutos; y cada minuto en 60 partes iguales que
llamamos segundos.
No cabe duda de que para la civilización mesopotámica, que utilizaba como base de
numeración el 60, esta división de la circunferencia, que equivale a dividir el ángulo recto
en 90 partes iguales, resultaba muy cómoda. Sin embargo, para nosotros que tenemos
un sistema de numeración decimal, parece que sería más útil que el número de partes
iguales en que se dividiera el ángulo recto fuera una potencia de 10, por ejemplo 100.
Pues bien, esa unidad, llamada grado centesimal, apenas se utiliza.
Y es que, si te fijas, el número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (1, 2, 3, 4,
5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60) y eso facilita el cálculo con fracciones. Además, 60 es el
número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Sin embargo, cuando en los cálculos ha de relacionarse la medida de los ángulos con
magnitudes lineales, el grado no es una medida adecuada y por esto se define una nueva
medida, el radián.
Se llama radián a la amplitud del ángulo central de una
circunferencia cuyo arco mide lo mismo que su radio.
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Mueve el punto P de la figura anterior y observa cómo varía la longitud
del arco y del radio. Fíjate en el ángulo. Siempre mide lo mismo.
¿Cuántos grados sexagesimales mide un radián?
Un radián mide 57,3º.
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Observa la figura anterior.
¿Cuánto miden el radio de la circunferencia y el arco azul PQ?
¿Cuántas veces es más largo el arco que el radio?
Mueve el punto Q hasta conseguir que el radio y el arco tengan la
misma longitud.
a. ¿Qué medida tiene el ángulo correspondiente?
b. Mueve el punto P y observa: ¿qué medidas cambian y cuáles
permanecen?
c. Mueve los puntos P y Q hasta visualizar un ángulo de 2
radianes. ¿Cuántos grados mide? ¿Y el de 5 radianes? ¿Y medio
radián?
d. Visualiza un ángulo de 180º. ¿Cuántos radianes son?
¿Sabrías dar una explicación?
e. ¿Cuántos radianes serán 360º? ¿Y 90º? ¿Por qué?
a. 1 radián
b. Cambian el arco y el radio; el ángulo es siempre el
mismo.
c. 2 radianes son 114,59º; 5 radianes son 286,48º;
medio radián son 28,65º.
d. 180º son
radianes. Media circunferencia mide
. Si
dividimos el arco por el radio queda
e. Una circunferencia completa abarca un ángulo de 360º
y le corresponde una longitud de
. Entonces,
Como la longitud de la circunferencia es
radio, entonces
veces la longitud del
rad
o lo que es lo mismo:
rad
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Completa la tabla siguiente:
Para escribir los radianes hazlo así:
90º
sería pi/2
radianes; en
la casilla correspondiente a 30º
escribiríamos pi/6, etc
grados sexagesimales 0º 30º 45º 60º 90º
radianes
150º 180º
0
grados sexagesimales
240º
300º
330º 360º
radianes
2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Al comienzo del tema recordábamos cómo Tales
logró medir la altura de la pirámide de Keops
Como la altura del sol era la misma para
Tales y para la pirámide, los triángulos que se
formaban con las alturas y las sombras eran
semejantes y podía establecer la proporción
9. Me dida de la altura de una pirám ide
Este cociente depende tan sólo del ángulo, no del triángulo y recibe el nombre de
tangente del ángulo.
En la ventana dinámica que te presentamos a continuación puedes mover el punto B y
observar que las razones entre los lados de los distintos triángulos semejantes que se
forman permanecen constantes.
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Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son las
distintas razones que hay entre los lados de un triángulo
rectángulo en el que uno de sus ángulos agudos es .
Halla
las
razones
trigonométricas
de
los
ángulos
y del triángulo
de la figura.
¿Qué puedes decir del seno
y el coseno de estos
ángulos?
Observamos que
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y
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En la ventana dinámica que tienes a continuación puedes ver que, al mover el punto A
siguiendo la trayectoria de la circunferencia goniométrica, aparecen distintos triángulos
rectángulos.
Fíjate en cómo varían las razones trigonométricas al variar el ángulo
90º.
desde 0º hasta
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Lee el párrafo siguiente y rellena los espacios en blanco. Escribe los
números decimales con coma.
Con ayuda de la circunferencia goniométrica, indica, aproximadamente, el
seno, coseno y tangente de 45º, 30º y 60º:
sen 45º =
cos 45º =
tan 45º =
sen 30º =
cos 30º =
tan 30º =
sen 60º =
cos 60º =
tan 60º =
Si te has fijado bien en las respuestas de las autoevaluaciones que has realizado te
habrás dado cuenta de que:
El seno y coseno de ángulos complementarios cumple que:
Rellena los espacios en blanco escogiendo entre las palabras y
números siguientes:
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"crece", "decrece", "0", "1", "infinito"
Si el ángulo crece de 0º a 90º
El seno
desde
hasta
El coseno
desde
hasta
La tangente
desde
hasta
2.1.
Relaciones
trigonométricas
fundamentales
entre
razones
Las razones trigonométricas de un ángulo están relacionadas entre sí. Para deducir esas
relaciones basta tener en cuenta que en todo triángulo rectángulo se cumple el Teorema
de Pitágoras .
Con estas relaciones, conocida una de las razones trigonométricas podremos calcular las
otras de manera exacta.
La relación fundamental de la trigonometría es:
Demostración:
ya
que
según
el
Teorema
de
Pitágoras.
En este mismo triángulo podemos ver que
que es otra de las relaciones fundamentales.
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A partir de estas dos relaciones se puede obtener otra que también resulta muy útil:
En los ejemplos que siguen vamos a utilizar las relaciones que hemos
demostrado para calcular las razones trigonométricas de un ángulo
sabiendo una de ellas.
Si sabemos que
, aplicando la relación
Como
Hazlo tú ahora: Calcula el resto de las razones trigonométricas
sabiendo que
Como
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Si sabemos que
, podemos hallar el resto de las razones
trigonométricas planteando el sistema:
Practica con este ejercicio: Calcula el seno y el coseno del ángulo
sabiendo que
y
Aplica las relaciones trigonométricas que hemos demostrado para
calcular las razones trigonométricas conociendo una de ellas.
b)
a)
a)
y
b)
c)
y
c)
y
2.2. Razones trigonométricas de 30º, 60º y 45º
Los triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos son 30º, 45º y 60º son especialmente
interesantes en geometría. Aparecen con mucha frecuencia en la resolución de problemas
y podemos calcular las razones trigonométricas de estos ángulos de manera exacta.
Conocerlas nos permitirá tener precisión en los cálculos, por tanto, deberás
memorizarlas.; no obstante, lo mejor es que sepas cómo se han generado esos valores:
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Ángulos de 30º y 60º
Tomaremos como referencia un triángulo equilátero y calculamos la
altura:
Según el teorema de Pitágoras:
Por tanto,
Ahora ya podemos calcular las razones de 30º y 60º:
Ángulo de 45º
En este caso partiremos de un cuadrado y calcularemos su
diagonal, la hipotenusa del triángulo rectángulo:
Por el Teorema de Pitágoras:
Entonces,
Teniendo en cuenta que
60º y 45º
, se halla la tangente de 30º,
Podemos resumir los resultados en el siguiente cuadro:
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Regla
nemotécnica
para
recordar
trigonométricas de 30º, 45º y 60º.
las
razones
Fíjate en el seno: los denominadores son todos iguales a 2 y
los numeradores son la raíz cuadrada de 1, 2 y 3.
Ahora el coseno: los mismos denominadores
numeradores al revés, las raíces de 3, 2 y 1.
y
los
Vamos a resolver un problema sencillo como aplicación de lo aprendido
en este capítulo.
Imagina que queremos construir una
escalera de tijera cuyos brazos una vez
abiertos, formen un ángulo de 60º. Si la
altura de la escalera una vez abierta es
de 2m, ¿qué longitud deberá tener cada
brazo?
La línea de la altura divide el triángulo
isósceles en dos triángulos rectángulos
con ángulos agudos de 30º y 60º
Cada brazo tendrá,
longitud de 2,31 m
aproximadamente
una
Selecciona las respuestas que creas correctas
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2.3. Utilización de la calculadora en trigonometría
En este apartado vamos a trabajar con la calculadora
científica. Aprenderemos el uso de las funciones angulares y
trigonométricas más elementales y practicaremos con
algunos ejercicios sencillos.
Casi todas las calculadoras científicas de uso escolar tienen
unas características similares y en su manejo se aprecian
muy pocas diferencias. Nosotros vamos a referirnos al uso
de los modelos actuales que más extendidos están en el
mercado, pero es importante que:
sigas las pautas que te damos para resolver los ejercicios;
compruebes si tu calculadora trabaja de esa manera o
tienes que hacer alguna modificación, bien sea en el orden
en que debes introducir los datos o una nomenclatura
10. Fue nte propia
diferente;
consultes el manual de instrucciones de tu calculadora.
Aquí te mostramos la parte del teclado de la calculadora que vas a tener que utilizar de
una manera específica para los ejercicios con razones trigonométricas.
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En primer lugar debes fijarte en el modo de la unidad angular en la que estés
trabajando. Generalmente, la unidad por omisión es el grado sexagesimal. Comprueba
que en la pantalla de la calculadora aparezca la letra D o DEG.
En caso contrario deberás pulsar la secuencia de teclas
y elegir DEG para trabajar con grados sexagesimales.
Razones trigonométricas de un ángulo
Para calcular las
correspondiente
razones
trigonométricas
de un
ángulo
agudo,
pulsa la
calculando
razones
tecla
y después el valor del ángulo.
Comprueba que estás
trabajando
bien
trigonométricas de ángulos que ya conoces:
Practica hallando las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º
sen 30º = cos 60º = 0,5
sen 60º = cos 30º = 0,8660254038
sen 45º = cos 45º = 0,7071067812
tan 30º = 0,5773502692
tan 60º = 1,732050808
tan 45º = 1
Halla las razones trigonométricas de 0º y 90º.
Fíjate especialmente en la tan 90º.
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sen 0º = cos 90º = 0
sen 90º = cos 0º = 1
tan 0º = 0
tan 90º no es un valor real y, por tanto, la calculadora da un
mensaje de error.
Pregunta inversa: ¿Cuál es el ángulo cuyo seno es...?
Si sabemos el valor de una razón trigonométrica y queremos averiguar el ángulo,
tendremos que activar las funciones inversas con ayuda de la tecla SHIFT (en algunas
calculadoras INV)
¿Cuál es el ángulo cuyo seno es 0,5?
Practica con los valores conocidos de las razones trigonométricas.
Vamos a ver qué ocurre con otros valores. Por ejemplo:
¿Cuál es el ángulo cuyo coseno es 0,187?
Verás que en pantalla aparece el número 79.22224085. Te da el
resultado en grados decimales. Si quieres el resultado en grados
sexagesimales tendrás que pulsar la tecla de conversión
De la misma forma, si quieres introducir un ángulo dado en grados
sexagesimales tendrás que usar esta misma tecla para introducir los
grados, minutos y segundos. Por ejemplo:
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Calcula la tangente de 63º34'18''
El resultado es 2,011988117
Calcula el
y el
con la calculadora, sabiendo que
En primer lugar, averigua el ángulo: 70,53878765º
Después halla las otras razones: aproximadamente, 0,94 para el
seno y 0,33 para el coseno
Cálculo con radianes:
Para hallar las razones trigonométricas de un ángulo agudo en radianes
deberás empezar poniendo la calculadora en el modo RAD de la misma
forma que hiciste para ponerla en modo DEG.
En la pantalla deberá aparecer una R o RAD donde antes aparecía D o
DEG.
11. Proble m a
Para hallar la
deberás proceder así:
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Para hallar el ángulo cuyo seno es 1, procede como lo hiciste con los
grados sexagesimales.
Es posible que en pantalla te aparezca el resultado 1,570796327, que
es el resultado de la división .
Si quieres que la calculadora te devuelva el resultado con la notación
del número
, consulta cómo debes hacerlo en el manual de
instrucciones.
Prueba a hacer esto:
y luego elige la opción 1: MthIO
Haz otra vez el cálculo y comprueba que te devuelve el resultado en
radianes y con la notación que hayas elegido.
Halla el ángulo cuyo coseno es
En radianes el ángulo es
Haz los siguientes cálculos:
a.
b. ángulo, en grados sexagesimales, cuya tangente es 658
c. ángulo, en grados sexagesimales, cuyo coseno es 1,3
d.
e.
f. ángulo, en radianes, cuyo seno es 0,5.
a. 0,39659660933
b. 89,91292441º = 89º54'46,53''
c. No existe. Los valores del seno y el coseno están en el
intervalo [-1, 1].
d. 0,9659258263
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e. No existe, no es un valor real.
f.
3. Resolución de triángulos. Casos
Cuando en una carretera vemos esta señal de peligro, nos están
indicando que hay una subida con fuerte pendiente. La cifra indica la
pendiente en porcentaje, es decir, por cada 100 m en horizontal,
hay una subida de 10 m en vertical. ¿Sabrías calcular el ángulo que
forma el perfil de la carretera con la horizontal? ¿Y los metros que
recorremos por el asfalto?
12. Lice ncia de
wik ipe dia com m ons
A estas y otras cuestiones sabrás responder después de reflexionar
un poco sobre los elementos de un triángulo rectángulo y las
relaciones entre ellos.
Resolver un triángulo es obtener sus elementos
desconocidos (longitud de sus lados y amplitud de sus
ángulos) a partir de otros elementos conocidos
De un triángulo rectángulo conocemos un ángulo: el recto. Para calcular sus otros
elementos basta conocer dos nuevos datos: o bien dos lados, o bien un lado y un
ángulo.
Resolveremos ejemplos de cada caso.
En las ventanas dinámicas que verás a continuación mueve los puntos B y C para obtener
distintos triángulos rectángulos y observa el método de resolución de cada caso.
Si quieres ver la construcción paso a paso, pulsa la tecla "Reproduce".
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Aunque hay varios caminos para hacer los cálculos, siempre
que se pueda es aconsejable usar los datos iniciales, ya que
éstos no tienen errores de redondeo.
Antes de abordar las actividades de autoevaluación, deberías hacer con tu calculadora los
cálculos que aparecen en las ventanas dinámicas anteriores. Hazlo con diferentes
triángulos rectángulos hasta tener la seguridad de que dominas su manejo.
Ahora ya estás en condiciones de responder a las preguntas iniciales
de este apartado.
a. ¿Qué ángulo forma el perfil de la carretera con la horizontal?
b. Si recorres con tu bicicleta 100 metros por una carretera con
una pendiente del 10%, ¿qué desnivel habrás subido?
a. 5,71º = 5º42'38,14''
b. 9,95 m
En un triángulo rectángulo se conocen un cateto, a = 8 cm, y la
hipotenusa, c = 20 cm. Halla el resto de los elementos.
El otro cateto medirá
El ángulo agudo
se calcula así:
Y el otro ángulo agudo
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3.1. Estrategia de la altura para resolver triángulos
oblicuángulos
En los temas siguientes de esta unidad aprenderás técnicas muy útiles para resolver
triángulos cualesquiera, pero en este apartado vamos a ver cómo trazando
adecuadamente la altura de un triángulo cualquiera podemos descomponerlo en dos
triángulos rectángulos resolubles con los datos que tengamos.
A esta técnica la
llamamos estrategia de la altura.
Una de las técnicas más útiles para resolver
problemas es la que te vamos a mostrar en el
siguiente ejemplo. Se llama método de las dos
tangentes o de doble observación.
13. Fue nte propia
Se utiliza para medir la altura de objetos cuyo pie
no es accesible como, por ejemplo, una montaña;
la altura de un edificio que tiene delante un local
adosado, y otras situaciones que veremos en el
apartado siguiente. Se llama método de doble
observación porque se dirigen dos visuales sobre
el punto más alto que queremos medir.
En seguida vas a entender por qué se llama también método de las dos tangentes.
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En el apartado siguiente de resolución de problemas comprobarás que el método de las
dos tangentes se aplica, en la mayoría de las dos ocasiones, para hallar la altura de un
punto inaccesible, es decir, la distancia p del ejemplo anterior no se puede medir.
En estos problemas averiguar las distancias a y b tampoco suele tener interés, pero
puedes hacerlo como ejercicio.
Calcula los lados a y b del triángulo propuesto en el ejemplo 2.
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eXe
En un triángulo ABC conocemos  = 68o, b = 7 cm y a = 9 cm. Calcula
la longitud del lado c.
Traza la altura desde el vértice C que dividirá al lado AB en dos
segmentos.
Considera los triángulos rectángulos que aparecen y calcula los
dos segmentos m y n como en el ejemplo 1.
c = m + n = 2,62 + 6,24 = 8,86 cm
3.2. Resolución de problemas
Acabaremos este tema haciendo un recorrido por algunas de las aplicaciones de la
trigonometría. En primer lugar, veremos la resolución de un problema geométrico.
CÁLCULO DEL ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR
El área de un polígono regular es
En este caso tomamos como
ejemplo un pentágono de lado 2cm.
El ángulo central medirá
El pentágono se divide en cinco
triángulos isósceles. Como tenemos
que calcular la apotema, tomaremos
el triángulo rectángulo del que
conocemos el ángulo
y
el lado
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eXe
Calcula tú el área de un hexágono de lado 2cm
En este caso el hexágono se divide en seis triángulos equiláteros
Una escalera de bomberos, totalmente
estirada, mide 50 m. Si se coloca con un
ángulo de inclinación de 80º, ¿llegará hasta
la duodécima planta de un edificio que está
a 49 m?
La razón trigonométrica
que relaciona el cateto
opuesto al ángulo de
80º con la hipotenusa
es el seno
Podemos decir que la
escalera llegará hasta esa planta aunque sólo con
un pequeño margen de 24 cm
Si fuera necesario que la escalera no tuviera tanta
pendiente necesitaríamos una calle más ancha.
¿Cuál es la anchura mínima que debe tener la calle para que la escalera
pueda estar totalmente extendida con un ángulo de 60º?
Ahora nos preguntamos por el cateto c y la razón trigonométrica que
deberemos usar es el coseno
¿Qué altura alcanzará si la inclinación es de 40º?
¿Cuál sería , entonces, la anchura mínima necesaria de la calle?
.
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eXe
Por el contexto, deberíamos dar una
aproximación por exceso y decir que la
calle debería medir, al menos, 39 m.
El primer paso para construir un puente es saber la anchura que tiene el río. Te
mostramos aquí un método sencillo para hacerlo.
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En la ventana dinámica que te presentamos a continuación verás un ejemplo del método
de las dos tangentes que te explicamos en el apartado anterior. Esta vez tomamos los
ángulos a uno y otro lado del objeto a medir, pero sobre el mismo plano vertical.
Queremos medir la altura de los torreones de la imagen. Para ello se sitúan dos
observadores en los puntos A y B, cuya distancia se puede medir, y se dirigen dos
visuales al punto más alto del torreón; se miden los ángulos en A y B y ya tenemos todos
los datos para resolver el problema.
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Calcula el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de
4cm de radio.
El ángulo central mide grados. Del triángulo
rectángulo conocemos un ángulo que mide
grados y la que mide cm.
Para calcular la apotema usaremos el del
ángulo. La apotema mide cm.
Para calcular
el lado
usaremos
el del
ángulo. El lado mide cm.
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El área del octógono es cm2.
Para finalizar, te proporcionamos una colección de ejercicios
que debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo
largo de este tema.
* Ejercicios de consolidación
* Soluciones
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